:¡/ f(t) dt=x‹ +ax¤ +bx의 양변에 x=1을 대입하면
:¡1 f(t) dt=1+a+b
0=1+a+b ∴ a+b=-1㉠ yy`㉠
:¡/ f(t) dt=x‹ +ax¤ +bx의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=3x¤ +2ax+b
조건 ㈏에서 f(1)=4이므로
f(1)=3+2a+b=4 ∴ 2a+b=1 yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=-3
즉, :!/ f(t) dt=x‹ +2x¤ -3x이므로 양변을 x에 대하여 미분 하면 f(x)=3x¤ +4x-3
따라서 f '(x)=6x+4이므로 f '(1)=6+4=10
20
:!/ f(t)dt=x‹ +ax¤ +bx+5의 양변에 x=1을 대입하면 :!1 f(t)dt=1+a+b+50=6+a+b ∴ b=-a-6 yy`㉠
:!/ f(t)dt=x‹ +ax¤ +bx+5의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=3x¤ +2ax+b
f '(x)=6x+2a이고 x=1에서 극솟값을 가지므로 f '(1)=6+2a=0 ∴ a=-3
a=-3을 ㉠에 대입하면 b=-3 따라서 f(x)=3x¤ -6x-3이므로 f(1)=3-6-3=-6
21
f (x)=:_/# (3t¤ -6t-9) dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 f '(x)=3x¤ -6x-9=3(x+1)(x-3)f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=3
따라서 x=-1에서 극댓값, x=3에서 극솟값을 갖는다.
∴ a-b=-1-3=-4
y=f(x)
-1 3
22
주어진 식의 양변에 x=2를 대입하면0=8+4a+2b+2 ∴ 2a+b=-5 yy`㉠
f(t)=f '(t)이므로
:@/ [ f(t)]dt=:@/ f'(t)dt =[f(t)]/@=f(x)-f(2) 즉, f(x)-f(2)=x‹ +ax¤ +bx+2이므로 양변을 x에 대하여 미분하면 f'(x)=3x¤ +2ax+b
f '(-1)=3-2a+b=2이므로 -2a+b=-1 yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=-3
∴ f'(x)=3x¤ -2x-3
f(x)=: (3x¤ -2x-3)dx=x‹ -x¤ -3x+C이므로 f(1)=1-1-3+C=0에서 C=3
따라서 f(x)=x‹ -x¤ -3x+3이므로 f(2)=8-4-6+3=1
23
x f(x)=x¤ +:!/ f(t) dt의 양변에 x=1을 대입하면 f(1)=1주어진 식의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)+x f '(x)=2x+f(x) ∴ f '(x)=2 f(x)=: 2 dx=2x+C
f(1)=1이므로 f(1)=2+C=1 ∴ C=-1
∴ f(x)=2x-1
∴ _f(2)=f '(2)_f(2)=2_3=6
24
f(x)가 x-3으로 나누어떨어지므로 인수정리에 의하여 f(3)=0f(x)=x‹ +ax¤ +:#/ (t¤ +2t+2)dt의 양변에 x=3을 대입하면 f(3)=27+9a=0 ∴ a=-3
즉, f(x)=x‹ -3x¤ +:#/ (t¤ +2t+2) dt이므로 양변을 x에 대 하여 미분하면
f '(x)=3x¤ -6x+x¤ +2x+2=4x¤ -4x+2
∴ f '(-1)=4+4+2=10
25
:!/ x f(t) dt=2x‹ +ax¤ +1+:!/ t f(t) dt에서x:!/ f(t) dt=2x‹ +ax¤ +1+:!/ t f(t) dt 이므로 양변에 x=1을 대입하면
0=2+a+1 ∴ a=-3
즉, x:!/ f(t)dt=2x‹ -3x¤ +1+:!/ tf(t)dt이므로 양변을 x에 대하여 미분하면
:!/ f(t) dt+x f(x)=6x¤ -6x+x f(x)
:!/ f(t) dt=6x¤ -6x
이 식의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=12x-6
∴ f(1)+a=6+(-3)=3 f(x)-f(2) lim x-2
x⁄2
d dt d
18
619
1020
②21
② dt22
①23
624
⑤25
3본문075`~`076쪽
01
곡선 y=x¤ -4x와 x축의 교점의 x좌표는 x¤ -4x=0에서 x(x-4)=0∴ x=0 또는 x=4 따라서 구하는 넓이는
-:)4 (x¤ -4x) dx=-[;3!;x‹ -2x¤ ]4) -:)4 (x¤ -4x) dx=:£3™:
02
곡선 y=x‹ -2x¤ -3x와 x축의 교점의 x좌표는x‹ -2x¤ -3x=0에서 x(x+1)(x-3)=0
∴ x=-1 또는 x=0 또는 x=3 따라서 구하는 넓이는
:_0! (x‹ -2x¤ -3x) dx
-:)3 (x‹ -2x¤ -3x) dx
=[;4!;x› -;3@;x‹ -;2#;x¤ ]0_!-[;4!;x› -;3@;x‹ -;2#;x¤ ]3)
=;1¶2;-{-:¢4∞:}=:¶6¡:
03
곡선 y=x¤ +2x와 x축의 교점의 x좌표는x¤ +2x=0에서 x(x+2)=0
∴ x=-2 또는 x=0 따라서 구하는 넓이는 -:_0! (x¤ +2x) dx
+:)1 (x¤ +2x) dx
=-[;3!;x‹ +x¤ ]0_!+[;3!;x‹ +x¤ ]1)=;3@;+;3$;=2
04
곡선 y=-x¤ +ax (`a>3)와 x축의 교점의 x좌표는-x¤ +ax=0에서 -x(x-a)=0
∴ x=0 또는 x=a 그림의 어두운 부분의 넓이는
y
O
3 a
x y=-x¤+ax
y
O 3
1 -1 -2
-1
x y=x¤+2x
y
O
-1 3
x y=x‹ -2x¤ -3x y
O 4 x
y=x¤ -4x
01
②02
⑤03
①04
④05
②06
⑤07
②08
①09
④14
본문079`~`080쪽
넓이
:)3 (-x¤ +ax) dx=[-;3!;x‹ +;2A;x¤ ]3)=-9+;2(;a 즉, -9+;2(;a=9이므로 ;2(;a=18 ∴ a=405
y=x|x-1|=곡선 y=x|x-1|과 x축의 교점의 x좌표는 xæ1일 때,
x(x-1)=0에서 x=1 x<1일 때,
-x(x-1)=0에서 x=0 따라서 구하는 넓이는
:)1 {-x(x-1)}dx+:!2 x(x-1)dx
=:)1 (-x¤ +x) dx+:!2 (x¤ -x) dx
=[-;3!;x‹ +;2!;x¤ ]1)+[;3!;x‹ -;2!;x¤ ]2!=;6!;+;6%;=1
06
곡선 y=x‹ -4x¤ +4x와 직선 y=x의 교점의 x좌표는 x‹ -4x¤ +4x=x에서 x‹ -4x¤ +3x=0 x(x-1)(x-3)=0∴ x=0 또는 x=1 또는 x=3 따라서 구하는 넓이는
:)1 {(x‹ -4x¤ +4x)-x} dx+:!3 {x-(x‹ -4x¤ +4x)} dx
=:)1 (x‹ -4x¤ +3x) dx+:!3 (-x‹ +4x¤ -3x) dx
=[;4!;x› -;3$;x‹ +;2#;x¤ ]1)+[-;4!;x› +;3$;x‹ -;2#;x¤ ]3!
=;1∞2;+;3*;=;1#2&;
07
y=x¤에서 y'=2x이므로 곡선 위의 점 (1, 1)에서의 접선의 방정식은 y-1=2(x-1)∴ y=2x-1 따라서 구하는 넓이는 :)1 {x¤ -(2x-1)} dx
=:)1 (x¤ -2x+1) dx=[;3!;x‹ -x¤ +x]1)=;3!;
08
두 함수 y=f(x), y=g(x)는 서로 역함수 관계이므로 어두운 부분은 직 선 y=x에 의하여 이등분된다.따라서 어두운 부분의 넓이는 곡선 y=f(x)와 직선 y=x로 둘러싸인 부분의 넓이의 2배와 같으므로
2 {;2!;_3_3-:)3 f(x) dx}=2{;2(;-3}=3 y
O 3
3 x
y=f(x) y=x y=g(x) y
O 1
1 x y=x¤
y=2x-1 y
O 1 2 3 x
y=x y=x‹ -4x¤ +4x y
O 1 2 x
y=x|x-1|
x(x-1) (`xæ1) -x(x-1)(`x<1) [
유형`14. 넓이
43 09
곡선 y=x¤ -5x와 직선 y=3x의 교점의 x좌표는x¤ -5x=3x에서 x¤ -8x=0, x(x-8)=0
∴ x=0 또는 x=8
곡선 y=x¤ -5x와 직선 y=3x로 둘러싸인 부분의 넓이를 S라 하면
S=:)8 {3x-(x¤ -5x)} dx=:)8 (8x-x¤ ) dx
이것은 곡선 y=8x-x¤ 과 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이와 같다.
그런데 이 넓이는 곡선 y=8x-x¤ 의 대칭축인 직선 x=4에 의 하여 이등분되므로 k=4
10
y=6x(x-2)이므로 구하고자 하는 넓이는:)2 (-6x¤ +12x)dx=[-2x‹ +6x¤ ]2)=-16+24=8
11
곡선 y=4x‹ -12x¤ +8x와 x축의 교점의 x좌표는4x‹ -12x¤ +8x=0에서 4x(x-1)(x-2)=0
∴ x=0 또는 x=1 또는 x=2 따라서 구하는 넓이는
:)1 (4x‹ -12x¤ +8x) dx-:!2 (4x‹ -12x¤ +8x) dx
=[x› -4x‹ +4x¤ ]1)-[x› -4x‹ +4x¤ ]2!=1-(-1)=2
12
곡선 y=x¤ -4x+3과 직선 y=3의 교점의 x좌표는x¤ -4x+3=3에서 x¤ -4x=0 x(x-4)=0
∴ x=0 또는 x=4 따라서 구하는 넓이는
:)4 {3-(x¤ -4x+3)} dx=:)4 (-x¤ +4x) dx
=[-;3!;x‹ +2x¤ ]4)=:£3™:
13
곡선 y=-2x¤ +3x와 직선 `y=x의 교점의 x좌표는 -2x¤ +3x=x에서 2x¤ -2x=0, x(x-1)=0∴ x=0 또는 x=1 따라서 구하는 넓이는
y
O 1 x
y=x y=-2x¤ +3x y
O 3
4 x y=x¤ -4x+3 y=3 y
O 1 2 x
y=4x‹ -12x¤ +8x
10
811
212
③13
414
1415
③16
②17
④18
③19
①20
4021
④22
④본문080`~`082쪽
:)1 {(-2x¤ +3x)-x} dx
=:)1 (-2x¤ +2x)dx=[-;3@;x‹ +x¤ ]1)=;3!;
∴ p+q=3+1=4
14
x<1일 때, g(x)=-x이므로;3!; x(4-x)=-x에서 x=0
xæ1일 때, g(x)=x-2이므로 ;3!;x(4-x)=x-2에서 4x-x¤ =3x-6, x¤ -x-6=0
(x-3)(x+2)=0 ∴ x=3
즉, 두 함수 f(x)=;3!;x(4-x), g(x)=|x-1|-1의 그래프 는 다음과 같다.
따라서 구하는 넓이는
S=:)1 { f(x)-g(x)}dx+:!3 { f(x)-g(x)}dx S=:)1{-;3!;x¤ +;3&;x}dx+:!3 {-;3!;x¤ +;3!;x+2}dx S=[-;9!;x‹ +;6&;x¤ ]1)+[-;9!;x‹ +;6!;x¤ +2x]3!
S={-;9!;+;6&;}+[{-3+;2#;+6}-{-;9!;+;6!;+2}]=;2&;
∴ 4S=14
15
n=1일 때, 점 P의 좌표는 P(0, 3)이고, `f(x)=x¤ 이므로 점 Q 의 좌표는 Q(1, 1)이다.따라서 구하는 넓이는
;2!;_(1+3)_1-:)1 x¤ dx=2-[;3!;x‹ ]1)=;3%;
16
구하는 넓이는 그림에서 어두운 부분의 넓이이므로:)4 {x¤ -;4!;x¤ } dx
=:)4 ;4#;x¤ dx=[;4!;x‹ ]4)=16
17
f '(x)=x¤ -1에서 f(x)=;3!;x‹ -x+C f(0)=0이므로 C=0즉, f(x)=;3!;x‹ -x이므로 y=f(x)의 그래프는 그림과 같다.
따라서 구하는 넓이는 2:)'3[-{;3!;x‹ -x}] dx
=2[-;1¡2;x› +;2!;x¤ ])'3=;2#;
y
O
y=f(x)
' 3 x
- ' 3
y
O A(4, 0) x y=x¤
1 y=4x¤
y
-1O 1
3 4 x
18
-f(x-1)-1=-{(x-1)¤ -2(x-1)}-1=-(x¤ -4x+3)-1=-x¤ +4x-4 이므로 두 곡선 y=f(x), y=-f(x-1)-1의 교점의 x좌표는 x¤ -2x=-x¤ +4x-4, x¤ -3x+2=0
(x-1)(x-2)=0 ∴ x=1 또는 x=2
따라서 두 곡선 y=f(x), y=-f(x-1)-1로 둘러싸인 부분 의 넓이는
:!2 {(-x¤ +4x-4)-(x¤ -2x)}dx
=:!2 (-2x¤ +6x-4)dx=[-;3@; x‹ +3x¤ -4x]2!
={-:¡3§:+12-8}-{-;3@;+3-4}=;3!;
19
주어진 함수의 그래프가 y축에 대하여 대칭이므로 :_aA f(x) dx=2:)a f(x) dx=13∴:)a f(x) dx=:¡2£:
:)3 f(x) dx=:)1 x dx+:!2 1 dx+:@3 (-x+3) dx :)3 f(x) dx=[;2!;x¤ ]1)+[x]2!+[-;2!;x¤ +3x]3@=2 :)3 f(x) dx=:#6 f(x) dx=:^9 f(x) dx=2이므로
:)9 f(x)dx+:(1 0 f(x)dx=3:)3 f(x)dx+:)1 f(x)dx=:¡2£:
따라서:)1 0 f(x) dx=:¡2£:이므로 :_aA f(x) dx=13을 만족시키 는 a의 값은 10이다.
20
:)2013f(x) dx=:#2013f(x) dx에서 :)2013f(x) dx-:#2013f(x) dx=0:)2013f(x) dx+:20133 f(x) dx=0 ∴:)3 f(x) dx=0 f(x)=x¤ +ax+b로 놓으면
:)3 (x¤ +ax+b) dx=[;3!;x‹ +;2A;x¤ +bx]3)
:)3 (x¤ +ax+b) dx=9+;2(;a+3b=0
∴ 3a+2b=-6 yy`㉠
또한, f(3)=9+3a+b=0이므로 3a+b=-9 yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-4, b=3
∴ `f(x)=x¤ -4x+3
곡선 y=f(x)와 x축의 교점의 x좌표는 x¤ -4x+3=0에서 (x-1)(x-3)=0
∴ x=1 또는 x=3
∴ S=:!3 |x¤ -4x+3| dx=-:!3 (x¤ -4x+3) dx
∴ S=-[;3!;x‹ -2x¤ +3x]3!=;3$;
∴ 30S=40
21
조건 ㈎에서 함수 y=f(x)의 그래프와 함수 y=f(x)의 그래프 를 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 4만큼 평행이동한 그 래프가 일치해야 한다.또 조건 ㈏에서:)6 f(x)dx=0이므로 :)6 f(x)dx=:)3 f(x)dx+:#6 f(x)dx :)6 f(x)dx=:)3 f(x)dx+:#6 { f(x-3)+4}dx :)6 f(x)dx=:)3 f(x)dx+:)3 { f(x)+4}dx :)6 f(x)dx=2:)3 f(x)dx+12
즉, 2:)3 f(x)dx+12=0이므로 :)3 f(x)dx=-6
∴:#6 f(x)dx=:)3 f(x)dx+12=6
∴:^9 f(x)dx=:^9 { f(x-3)+4}dx=:#6 { f(x)+4}dx
∴:^9 f(x)dx=:#6 f(x)dx+[4x]6#=18
22
두 곡선 y=x› -x‹ , y=-x› +x로 둘러싸인 도형의 넓이가 곡 선 y=ax(1-x)에 의하여 이등분되므로:)1 {(-x› +x)-(x› -x‹ )} dx
=2:)1 {(-x› +x)-(ax-ax¤ )} dx
:)1 (-2x› +x‹ +x) dx-2:)1 {-x› +ax¤ +(1-a)x} dx=0 :)1 {x‹ -2ax¤ +(2a-1)x} dx=0
[;4!;x› - x‹ + x¤]1)=0
;4!;-;3@;a+a-;2!;=0, ;3!;a=;4!; ∴ a=;4#;
23
곡선 y=3x¤ -2x-1과 직선 y=-1의 교점의 x좌표는 3x¤ -2x-1=-1에서3x¤ -2x=0
x(3x-2)=0 ∴ x=0 또는 x=;3@;
따라서 구하는 넓이는
:);3@;{-1-(3x¤ -2x-1)} dx=:);3@;(-3x¤ +2x) dx
=[-x‹ +x¤ ]);3@;=;2¢7;
2a-1 2 2a
3
23
④24
③25
2726
8027
2028
3629
⑤30
②31
②본문082`~`083쪽
유형`14. 넓이
45 24
직선 y=2x와 곡선 y=x¤ -x의교점의 x좌표는
2x=x¤ -x에서 x¤ -3x=0 x(x-3)=0
∴ x=0 또는 x=3 따라서 구하는 넓이는 :)3 {2x-(x¤ -x)} dx
=:)3 (3x-x¤ ) dx=[;2#;x¤ -;3!;x‹ ]3)=;2(;
25
두 곡선 y=x‹ +2x¤ , y=-x¤ +4의 교점의 x좌표는 x‹ +2x¤ =-x¤ +4에서 x‹ +3x¤ -4=0 (x+2)¤ (x-1)=0∴ x=-2 또는 x=1
∴ S=:_1@ {(-x¤ +4)-(x‹ +2x¤ )} dx
∴ S=:_1@ (-x‹ -3x¤ +4) dx
∴ S=[-;4!;x› -x‹ +4x]1_@
∴ S=:¡4¡:-(-4)=:™4¶:
∴ 4S=27
26
y=x¤ +1에서 y'=2x이므로 곡선 위의 점 (2, 5)에서의 접선의 방정 식은 y-5=4(x-2)∴ y=4x-3
∴ S=:)2 {x¤ +1-(4x-3)} dx
∴ S=:)2 (x¤ -4x+4) dx
∴ S=[;3!;x‹ -2x¤ +4x]2)=;3*;
∴ 30S=80
27
조건 ㈎, ㈏에 의하여 함수 y=f(x)의 그래프는 그림과 같다.:)2 (-x‹ +4x) dx=[-;4!;x› +2x¤ ]2)=4이므로 구하는 넓이는 5:)2 (-x‹ +4x) dx=5_4=20
28
두 함수 y= f(x), y=g(x)는 서로 역함수 관계이므로 어두운 부분은 직선 y=x에 의하여 이등분된다.곡선 y=ax¤ 과 직선 y=x의 교점의 x좌표는 ax¤ =x에서 ax¤ -x=0, x(ax-1)=0
y
O
-2 2 4 6 8 10 x
y
O 5
2 x y=4x-3 y=x¤+1
y
O 1
-2 x
y=x‹ +2x¤
y=-x¤ +4 y
O 3 x
y=2x
y=x¤-x ∴ x=0 또는 x=;a!;
곡선 y=ax¤ 과 직선 y=x로 둘러싸 인 부분의 넓이는
:);a!;(x-ax¤ ) dx=[;2!;x¤ -;3A;x‹ ]);a!;
:);a!;(x-ax¤ ) dx=
이므로 =6
∴ =36
29
x‹ -x+a=0의 근 중에서 가장 큰 값을 k라 하면 k‹ -k+a=0∴ a=k-k‹ yy`㉠
A=B이면:)k (x‹ -x+a) dx=0 :)k (x‹ -x+a) dx=[;4!;x› -;2!;x¤ +ax]k)
:)k (x‹ -x+a) dx=;4!;k› -;2!;k¤ +ak=0 에서 k>0이므로
k‹ -2k+4a=0 yy`㉡
㉠을 ㉡에 대입하여 정리하면 3k‹ -2k=0에서 3k¤ -2=0 ∴ k=Æ;3@; =
이 값을 ㉠에 대입하면 a=
30
곡선 y=x‹ -(2+m)x¤ +3mx와 직선 y=mx의 교점의 x좌 표는 x‹ -(2+m)x¤ +3mx=mx에서x‹ -(2+m)x¤ +2mx=0, x(x-2)(x-m)=0
∴ x=0 또는 x=2 또는 x=m
곡선 y=x‹ -(2+m)x¤ +3mx와 직선 y=mx로 둘러싸인 두 부분의 넓이가 서로 같으므로
:)m {x‹ -(2+m)x¤ +3mx-mx} dx=0 :)m {x‹ -(2+m)x¤ +2mx} dx=0 [;4!;x› - x‹ +mx¤]m)=0
;4!;m› - m‹ +m‹ =0
m‹ (m-4)=0 ∴ m=4 (`∵ m>2)
31
A=B이므로 A+C=B+C 따라서 직선 `y=kx와 직선 x=2 및 x축으로 둘러싸인 부분과곡선 y=x¤ 과 직선 x=2 및 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 같으므로
;2!;_2_2k=:)2 x¤ dx 2k=;3*;∴∴∴ k=;3$;
O x=2
y=x¤
y=kx
A B
C y
x (2+m)
3 (2+m)
3
'6 9
'6 3 1
a¤
1 6a¤
1 6a¤
y=x y
O x
y=f(x)
y=g(x)
01
시각 t에서의 위치를 x(t)라 하면 x(t)=0+:)t v(t) dt따라서 t=3에서의 점 P의 위치는
x(3)=:)3 (3t¤ -2t+4) dt=[t‹ -t¤ +4t]3) x(3)=27-9+12=30
02
:)3 |2t+3|dt=:)3 (2t+3)dt=[t¤ +3t]3)=18
03
점 P의 운동 방향은 v(t)=0일 때 바뀌므로 -t¤ +t+12=0, t¤ -t-12=0(t+3)(t-4)=0 ∴ t=4 (`∵ t>0)
즉, 4초 후에 점 P의 운동 방향이 바뀌므로 점 P의 운동 방향이 바뀐 후, 1초 동안 움직인 거리는
:$5 |v(t)| dt=:$5 |-t¤ +t+12| dt :$5 |v(t)| dt=:$5 (t¤ -t-12) dt :$5 |v(t)| dt=[;3!;t‹ -;2!;t¤ -12t]5$
:$5 |v(t)| dt=:™6£:
따라서 a=23, b=6이므로 a+b=29
04
t=0에서 t=3까지 점 P가 실제로 움직인 거리는 속도 v(t)의 그래프와 t축 및 두 직선 t=0, t=3으로 둘러싸인 부분의 넓이와 같으므로 ;2!;_2_2+;2!;_1_2=2+1=305
두 점 P, Q의 t초 후의 위치를 각각 xP(t), xQ(t)라 하면 xP(t)=:)t (6t¤ -2t+6) dt=2t‹ -t¤ +6t,xQ(t)=:)t (3t¤ +10t+1) dt=t‹ +5t¤ +t
이고 두 점 P, Q가 만나려면 xP(t)=xQ(t)이어야 하므로 2t‹ -t¤ +6t=t‹ +5t¤ +t
t‹ -6t¤ +5t=0, t(t-1)(t-5)=0
∴ t=0 또는 t=1 또는 t=5
따라서 두 점 P, Q가 출발 후 처음으로 만나는 시각은 1초 후이 므로 그때의 위치는 xP(1)=2-1+6=7
06
주어진 그림에서 f(t)=2t-2, g(t)=-;3@;t+2이고, 두 점 P, Q가 출발 후 a초 후에 처음으로 만난다고 하면 y
O 45
-3 t
y=|v(t)|
:)a f(t) dt=:)a g(t) dt, :)a (2t-2) dt=:)a {-;3@;t+2} dt [t¤ -2t]a)=[-;3!;t¤ +2t]a)
a¤ -2a=-;3!;a¤ +2a, ;3$;a¤ -4a=0 a(a-3)=0 ∴ a=3
07
:)4 |-2t+4|dt=:)2 (-2t+4)dt+:@4 (2t-4)dt :)4 |-2t+4|dt=[-t¤ +4t]2)+[t¤ -4t]4@:)4 |-2t+4|dt=(-4+8)+{(16-16)-(4-8)}
=4+4=8
08
점 P가 원점을 출발하여 t=0에서 t=a까지 움직인 거리가 58 이므로 a>2이고:)a |3t¤ -6t|dt=:)2 (6t-3t¤ )dt+:@a (3t¤ -6t)dt
:)a |3t¤ -6t|dt=[3t¤ -t‹ ]2)+[t‹ -3t¤ ]a@
:)a |3t¤ -6t|dt=a‹ -3a¤ +8=58 에서 (a-5)(a¤ +2a+10)=0 따라서 a=5이므로 v(5)=45
09
출발한 후 두 점 P, Q의 속도가 같아지는 순간은 v¡(t)=v™(t) 이므로 3t¤ +t=2t¤ +3tt¤ -2t=0, t(t-2)=0 t>0이므로 t=2 t=2일 때 점 P의 위치는
0+:)2 v¡(t)dt=:)2 (3t¤ +t)dt=[t‹ +;2!;t¤ ]2)=10 t=2일 때 점 Q의 위치는
0+:)2 v™(t)dt=:)2 (2t¤ +3t)dt
0+:)2 v™(t)dt=[;3@;t‹ +;2#;t¤ ]2)=:¡3§:+6=:£3¢:
따라서 두 점 사이의 거리 a는 a=|:£3¢:-10|=;3$;이므로 9a=9_;3$;=12
10
:)6 |v(t)| dt=:)4 v(t) dt+:$6 {-v(t)} dt
=;2!;_1_1+;2!;_2_(1+2)+;2!;_1_2+;2!;_2_1
=;2!;+3+1+1=:¡2¡:
07
①08
4509
1210
⑤11
⑤12
③13
④14
①본문086`~`087쪽
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③02
⑤03
②04
②05
706
③15
본문085쪽