좌표평면과 그래프
IV. 좌표평면과 그래프 ⴏㅃ㱐ᘀ
B C
3
1 2
02
2a+1=-a+4에서 3a=3
∴ a=1
a€+2=1€+2=3
따라서 R의 좌표는 R(3)이다. 답 R(3)
03
점 (2a+1, 3-b)가 x축 위의 점이므로 3-b=0 ∴ b=3
점 (-2+a, -4b)가 y축 위의 점이므로 -2+a=0 ∴ a=2
∴ a+b=2+3=5 답 5
04
네 점 A, B, C, D를 좌표평면 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같다.
∴ (사각형 ABCD의 넓이) =7_7=49
답 49
"
Y Z
0
# $
% 01 ;2%; 02 R(3) 03 5 04 49 05 :£2£: 06 -6 07 32
08 ③ 09 제4사분면 10 ② 11 ④ 12 ② 13 ① 14 5 15 제3사분면 16 ④ 17 ②
92쪽~94쪽 LEVEL
좌표평면과 그래프
IV. 좌표평면과 그래프 ⴏㅃ㱐ᘀ
사각형 ABCD가 평행사변형이라는 것을 모르더라도 두 선분 AD, BC가 서 로 평행하므로 사다리꼴의 넓이를 구해 보면 ;2!;_(7+7)_7=49임을 알 수 있다.
05
세 점 A(2, -4), B(3, 3), C(-2, 1)을 좌표평면 위에 나타내면 다음 그림과 같다.
&
" '
%
$
#
Y Z
0
D(-2, 3), E(-2, -4), F(3, -4)라 하면 (사각형 DEFB의 넓이)=5_7=35 (삼각형 BAF의 넓이)=;2!;_1_7=;2&;
(삼각형 BDC의 넓이)=;2!;_5_2=5 (삼각형 CEA의 넓이)=;2!;_4_5=10
∴ (삼각형 ABC의 넓이)
=(사각형 DEFB의 넓이)-{(삼각형 BAF의 넓이) +(삼각형 BDC의 넓이)+(삼각형 CEA의 넓이)}
=35-{;2&;+5+10}
=35-:£2¶:=:£2£: 답 :£2£:
ⴏㅃ』᳠㻓㻯㱐ᘀ
좌표평면 위의 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 구할 때, 좌표축에 평 행한 변이 없으면 사각형의 넓이에서 삼각형들의 넓이를 뺀다.
06
두 점 A(b, -a+b), B(-2b-3, 2a+1)이 원점에 대하여 대칭 이므로
b=-(-2b-3)에서 b=2b+3
∴ b=-3
-a+b=-(2a+1)에서 a=-b-1 즉, a=-(-3)-1=2
∴ ab=2_(-3)=-6 답 -6
07
A(-3, -5), B(3, 5), C(3, -5)이므로 네 점 P, A, B, C를 좌 표평면 위에 나타내면 다음 그림과 같다.
" $
1 #
Y Z
0
따라서 사각형 PACB의 둘레의 길이는
2_(6+10)=32 답 32
08
점 (a, -b)가 제 1사분면 위에 있으므로 a>0, -b>0 ∴ a>0, b<0
① a>0, b<0이므로 점 A는 제 4사분면 위에 있다.
② -a<0, -b>0이므로 점 B는 제 2사분면 위에 있다.
③ b<0, -a<0이므로 점 C는 제 3사분면 위에 있다.
④ -b>0, a>0이므로 점 D는 제 1사분면 위에 있다.
⑤ -b>0, -a<0이므로 점 E는 제 4사분면 위에 있다.
따라서 점의 좌표와 그 점이 속하는 사분면이 바르게 짝 지어진 것
은 ③이다. 답 ③
09
점 P(a, b)가 제 4사분면 위에 있으므로 a>0, b<0
점 Q(-b, a)와 x축에 대하여 대칭인 점의 좌표는 (-b, -a) -b>0, -a<0
따라서 점 (-b, -a)는 제4사분면 위의 점이다. 답 제4사분면
10
① 혜정이가 민지보다 천천히 걸었다.
③ 민지는 출발한 지 15-5=10(분) 후에 학원에 도착했다.
④ 혜정이는 처음 10분 간 민지보다 앞에 있었으며 10분 이후부터 는 민지가 혜정이 앞에 있었다.
⑤ 민지가 혜정이보다 20-15=5(분) 먼저 도착했다.
따라서 옳은 것은 ②이다. 답 ②
11
① x=10일 때 y=60이므로 출발한 지 10분 후의 속력은 시속 60 km이다.
② 출발한 지 30분 후까지는 속력이 증가하였다.
③ 가장 빠른 속력으로 달린 시간은 30분 후부터 60분 후까지이므 로 총 30분이다.
④ 출발한 지 30분 후부터 60분 후까지 일정한 속력으로 달렸다.
⑤ x=70일 때, y=0이므로 출발한 지 70분 후에 멈추었다.
따라서 옳지 않은 것은 ④이다. 답 ④
12
물의 높이가 처음에는 서서히 증가하다가 나중에 급격히 증가하므 로 물병의 모양은 바닥에서부터 위로 올라갈수록 폭이 점점 좁아진
다. 답 ②
ⴏㅃ㱐ᘀ
각 물병에 따른 그래프는 다음과 같다.
①
⇨
0 Y
Z
③
⇨
0 Y
Z
④
⇨
0 Y
Z
⑤
⇨
0 Y
Z
13
윗부분에 있는 원기둥의 밑면이 아랫부분에 있는 원기둥의 밑면보 다 넓기 때문에 윗부분의 원기둥에서는 물의 높이가 느리고 일정하 게 감소하고, 윗부분의 물이 모두 빠져나간 후에는 아랫부분의 원 기둥의 물의 높이가 빠르고 일정하게 감소한다.
따라서 그래프로 알맞은 것은 ①이다. 답 ①
08. 좌표평면과 그래프
57
14
따라서 네 점 A, B, C, D를 좌표평
(사다리꼴 ABOD의 넓이)=;2!;_(8+12)_8=80 이때 점 E의 좌표를 (-12, a)라 하면
(삼각형 EBO의 넓이)=;2!;_12_a=6a
(삼각형 EBO의 넓이)=;2!;_(사다리꼴 ABOD의 넓이)이므로 2a+b=-(-5a-3b)에서 -3a=2b, 즉 -3a=-6
∴ a=2
ⴏㅃ⎷ㇻ㱐ᘀ
b-a<0에서 b<a, |a|<|b|이므로 b<a<0이다.
즉, ab>0이고 -a>0이므로 ab-a>0 a<0, b>0, c<0, d<0
① ab<0, c<0이므로 점 (ab, c)는 제 3사분면 위에 있다.
② bc<0, ad>0에서 bc-ad<0이고, -b<0이므로 점 (bc-ad, -b)는 제 3사분면 위에 있다.
⑤ bc+cd=c(b+d)이고 b+d=0이므로 bc+cd=0 따라서 점 (bc+cd, ab)는 y축 위에 있다.
토끼가 30분 동안 달리다가 20분 동안 낮잠을 자고 다시 달렸으므 로, x의 값이 증가할 때 y의 값은 증가하다 일정한 값을 유지하다 다시 증가한다.
따라서 x와 y 사이의 관계를 나타낸 그래프로 가장 적당한 것은
ㄷ이다. 답 ㄷ
13
[ 전략 ] 수조 A, B에서 1분 동안 흘러나온 물의 양을 먼저 구한다.
A 수조에서는 10분 동안 40 L의 물이 흘러나왔으므로 1분 동안 흘러나온 물의 양은 ;1$0);=4 (L)
B 수조에서는 20분 동안 60 L의 물이 흘러나왔으므로 1분 동안 흘러나온 물의 양은 ;2^0);=3 (L)
이때 수조에 들어 있는 물의 양이 120 L이고, 수조 A, B에서 1분 동안 흘러나온 물의 양은 각각 4 L, 3 L이므로
a=120
4 =30, b=120 3 =40
∴ ;3A;-;5B;=10-8=2 답 2
14
[ 전략 ] 대관람차가 원 운동을 3번 반복한다는 것을 생각하며 그래프를 해석한다.
㈎ 대관람차가 한 바퀴 도는 데 걸리는 시간은 8분이므로 a=8
㈏ 가장 높이 올라갔을 때의 지면으로부터의 높이는 30 m이므로 b=30
㈐ 탑승한 대관람차는 세 바퀴를 돌고 멈추므로 지원이가 대관람차 에 탑승한 시간은 총 24분이다.
∴ c=24
∴ a+b+c=8+30+24=62 답 62
15
[ 전략 ] 원기둥 밑면의 반지름의 길이가 작을수록 수면이 빠르게 올라감을 파악한다.
A 그릇의 아랫부분은 바닥에서부터 위로 올라갈수록 폭이 점점 좁 아지는 모양이므로 물의 높이가 점점 빠르게 증가하고, 윗부분은 원기둥 모양이므로 물의 높이가 일정하게 증가한다.
따라서 그래프로 가장 알맞은 것은 ㈐이다.
B 그릇은 아랫부분부터 살펴보면 폭이 넓은 원기둥-중간 원기 둥-좁은 원기둥 모양이다.
이때 밑면의 폭이 넓은 원기둥에 물을 넣을 때에는 물의 높이가 느 리고 일정하게 증가하고, 폭이 좁은 원기둥에 물을 넣을 때에는 물 의 높이가 빠르고 일정하게 증가한다.
따라서 그래프로 가장 알맞은 것은 ㈏이다.
C 그릇은 아랫부분부터 살펴보면 폭이 좁은 원기둥-중간 원기 둥-넓은 원기둥 모양이다.
이때 밑면의 폭이 좁은 원기둥에 물을 넣을 때에는 물의 높이가 빠 르고 일정하게 증가하고, 폭이 넓은 원기둥에 물을 넣을 때에는 물 의 높이가 느리고 일정하게 증가한다.
따라서 그래프로 가장 알맞은 것은 ㈎이다.
답 A-㈐, B-㈏, C-㈎
01
VROXWLRQ 미리 보기 step 1 a, b의 값 각각 구하기step 2 세 점 A', B', C'의 좌표 각각 구하기 step 3 삼각형 A'B'C'의 넓이 구하기
점 A(2a+2b, b+3)이 x축 위에 있으므로 b+3=0 ∴ b=-3
점 B(3a+2b, -2b)가 y축 위에 있으므로 3a+2b=0에서
3a-6=0, 3a=6 ∴ a=2 1
따라서 A(-2, 0), B(0, 6), C(-1, 4)이므로
A'(2, 0), B'(0, -6), C'(1, -4) 2
세 점 A', B', C'을 좌표평면 위에 나타내면 다음 그림과 같다.
Y Z
#
$
"
0
%
이때 D(1, 0)이라 하면 (사각형 A'OB'C'의 넓이)
=(사각형 DOB'C'의 넓이)+(삼각형 A'DC'의 넓이)
=;2!;_(4+6)_1+;2!;_1_4
=5+2=7
(삼각형 A'OB'의 넓이)=;2!;_2_6=6 01 1 02 2 03 ④ 04 14분 LEVEL 99쪽
08. 좌표평면과 그래프
61
∴ (삼각형 A'B'C'의 넓이)
=(사각형 A'OB'C'의 넓이)-(삼각형 A'OB'의 넓이)
=7-6=1 3
답 1
02
VROXWLRQ 미리 보기step 1 점 P의 좌표를 이용하여 a, b의 부호 정하기
step 2 삼각형 PQR의 넓이를 이용하여 a, b의 관계를 식으로 나타내기 step 3 2 의 식과 정수 조건을 이용하여 가능한 순서쌍 (a, b)를 모두 구하
기
점 P(a, b)와 원점에 대하여 대칭인 점 Q의 좌표는 (-a, -b) 점 P(a, b)가 제 2사분면 위에 있으므로 a<0, b>0 1
이때 -a+2>0, b>0이므로 점 R(-a+2, b)는 제 1사분면 위 에 있다.
세 점 P, Q, R를 좌표평면 위에 나타내면 다음 그림과 같다.
Y Z
0 1
B B
B
C C
2 3
삼각형 PQR의 넓이가 18이므로
;2!;_(2-2a)_2b=18
b(1-a)=9 2
이때 b>0이므로 b의 값이 될 수 있는 정수는 1, 3, 9이다.
1 b=1일 때,
1-a=9에서 a=-8 2 b=3일 때,
3(1-a)=9에서 1-a=3 ∴ a=-2 3 b=9일 때,
9(1-a)=9에서 1-a=1 ∴ a=0
따라서 a<0, b>0인 두 정수 a, b의 순서쌍 (a, b)는
(-8, 1), (-2, 3)의 2개이다. 3
답 2
03
VROXWLRQ 미리 보기step 1 점 P가 꼭짓점 A에서 꼭짓점 B까지 움직일 때 삼각형 APD의 넓이 의 변화 파악하기
step 2 점 P가 꼭짓점 B에서 꼭짓점 C까지 움직일 때 삼각형 APD의 넓이 의 변화 파악하기
step 3 점 P가 꼭짓점 C에서 꼭짓점 D까지 움직일 때 삼각형 APD의 넓이 의 변화 파악하기
step 4 x와 y 사이의 관계로 알맞은 그래프 찾기
1 점 P가 꼭짓점 A에서 꼭짓점 B까지 움직일 때, (삼각형 APD의 넓이)
=;2!;_(선분 AD의 길이)_(선분 AP의 길이)
에서 선분 AD의 길이는 일정하고 선분 AP의 길이는 시간이 지남에 따라 길어지므로 삼각형 APD의 넓이는 시간이 지남에
따라 일정하게 커진다. 1
2 점 P가 꼭짓점 B에서 꼭짓점 C까지 움직일 때, (삼각형 APD의 넓이)
=;2!;_(선분 AD의 길이)_(선분 AB의 길이)
에서 선분 AD의 길이와 선분 AB의 길이는 각각 일정하므로 삼각형 APD의 넓이는 시간에 관계없이 일정하다. 2
3 점 P가 꼭짓점 C에서 꼭짓점 D까지 움직일 때, (삼각형 APD의 넓이)
=;2!;_(선분 AD의 길이)_(선분 DP의 길이)
에서 선분 AD의 길이는 일정하고 선분 DP의 길이는 시간이 지 남에 따라 짧아지므로 삼각형 APD의 넓이는 시간이 지남에 따
라 일정하게 작아진다. 3
1~3에 의해 그래프로 알맞은 것은 ④이다. 4
답 ④
04
VROXWLRQ 미리 보기step 1 A 수도관만을 이용하여 1분 동안 넣을 수 있는 물의 양 구하기 step 2 A, B 수도관을 같이 이용하여 1분 동안 넣을 수 있는 물의 양 구하기 step 3 B 수도관만으로 물을 가득 채우는 데 걸리는 시간 구하기 step 4 주어진 방법으로 수조에 물을 가득 채우는 데 걸리는 총시간 구하기
A 수도관만을 이용하여 처음 4분 동안 80 m‹의 물을 채웠으므로 A 수도관만을 이용하면 1분 동안 l4º:=20 (m‹)의 물을 채울 수
있다. 1
A 수도관과 B 수도관을 같이 이용하면 5분 동안 240-80=160 (m‹)의 물을 채웠으므로 A, B 수도관을 같이 이용하면 1분 동안 160
5 =32 (m‹)의 물을 채
울 수 있다. 2
즉, B 수도관만을 이용하면 1분 동안 32-20=12 (m‹)의 물을 채울 수 있다.
따라서 B 수도관만을 이용하여 채워야 하는 물의 양은
300-240=60 (m‹)이므로 물을 가득 채우는 데 걸리는 시간은
;1^2);=5(분)이다. 3
그러므로 이와 같은 방법으로 수조에 물을 가득 채우는 데 걸리는 총시간은
4+5+5=14(분) 4
답 14분
01
① y=3_x에서 y=3x
② (시간)=(거리)
(속력)에서 y= 60 x
③ y=500_x+500_1에서 y=500x+500
④ y=;10X0;_200에서 y=2x
⑤ 둘레의 길이가 x cm인 정사각형의 한 변의 길이는 ;4X; cm이므로 y={;4X;}€ ∴ y= x€
16
따라서 y가 x에 정비례하는 것은 ①, ④이다. 답 ①, ④
02
y가 x에 정비례하므로 y=ax (a+0)라 하자.
y=ax에 x=4, y=2를 대입하면 2=a_4에서 a=;2!;
∴ y=;2!;x
y=;2!;x에 x=A, y=-1을 대입하면 -1=;2!;_A
∴ A=-2
x=1, y=B를 대입하면 B=;2!;_1=;2!;
x=2, y=C를 대입하면 C=;2!;_2=1
∴ A+B+C=-2+;2!;+1=-;2!; 답 -;2!;
03
ㄹ. |-;3@;|<|-1|이므로 y=-x의 그래프가 y=-;3@;x의 그래 프보다 y축에 더 가깝다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 답 ㄱ, ㄴ, ㄷ 01 ①, ④ 02 -;2!; 03 ㄱ, ㄴ, ㄷ 04 8 05 ⑤
06 -9 07 ⑴ y= 45
x ⑵ 9 cm‹ 08 ⑤ 09 -27 10 -6 11 12 12 -26 13 y=4x 14 ⑴ ㄷ ⑵ ㅁ ⑶ ㄱ ⑷ ㄴ
15 y= 480
x 16 4 17 15 18 12
102쪽~104쪽 LEVEL
정비례와 반비례 04
y=ax에 x=2, y=-8을 대입하면 -8=2a ∴ a=-4
y=-4x에 x=-3, y=p를 대입하면 p=(-4)_(-3)=12
∴ a+p=-4+12=8 답 8
다른 풀이
y=ax에서 y
x=a이므로 a=-8
2 = p
-3 ∴ a=-4, p=12
∴ a+p=-4+12=8
05
주어진 그래프가 원점과 점 (-2, 3)을 지나는 직선이므로 y=ax (a+0)로 놓고 x=-2, y=3을 대입하면 3=-2a에서 a=-;2#;
∴ y=-;2#;x
① y=-;2#;x에 x=-;3$;, y=2를 대입하면 2=-;2#;_{-;3$;}
② y=-;2#;x에 x=-1, y=;2#;을 대입하면 ;2#;=-;2#;_(-1)
③ y=-;2#;x에 x=;2!;, y=-;4#;을 대입하면 -;4#;=-;2#;_;2!;
④ y=-;2#;x에 x=;3@;, y=-1을 대입하면 -1=-;2#;_;3@;
⑤ y=-;2#;x에 x=4, y=-3을 대입하면 -3+-;2#;_4
따라서 그래프 위의 점이 아닌 것은 ⑤이다. 답 ⑤
06
y가 x에 반비례하므로 y=;xA; (a+0)라 하자.
y=;xA;에 x=3, y=6을 대입하면 6=;3A;에서 a=18
∴ y= 18 x
09. 정비례와 반비례
63
y=18
x 에 x=-2를 대입하면 y= 18
-2=-9 답 -9
07
⑴ y가 x에 반비례하므로 y=;xA; (a+0)라 하자.
y=;xA;에 x=3, y=15를 대입하면 15=;3A;에서 a=45
∴ y= 45 x
⑵ y= 45
x 에 x=5를 대입하면 y=:¢5y:=9
따라서 압력이 5기압일 때 이 기체의 부피는 9 cm‹이다.
답 ⑴ y= 45
x ⑵ 9 cm‹
08
① y=- 14
x에 x=2, y=7을 대입하면 7+-:¡2¢:
②, ③ 제 2사분면과 제 4사분면을 지나는 한 쌍의 매끄러운 곡선이다.
④ x의 값이 한없이 커지면 x축에 가까워지지만 x축과 만나지는 않는다.
따라서 옳은 것은 ⑤이다. 답 ⑤
09
y=-18
x 에 x=-2, y=a를 대입하면 a=- 18
-2=9 y=-18
x 에 x=b, y=6을 대입하면 6=-18
b ∴ b=-3
∴ ab=9_(-3)=-27 답 -27
다른 풀이
y=-18
x 에서 xy=-18이므로 -2a=-18 ∴ a=9 6b=-18 ∴ b=-3
∴ ab=9_(-3)=-27
10
y=;xA;에 x=-2, y=9를 대입하면 9= a
-2에서 a=-18
∴ y=- 18 x y=-18
x 에 x=3, y=k를 대입하면
k=-:¡3l =-6 답 -6
11
y=2x에 x=3, y=b를 대입하면 b=2_3=6
y=;xA;에 x=3, y=6을 대입하면 6=;3A; ∴ a=18
∴ a-b=18-6=12 답 12
12
y=ax에 x=-3, y=6을 대입하면 6=-3a ∴ a=-2
y=;xB;에 x=-3, y=6을 대입하면 6= b
-3 ∴ b=-18
y=-2x에 x=3, y=c를 대입하면 c=-2_3=-6
∴ a+b+c=-2+(-18)+(-6)=-26 답 -26
13
종이 한 장의 무게는 600/150=4 (g)이므로 종이 한 묶음의 무 게는 4_1000=4000 (g), 즉 4 kg이다.
즉, 종이 1묶음의 무게가 4 kg이므로 종이 x묶음의 무게는 4x kg 이다.
따라서 종이 x묶음의 무게 y kg 사이의 관계를 식으로 나타내면
따라서 종이 x묶음의 무게 y kg 사이의 관계를 식으로 나타내면