n 10+5_(n-1)
1
한편, 3일 동안 운동하면 다음 날은 반드시 운동을 쉬므로 운동을 시작한 지 30일째 되는 날까지 7일 동안은 운동을 하지 않는다.
2
즉, 운동을 시작한 지 30일째 되는 날까지 실제 운동 일수는 23일
이다. 3
따라서 구하는 운동 시간은
10+5_(23-1)=120(분) 4
답 120분
01
각 방정식의 x에 $ & 안의 수를 대입하면
① 3_1+1+-1
② 5_(-2)+2+-2-2
③ -5-1
2 =2+(-5)
④ 2_(-7-2)+3_(-7)+4
⑤ ;3!;_{6_(-1)-1}-;3%;+-1-1
따라서 $ & 안의 수가 주어진 방정식의 해인 것은 ③이다. 답 ③
02
x의 값에 관계없이 항상 참인 등식은 항등식이다.
ㄱ. (좌변)=3x+5x=8x에서
(좌변)+(우변)이므로 항등식이 아니다.
ㄴ. (우변)=3x+5-2x=x+5에서 (좌변)=(우변)이므로 항등식이다.
ㄷ. (우변)=5-(x+2)=-x+3에서 (좌변)+(우변)이므로 항등식이 아니다.
ㄹ. (좌변)=4(-2x+4)=-8x+16, (우변)=-2(4x-8)=-8x+16에서 (좌변)=(우변)이므로 항등식이다.
따라서 항등식은 ㄴ, ㄹ이다. 답 ④
03
3x+5=;2!;(ax-4)+b에서 3x+5=;2!;ax-2+b
이 식이 x에 대한 항등식이므로 3=;2!;a, 5=-2+b ∴ a=6, b=7
∴ a-b=6-7=-1 답 -1
04
① a+5=b+5의 양변에서 5를 빼면 a=b
01 ③ 02 ④ 03 -1 04 ② 05 7 06 ②, ④ 07 ④ 08 ③ 09 -2 10 ④ 11 ;5&; 12 5 13 3 14 ④
15 ㈎：5, ㈏：30, ㈐：7, ㈑：-:™7º: 16 x=;2#; 17 6 18 4
68쪽~70쪽 LEVEL
일차방정식의 풀이
② a=b의 양변에 -1을 곱하면 -a=-b
이 식의 앙변에 3을 더하면 3-a=3-b
③ a=b의 양변을 3으로 나누면 ;3A;=;3B;
이 식의 양변에서 2를 빼면 ;3A;-2=;3B;-2
④ ;2A;=;2B;의 양변에 6을 곱하면 3a=3b
이 식의 양변에 1을 더하면 3a+1=3b+1
⑤ -4a+12=-8b+12의 양변에서 12를 빼면 -4a=-8b
이 식의 양변을 -4로 나누면 a=2b
따라서 옳지 않은 것은 ②이다. 답 ②
참고 ② a=1, b=1이면 a=b이지만 3-a+b-3이다.
05
2x+4=5의 양변에서 4를 빼면 2x+4-4=5-4
2x=1
이 식의 양변을 2로 나누면 2x
2 =;2!;
∴ x=;2!;
따라서 k=;2!;, m=4, n=2이므로
m+n+2k=4+2+2_;2!;=7 답 7
06
① 분모에 미지수가 있으므로 일차방정식이 아니다.
② 7x-6=1+4x에서 3x-7=0이므로 일차방정식이다.
③ x€+3=2x€+3에서 -x€=0이므로 일차방정식이 아니다.
④ -;2!;(4x€+2x)=-2x€+5+x에서
-2x€-x=-2x€+5+x, -2x-5=0이므로 일차방정식이다.
⑤ ;4!;(8x+4)=;3!;(6x-7)에서
2x+1=2x-;3&;, :¡3º:=0이므로 일차방정식이 아니다.
따라서 일차방정식인 것은 ②, ④이다. 답 ②, ④
참고 ⑤는 거짓인 등식이다.
07
6x+5=2(ax+5)-;3!;에서 6x+5=2ax+10-;3!;
(6-2a)x-:¡3¢:=0
이 식이 x에 대한 일차방정식이므로 6-2a+0 ∴ a+3
따라서 상수 a의 값이 될 수 없는 것은 3이다. 답 ④ ⴏㅃ』᳠㻓㻯㱐ᘀ
방정식 ax€+bx+c=0이 x에 대한 일차방정식이 되는 조건 a=0, b+0
08
① 2x-1=5에서 2x=6 ∴ x=3
② -x+4=7-2x에서 x=3
③ 3(x+1)=5x+7에서 3x+3=5x+7, -2x=4 ∴ x=-2
④ 1-(-3x+4)=6에서 1+3x-4=6, 3x=9 ∴ x=3
⑤ 2(x-4)=3(x-1)-8에서 2x-8=3x-3-8, -x=-3 ∴ x=3
따라서 해가 나머지 넷과 다른 하나는 ③이다. 답 ③
09
3x-8=2(x+5)에서 3x-8=2x+10
∴ x=18
x=18을 x-k+k(x-10)=4에 대입하면 18-k+8k=4, 7k=-14
∴ k=-2 답 -2
10
;2!;x-0.25x=3x-7 5 에서
;2!;x-;4!;x=3x-7 5 양변에 20을 곱하면
10x-5x=4(3x-7), 10x-5x=12x-28 -7x=-28 ∴ x=4
① x-4=8에서 x=12
② 3x=-12에서 x=-4
06. 일차방정식의 풀이
41
③ ;3X;+1=;3*;의 양변에 3을 곱하면 x+3=8 ∴ x=5
④ x+;3%;=:¡3¶:의 양변에 3을 곱하면 3x+5=17, 3x=12 ∴ x=4
⑤ 2(x-1)=x+4에서 2x-2=x+4 ∴ x=6
따라서 주어진 일차방정식과 해가 같은 것은 ④이다. 답 ④
11
;2!;{4-(6x-2)+8x}=3x-9에서
;2!;(4-6x+2+8x)=3x-9
;2!;(2x+6)=3x-9, x+3=3x-9 -2x=-12 ∴ x=6
따라서 k=6이므로 k€+6
k€-6=6€+6
6€-6=36+6
36-6=;3$0@;=;5&; 답 ;5&;
12
7(x-a)=bx+14에서 7x-7a=bx+14
이 방정식의 해가 무수히 많으므로 7=b, -7a=14 ∴ a=-2, b=7
∴ a+b=-2+7=5 답 5
13
2+4kx=3(3k-5)x에서 2+4kx=(9k-15)x (-5k+15)x=-2 이 방정식의 해가 없으므로 -5k+15=0, -5k=-15
∴ k=3 답 3
14
각 문장을 등식으로 나타내면 다음과 같다.
① x+y+85 3 =88
② 2x+5=x-7
③ 6x+2=32
④ ;2!;_a_4b=20에서 2ab=20
⑤ 1000_a+300_2=5600에서 1000a+600=5600
따라서 옳은 것은 ④이다. 답 ④
15
2x+30=10-5x의 양변에 5x를 더하면 2x+30+5x=10-5x+5x
7x+30=10
이 식의 양변에서 30을 빼면 7x+30-30=10-30 7x=-20
이 식의 양변을 7로 나누면 7x
7 =-20 7
∴ x=-:™7º:
따라서 ㈎：5, ㈏：30, ㈐：7, ㈑：-:™7º:이다.
답 ㈎：5, ㈏：30, ㈐：7, ㈑：-:™7º:
16
x=-2를 ;3X;+;6A;=a-x
2 -;6%;에 대입하면 -;3@;+;6A;=a+2
2 -;6%;
이 식의 양변에 6을 곱하면
-4+a=3(a+2)-5, -4+a=3a+6-5 -2a=5 ∴ a=-;2%;
a=-;2%;를 2{ax+;2!;}=3(x-2)+2a에 대입하면 2{-;2%;x+;2!;}=3(x-2)+2_{-;2%;}
-5x+1=3x-6-5
-8x=-12 ∴ x=;2#; 답 x=;2#;
17
0.3x+a=0.8x+5의 양변에 10을 곱하면 3x+10a=8x+50, -5x=50-10a
∴ x=-10+2a
이때 x는 자연수이므로 -10+2a=1, 2, 3, …
따라서 a=:¡2¡:, 6, :¡2£:, …이므로 가장 작은 자연수 a의 값은 6이다.
답 6 ⴏㅃ』᳠㻓㻯㱐ᘀ
-10+2a의 값이 자연수이므로 -10+2a>1, 2a>11
∴ a>:¡2¡:
이때 구하는 것은 가장 작은 자연수 a의 값이므로 6이다.
18
;3!;(ax-1)：5=(2x-a)：6에 x=9를 대입하면
;3!;(9a-1)：5=(18-a)：6
비례식에서 외항의 곱과 내항의 곱은 같으므로 2(9a-1)=5(18-a)
18a-2=90-5a 23a=92
∴ a=4 답 4
ⴏㅃ』᳠㻓㻯㱐ᘀ
주어진 비례식에 x의 값을 대입한 후 비례식의 성질을 이용하여 a의 값을 구 한다.
a : b=c : d ad=bc
01
[ 전략 ] a의 값에 따라 주어진 등식이 방정식 또는 항등식이 됨을 이해한다.
ㄱ. a의 값에 따라 해가 달라진다.
ㄴ. a=0일 때, 3x-6=0이므로 3x=6 ∴ x=2
즉, 해는 x=2이다.
ㄷ. a=3일 때, 3x-6=3(x-2) 즉, (좌변)=(우변)이므로 항등식이다.
ㄹ. 3x-6=a(x-2)에서
3x-6=ax-2a, (3-a)x-6+2a=0 즉, a+3일 때, x에 대한 일차방정식이다.
ㅁ. a의 값에 따라 항등식이 되기도 하고, 방정식이 되기도 한다.
따라서 옳은 것은 ㄷ, ㄹ이다. 답 ㄷ, ㄹ
01 ㄷ, ㄹ 02 ③ 03 ;5!; 04 4 05 A=-5x+1 06 ㄱ, ㄷ, ㅁ 07 6 08 09 -10 10 -1 11 y=-;3$; 12 -2 13 ① 14 2 15 3 16 7 17 1
18 -;5^; 19 2 20 10 21 25 22 x=-6 23 k+;3@;
24 3
71쪽~76쪽 LEVEL
02
[ 전략 ] 모든 x에 대하여 항상 참이 되는 등식은 x에 대한 항등식이다.
(2a-1)x+5=ax-b(3x+1)에서 (2a-1)x+5=ax-3bx-b (2a-1)x+5=(a-3b)x-b 이 식이 x에 대한 항등식이므로 2a-1=a-3b, 5=-b
∴ a=16, b=-5 답 ③
03
[ 전략 ] 항등식의 정의에 따라 a, b의 값을 각각 구한 후, y에 대한 방정식의 해가 y=2a+b임을 이용하여 c의 값을 구한다.
x-2
5 -1=ax+b에서 ;5!;x-;5&;=ax+b가 x에 대한 항등식이 므로
a=;5!;, b=-;5&;
∴ y=2a+b=2_;5!;-;5&;=-1
a=;5!;, b=-;5&;을 2ay-2b=cy+1에 대입하면
;5@;y+:¡5¢:=cy+1
이 방정식의 해가 y=-1이므로 -;5@;+:¡5¢:=-c+1, :¡5™:=-c+1
∴ c=1-:¡5™:=-;5&;
∴ a-b+c=;5!;-{-;5&;}-;5&;=;5!; 답 ;5!;
04
[ 전략 ] x=2를 주어진 방정식에 대입한 식이 k에 대한 항등식임을 이용한다.
x=2를 2m-3kx=nk+4x+2에 대입하면 2m-6k=nk+8+2
-6k+2m=nk+10 이 식이 k에 대한 항등식이므로 -6=n, 2m=10
∴ m=5, n=-6
∴ 2m+n=2_5-6=4 답 4
05
[ 전략 ] A=ax+b라 하고, 주어진 등식이 x에 대한 항등식임을 이용한다.
;2!;(x-3)-;2!;A-6x-9
3 =x+1에서
;2!;(x-3)-;2!;A-(2x-3)=x+1
06. 일차방정식의 풀이
43
이 식의 양변에 2를 곱하면 x-3-A-2(2x-3)=2(x+1) x-3-A-4x+6=2x+2 -3x+3-A=2x+2
A=ax+b (a, b는 상수)라 하면 -3x+3-(ax+b)=2x+2 (-3-a)x+3-b=2x+2 이 식이 x에 대한 항등식이므로 -3-a=2, 3-b=2
∴ a=-5, b=1
∴ A=-5x+1 답 A=-5x+1
06
[ 전략 ] 등식의 성질을 이용하여 3a=4b를 보기의 식으로 변형해 본다.
ㄱ. 3a=4b의 양변에 3a를 더하면 6a=4b+3a
ㄴ. 3a=4b의 양변을 12로 나누면 ;4A;=;3B;
이 식의 양변에서 4를 빼면 ;4A;-4=;3B;-4
ㄷ. 3a=4b의 양변을 3으로 나누면 a=;3$;b
이 식의 양변에 7을 더하면 a+7=;3$;b+7
ㄹ. 3a=4b의 양변에 1을 더하면 3a+1=4b+1
이 식의 양변을 2로 나누면 3a+1
2 =4b+1 2
ㅁ. 3a=4b의 양변에서 4b를 빼면 3a-4b=0
이 식의 양변을 5로 나누면 3a-4b
5 =0
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㅁ이다. 답 ㄱ, ㄷ, ㅁ
07
[ 전략 ] 등식의 성질을 이용하여 주어진 식의 좌변이 a-2가 되도록 변형한다.
3a+6=3(b-2)의 양변을 3으로 나누면 a+2=b-2
이 식의 양변에서 4를 빼면 a-2=b-6
따라서 안에 알맞은 수는 6이다. 답 6
08
[ 전략 ] 저울이 평형을 이루면 양쪽의 무게가 같음을 이용하여 등식을 세운다.
, , 의 무게를 각각 a, b, c라 하고, ?에 올려놓은 것의 무게 를 x라 하면
a+b=c …… ㉠
2a=b+c …… ㉡
5b=x+a
㉠의 양변에 b를 더하면
a+2b=c+b …… ㉢
㉡, ㉢에서 2a=a+2b
이 식의 양변에서 a를 빼면 a=2b …… ㉣
㉣을 ㉠에 대입하면 3b=c
이때 5b=3b+2b=c+a이므로 x=c
따라서 ?에 올려놓은 것은 한 개이다. 답
주의 저울의 양쪽에 같은 모양의 물건을 올려놓을 수 없으므로 ? 에 , 은 올려놓을 수 없음에 주의한다.
ⴏㅃ⎷ㇻ㱐ᘀ 등식으로 표현하기
각 물건의 무게를 문자 a, b, c로 생각하여 저울의 평형을 등식으로 나타낸 후, 등식의 성질을 이용하여 ? 에 올려놓은 것을 찾는다.
09
[ 전략 ] 등식의 성질을 이용하여 주어진 방정식을 x=(수)의 꼴로 고친다.
-x+3=-;6X;+;2!;의 양변에 6을 곱하면 -6x+18=-x+3
이 식의 양변에 x를 더하면 -5x+18=3
이 식의 양변에서 18을 빼면 -5x=-15
이 식의 양변을 -5로 나누면 x=3
따라서 a=6, b=1, c=18, d=-5이므로
2a+b-c+d=2_6+1-18-5=-10 답 -10
10
[ 전략 ] 두 번째 줄의 빈칸에 들어갈 알맞은 식을 먼저 구한다.
다음 그림과 같이 두 번째 줄의 빈칸의 식을 B라 하면
"
Y #
Y Y
B =(3x-4)+(-x+7)
=2x+3
∴ A ={4(x-1)+2}+B
=(4x-4+2)+(2x+3)
=6x+1
따라서 6x+1=-5이므로
6x=-6 ∴ x=-1 답 -1
11
[ 전략 ] 주어진 식이 x에 대한 일차방정식임을 이용하여 a의 값을, 해가 x=-1임 을 이용하여 b의 값을 구한다.
(4a-3)x€+(5b-2)x+3=0이 x에 대한 일차방정식이 되려면 4a-3=0, 5b-2+0이어야 한다.
∴ a=;4#;, b+;5@;
즉, (5b-2)x+3=0의 해가 x=-1이므로 x=-1을 (5b-2)x+3=0에 대입하면 -(5b-2)+3=0, -5b+2+3=0 -5b=-5 ∴ b=1
y의 계수가 ;4#;이고, 상수항이 1인 y에 대한 일차방정식은
;4#;y+1=0이므로
;4#;y=-1 ∴ y=-;3$; 답 y=-;3$;
12
[ 전략 ] a와 b의 관계식을 구한다.
x=a를 5x-2b=a-3x에 대입하면 5a-2b=a-3a
∴ 7a=2b
∴ 5a-6b
a+2b =5a-3_2b
a+2b =5a-3_7a
a+7a =-16a 8a =-2
답 -2
13
[ 전략 ] 두 일차방정식의 해를 각각 구한 후, 두 해가 같지 않음을 이용한다.
4(x-1)-5=9+2x에서 4x-4-5=9+2x, 2x=18
∴ x=9
이때 4x+1=3x-5a에서 x=-5a-1
두 일차방정식의 해가 같지 않으므로 -5a-1+9 ∴ a+-2
따라서 a의 값이 될 수 없는 것은 -2이다. 답 ①
14
[ 전략 ] ;5!;x+3=0.4(3-x)의 해부터 구한다.
;5!;x+3=0.4(3-x)에서
;5!;x+3=;5@;(3-x) 양변에 5를 곱하면
x+15=2(3-x), x+15=6-2x 3x=-9 ∴ x=-3
즉, x-9k
3 =kx+4의 해는 x=-3_2=-6이다.
x=-6을 x-9k
3 =kx+4에 대입하면 -6-9k
3 =-6k+4, -2-3k=-6k+4
3k=6 ∴ k=2 답 2
15
[ 전략 ] 2x-5
3 =1의 해부터 구한다.
2x-5
3 =1의 양변에 3을 곱하면 2x-5=3, 2x=8
∴ x=4
4와 절댓값이 같고 부호는 서로 반대인 수는 -4이므로 5k+x=3k+2의 해는 x=-4이다.
x=-4를 5k+x=3k+2에 대입하면 5k-4=3k+2, 2k=6
∴ k=3 답 3
절댓값이 a (a>0)인 수
수직선 위에서 원점으로부터의 거리가 a인 수 -a, a
ⴏㅃ⛠㼀ᘇᬻ㱐ᘀ
16
[ 전략 ] 주어진 일차방정식을 풀어 a에 대한 식이 음의 정수가 되도록 식을 세운다.
2x-;4!;(5x+3a)=-6의 양변에 4를 곱하면 8x-(5x+3a)=-24
8x-5x-3a=-24 3x=3a-24
∴ x=a-8
이때 a-8이 음의 정수이므로 a-8=-1, -2, -3, …
∴ a=7, 6, 5, …
따라서 가장 큰 정수 a의 값은 7이다. 답 7
06. 일차방정식의 풀이
45
17
x=-1을 ;5!;x-0.3(2a-x)=;2#;+;5&;x에 대입하면 -;5!;-0.3(2a+1)=;2#;-;5&;, -;5!;-0.3(2a+1)=;1¡0;
2k+4=;2#;, 2(5k-4)=3(2k+4) 10k-8=6k+12, 4k=20
따라서 주어진 방정식은
즉, 2a+5=a, 2b-7=3b
∴ a=-5, b=-7
2mx-8n=(6n+6)x-8 1
이 식이 x에 대한 항등식이므로 a=;2#;b, c=2b, d=4b이므로 2a+5b+2c+d=160에서 2_;2#;b+5b+2_2b+4b=160 16b=160 ∴ b=10
∴ a=;2#;_10=15, c=2_10=20, d=4_10=40
따라서 , , , 의 무게는 각각 15 g, 10 g, 20 g, 40 g이다.
3 답 ：15 g, ：10 g, ：20 g, ：40 g
06. 일차방정식의 풀이
47
03
VROXWLRQ 미리 보기step 1 선분 PA의 길이와 선분 AQ의 길이를 구하여 비례식 세우기 step 2 방정식을 풀어 x의 값 구하기
step 3 선분 PB의 길이와 선분 BQ의 길이를 구하여 비례식 세우기 step 4 k의 값을 구하여 선분 AB의 길이 구하기
(선분 PA의 길이)=4-x
(선분 AQ의 길이)=(3x+4)-4=3x
선분 PA의 길이와 선분 AQ의 길이의 비가 1：3이므로
(4-x)：3x=1：3 1
3(4-x)=3x, 12-3x=3x
-6x=-12 ∴ x=2 2
(선분 PB의 길이)=k-x=k-2
(선분 BQ의 길이)=(3x+4)-k=3_2+4-k=10-k 선분 PB의 길이와 선분 BQ의 길이의 비가 4：1이므로
(k-2)：(10-k)=4：1 3
k-2=4(10-k), k-2=40-4k 5k=42 ∴ k=:¢5™:
∴ (선분 AB의 길이)=k-4=:¢5™:-4=:™5™: 4 답 :™5™:
04
VROXWLRQ 미리 보기step 1 주어진 x에 대한 일차방정식 정리하기
step 2 a를 -;2!;로 잘못 보고 구한 해가 x=;2%;임을 이용하여 b의 값 구하기 step 3 b를 ;3@;로 잘못 보고 구한 해가 x=:£7º:임을 이용하여 a의 값 구하기 step 4 바르게 풀었을 때의 해 구하기
2a(x-4)
3 -3-bx
5 =;1¡5;의 양변에 15를 곱하면 10a(x-4)-3(3-bx)=1, 10ax-40a-9+3bx=1
(10a+3b)x=40a+10 …… ㉠ 1
재원이가 a를 -;2!;로 잘못 보고 구한 해가 x=;2%;이므로 a=-;2!;, x=;2%;를 ㉠에 대입하면 (-5+3b)_;2%;=-20+10 5(-5+3b)=-20, -25+15b=-20
15b=5 ∴ b=;3!; 2
아영이가 b를 ;3@;로 잘못 보고 구한 해가 x=:£7º:이므로 b=;3@;, x=:£7º:을 ㉠에 대입하면 (10a+2)_:£7º:=40a+10 30(10a+2)=280a+70, 300a+60=280a+70
20a=10 ∴ a=;2!; 3
따라서 ㉠에 a=;2!;, b=;3!;을 대입하면 (5+1)x=20+10, 6x=30
∴ x=5 4
답 x=5
01
연속하는 세 홀수를 x-2, x, x+2라 하면 (x-2)+x+(x+2)=99
3x=99 ∴ x=33
따라서 세 홀수 중 가장 작은 수는
33-2=31 답 ②
02
올해 다진이의 나이를 x세라 하면 어머니의 나이는 3x세이므로 3x+14=2(x+14)
3x+14=2x+28
∴ x=14
따라서 올해 다진이의 나이는 14세이다. 답 14세 ⴏㅃ㱐ᘀ
현재 나이가 x세인 사람의 n년 후의 나이 (x+n)세 현재 나이가 x세인 사람의 n년 전의 나이 (x-n)세
03
직사각형의 세로의 길이를 x cm라 하면 직사각형의 가로의 길이 는 (2x+3) cm이므로
(2x+3)-5=x+6, 2x-2=x+6
∴ x=8
따라서 처음 직사각형의 세로의 길이는 8 cm, 가로의 길이는 2_8+3=19 (cm)이므로 둘레의 길이는
2(8+19)=54 (cm) 답 ②
04
직사각형 모양의 종이의 네 모퉁이를 잘라낸 후 접으면 오른쪽 그림과 같이 밑면의 가로의 길이와 세로의 길이가 각각 (x-4) cm, 16 cm이고, 높이는
2 cm인 뚜껑이 없는 직육면체 모양의 상자가 된다.
이때 상자의 부피가 480 cm‹이므로 (x-4)_16_2=480
x-4=15 ∴ x=19 답 ⑤
ADN
ADN YADN
01 ② 02 14세 03 ② 04 ⑤ 05 2 km 06 분속 100 m 07 4000원 08 ① 09 ④ 10 204쪽 11 5일 12 ③ 13 10 % 14 ③ 15 ④ 16 5 17 진하의 매달 예금액：2700원, 민우의 매달 예금액：3450원 18 288
79쪽~81쪽 LEVEL