01. 제곱근과 실수
4쪽
제곱근의 뜻과 표현 실전연습 문제
01
THEME
1
회6~7쪽 제곱근의 성질과 대소 관계 실전연습 문제
02
THEME
1
회5쪽
제곱근의 뜻과 표현 실전연습 문제
01
THEME
2
회"(√a-2)¤ -"(√b-a)¤ -"(√-b)¤
=-(a-2)-(b-a)-b
=-a+2-b+a-b
=2-2b ⑤
06 '3åa가 자연수가 되려면 소인수의 지수가 모두 짝수이어야 하 므로 a=3k¤ (k는 자연수) 꼴이 되어야 한다.
3k¤ …100에서 k¤ … =33.y 즉, k¤ =1, 4, 9, 16, 25
a=3k¤ 이므로 a=3, 12, 27, 48, 75
따라서 구하는 자연수 a는 모두 5개이다. ④ 07 10…x…100이므로 85…75+x…175
85보다 크고 175보다 작은 제곱인 수는 100, 121, 144, 169 이므로
75+x=100, 121, 144, 169
∴ x=25, 46, 69, 94
따라서 구하는 자연수 x는 모두 4개이다. ② 08 20-x가 20보다 작은 제곱인 수 또는 0이어야 하므로
20-x=0, 1, 4, 9, 16
∴ x=20, 19, 16, 11, 4 따라서 M=20, m=4이므로
M-m=20-4=16 ⑤
09 ③;3!;=Æ;9!;이므로 Æ;9!;<Æ;3!;
∴;3!;<Æ;3!; ③
10 1<'x<11에서 1¤ <x<11¤ , 1<x<121
따라서 구하는 자연수 x는 2, 3, 4, y, 120의 119개이다.
② 11 ab>0에서 a, b의 부호가 같고,
a+b<0이므로 a<0, b<0
∴"≈a¤ -|b|-"(√a-|√b|)¤ =-a-(-b)-"(√a+b)¤
=-a+b+a+b=2b ③ 12 'ƒ32-4n='ƒ4(8-n)
즉, 8-n이 8보다 작은 제곱인 수 또는 0이어야 하므로 8-n=0, 1, 4
∴ n=8, 7, 4
따라서 구하는 자연수 n은 모두 3개이다. 3개 13 '6<'5ƒ0-2åx…"(√-8)¤ 에서 6<50-2x…64
-44<-2x…14
∴ -7…x<22
따라서 구하는 정수 x는 -7, -6, y, 21의 29개이다.
29개 14 ⑴ 2<'5<3이므로 '5 이하의 자연수는 1, 2이다.
∴ f(5)=1+2=3
⑵'1=1, '4=2, '9=3이므로 f(1)=f(2)=f(3)=1
f(4)=f(5)=f(6)=f(7)=f(8)=1+2=3 1003
f(9)=f(10)=1+2+3=6
∴ f(1)-f(2)+f(3)-f(4)+f(5)-f(6)+f(7) -f(8)+f(9)-f(10)
=1-1+1-3+3-3+3-3+6-6
=-2 ⑴3 ⑵ -2
01 ①, ③, ④, ⑤ 2
② -2
따라서 그 값이 나머지 넷과 다른 하나는 ②이다. ② 02 "≈2¤ +(-'5)¤ +"(√-4)¤ +'9=2+5+4+3=14 ⑤ 03 ③ a<0이므로 "≈a¤ =-a ③ 04 "(√-2a≈)¤ +"√(3a)¤ =2a+3a=5a ⑤ 05 2<x<3에서 2-x<0, x-3<0, 4-x>0이므로
"(√2-x)¤ -"(√x-3)¤ +"(√4-x)¤
=-(2-x)+(x-3)+(4-x)
=-2+x+x-3+4-x
=x-1 ④
06 18x=2_3¤ _x에서 소인수의 지수가 모두 짝수이려면 x=2_(자연수)¤
따라서 가장 작은 두 자리의 자연수 x는
x=2_3¤ =18 18
07 æ≠ =æ≠ 에서 소인수의 지수가 모두 짝수가 되도 록 하는 자연수 x는 5, 5_2¤ , 5_2› , 5_2fl 의 4개이다.
∴ a=4
이때 가장 작은 자연수는5이므로 b=5
∴ a+b=4+5=9 ②
08 100-x가 100보다 작은 제곱인 수가 되어야 하므로 100-x=1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81
∴ x=99, 96, 91, 84, 75, 64, 51, 36, 19 즉, M=99, m=19이므로
M-m=99-19=80) ④
09 2<'5<3에서 2-'5<0, 3-'5>0이므로
"√(2-'5)¤ +"√(3-'5)¤ =-(2-'5)+(3-'5)
"√(2-'5)¤ +"√(3-'5)¤=-2+'5+3-'5=1 ③ 10 4<'x<6이므로 16<x<36
따라서 구하는 자연수 x는 17, 18, y, 35의 19개이다. ③ 11 Æ…;2¢5;_'6∂25+"(√-2)¤ +"5Ω¤ ÷[-Æ{…-;7%;}2 ]
=;5@;_25+2+5÷{-;7%;}
=10+2-7=5 ②
2fl _5 x 320
x
8~9쪽 제곱근의 성질과 대소 관계 실전연습 문제
02
THEME
2
회01. 제곱근과 실수
61
12 ac>0, bc<0에서 a와 c는 같은 부호이고 b와 c는 다른 부 호이므로 a와 b는 다른 부호이다.
∴ ab<0
즉, -ab>0, 1-ab>0, ab-1<0, ab-2<0이므로
"(√-ab)¤ +"(√1-açb)¤ -"(√ab-ç1)¤ -"(√ab-ç2)¤
=-ab+(1-ab)+(ab-1)+(ab-2)
=-2 ①
13 1000a=2‹ _5‹ _a에서 소인수의 지수가 모두 짝수이려면 a=2_5_(자연수)¤
따라서 가장 작은 자연수 a는 a=2_5=10
54보다 작은 제곱인 수 중 가장 큰 것은 49이므로 54-b=49 ∴ b=5
∴ a+b=10+5=15 ⑤
14 0<a<'x<a+3에서 a¤ <x<(a+3)¤
이때 조건을 만족하는 자연수가74개이므로 (a+3)¤ -a¤ -1=74
a¤ +6a+9-a¤ -1=74, 6a=66
∴ a=11 ①
자연수 a, b에 대하여 a<k<b일 때 자연수 k의 개수는˙kb-a-1(개)
01 ㄱ. '0∂.16=0.4 ˙k 유리수 ㄴ. '9-3=3-3=0 ˙k 유리수 ㄷ. Æ;¬2£5; ˙k 무리수
ㄹ. -'8å1=-9 ˙k 유리수 ㅁ. "0≈.H5=Æ;9%; ˙k 무리수
따라서 무리수인 것은 ㄷ, ㅁ이다. ⑤
02 A는 무리수이고, B는 순환소수이므로 유리수이다. 유리수 는 실수이므로 B는 실수라 할 수도 있다. ⑤ 03 ④ 순환소수의 제곱근 중 유리수인 것이 존재한다.
④0.H1의 제곱근 ˙k —"0≈.H1=—Æ;9!;=—;3!; ④ 04 AC”=AP”=AQ”='2
따라서 점P에 대응하는 수는 -3-'2, 점 Q에 대응하는 수
는-3+'2 P：-3-'2, Q：-3+'2
05 색칠한 정사각형의 넓이가5이므로 한 변의 길이는 '5이다.
따라서 점A에 대응하는 수는 '5이다. ③
06 ⑤'2와 -'2의 합은 0이므로 무리수가 아니다. ⑤ 07 ①'1å6=4이므로 4의 제곱근은 —2이다.
②0의 제곱근은 0이다.
10~11쪽
무리수와 실수 실전연습 문제
03
THEME
1
회③'9=3이다.
⑤ 순환하지 않는 무한소수가 무리수이다.
따라서 옳은 것은 ④이다. ④
08 ①'5-1-2='5-'9<0
∴'5-1<2
②1+'2-2='2-1='2-'1>0
∴1+'2>2
③'2<'3이므로 -'2>-'3
∴3-'2>3-'3
④"(√-3)¤ =3이므로 3-('5+2)=1-'5<0
∴"(√-3)¤ <'5+2
⑤3>'8이므로 3-'5>'8-'5
따라서 대소 관계가 옳은 것은 ①이다. ①
09 a-b=3+'2-4='2-1
='2-'1>0
∴ a>b yy`㉠
b-c=4-('3å5-2)=6-'3å5
='3å6-'3å5>0
∴ b>c yy`㉡
㉠, ㉡에서 c<b<a ⑤
10 한 변의 길이가1인 정사각형의 대각선의 길이는 '2이므로 AB”=AQ”='2
점Q에 대응하는 수가 1이므로 점 A에 대응하는 수는
1-'2 1-'2
11 ①3<p<4
②1<'3<2이므로 0<-1+'3<1
④ 1<'2<2에서 -2<-'2<-1이므로 -1<1-'2<0
⑤ -2<-'3<-1에서 0<2-'3<1이므로 0< <;2!;
따라서 수직선 위에 나타내었을 때 가장 왼쪽에 위치하는 수
는 ④이다. ④
12 4<'1å9<5이므로 -5<-'1å9<-4
∴-4<1-'1å9<-3
4<'1å9<5이므로 5<1+'1å9<6
따라서1-'1å9와 1+'1å9 사이에 있는 정수는
-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5의 9개이다. ⑤
-1 0 1 2 3
①
②
③
⑤
④ 2-'32
01 -'ƒ0.04=-0.2, '1å6=4이므로 유리수이다.
따라서 무리수는'3, '6+2, '1å8, p의 4개이다. 4개 12~13쪽
무리수와 실수 실전연습 문제
03
THEME
2
회02 ① 정수가 아닌 수;2!;, -;3!; 등은 유리수이다.
② 순환소수는 유리수이다.
③;bA; 꼴로 나타낼 수 있는 수는 유리수이다.
⑤'9=3과 같이 근호를 사용하여 나타낸 수 중에서 유리수 가 되는 것도 있다.
따라서 옳은 것은 ④이다. ④
03 ABCD와 EFGH는 넓이가 1인 정사각형이므로 CA”=CP”=FH”=FQ”='2
따라서 점P에 대응하는 수는 -'2이고, 점 Q에 대응하는
수는 1+'2이다. ③
04 ⑤ 정사각형ABCD의 넓이는 5이다. ⑤
05 ④ 수직선은 유리수에 대응하는 점으로 완전히 메울 수 없다.
④ 06 ①"(√-2)¤ =2이므로
2-('1å5-2)=4-'1ß5='1å6 -'1å5>0
∴4-"(√-2)¤ >'1å5-2
②Æ;2!;>Æ;3!;이므로 -Æ;2!;<-Æ;3!;
∴-Æ;2!;+1<-Æ;3!;+1
③2-('1å0-1)=3-'1å0='9-'1å0<0
∴2<'1å0-1
④'3>'2이므로 '3+'5>'2+'5
⑤3-(5-'1å2)=-2+'1å2=-'4+'1å2>0
∴3>5-'1å2
따라서 대소 관계가 옳은 것은 ②이다. ②
07 a-b='5+'3-('5+1)='3-1
='3-'1>0
∴ a>b yy`㉠
a-c='5+'3-(3+'3 )='5-3
='5-'9<0
∴ a<c yy`㉡
㉠, ㉡에서 b<a<c ②
b-c='5-'3-2가 되어 b-c의 부호를 알기 어렵다. 이런 경우는 공통된 부분이 있는 것끼리 두 개씩 짝을 지어 비교하는 것이 좋다.
08 1<'2<2에서 -2<-'2<-1이므로 0<2-'2<1
따라서2-'2는 0과 1 사이의 점 Q에 대응된다. ② 09 ③'6-2는 약 0.449이므로 '3과 '6 사이에 있지 않다.
③
⑤2와 '5는 모두 '3과 '6 사이에 있기 때문에 그 평균인 도
⑤'3과 '6 사이에 있다.
10 오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가'2인 ABCD의 넓이가 2이므로
ACEF의 넓이는 4이다.
즉, 넓이가4인 정사각형의 한 변의 길이
는2이므로 AC”=AP”=2 2
A B
P
F C
E
D
2+'5 2
따라서 점P에 대응하는 수는 4이다. 4
11 OA”=r라 하면 pr¤ =5p, r¤ =5
즉, 원O의 반지름의 길이는 '5이다.
따라서 점O에 대응하는 수는 6-'5 6-'5 12 a+b=3+'5+1=4+'5>0
a-b=3-('5+1)=2-'5='4-'5<0
∴"(√a+b≈)¤ -"(√a-b≈)¤ =a+b+a-b
=2a=2_3=6 6
중단원실전 평가
THEME모아
14~17쪽
01 ①'1ß2å1=11이므로 11의 제곱근은 —'1å1이다.
② 제곱근 36 ˙k '3å6=6
③ 음수의 제곱근은 없다.
④ 0의 제곱근은 0이다.
⑤-"(√-3)¤ =-'9=-3
따라서 옳은 것은 ①, ⑤이다. ①, ⑤
02 (-25)¤ 의 제곱근 ˙k —"(√-2ç5)¤ =—25 ④ 03 '8å1=9이므로 9의 음의 제곱근은 -3이다.
∴ a=-3
제곱근16은 '1å6이므로 b='1å6=4
"(√-13≈)¤ =13이므로 (-13)¤ 의 양의 제곱근은 13이다.
∴ c=13
∴ a+b+c=-3+4+13=14 ③
04 ⑤"(√-1)¤ =1이고 1의 제곱근은 —1이다.1 ⑤ 05 '1∂96-"(√-4)¤ +Æ…;;;!9);º;;÷æ{≠-;9%;}2
="1≈4Ω¤ -"(√-4)¤ +æ{≠;;¡3º;;}2 ÷æ{≠-;9%;}2
=14-4+;;¡3º;;÷;9%;
=10+;;¡3º;;_;5(;
=10+6=16 ④
06 ①, ②, ③, ⑤2
④'2
따라서 그 값이 나머지 넷과 다른 하나는 ④이다. ④ 07 a>0이고, ab<0이므로 a>0, b<0
∴"≈a¤ +"≈b¤ =a-b ① 08 3<a<5이므로 a-3>0, a-5<0
∴"(√a-3)¤ -"(√a-5)¤ =a-3+a-5
=2a-8 ①
09 48n=2› _3_n에서 소인수의 지수가 모두 짝수이려면 n=3k¤ (k는 자연수)
n은 100보다 작은 자연수이므로 3k¤ <100 ∴ k¤ <;;;!3);º;;
01. 제곱근과 실수
63
k¤ =1, 4, 9, 16, 25이므로 n=3, 12, 27, 48, 75
따라서 가장 큰 자연수 n의 값은 75이다. ⑤ 10 32-n이 32보다 작은 제곱인 수, 즉 1, 4, 9, 16, 25가 되어
야 한다.
따라서 n의 값은 31, 28, 23, 16, 7이다. ① 11 0<a<1이므로 a=;2!;이라 하면
Æ;a!;='2, a=;2!;, ;a!;=2, 'ßa=Æ;2!;, =4 따라서 큰 수부터 차례로 나열하면
, ;a!;, Æ;a!;, 'ßa, a
이므로 세 번째에 오는 수는Æ;a!;이다. Æ;a!;
12 '1ß2å1<'1∂36<'1∂44에서 11<'1∂36<12
∴ f(136)=11
'4å9<'5å0<'6å4에서 7<'5å0<8 ∴ f(50)=7 '4=2이므로 f(4)=2
∴ f(136)-f(50)+f(4)=11-7+2=6 ④ 13 '0∂.01=0.1
Ƭ;3*6!;=;6(;=;2#;
1+'1å6=1+4=5
따라서 무리수는'0ß.9, '0ß.1, -1+'8의 3개이다. ① 14 "(√제곱√인 수)는 유리수로 나타낼 수 있고, 그 외의 경우는 순 환하지 않는 무한소수, 즉 무리수이다. 100 이하의 자연수 중 제곱인 수는 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100의 10개이 므로 무리수에 대응하는 점은
100-10=90(개) ⑤
15 ③ 순환소수는 유리수이며, 유리수인 동시에 무리수가 되는
수는 없다. ③
16 ABCD는 한 변의 길이가 1인 정사각형이므로 CA”=CP”=BD”=BQ”='2
따라서 점P에 대응하는 수는 2-'2, 점 Q에 대응하는 수는
1+'2 P：2-'2, Q：1+'2
17 반지름의 길이가1인 원의 둘레의 길이는 2p이므로 원을 한 바퀴 반을 굴렸을 때, 점P가 수직선 위에 닿는 점에 대응하는
수는 -3+3p ⑤
18 ⑤'2+1-3='2-2='2-'4<0
⑤∴'2+1<3 ⑤
19 조건 ㈎에서'a는 무리수이다.
조건 ㈏에서'a<'1å7이므로 a는 17보다 작은 자연수 중에
서 제곱인 수가 아닌 수이다. y❶
17보다 작은 자연수 중 제곱인 수는 1, 4, 9, 16의 4개이므로
a는 16-4=12(개) y❷
12개 1
a¤
1 a¤
❶a의 조건 구하기
채점 기준 배점
❷a의 개수 구하기
3점 3점
20 (음수)<0<(양수)이므로 양수와 음수로 나누어서 비교한다.
⁄ 음수일 때
'∂21>'∂17이므로 -'∂21<-'∂17
즉, 가장 작은 수 a는 a=-'∂21 y❶
¤ 양수일 때
'∂11, 4, '7, 3의 각 수를 제곱하면 11, 16, 7, 9 16>11>9>7이므로 4>'∂11>3>'7
즉, 가장 큰 수 b는 b=4 y❷
∴ a¤ -b¤ =(-'∂21)¤ -4¤ =21-16=5 y❸ 5
21 AEFG의 넓이가 2이므로 AG”=AP”='2
따라서 점P에 대응하는 수는 -'2
∴ a=-'2 y❶
ABCD의 넓이가 5이므로 AB”=AQ”='5
따라서 점Q에 대응하는 수는 '5
∴ b='5 y❷
∴ a¤ b¤ =(-'2)¤ _('5)¤ =2_5=10 y❸ 10
22 처음 정사각형의 넓이는
('∂480)¤ =480(cm¤ ) y❶
1단계에서 생기는 정사각형의 넓이는
;2!;_480=240(cm¤ )
2단계에서 생기는 정사각형의 넓이는
;2!;_240=120(cm¤ )
3단계에서 생기는 정사각형의 넓이는
;2!;_120=60(cm¤ )
4단계에서 생기는 정사각형의 넓이는
;2!;_60=30(cm¤ ) y❷
따라서 4단계에서 생기는 정사각형의 한 변의 길이는
'∂30 cm이다. y❸
'∂30 cm
❶점P에 대응하는 수 구하기
채점 기준 배점
❷점Q에 대응하는 수 구하기
❸a¤ b¤ 의 값 구하기
2점 2점 2점
❶a의 값 구하기
채점 기준 배점
❷b의 값 구하기
❸a¤ -b¤ 의 값 구하기
2점 2점 2점
❶처음 정사각형의 넓이 구하기
채점 기준 배점
❷4단계에서 생기는 정사각형의 넓이 구하기
❸4단계에서 생기는 정사각형의 한 변의 길 이 구하기
1점 3점 2점
⑤ = =
따라서 옳은 것은 ②이다. ②
11 = = = =;5@;'2에서 a=;5@;
'0∂.03=Æ;1¬0#0;= =;1¡0;'3에서 b=;1¡0;
'7∂50å0="3√_50¤ =50'3에서 c=50
∴ abc=;5@;_;1¡0;_50=2 2
12 ÷A_ = _ _
÷A_ = _Æ;;™5…¢;;_¬;;¡6º;;
÷A_ = _'8='6
∴ A= = = = ①
13 직육면체의 높이를 h cm라 하면 2'3_'1å0_h=30'6이므로
h= =
h= =3'5 3'5 cm
14 삼각형의 높이를 h라 하면
(삼각형의 넓이)=;2!;_'1å8_h=;2!;_3'2_h= h (직사각형의 넓이)='2å4_'1å2=2'6_2'3=12'2 이때 h=12'2이므로
h=12'2_ 2 =8 ⑤
3'2 3'2
2
3'2 2 15
'5
'3_'1å015'6 2'3_'1å030'6
2'3 3 4'3
6 '4å8
6 '8 '6
1 A
1 A
'1ß0 1 '6 A '2ß4
'5 '1ß0
'6 '2ß4
'5
'3 10
2'2 5 8'2
20 10'28 '2ß0å08
'1å5 3 '5_'3 '3_'3 '5
'3
01 a'b='2_'8='1å6=4 ②
02 '4_'6_'1å0_'2å7
=2_'6_'1å0_3'3
=6'∂180
=36'5 36'5
03 A='2å7÷'3='9=3, B='2_'1å8='3å6=6
따라서 A, B의 최대공약수는 3이다. ②
최대공약수：공약수 중에서 가장 큰 수
04 ÷{- }÷{-Æ;¬4∞8; }
=;2!;Æ;¬;£6∞;;_{-6Æ;¬1£4; }_{-Æ;¬;¢5•;; }
=[;2!;_(-6)_(-1)]æ;;£6≠∞;;_;1£≠4;≠_;;¢5•;;
=3'1å2=6'3 6'3
'1å46'3 '3å52'6