05. 이차방정식의 활용
01 2x¤ -5x-1=0에서 a=2, b=-5, c=-1이므로
b¤ -4ac=(-5)¤ -4_2_(-1)=33
즉, b¤ -4ac>0이므로 근이 2개 33, 2 02 3x¤ +5x+3=0에서
a=3, b=5, c=3이므로 b¤ -4ac=5¤ -4_3_3=-11
즉, b¤ -4ac<0이므로 근이 0개 -11, 0 03 2x¤ +8x+8=0에서
a=2, b=8, c=8이므로 b¤ -4ac=8¤ -4_2_8=0
즉, b¤ -4ac=0이므로 근이 1개 0, 1 04 -4, 3
05 0, -3 06 -;2!;, -;2#;
07 (x+1)(x-5)=0, x¤ -4x-5=0
x¤ -4x-5=0 08 {x-;2!;}{x-;3!;}=0, x¤ -;6%;x+;6!;=0
x¤ -;6%;x+;6!;=0 09 (x-5)¤ =0, x¤ -10x+25=0
x¤ -10x+25=0 10 3+'5
11 2-'7 12 x+1
13 x(x+1)=132에서 x¤ +x-132=0 (x+12)(x-11)=0
∴ x=11 (∵ x는 자연수) 11
14 11, 12
15 (20-x)(15-x) m¤
16 (20-x)(15-x)=204에서 x¤ -35x+300=204 x¤ -35x+96=0 (x-3)(x-32)=0 이때 0<x<15이므로 x=3
따라서 도로의 폭은3 m이다. 3 m
17 60x-5x¤ =160에서 5x¤ -60x+160=0 x¤ -12x+32=0 (x-4)(x-8)=0
∴ x=4 또는 x=8
따라서 공의 높이가160 m가 되는 것은 공을 쏘아 올린 지 4 초 후 또는8초 후이다.
4초 후 또는 8초 후 18 60x-5x¤ =0에서
-5x(x-12)=0
∴ x=0 또는 x=12
따라서 공이 다시 지면에 떨어지는 것은 12초 후이다.
12초 후 81쪽
1 ① • •`㉠
② • •`㉡
③ • •`㉢
④ • •`㉣
2 ⑴ -;aB; ⑵;aC;
01 ① (-3)¤ -4_2_1>0
˙k근은 2개
② (-2)¤ -4_4_(-1)>0
˙k근은 2개
③ 2¤ -4_1_(-1)>0
˙k근은 2개
④ (-4)¤ -4_3_3<0
˙k근은 없다.
⑤ (-9)¤ -4_3_(-2)>0
˙k근은 2개
따라서 근의 개수가 나머지 넷과 다른 하나는 ④이다. ④ 02 ㄱ. m=-3, n=2이면 x¤ -3x+2=0에서
(-3)¤ -4_1_2>0이므로 서로 다른 두 근을 갖는다.
ㄴ. m=0, n=9이면 x¤ +9=0에서 0¤ -4_1_9<0이므로 근이 없다.
ㄷ. m=2, n=1이면 x¤ +2x+1=0에서 2¤ -4_1_1=0이므로 중근을 갖는다.
ㄹ. n<0이면 m¤ -4n>0이므로 서로 다른 두 근을 갖는다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄹ이다. ㄱ, ㄹ
03 2x¤ -5x-3=0에서 (-5)¤ -4_2_(-3)>0
∴ a=2
;5!;x¤ -2x+5=0에서 (-2)¤ -4_;5!;_5=0
82~89쪽
이차방정식의 성질
13
THEME 82~85쪽
알고 있나요?
∴ b=1
-2(x+1)¤ =4에서 (x+1)¤ =-2 x¤ +2x+3=0 2¤ -4_1_3<0
∴ c=0
∴ a-b+c=2-1+0=1 1
04 x¤ +k(2x-3)+4=0에서 x¤ +2kx-3k+4=0이므로 (2k)¤ -4(-3k+4)=0 4k¤ +12k-16=0 k¤ +3k-4=0 (k+4)(k-1)=0
∴ k=-4 또는 k=1
이때 k>0이므로 k=1 1
05 x¤ -4x+p=0에서 (-4)¤ -4p=0 16-4p=0
∴ p=4
x¤ -2(p+1)x+q=0에서 x¤ -10x+q=0
(-10)¤ -4q=0 100-4q=0
∴ q=25
∴Æ;pQ;=Ƭ:™4∞:=;2%; ②
06 x¤ +6x+(k-3)=0에서 6¤ -4_1_(k-3)=0 -4k+48=0
∴ k=12
k=12를 x¤ +(k-5)x+2(k-7)=0에 대입하면 x¤ +7x+10=0
(x+5)(x+2)=0
∴ x=-5 또는 x=-2 ①, ②
07 이차방정식이 서로 다른 두 근을 가지므로 (-8)¤ -4_2_(k-5)>0에서 64-8k+40>0
-8k>-104중근
∴ k<13 ④
08 이차방정식의 해가 없으므로 4¤ -4(k-2)<0에서 16-4k+8<0 -4k<-24
∴ k>6
따라서 상수 k의 값이 될 수 있는 것은 ⑤ 7이다. ⑤ 09 ⁄ 2x¤ -3x+2k-1=0이 서로 다른 두 근을 가지므로
(-3)¤ -4_2_(2k-1)>0 9-16k+8>0
-16k>-17
∴ k<;1!6&; y❶
¤ (k-2)x¤ +4x-3=0이 서로 다른 두 근을 가지므로 4¤ -4_(k-2)_(-3)>0
16+12k-24>0 12k>8
∴ k>;3@
이때 k+2이므로 `;3@;<k<2, k>2 y❷
⁄, ¤를 모두 만족하는 상수 k의 값의 범위는
;3@;<k<;1!6&; y❸
;3@;<k<;1!6&;
10 이차방정식 3x¤ -2x-5=0에서 a=- =;3@;, b=-;3%;
∴ a+b=;3@;+{-;3%;}=-1 -1
11 (x+4)(x-4)=2(x+1)¤ -20에서 x¤ -16=2x¤ +4x+2-20
x¤ +4x-2=0
따라서 두 근의 합은 -;1$;=-4 ②
12 2x¤ -5x+a=0에서 두 근의 곱은
;2A;=-;2(;
∴ a=-9
2x¤ -5x-9=0에서
x= =
즉, A=5, B=97이므로
A+B=5+97=102 102
13 ;4!;x¤ +;2!;x-3=0의 양변에 4를 곱하면 x¤ +2x-12=0
두 근의 합이 -;1@;=-2이므로 x=-2를 x¤ +3x-k=0에 대입하면 (-2)¤ +3_(-2)-k=0
4-6-k=0
∴ k=-2 ④
14 이차방정식 2x¤ -4x-5=0에서 a+b=2, ab=-;2%;
5—'∂97 4 5—'ƒ25+72
4 -2
3
❶2x¤ -3x+2k-1=0이 서로 다른 두 근 을 가질 조건 구하기
채점 기준 배점
❷(k-2)x¤ +4x-3=0이 서로 다른 두 근을 가질 조건 구하기
❸⁄과 ¤의 공통 범위 구하기
40%
40%
20%
05. 이차방정식의 활용
39
∴a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab
∴a¤ +b¤=2¤ -2_{-;2%;}
∴a¤ +b¤=4+5=9 9
15 이차방정식 x¤ -5x-3=0에서 a+b=5, ab=-3
∴ + = =-;3%; -;3%;
16 이차방정식 2x¤ -4x-7=0에서 a+b=2, ab=-;2&;
∴a¤ b+ab¤ =ab(a+b)
∴a¤ b+ab¤={-;2&;}_2=-7 ① 17 이차방정식 x¤ +2x-1=0에서
a+b=-2, ab=-1 a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab
=(-2)¤ -2_(-1)=6
∴ + =
∴ + = =-6 ③
18 두 근을a, a+2로 놓으면 두 근의 합이 10이므로 a+(a+2)=10, 2a=8
∴a=4
따라서 두 근이 4, 6이므로 두 근의 곱은 4_6=k-2, k-2=24
∴ k=26 ④
19 두 근을a, 2a로 놓으면 두 근의 곱이 32이므로 a_2a=32, a¤ =16
∴a=—4
두 근의 합이a+2a=k+1이므로 k=3a-1
∴ k=-13 또는 k=11 ②
20 두 근을 2a, 3a로 놓으면 두 근의 합이 ;3%;이므로 2a+3a=;3%;, 5a=;3%;
∴a=;3!;
따라서 두 근이;3@;, 1이므로 두 근의 곱은
;3@;_1=:™3;;
∴ k=1 1
21 두 근이 -;3!;, 2이고 x¤ 의 계수가 6인 이차방정식은 6{x+;3!;}(x-2)=0
6{x¤ -;3%;x-;3@;}=0 6x¤ -10x-4=0
∴ a=6, b=-10, c=-4 6
-1 a¤ +b¤
a ab b b a
a+bab b1
1a
∴ a+b-c=6+(-10)-(-4)=0 ③
|`다른 풀이`| 두 근이 -;3!;, 2이므로 (두 근의 합)=-;3!;+2=;3%;
(두 근의 곱)={-;3!;}_2=-;3@;
즉, 두 근의 합이;3%;, 곱이 -;3@;이고 x¤ 의 계수가 6인 이차방 정식은
6{x¤ -;3%;x-;3@;}=0
∴ 6x¤ -10x-4=0
22 x¤ 의 계수가 3이고 중근 x=3을 가지므로 3(x-3)¤ =0에서
3(x¤ -6x+9)=0 3x¤ -18x+27=0
∴ a=18, b=27
∴ a+b=18+27=45 45
23 이차방정식 x¤ +ax+b=0의 두 근이 2, 4이므로 (x-2)(x-4)=0에서
x¤ -6x+8=0
∴ a=-6, b=8 y❶
이차항의 계수가 2이고 a, b를 두 근으로 하는 이차방정식은 2(x+6)(x-8)=0
∴ 2x¤ -4x-96=0 y❷
2x¤ -4x-96=0
24 x¤ -x-6=0에서 a+b=1, ab=-6
(a-1)+(b-1)=a+b-2
=1-2=-1 (a-1)(b-1)=ab-(a+b)+1
=-6-1+1=-6
즉, 두 근의 합이 -1, 곱이 -6이고, x¤ 의 계수가 1인 이차 방정식은
x¤ +x-6=0 x¤ +x-6=0
25 계수가 유리수이고 한 근이 3+'2 이므로 다른 한 근은 3-'2 이다.
k=(3+'2 )(3-'2 )=9-2=7 ⑤
26 계수가 유리수이고 한 근이 -1+'5 이므로 다른 한 근은 -1-'5 이다.
k+1=(-1+'5 )+(-1-'5 )=-2
∴ k=-3 ③
27 계수와 상수항이 모두 유리수이고 한 근이 3+'6 이므로 다른 한 근은 3-'6 이다.
(두 근의 합)=(3+'6 )+(3-'6 )=6
❶이차방정식을 만들어 a, b의 값 구하기
채점 기준 배점
❷주어진 조건에 맞는 이차방정식 구하기
60%
40%
(두 근의 곱)=(3+'6 )(3-'6 )=9-6=3 따라서 구하는 이차방정식은 x¤ -6x+3=0
x¤ -6x+3=0
07 십의 자리의 수를 x라 하면 일의 자리의 수는 7-x이므로 이 두 자리의 자연수는
10x+(7-x)
두 수의 곱은 원래의 자연수보다 15만큼 작으므로
x(7-x)=10x+(7-x)-15 y❶
x¤ +2x-8=0 (x+4)(x-2)=0
∴ x=2 (∵ x는 자연수)
따라서 십의 자리의 수는 2, 일의 자리의 수는 7-2=5이므
로 두 자리의 자연수는 25이다. y❷
25
08 서현이의 나이를 x살이라 하면 동생의 나이는 (x-4)살이 므로
(x-4)¤ =4x+5 x¤ -8x+16=4x+5 x¤ -12x+11=0 (x-1)(x-11)=0
∴ x=11 (∵ x>4)
따라서 서현이의 나이는 11살이다. ④
09 봉사 활동 모임의 전체 회원 수를 x명이라 하면 회원 1인당 모은 그림책의 수는 (x-3)권이므로 x(x-3)=130
x¤ -3x-130=0 (x+10)(x-13)=0
∴ x=13 (∵ x는 자연수)
따라서 봉사 활동 모임의 회원 수는 13명이다. ② 10 올린 금액을 x원이라 하면 왕만두 한 개의 가격은
(1000+x)원이고, 팔린 개수는 600-;2!;x이다.
가격을 올리기 전과 올린 후의 총판매 금액이 같으므로 1000_600=(1000+x){600-;2{;}
600000=600000+100x--100x=0
x¤ -200x=0 x(x-200)=0
∴ x=200 (∵ x>0)
따라서 올린 금액은 200원이다. ②
11 물체가 지면에 떨어졌을 때의 높이는 0 m이므로 55+50t-5t¤ =0
5t¤ -50t-55=0 t¤ -10t-11=0 (t+1)(t-11)=0
∴ t=11 (∵ t>0) x¤
2
x¤
2
❶주어진 조건에 맞는 식 세우기
채점 기준 배점
❷두 자리의 자연수 구하기
50%
50%
01 대각선의 개수가 54이므로
=54 n¤ -3n-108=0 (n+9)(n-12)=0
∴ n=12 (∵ n>3)
따라서 구하는 다각형은 십이각형이다. ②
02 =190이므로
n¤ -n-380=0 (n+19)(n-20)=0
∴ n=20 (∵ n>1)
따라서 이 모임의 회원은 모두 20명이다. 20명
03 =36이므로
n¤ +n-72=0 (n+9)(n-8)=0
∴ n=8 (∵ n>0)
따라서 구하는 삼각형은 8단계 삼각형이다. 8단계 04 연속하는 세 자연수를 x-1, x, x+1이라 하면
(x+1)¤ =x¤ +(x-1)¤ -12 x¤ +2x+1=x¤ +x¤ -2x+1-12 x¤ -4x-12=0
(x+2)(x-6)=0이므
∴ x=6 (∵ x는 자연수)
따라서 세 자연수는 5, 6, 7이므로 구하는 합은
5+6+7=18 ④
05 연속하는 두 자연수를 x, x+1이라 하면 x¤ +(x+1)¤ =145
x¤ +x¤ +2x+1=145 2x¤ +2x-144=0 x¤ +x-72=0 (x+9)(x-8)=0
∴ x=8 (∵ x는 자연수)
따라서 두 자연수는 8, 9이므로 두 자연수의 합은
8+9=17 17
06 어떤 자연수를 x라 하면 2x=x¤ -35
x¤ -2x-35=0 (x+5)(x-7)=0
∴ x=7 (∵ x는 자연수)
따라서 구하는 자연수는 7이다. ③
n(n+1) 2 n(n-1)
2 n(n-3)
2
이차방정식의 활용
14
THEME 86~89쪽
05. 이차방정식의 활용
41
따라서 물체가 지면에 떨어지는 것은 쏘아 올린 지 11초 후이
다. 11초 후
12 2+3t-2t¤ =0에서 2t¤ -3t-2=0
(2t+1)(t-2)=0에서
∴ t=2 (∵ t>0)
따라서 이 선수가 던진 공은 2초 후에 지면에 떨어진다.
③ 13 10+30t-5t¤ =55에서
5t¤ -30t+45=0
t¤ -6t+9=0, (t-3)¤ =0
∴ t=3
따라서 지면으로부터 축구공까지의 높이가55 m인 것은 축
구공을 차 올린 지 3초 후이다. 3초 후
14 가로의 길이를 x cm라 하면 세로의 길이는 (13-x) cm 이므로
x(13-x)=42 x¤ -13x+42=0 (x-6)(x-7)=0
∴ x=6 또는 x=7
이때 가로의 길이보다 세로의 길이가 더 길어야 하므로 가로
의 길이는 6 cm이다. 6 cm
15 처음 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면 늘인 직사각형 의 가로의 길이는(x+4) cm, 세로의 길이는 (x+6) cm이 고 늘인 직사각형의 넓이가 처음 정사각형의 넓이의 2배이므로 (x+4)(x+6)=2x¤
x¤ -10x-24=0 (x+2)(x-12)=0
∴ x=12 (∵ x>0)
따라서 처음 정사각형의 한 변의 길이는 12 cm이다.
12 cm 16 큰 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면 작은 정사각형의
한 변의 길이는 (8-x) cm이므로 x¤ +(8-x)¤ =34
2x¤ -16x+30=0 x¤ -8x+15=0 (x-3)(x-5)=0
∴ x=5 (∵ 4<x<8)
따라서 큰 정사각형의 한 변의 길이는 5 cm이다. 5 cm 17 작은 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면 작은 정사각형 의 둘레의 길이는 4x cm이므로 큰 정사각형의 둘레의 길이 는(12-4x)cm이고, 큰 정사각형의 한 변의 길이는 (3-x)cm이다.
이때 두 정사각형의 넓이의 비가 1：2이므로 x¤ ：(3-x)¤ =1：2
2x¤ =(3-x)¤
2x¤ =9-6x+x¤
x¤ +6x-9=0
∴ x=-3+3'2 (∵ x>0)
따라서 작은 정사각형의 한 변의 길이는(-3+3'2)cm이
다. ②
18 도로의 폭을 x m라 하면 도로를 제외한 땅의 넓이는 오른쪽 그림의 색칠된 부분의 넓이와 같으므로 (30-x)(24-x)=520 x¤ -54x+200=0 (x-4)(x-50)=0
∴ x=4 (∵ 0<x<24)
따라서 도로의 폭은 4 m이다. 4m
19 꽃밭의 세로의 길이를 x m라 하면 가로의 길이는 2x m이므로 x(2x-2)=40
x¤ -x-20=0 (x+4)(x-5)=0
∴ x=5 (∵ x>0)
따라서 꽃밭의 세로의 길이는 5 m이다. ②
20 오려 낸 부분의 폭을 x cm라 하 면 오려 낸 부분을 제외한 종이 의 넓이는 오른쪽 그림의 색칠된 부분의 넓이와 같으므로 (30-x)(20-x)=375 x¤ -50x+225=0 (x-5)(x-45)=0
∴ x=5 (∵ 0<x<20)
따라서 오려 낸 부분의 폭은 5 cm이다. 5 cm 21 처음 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면
(x-6)_(x-6)_3=192 (x-6)¤ =64
x-6=—8
∴ x=-2 또는 x=14
∴ x=14 (∵ x>6)
따라서 처음 정사각형의 한 변의 길이는 14 cm이다. ③ 22 ⑴ 접은 부분의 한쪽 폭을 x cm라 하면 빗금친 부분의 가로
의 길이는 (60-2x) cm, 세로의 길이는 x cm이다.
따라서 빗금친 부분의 넓이는
(60-2x)x=-2x¤ +60x(cm¤ ) y❶
⑵ -2x¤ +60x=450에서 -2x¤ +60x-450=0 x¤ -30x+225=0 (x-15)¤ =0
∴ x=15
따라서 물받이의 높이는 15 cm이다. y❷
⑴ (-2x¤ +60x) cm¤ ⑵ 15 cm 20 cm x cm
30 cm
x cm 24 m
x m
x m 30 m
❶빗금친 부분의 넓이를 x에 관한 이차식으 로 나타내기
채점 기준 배점
❷물받이의 높이 구하기
50%
50%
02 {-(k+3)}¤ -4=0에서 k¤ +6k+5=0
(k+5)(k+1)=0중근
∴ k=-5 또는 k=-1
상수 k의 값 중에서 큰 값은 -1이므로 x=-1을 2x¤ -2ax+a¤ -1=0에 대입하면
2+2a+a¤ -1=0 a¤ +2a+1=0 (a+1)¤ =0중근
∴ a=-1 ②
03 주어진 이차방정식의 양변에 3을 곱하면 3x-(x¤ +7)=6(x-1)
-x¤ +3x-7=6x-6 즉, x¤ +3x+1=0에서 a+b=-3, ab=1이므로
+ =
+ =
+ =
=9-2=7 7
04 x¤ -3x-2=0에서 a+b=3, ab=-2
또, a는 x¤ -3x-2=0의 근이므로 a¤ -3a-2=0
∴a¤ -3a=2 yy`㉠
∴a‹ -3a¤ +ab+2b=a(a¤ -3a)+ab+2b
=2a+ab+2b (∵ ㉠)
=2(a+b)+ab
=6+(-2)=4 ③
05 두 근의 비가 2：3이므로 두 근을 각각 2a, 3a라 하면 근과 계수의 관계에 의해
2a+3a=k yy ㉠ 2a_3a=k-1 yy ㉡
㉠, ㉡에서 5a=6a¤ +1 6a¤ -5a+1=0 (2a-1)(3a-1)=0
∴a=;2!; 또는 a=;3!;
k=5a이므로 k=;2%; 또는 k=;3%;
따라서 k의 값의 합은
;2%;+;3%;=:™6∞: ④
06 (x-2)(x-4)=6에서 x¤ -6x+2=0이므로 a+b=6, ab=2
+ =a+b=3 1 ab
1 b a
(-3)¤ -2_1 1 (a+b)¤ -2ab
ab a¤ +b¤
a ab b b a 23 AB”=xcm라 하면 OA”=(x+1)cm이므로
p(2x+1)¤ -p(x+1)¤ =40p 4x¤ +4x+1-(x¤ +2x+1)=40 3x¤ +2x-40=0
(x+4)(3x-10)=0
∴ x=:¡3º: (∵ x>0)
∴AB”=:¡3º:cm ③
24 원기둥의 높이를 3xcm, 밑면인 원의 반지름의 길이를 2xcm 라 하면
(2p_2x)_3x=48p 12x¤ =48
x¤ =4
∴ x=2 (∵ x>0)
따라서 원기둥의 높이는 6 cm, 밑면인 원의 반지름의 길이는 4 cm이므로 이 원기둥의 부피는
(p_4¤ )_6=96p(cm‹ ) ①
25 가장 작은 반원의 반지름의 길이를 x cm라 하면 중간 크기의 반원의 반지름의 길이는 (15-x) cm이므로
;2!;p{15¤ -x¤ -(15-x)¤ }=50p
;2“;(-2x¤ +30x)=50p x¤ -15x+50=0 (x-5)(x-10)=0
∴ x=5 {∵ 0<x<:¡2∞:}
따라서 가장 작은 반원의 반지름의 길이는5cm이다.
5cm
01 (x-4)¤ =3을 정리하면 x¤ -8x+13=0이므로 (-8)¤ -4_1_13>0
∴ a=2
x¤ +6=-2x를 정리하면 x¤ +2x+6=0이므로 2¤ -4_1_6<0
∴ b=0
4x¤ -12x=-9를 정리하면 4x¤ -12x+9=0이므로 (-12)¤ -4_4_9=0
∴ c=1
∴ a-b+c=2-0+1=3 ④
90~91쪽
06. 이차함수와 그 그래프
43
_ = =;2!;
따라서 x¤ 의 계수가 2이고 두 근의 합이 3, 곱이 ;2!;인 이차방 정식은
2{x¤ -3x+;2!;}=0
∴ 2x¤ -6x+1=0 2x¤ -6x+1=0 07 둘째 주 수요일의 날짜의 수를 x라 하면 넷째 주 금요일의 날
짜의 수는 x+16이므로 x(x+16)=192 x¤ +16x-192=0 (x+24)(x-8)=0
∴ x=8 (∵ x는 자연수)
따라서 이 달의 둘째 주 수요일은 8일이다. 8일 08 점A의 좌표를 A{a, -;2!;a+6}이라 하면
점P의 좌표는 P(a, 0) 점Q의 좌표는 Q{0, -;2!;a+6}
따라서 AQOP의 넓이는
{-;2!;a+6}_a=16, -;2!;a¤ +6a=16 a¤ -12a+32=0
(a-4)(a-8)=0
∴ a=4 또는 a=8
따라서 점A의 좌표는 (4, 4) 또는 (8, 2) ③, ⑤ 09 통로의 폭을 x m라 하면
(8+2x)(5+2x)-8_5=30 40+26x+4x¤ -40=30 4x¤ +26x-30=0 2x¤ +13x-15=0 (2x+15)(x-1)=0
∴ x=1 (∵ x>0)
따라서 통로의 폭은1m이다. ②
10 규칙에 따라 안에 들어갈 식은 n_(n+1)-2_n이다.
n_(n+1)-2_n=600이 되는 n의 값을 구하면 n¤ +n-2n=600
n¤ -n-600=0 (n+24)(n-25)=0
∴ n=25 (∵ n은 자연수) n(n+1)-2n, 25 11 연못의 반지름의 길이를 r라 하면 정사각형 모양의 밭의 한
변의 길이는 2r+9이다.
(연못을 제외한 나머지 부분의 넓이)=(2r+9)¤ -3_r¤
이므로
4r¤ +36r+81-3r¤ =486 r¤ +36r-405=0 (r+45)(r-9)=0
∴ r=9 (∵ r>0)
따라서 연못의 지름의 길이는 18이다. 18
ab1 b1
a1
06. 이차함수와 그 그래프
01
02 ×
03
04 y=;2#;(x+2), × 05 y=;2!;(x+3)(x-2),
06 f(2)=2¤ -2_2+6=6 6
07 f(-1)=(-1)¤ -2_(-1)+6=9 9
08 아래
09 y축
10 감소, 증가 11 (0, 0) 12 x=0 13 >, <
14 a의 절댓값
15 ②
16 ①
17 y=-3x¤`, y=-;3!;x¤
18 y=4x¤
19 y=;3!;x¤ , y=-;3!;x¤
20 y=;3!;x¤ , y=2x¤ , y=4x¤
21 y=2x¤ +4 22 y=;3!;x¤ -1 23
, y=x¤ +2 24
, y=-;3@;x¤ -1 25 y=5(x+2)¤
26 y=;3!;(x-5)¤
27
, y=2(x+2)¤
28
, y=-3(x-1)¤
O
y=-3(x-1)™
y 1
x O
-2 x
y y=2(x+2)™
O x
y
32 y=- x™-1 -1
O 2
x y y=x™+2
95쪽, 97쪽
29 y=3(x+2)¤ +4, (-2, 4), x=-2
30 꼭짓점의 좌표：(-1, -5), 축의 방정식：x=-1 31 꼭짓점의 좌표：(3, 1), 축의 방정식：x=3 32
33
34 a>0, p>0, q<0 35 a<0, p>0, q<0
-2 2
-4 4
2 8 6 4 y
O x 2 -2
-4 4
2 8 6 4 y
O x
1 축, 포물선, 꼭짓점, 아래, 위, y, x
01 ① y=x(6-x)=-x¤ +6x˙k이차함수
② y= -1˙k이차함수가 아니다.
③ y=x¤ -(1-x)¤ =x¤ -(1-2x+x¤ )=2x-1
˙k일차함수
④ 2x¤ +x+3˙k이차식
⑤ y=x‹ +(2-x)¤ =x‹ +x¤ -4x+4
˙k이차함수가 아니다.
따라서 이차함수인 것은 ①이다. ①
02 ① y=x_5=5x˙k일차함수
② y=x‹ ˙k삼차함수
③ y=2_p_x=2px˙k일차함수
④ y=;2!;_x_(x+5)=;2!;x¤ +;2%;x˙k이차함수
⑤ y=2{(x+2)+(x+3)}=4x+10˙k일차함수 따라서 y가 x에 관한 이차함수인 것은 ④이다. ④ 03 y=(x+4)¤ -ax¤ -1=(1-a)x¤ +8x+15
이 함수가 이차함수가 되기 위해서는 1-a+0이어야 하므로
a+1 a+1
04 y=4x¤ +1-2x(ax+1)
=(4-2a)x¤ -2x+1 1
x¤
이차함수 y=ax¤ 의 그래프
15
THEME 98~101쪽
알고 있나요?
98~105쪽
이때 4-2a+0이므로 a+2 ④
05 y=k(k-2)x¤ +5x-3x¤
=(k¤ -2k-3)x¤ +5x 이때 k¤ -2k-3+0이므로 (k+1)(k-3)+0
∴ k+-1이고 k+3 ②, ⑤
06 f(1)=1+2-1=2 f(-1)=1-2-1=-2 f(-2)=4-4-1=-1
∴ f(1)-f(-1)_f(-2)=2-(-2)_(-1)
=0 ③
07 f(a)=2a¤ -9a-4=1이므로 2a¤ -9a-5=0
(2a+1)(a-5)=0∴∴
∴ a=-;2!; 또는 a=5
따라서 정수 a의 값은 5이다. 5
08 f(-2)=(-2)_4+2+3=-3이므로 a=-3 f(b)=-2b¤ -b+3=2이므로
2b¤ +b-1=0 (b+1)(2b-1)=0 b<0이므로 b=-1
∴ a+b=(-3)+(-1)=-4 ③
09 ㄱ. a>0이면 아래로 볼록한 포물선이다.
ㄴ. 점 (1, a)를 지난다.
ㅁ. a의 절댓값이 클수록 그래프의 폭이 좁아진다.
따라서 옳은 것은 ㄷ, ㄹ이다. ㄷ, ㄹ
10 ① y축에 대하여 대칭인 도형이다.
② 점 (2, -4)를 지난다.
③ 제3, 4사분면을 지나는 포물선이다.
④ 위로 볼록한 포물선이다.
따라서 옳은 것은 ⑤이다. ⑤
11 ① 그래프 ㈏의 폭이 가장 넓다. ①
12 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0
y=ax¤ 의 그래프의 폭은 y=3x¤ 의 그래프보다 넓고 y=;2!;x¤
의 그래프보다 좁으므로;2!;<a<3
따라서 실수 a의 값이 될 수 있는 것은 ④이다. ④ 13 이차함수 y=ax¤ 에서
위로 볼록˙ka<0
폭이 가장 좁다. ˙ka의 절댓값이 가장 크다.
따라서 위로 볼록하면서 폭이 가장 좁은 것은 ①이다. ① 14 y=ax¤ 의 그래프가 y=;3@;x¤ 의 그래프보다 폭이 좁으므로
|a|>;3@;
∴ a>;3@; 또는 a<-;3@; yy ㉠
06. 이차함수와 그 그래프
45
y=ax¤ 의 그래프가 y=-3x¤ 의 그래프보다 폭이 넓으므로
|a|<|-3|
∴ -3<a<3 yy ㉡
㉠, ㉡에서 -3<a<-;3@; 또는 ;3@;<a<3
따라서 a의 값이 될 수 없는 것은 ⑤이다. ⑤ 15 x=a, y=3a를 주어진 식에 대입하면
3a=-2a¤ , a(2a+3)=0
∴ a=-;2#; (∵ a+0) -;2#;
16 주어진 점의 좌표를 이차함수 y=x¤ 의 식에 대입하여 등호가 성립하지 않는 것을 찾는다.
④ 0+1¤ ④
17 이차함수 y=ax¤ 의 그래프가 점 (2, -8)을 지나므로
-8=a_2¤ ∴ a=-2 y❶
y=-2x¤ 의 그래프가 점 (-1, b)를 지나므로
b=-2_(-1)¤ =-2 y❷
∴ a+b=(-2)+(-2)=-4 y❸
-4
18 주어진 이차함수의 그래프의 식을 y=ax¤ 이라 하면 그래프 가 점 (-2, -6)을 지나므로
-6=4a ∴ a=-;2#;
따라서 구하는 이차함수의 식은 y=-;2#;x¤ ② 19 x축에 대하여 서로 대칭인 것은 ㄱ과 ㅂ, ㄷ과 ㄹ이다.
③, ⑤ 20 이차함수 y=ax¤ 의 그래프와 x축에 대하여 대칭인 그래프는
y=-ax¤ 이다.
y=-ax¤ 의 그래프가 점 (2, a¤ )을 지나므로 a¤ =-a_2¤ , a¤ +4a=0
a(a+4)=0
∴ a=0 또는 a=-4
이때 y=ax¤ 은 이차함수이므로 a+0
∴ a=-4 -4
21 ⑴ y=4x¤ 의 그래프가 점 (-2, a)를 지나므로
a=4_(-2)¤ =16 y❶
⑵ y=4x¤ 의 그래프와 x축에 대하여 대칭인 그래프는
y=-4x¤ 이므로 b=-4 y❷
⑶ a+b=16+(-4)=12 y❸
⑴ 16 ⑵ -4 ⑶ 12
22 점B의 좌표를 (a, b)라 하면 A(-a, b), C(a, 0), D(-a, 0)
AB”：BC”=2：1이므로 2a：b=2：1
∴ a=b
점B(a, b)는 y=;4!;x¤ 의 그래프 위의 점이므로 b=;4!;a¤
a=b이므로 b=;4!;b¤
4b=b¤ , b(b-4)=0
이때 b>0이므로 b=4 4
23 두 점B, C의 x좌표가 1이므로 B(1, 1), C(1, a)
AB”=1-0=1 BC”=a-1
이때AB”=BC”이므로 a-1=1
∴ a=2 ②
24 AB”=4, CD”=12이고 B(2, 4a), C(6, 36a)이므로 ABCD=(4+12)_(36a-4a)_;2!;=64 256a=64
∴ a=;4!; ;4!;
O x
y y= x™41 A B(a, b)
-a a
D C
b
❶a의 값 구하기
채점 기준 배점
❷b의 값 구하기
❸a+b의 값 구하기
40%
40%
20%
1
01 이차함수 y=3x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 4만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=3(x-4)¤ -1 즉, p=4, q=-1이므로
p+q=4+(-1)=3 3
02 이차함수 y=2x¤ 의 그래프를 y축의 방향으로 -1만큼 평행 이동한 그래프의 식은
y=2x¤ -1 y=2x¤ -1
평행이동 y축의 방향으로 q만큼
x축의 방향으로 p만큼
x축의 방향으로 p만큼, y축의 방향으로 q만큼 꼭짓점의 좌표
축의 방정식 그래프의 모양
(단, a>0, p>0, q>0)
(0, q) (p, 0)
x=0 x=p
(p, q) x=p y=ax¤ +q y=a(x-p)¤ y=a(x-p)¤ +q
O x
y
q
O p y
x O p
y
q
x
이차함수 y=a(x-p)¤ +q의 그래프
16
THEME 102~105쪽
알고 있나요?
y=ax¤ +q y=a(x-p)¤ y=a(x-p)¤ +q
❶a의 값 구하기
채점 기준 배점
❷b의 값 구하기
❸a+b의 값 구하기
40%
40%
20%