⑤ = =
따라서 옳은 것은 ②이다. ②
11 = = = =;5@;'2에서 a=;5@;
'0∂.03=Æ;1¬0#0;= =;1¡0;'3에서 b=;1¡0;
'7∂50å0="3√_50¤ =50'3에서 c=50
∴ abc=;5@;_;1¡0;_50=2 2
12 ÷A_ = _ _
÷A_ = _Æ;;™5…¢;;_¬;;¡6º;;
÷A_ = _'8='6
∴ A= = = = ①
13 직육면체의 높이를 h cm라 하면 2'3_'1å0_h=30'6이므로
h= =
h= =3'5 3'5 cm
14 삼각형의 높이를 h라 하면
(삼각형의 넓이)=;2!;_'1å8_h=;2!;_3'2_h= h (직사각형의 넓이)='2å4_'1å2=2'6_2'3=12'2 이때 h=12'2이므로
h=12'2_ 2 =8 ⑤
3'2 3'2
2
3'2 2 15
'5
'3_'1å015'6 2'3_'1å030'6
2'3 3 4'3
6 '4å8
6 '8 '6
1 A
1 A
'1ß0 1 '6 A '2ß4
'5 '1ß0
'6 '2ß4
'5
'3 10
2'2 5 8'2
20 10'28 '2ß0å08
'1å5 3 '5_'3 '3_'3 '5
'3
01 a'b='2_'8='1å6=4 ②
02 '4_'6_'1å0_'2å7
=2_'6_'1å0_3'3
=6'∂180
=36'5 36'5
03 A='2å7÷'3='9=3, B='2_'1å8='3å6=6
따라서 A, B의 최대공약수는 3이다. ②
최대공약수：공약수 중에서 가장 큰 수
04 ÷{- }÷{-Æ;¬4∞8; }
=;2!;Æ;¬;£6∞;;_{-6Æ;¬1£4; }_{-Æ;¬;¢5•;; }
=[;2!;_(-6)_(-1)]æ;;£6≠∞;;_;1£≠4;≠_;;¢5•;;
=3'1å2=6'3 6'3
'1å46'3 '3å52'6
02. 근호를 포함한 식의 계산
65
05 '8å4="2√¤ _√3_7=2'3'7=2ab 2ab 06 'aåb='1ƒ00kƒ_1ƒ000k="1√000√00k¤ =100'1å0k ④
07 = = = =;6!;'2에서
k=;6!; ①
08 = = =;6%;'3에서 a=;6%;
= =;1¡0;'2에서 b=;1¡0;
∴ ab=;6%;_;1¡0;=;1¡2; ①
09 ⑤ = = = = ⑤
10 ①'1å0
②'1å1
③'1å2
④'3
⑤'6
따라서 계산 결과가 가장 작은 것은 ④이다. ④ 11 a='2ß.5=Æ;¬1@0%;=
b='1∂4.4=Æ;;¬¡¬1¢0¢;;=
∴ ab= _ =;1^0);=6 ⑤
12 (사다리꼴의 넓이)=(6+9)_4_;2!;=30(cm¤ )
정사각형의 넓이가 30 cm¤ 이므로 정사각형의 한 변의 길이 를 a cm라 하면 a¤ =30
∴ a='3å0 (∵ a>0)
∴ (정사각형의 둘레의 길이)=4'3å0 cm 4'3å0 cm 13 정사각형A의넓이가2cm¤ 이므로
(정사각형B의넓이)=;3!;_2=;3@;(cm¤ ) (정사각형C의 넓이)=;3!;_;3@;=;9@;(cm¤ ) (정사각형D의 넓이)=;3!;_;9@;=;2™7;(cm¤ ) 따라서 정사각형D의 한 변의 길이는
Ƭ;¬2™7;= = (cm) ④
14 일차함수 y='7x의 그래프를 y축의 방향으로 2'7만큼 평행이동한 그래 프의 식은 y='7x+2'7
이때 x절편은 -2, y절편은 2'7이 므로 이 일차함수의 그래프와 x축, y축으로 둘러싸인 부분은 오른쪽 그 림의 색칠한 부분과 같다.
따라서 구하는 삼각형의 넓이는
;2!;_2_2'7=2'7 2'7
O x y
y='7x+2'7 2'7
-2 '6
9 '2 3'3
'1å012 '1å05
12 '1å0 '1å05
'b b a'åb
ab
"ça¤ b ab 'a_'aåb 'aåb_'aåb 'a
'aåb '2 10 5'21
5'3 5 6
5 2'3 '1å2
'2 6 1_'2 3'2_'2 3'21
'1å81 01 - +'2+ ={-;6!;+1}'2+{;4#;+;2!;}'3
- +'2+ = + ②
02 '2å0-a'5+'1∂25=2'5-a'5+5'5
=(7-a)'5='5
즉, 7-a=1에서 a=6 ①
03 '2å0+ -'4å5=2'5+ -3'5
=2'5+2'5-3'5
='5 '5
04 a='2ß4-2'5=2'6-2'5 b= -'5= -'5
∴'5a+'6b='5(2'6-2'5 )+'6{ -'5 }
∴'5a+'6b=2'3å0-10+3-'3å0
='3å0-7 ①
05
-=
-=
-='2+'5-'2-'3
='5-'3 '5-'3
06 '3-
='3-='3- = ④
07 '2å0{'3-Æ;5@; }+ (10'3+2'1å0)
=2'5{'3- }+ (10'3+2'1å0)
=2'1å5-2'2+ +6'2
=2'1å5+4'2+6'1å5
=4'2+8'1å5 즉, a=2, b=8이므로
a+b=2+8=10 ⑤
30'3 '5
'53 '2 '5
'53
3'3 4 '3
4 3'3
12 4'33 1154'31213 11155555'3+121'33 11155555'3+121'31
6'2+6'3 6 5'2+5'5
5
('1å2+'1å8)_'6 '6_'6 ('1å0+5)_'5
'5_'5
'1å2+'1å8 '6 '1å0+'2å5
'5
'6 2 '6
2 '63
10'5 5 10'5
5'3 4 5'2
6 '3
2 '2
6 3'3
4
22쪽 근호를 포함한 식의 덧셈과 뺄셈 실전연습 문제
05
THEME
1
회01 '2å7+2'∂50-'∂32-'∂48
=3'3+10'2-4'2-4'3
=6'2-'3 ③
02 ①2'2å7+'3=6'3+'3=7'3
②5'3-3'3=(5-3)'3=2'3
③'1ß2å8-'5å0=8'2-5'2=3'2
④'1å2-'3=2'3-'3='3
⑤'3+2는 더 이상 계산할 수 없다.
따라서 옳은 것은 ④이다. ④
03 '1ß8+'3å2-'a=3'2+4'2-'a
=7'2-'a=5'2
즉, 'a=2'2='8이므로 a=8 ⑤
04 x='7이므로
x+;[!;='7+ ='7+ =;7*;'7
따라서 x+;[!;의 값은 x의 값의 ;7*;배이다. ③ 05 '4å8-(-'5 )¤ - =4'3-5-3'3
='3-5 ②
06 '3å2 {'8- }+2'2('2+'3å2)
=4'2(2'2-3'2)+2'2('2+4'2)
=4'2_(-'2)+2'2_5'2
=-8+20=12 12
07 ('5-'1å2 )÷'4-'3{ + }
= - -
-= -'3- -2'5
=-
-즉, a=-;3%;, b=-;2#;이므로
a-b=-;3%;-{-;2#;}=-;3%;+;2#;=-;6!; ③ 3'5
2 5'3
3
2'3 3 '5
2
6'5'9 '32 '1å2'4 '5'4
6'5 2 '2å7 '9 '26
'39 '7
7 '71
23쪽 근호를 포함한 식의 덧셈과 뺄셈 실전연습 문제
05
THEME
2
회01 (2+5'2 )(3'2-4)=6'2-8+30-20'2
=22-14'2 즉, a=22, b=-14이므로
a+b=22+(-14)=8 ③
02 '2å4{ -3}+ ('1å8-'2å7 )=2-6'6+a'6-3a
=(2-3a)+(a-6)'6 a
1 '3 '6
24~25쪽 근호를 포함한 식의 계산 실전연습 문제
06
THEME
1
회이때 a-6=0이면 유리수가 되므로 a=6 6
03 (주어진 식)= +
(주어진 식)= +
(주어진 식)=(3+2'2 )+(3-2'2 )
(주어진 식)=6 ⑤
04 x= = =
y= = =
∴(x+y)¤ ={ + }2 =2¤ =4 4
05 x= = =2+'3
y= = =2-'3
x+y=2+'3+2-'3=4 xy=(2+'3 )(2-'3 )=4-3=1
∴ x¤ -3xy+y¤ =(x+y)¤ -5xy
=4¤ -5_1=11 ⑤
06 PQ”=PA”='2이므로 점 A에 대응하는 수는 -2+'2 RS”=RB”='2이므로 점 B에 대응하는 수는 3-'2
∴AB”=(3-'2 )-(-2+'2 )
=5-2'2 ③
07 A-B=5'2-2-5=5'2-7
='5å0-'4å9>0
∴ A>B yy ㉠
B-C=5-(4'3-2)=7-4'3
='4å9-'4å8>0
∴ B>C yy ㉡
㉠, ㉡에서 C<B<A ⑤
08 ①'0ƒ.0032=æ– = =0.05657
②'ƒ0.032=æ– = =0.1789
③'3ß2å0="3√.2√_10¤ =10'3ß.2=17.89
④'3∂20å0="3√2_1≈0¤ =10'3å2=56.57
⑤'ƒ32000="3√.2_√100¤ =100'3ß.2=178.9
따라서 옳은 것은 ④이다. ④
09 2<'5<3이므로 '5의 소수 부분은 '5-2
∴ a='5-2
1<'3<2이므로'3의 소수 부분은 '3-1
∴ b='3-1
∴ a-2b='5-2-2('3-1)
='5-2'3 ③
10 f(n)=8에서 'n의 정수 부분이 8이므로 8…'n<9 ∴64…n<81
따라서 n은 자연수이므로 64부터 80까지의 자연수는 17개이
다. ④
'3å.å2 10 3.2 10¤
'3å2 100 32 100¤
2-'3 (2+'3 )(2-'3 ) 1
2+'3
2+'3 (2-'3 )(2+'3 ) 2-'31
2-'62 2+'62
2-'62 ('2-'3 )_'2
'2_'2 '2-'3
'2
2+'62 ('2+'3 )_'2
'2_'2 '2+'3
'2
2-2'2+1 2+2'2+1 2-1
2-1
('2-1)¤
('2+1)('2-1) ('2+1)¤
('2-1)('2+1)
02. 근호를 포함한 식의 계산
67
11 - + - +
= - + - +
=3+'8-'8-'7+'7+'6-'6-'5+'5+2
=5 ③
12 + =
+ =
+ =
+ =
+ = =4_Æ;8#;
+ =4_
='6 ④
13 ABCD의 넓이가 5이므로 한 변의 길이는 '5이고 AB”=AD”='5
점P에 대응하는 수는 -1+'5
∴ a=-1+'5
점Q에 대응하는 수는 -1-'5
∴ b=-1-'5
;bA;= = =
;aB;= = =
∴;bA;-;aB;= ='5 '5
14 일차함수의 식을 y=ax+b로 놓고 두 점의 좌표를 대입하면 '2a+b=6'2 yy`㉠
-2a+b=3'2-6 yy`㉡
㉠-㉡을 하면 ('2+2)a=3'2+6
∴ a= = =3
∴ b=3'2
즉, 일차함수의 식은 y=3x+3'2이 다. 이때 x절편은 -'2, y절편은 3'2 이므로 주어진 일차함수의 그래프와 x축, y축으로 둘러싸인 부분은 오른 쪽 그림의 색칠한 부분과 같다.
따라서 구하는 삼각형의 넓이는
;2!;_'2_3'2=3 ⑤
|`다른 풀이`| (기울기)= =3'2+6=3
'2+2 6'2-(3'2-6)
'2-(-2)
O x y
-'2 3'2
y=3x+3'2 3(2+'2)
6+3'2 2+'2 2+'2
-3+'5+3+'5 2
-3-'5 2 (-1-'5)¤
1-5 -1-'5
-1+'5
-3+'5 2 (-1+'5)¤
1-5 -1+'5
-1-'5
'6 4 4 Æ;3*;
4 Æ4¬-¬{¬1¬55}22
'3 4
"√4-x¤
2-x+2+x
"(√2+x√)(2√-x) ('ƒ2-x)¤ +('ƒ2+x)¤
'ƒ2+x 'ƒ2-x 'ƒ2+x
'ƒ2-x 'ƒ2-x
'ƒ2+x
'5+25-4 '6+'5
'7+'6 6-5 '8+'7 7-6
3+'8 8-7 9-8
1 '5-2 1
'6-'5 1
'7-'6 1
'8-'7 3-'81
01 ('3-'2 )¤ =('3 )¤ -2_'3_'2+('2 )¤ =3-2'6+2
=5-2'6 ④
02 (3-3'3 )(a+5'3 )=3a+15'3-3a'3-45
=(3a-45)-(3a-15)'3 이때 3a-15=0이면 유리수가 되므로
a=5, b=3a-45=-30
∴ a-b=5-(-30)=35 ⑤
03 - =
- = =-2 ①
04 - =
-=(11-2'3å0)-(11+2'3å0)
=-4'3å0 ①
05 x= ='5-2, y= ='5+2이므로 x+y='5-2+'5+2=2'5
xy=('5-2)('5+2)=5-4=1
∴ x¤ +y¤ =(x+y)¤ -2xy
=(2'5)¤ -2=18 ③
06 x= = =3-2'2
이므로 x-3=-2'2
양변을 제곱하면(x-3)¤ =(-2'2 )¤
x¤ -6x+9=8 ∴ x¤ -6x=-1
x¤ -6x+8=-1+8=7 ④
07 색칠한 두 정사각형의 넓이가 모두2이므로 이 정사각형의 한 변의 길이는'2이다. 즉,
AD”=AQ”=BC”=BP”='2 점P에 대응하는 수는 2-'2
∴ a=2-'2
점Q에 대응하는 수는 1+'2
∴ b=1+'2
∴ -;b@;=
-∴ -;b@;=
-∴ -;b@;='2+1+2(1-'2 )=3-'2 ⑤ 08 ①8-3'3-(2'3-2)=10-5'3
='1ßåå0å0-'7å5>0
②∴8-3'3>2'3-2
② 1-'1å4-(1-3'2)=-'1å4+3'2
=-'1å4+'1å8>0
②∴ 1-'1å4>1-3'2
③3'3-(5'3-2)=-2'3+2
=-'1å2+'4<0
2(1-'2 ) (1+'2 )(1-'2 ) '2(2+'2 )
(2-'2 )(2+'2 ) 2 1+'2 '2
2-'2 '2
a
3-2'2 (3+2'2 )(3-2'2 ) 1
3+2'2
'5+25-4 '5-25-4
('6+'5)¤
('6-'5)¤ 6-5 '6+'5 6-5
'6-'5 '6-'5
'6+'5
-21
'2-1-('2+1) ('2+1)('2-1) '2-11
'2+11
26~27쪽 근호를 포함한 식의 계산 실전연습 문제
06
THEME
2
회②∴3'3<5'3-2
④'5+2-('3+'5)=2-'3>0
②∴'5+2>'3+'5
⑤2-('2+1)=1-'2<0
②∴2<'2+1
따라서 대소 관계가 옳은 것은 ①이다. ①
09 ①'ƒ0.005=Æ;1…0∞0º00;= =0.07071
②'0ß.5=Æ;1¬∞0º0;= =0.7071
③'5ß0å0='5ƒ_10å0=10'5
④'5∂00å0='5ƒ0_1ß0å0=10'5å0=70.71
⑤'5ƒ00000='5ƒ0_∂10∂00å0=100'5å0=707.1
따라서'5å0=7.071임을 이용하여 그 값을 구할 수 없는 것
은 ③이다. ③
10 2'1å4='5å6이고 7<'5å6<8이므로 2'1å4의 정수 부분은 7 ∴ a=7 소수 부분은 2'1å4-7 ∴ b=2'1å4-7
a=7, b=2'1å4-7
11 + + + +
= + + + +
='2-1+'3-'2+2-'3+'5-2+'6-'5
=-1+'6 ②
12 세 변의 길이를 a, b, c (a<b<c)라 하면
c= _12
c=
c=
c=4(3-'3 )
c=12-4'3 ⑤
13 x= = =3+'7이므로
x-3='7
양변을 제곱하면 (x-3)¤ =('7)¤
x¤ -6x+9=7 ∴ x¤ -6x=-2
∴(x¤ -6x+3)(x¤ -6x+5)=(-2+3)(-2+5)
=3 ③
14 ='2+1이고 1<'2<2에서 2<'2+1<3
'2+1의 정수 부분은 2
∴ a=2
소수 부분은 '2+1-2='2-1
∴ b='2-1
∴'2a-2b=2'2-2'2+2=2 2
'2-11
2(3+'7 ) 2 9-7
3-'7 24(3-'3 ) (3+'3 )(3-'3 ) 3+'324
1+2+'32
'5-'6 2-'5 5-6
'3-2 4-5 '2-'3 3-4
1-'2 2-3 1-2
1 '5+'6 1
2+'5 1
'3+2 1
'2+'3 1
1+'2
'5å010 '5å0100
중단원실전 평가
THEME모아
28~31쪽
01 ①(-3)¤ =9이므로 9의 제곱근은 —3이다.
②'3_'5_'6_'8='3_'5_'2_'3_2'2=12'5
④'2+(-'2 )=0에서 0은 유리수이므로 무리수와 무리수 의 합이 항상 무리수인 것은 아니다.
따라서 옳지 않은 것은 ④이다. ④
02 '1å2_'1å5_'3å5=2'3_'3_'5_'5_'7
=30'7
∴ a=30 ③
03 '2ß1å6="2√¤ _√3¤ _6=2_3_'6=6'6 즉, a=6, b=6이므로
a+b=6+6=12 12
04 3'2_(-2'6 )÷ =(-12'3)_
=-24 -24
05 ① a'b="√a¤ _b="ça¤ Ωb
②-"(√-a)≈¤ b=-"a≈¤ b=-a'b
③ = =a'aåb
④ a'b-b"aç¤ `b=a'b-ab'b=(a-ab)'b
따라서 옳지 않은 것은 ②, ④이다. ②, ④ 06 ①, ②, ③, ⑤'1å0
④'2+'8='2+2'2=3'2
따라서 계산 결과가 나머지 넷과 다른 하나는 ④이다. ④ 07 '∂24-2'6-5'5+'∂125
=2'6-2'6-5'5+5'5=0 0
08 ①'3å2-'1å8+7'1å2+'2å7=4'2-3'2+14'3+3'3
='2+17'3
②2'3-'4å8-3'7å5=2'3-4'3-15'3=-17'3
③2'2+'1å8-'5å0=2'2+3'2-5'2=0
④'5('å8+3)-3'5=2'1å0+3'5-3'5=2'1å0
⑤'3å2-(4-'å8 )'2=4'2-(4-2'å2 )'2
=4'2-4'2+4=4
따라서 옳은 것은 ①이다. ①
09 8'2+3'5-'1å8+'2å0-'5
=8'2+3'5-3'2+2'5-'5
=5'2+4'5
즉, a=5, b=4이므로
a-b=5-4=1 ④
10 =
=
=-1+'2 즉, a=-1, b=1이므로
ab=(-1)_1=-1 ③
2'2-2 2 (2-'2 )'2
'2_'2 2-'2
'2
ab'a_'b 'b_'b ab'a
'b
'32 '32
02. 근호를 포함한 식의 계산
69
11 = =7-4'3
즉, A=7, B=4이므로
A-B=7-4=3 ④
12 ① =
① =
① =3'3-3
②'2å0-2'4å5-8'5=2'5-6'5-8'5=-12'5
③ + =
='6+2+3-2'6+2
=7-'6
④ 1-'2<0, 2-'2>0이므로
④"(√1-√'2 )¤ -"(√2-√'2 )¤ ='2-1-2+'2=2'2-3
⑤ - -'2= - -'2
⑤ - -'2= - -'2=0
따라서 옳지 않은 것은 ④이다. ④
13 x= =
x='3-'2x
y= =
y='3+'2 x+y=2'3, xy=1
∴ x¤ +3xy+y¤ =(x+y)¤ +xy
=(2'3 )¤ +1=13 13
14 x¤ +6x+1=0의 양변을 x로 나누면 x+6+;[!;=0 ∴ x+;[!;=-6 {x-;[!;}2 ={x+;[!;}2 -4
{x-;[!;}2=(-6)¤ -4=32
∴ x-;[!;=—'∂32=—4'2 —4'2
15 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이는 '2이므로 CA”=CP”=BD”=BE”=EF”=EQ”='2
따라서 점P에 대응하는 수는 -1-'2, 점 E에 대응하는 수 는-2+'2이다.
점Q는 점 E에서 오른쪽으로 '2만큼 이동한 점이므로 점 Q 에 대응하는 수는(-2+'2 )+'2=-2+2'2
즉, a=-1-'2, b=-2+2'2이므로
2a+b=2(-1-'2 )+(-2+2'2 )=-4 ② 16 ①-'1å8-(-4)=-'1å8+'1å6<0
①∴-'1å8<-4
'3+'2 ('3-'2 )('3+'2 ) '3-'21
'3-'2 ('3+'2 )('3-'2 ) '3+'21
'22 3'22
2'22 3 '2 2
'8 3 '2
'2('3+'2 )+('3-'2 )¤
('3-'2 )('3+'2 ) '3-'2
'3+'2 '3-'2'2
6'3(3-'3 ) 6 6'3(3-'3 ) (3+'3 )(3-'3 ) 3+'36'3
(2-'3 )¤
(2+'3 )(2-'3 ) 2-'32+'3
②3'5-2'1å1='4å5-'4å4>0
①∴3'5>2'1å1
③5'6+'7-('7+6'5 )=5'6-6'5
='1ß5å0-'1ß8å0<0
③∴5'6+'7<'7+6'5
④2'3-(-'3 )=2'3+'3=3'3>0
∴2'3>-'3
⑤3'3-4'2-(-'1å2+'8 )=3'3-4'2+2'3-2'2
=5'3-6'2
='7å5-'7å2>0
③∴3'3-4'2>-'1å2+'8
따라서 대소 관계가 옳은 것은 ③이다. ③
17 ①'2ß1å3='2ƒ.13ƒ_100=10'2∂.13
=10_1.459=14.59
②'2∂13å0='2ƒ1.3ƒ_100=10'2∂1.3
=10_4.615=46.15
③'0∂.2ß1å3=Æ… =
③'0∂.2ß1å3= =0.4615
④'0ƒ.0213=Æ… =
④'0ƒ.0213= =0.1459
⑤'ƒ21300='2ƒ.13ƒ_1ƒ0000=100'2∂.13
=100_1.459
=145.9
따라서 옳지 않은 것은 ④이다. ④
18 1<'3<2에서 -2<-'3<-1이므로 1<3-'3<2
∴ a=(3-'3)-1=2-'3
2<'7<3에서 -3<-'7<-2이므로 2<5-'7<3
∴ b=(5-'7)-2=3-'7
∴ 4a+'7b=4(2-'3)+'7(3-'7)
=8-4'3+3'7-7
=1-4'3+3'7 1-4'3+3'7
19 '1å0{'2- }- (6'5+3)
=('2å0-'5+5)-{6a+ }
=2'5-'5+5-6a-:£5Å:'5
=(5-6a)+{1-:£5Å:}'5 y❶
이때 1-:£5Å:=0이면 유리수가 되므로
5-3a=0 ∴ a=;3%; y❷
;3%;
3a'5 a '5 1-'5
'2 1.459
10
'2∂.13 10 2.13
100 4.615
10
'2∂1.3 10 21.3
100
20 x= =
x=4+'6 y❶
즉, x-4='6이므로 양변을 제곱하면 x¤ -8x+16=6
x¤ -8x=-10
∴ x¤ -8x+3=-10+3=-7 y❷
-7
21 ⑴2'7='2å8이므로 5<'2å8<6
-6<-'2å8<-5에서 1<7-'2å8<2 즉, 7-2'7의 정수 부분은 1
∴ a=1 y❶
⑵7-2'7-1=6-2'7
∴ b=6-2'7 y❷
⑶;bA;=
⑶;bA;=
⑶;bA;= )
y❸
⑴ 1 ⑵ 6-2'7 ⑶
22 큰 정사각형의 둘레의 길이가 12+4'3이므로 한 변의 길이는
(12+4'3 )_;4!;=3+'3 y❶
작은 정사각형의 둘레의 길이가 12-4'3이므로 한 변의 길이는
(12-4'3 )_;4!;=3-'3 y❷
따라서 구하는 넓이는
(큰 정사각형의 넓이)-(작은 정사각형의 넓이)
=(3+'3 )¤ -(3-'3 )¤
=(12+6'3 )-(12-6'3 )
=12'3 y❸
12'3 3+'74 3+'74
6+2'7 (6-2'7 )(6+2'7 )
1 6-2'7
10(4+'6 ) (4-'6 )(4+'6 ) 4-'610
❶큰 정사각형의 한 변의 길이 구하기
채점 기준 배점
❷작은 정사각형의 한 변의 길이 구하기
❸색칠한 부분의 넓이 구하기
2점 2점 2점
❶주어진 식 간단히 하기
채점 기준 배점
❷유리수 a의 값 구하기
3점 3점
❶a의 값 구하기
채점 기준 배점
❷b의 값 구하기
❸;bA;의 값 구하기
2점 2점 2점
❶x의 분모를 유리화하기
채점 기준 배점
❷x¤ -8x+3의 값 구하기
2점 4점
03. 인수분해
01 a¤ b-3ab¤ =ab(a-3b)이므로 인수는 ㄱ, ㄷ이다. ② 02 ① x¤ +x+;4!;={x+;2!;}2
② x¤ -4x+4=(x-2)¤
③ 3x¤ +6x+3=3(x¤ +2x+1)=3(x+1)¤
④ 4x¤ -20x+25=(2x-5)¤
따라서 완전제곱식으로 인수분해할 수 없는 것은 ⑤이다.
⑤ 03 ① ={ }2=1
② 4x¤ + x+1=(2x)¤ + x+1¤ 에서
=2_2_1=4
③ 9x¤ + xy+;4!;y¤ =(3x)¤ + xy+{;2!;y}2 에서
=2_3_;2!;=3
④ ={;2^;}2 =9
⑤ 4y¤ + y+;4!;=(2y)¤ + y+{;2!;}2 에서
=2_2_;2!;=2
따라서 안에 들어갈 양수 중 가장 큰 것은 ④이다.
④ 04 9x¤ +3(k-1)x+25=(3x)¤ +3(k-1)x+5¤ 에서
3(k-1)=—2_3_5 k-1=—10
∴ k=-9 또는 k=11 ②, ④
|`다른 풀이`|
3(k-1)=—2'ƒ9_25=—30 k-1=—10
∴ k=-9 또는 k=11
05 0<a<2에서 a+2>0, a-2<0이므로
"√a¤ +√4a+4="(√a+2)¤ =a+2
"√a¤ -√4a+4="(√a-2)¤ =-(a-2)=-a+2
∴"√a¤ +√4a+4+"√a¤ -√4a+4=(a+2)+(-a+2)
=4 ④
06 16x¤ -4=4(4x¤ -1)
=4(2x+1)(2x-1)
따라서 인수가 아닌 것은 ②이다. ②
07 x¤ -4x-12=(x+2)(x-6) 따라서 구하는 두 일차식의 합은
(x+2)+(x-6)=2x-4 2x-4
08 ①2x¤ +5x+3=(2x+3)(x+1)
②2x¤ +3x-2=(x+2)(2x-1) -22
32~33쪽
인수분해의 뜻과 공식 실전연습 문제
07
THEME
1
회03. 인수분해
71
01 -2a‹ b+8a¤ b=-2a¤ b(a-4) ⑤ 02 2a¤ (a-1)의 인수가 아닌 것은 ④ a¤ -1이다.
④
03 9x¤ -12x+4=(3x-2)¤ ①
③2x¤ +6x+4=2(x¤ +3x+2)=2(x+1)(x+2)
④2x¤ +x-6=(x+2)(2x-3)
⑤3x¤ +7x+2=(3x+1)(x+2)
따라서 x+2를 인수로 갖지 않는 것은 ①이다. ① 09 ⑤ 2x¤ +5x-3=(x+3)(2x-1) ⑤ 10 ⑴ 서준：(x+5)(x-3)=x¤ +2x-15
지우：(x+2)(x-4)=x¤ -2x-8
⑵ 서준이는 x의 계수를 바르게 보고, 지우는 상수항을 바르 게 보았으므로 처음의 이차식은 x¤ +2x-8이다.
⑶ x¤ +2x-8=(x+4)(x-2)
⑴ 서준：x¤ +2x-15, 지우：x¤ -2x-8
⑵ x¤ +2x-8 ⑶ (x+4)(x-2) 11 3<'1å0<4에서 -1<'1å0-4<0이므로
x-4<0, x+1>0
"x√¤ -√8√x+16="(√x-4≈)¤ =-(x-4)=-x+4
"x√¤ +√2√x+1="(√x+1≈)¤ =x+1
∴"x√¤ -√8√x+16-"x√¤ +√2√x+1=-x+4-(x+1)
=-2x+3
=-2('1å0-4)+3
=-2'1å0+11 ④ 12 (2x+3)¤ -(x+2)¤ =(2x+3+x+2)(2x+3-x-2)
=(3x+5)(x+1) 즉, a=3, b=5, c=1이므로
a+b+c=3+5+1=9 ⑤
13 3 [ x, -1, 1 ]- [ x, -2, 3 ]
=3(x-1)(x-1)-(x-2)(x-3)
=3(x¤ -2x+1)-(x¤ -5x+6)
=2x¤ -x-3
=(x+1)(2x-3) (x+1)(2x-3)
14 6x¤ -5x-6=(3x+2)(2x-3) 3x¤ -19x-14=(3x+2)(x-7) 즉, 세 이차식의 공통인 인수는3x+2이므로 3x¤ -10x+a=(3x+2)(x+m)
=3x¤ +(3m+2)x+2m 3m+2=-10에서 m=-4
a=2m이므로 a=2_(-4)=-8 ②
34~35쪽
인수분해의 뜻과 공식 실전연습 문제
07
THEME
2
회04 9x¤ +(k+3)xy+16y¤ =(3x)¤ +(k+3)xy+(4y)¤ 에서 k+3=—2_3_4
k+3=—24
∴ k=-27 또는 k=21 ①
|`다른 풀이`|
k+3=—2'ƒ9_16=—24
∴ k=-27 또는 k=21 05 ① ={-;;¡2™;;}2 =36
② 9x¤ +6x+ =(3x)¤ +2_3x_1+1¤ 에서 =1
③16x¤ + xy+9y¤ =(4x)¤ + xy+(3y)¤ 에서
③ =2_4_3=24
④ ={-;2!;}2 =;4!;
⑤ 4y¤ + y+;4!;=(2y)¤ + y+{;2!;}2 에서
③ =2_2_;2!;=2
따라서 안에 들어갈 양수 중 가장 작은 것은 ④이다.
④ 06 1<x<2에서 x-1>0, x+1>0이므로
"√1-2x+x¤ ="√(x-1)¤ =x-1
"√x¤ +2x+1="√(x+1)¤ =x+1
∴"√1-2x+x¤ -"√x¤ +2x+1=x-1-(x+1)=-2
③ 07 6x¤ +x-2=(3x+2)(2x-1)
2x¤ -5x+2=(2x-1)(x-2)
따라서 두 다항식의 공통인 인수는2x-1이다. ① 08 ① x¤ -1=(x+1)(x-1)
② x¤ +x=x(x+1)
③ x¤ +2x+1=(x+1)¤
④ x¤ +2x-3=(x+3)(x-1)
⑤ 3x¤ +4x+1=(3x+1)(x+1)
따라서 x-1을 인수로 갖는 것은 ①, ④이다. ①, ④ 09 ① ma¤ +mb=m(a¤ +b)
② 4x¤ -4x+4=4(x¤ -x+1)
③ x¤ +2x-3=(x+3)(x-1)
④ x› -1=(x¤ +1)(x+1)(x-1)
따라서 인수분해한 것이 옳은 것은 ⑤이다. ⑤ 10 공통인 인수가 2x-3이므로
4x¤ +ax-12=(2x-3)(2x+4)
=4x¤ +2x-12
∴ a=2
2x¤ -x+b=(2x-3)(x+B)
=2x¤ +(2B-3)x-3B 2B-3=-1에서 B=1
∴ b=-3B=-3
∴ a-b=2-(-3)=5 ⑤
11 (2x-1)(2x-3)+k=4x¤ -8x+3+k 이 식이 완전제곱식이 되려면
8=2_2_'ƒk+3 'ƒk+3=2 k+3=4
∴ k=1 1
12 (2x+y+1)¤ -(x-y+1)¤
={(2x+y+1)+(x-y+1)}{(2x+y+1)-(x-y+1)}
=(3x+2)(x+2y) (3x+2)(x+2y) 13 x¤ +Ax+B=(x+a)(x-b)에서
A=a-b, B=-ab
∴ x¤ -(A-B)x-AB=(x-A)(x+B)
=(x-a+b)(x-ab) ③ 14 3x¤ +Ax-5=(3x+a)(x+b)
=3x¤ +(a+3b)x+ab ab=-5이므로 A=a+3b의 값은
⁄ a=1, b=-5일 때,
a+3b=1+3_(-5)=-14
¤ a=-1, b=5일 때, a+3b=-1+3_5=14
‹ a=5, b=-1일 때, a+3b=5+3_(-1)=2
› a=-5, b=1일 때, a+3b=-5+3_1=-2
따라서 상수 A의 최댓값은 14, 최솟값은 -14이므로 구하는 합은
14+(-14)=0 ③
01 y+x¤ (x-y)-x=x¤ (x-y)-(x-y)
=(x¤ -1)(x-y)
=(x+1)(x-1)(x-y)
따라서 인수인 것은 ④이다. ④
02 2(2x+y)¤ -30x-15y+7
=2(2x+y)¤ -15(2x+y)+7 2x+y=A로 치환하면 (주어진 식)=2A¤ -15A+7
=(A-7)(2A-1)
=(2x+y-7)(4x+2y-1) ⑤
03 2x-y=A로 치환하면 6(2x-y)¤ -7(2x-y)x-3x¤
=6A¤ -7Ax-3x¤
=(2A-3x)(3A+x)
=(4x-2y-3x)(6x-3y+x)
=(x-2y)(7x-3y)
36쪽
복잡한 식의 인수분해 실전연습 문제
08
THEME
1
회따라서 구하는 두 일차식의 합은
(x-2y)+(7x-3y)=8x-5y ⑤
04 16x¤ -8xy+y¤ -z¤ =(4x-y)¤ -z¤
=(4x-y+z)(4x-y-z) ② 05 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1
=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)+1
=(x¤ +5x+4)(x¤ +5x+6)+1 x¤ +5x=A로 치환하면
(주어진 식)=(A+4)(A+6)+1
=A¤ +10A+25
=(A+5)¤
=(x¤ +5x+5)¤ ④
06 ㄱ. a‹ -a¤ b-a+b=a¤ (a-b)-(a-b)
=(a-b)(a¤ -1)
=(a-b)(a+1)(a-1) ㄴ. (x+1)¤ -(x-1)¤
={(x+1)+(x-1)}{(x+1)-(x-1)}
=2x_2=4x
ㄷ. 2xy-x¤ -y¤ +4=4-(x¤ -2xy+y¤ )
=2¤ -(x-y)¤
=(2+x-y)(2-x+y) ㄹ. 2x-1=A로 치환하면
ㄹ.6(2x-1)¤ -(2x-1)-2=6A¤ -A-2
=(2A+1)(3A-2)
=(4x-2+1)(6x-3-2)
=(4x-1)(6x-5) 따라서 인수분해한 것이 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다. ③ 07 x에 관하여 내림차순으로 정리하면
xy+x-y¤ +2y+3=x(y+1)-(y¤ -2y-3)
=x(y+1)-(y+1)(y-3)
=(y+1)(x-y+3)
(y+1)(x-y+3)
01 x(y-1)-2(y-1)-2x+4
=(x-2)(y-1)-2(x-2)
=(x-2)(y-1-2)
=(x-2)(y-3) ②
02 (x-y)(x-z)+(y-x)(y-z)
=(x-y)(x-z)-(x-y)(y-z)
=(x-y){x-z-(y-z)}
=(x-y)(x-y)
=(x-y)¤ ①
37쪽
복잡한 식의 인수분해 실전연습 문제
08
THEME
2
회03. 인수분해
73
03 x-1=A, x+3=B로 치환하면 3(x-1)¤ -2(x-1)(x+3)-5(x+3)¤
=3A¤ -2AB-5B¤
=(A+B)(3A-5B)
=(x-1+x+3)(3x-3-5x-15)
=(2x+2)(-2x-18)
=-4(x+1)(x+9) ①
04 9x¤ +y¤ -16z¤ +6xy
=9x¤ +6xy+y¤ -16z¤
=(3x+y)¤ -(4z)¤
=(3x+y+4z)(3x+y-4z)
(3x+y+4z)(3x+y-4z) 05 x(x+1)(x+2)(x+3)-15
=x(x+3)(x+1)(x+2)-15
=(x¤ +3x)(x¤ +3x+2)-15 x¤ +3x=A로 치환하면 (주어진 식)=A(A+2)-15
=A¤ +2A-15
=(A+5)(A-3)
=(x¤ +3x+5)(x¤ +3x-3) 따라서 구하는 두 이차식의 합은
(x¤ +3x+5)+(x¤ +3x-3)=2x¤ +6x+2 ⑤ 06 ① a¤ -b¤ -(a-b)¤
=(a+b)(a-b)-(a-b)¤
=(a-b)(a+b-a+b)
=2b(a-b)
② x¤ +xy-x-y
=x(x+y)-(x+y)
=(x+y)(x-1)
③ ab¤ -b¤ -4a+4
=b¤ (a-1)-4(a-1)
=(a-1)(b¤ -4)
=(a-1)(b+2)(b-2)
④ x¤ -2y¤ -xy-yz-zx
=(x¤ -xy-2y¤ )-z(x+y)
=(x+y)(x-2y)-z(x+y)
=(x+y)(x-2y-z)
⑤(y-z)(z-x)¤ +(x-z)¤ (x-y)
=(y-z)(x-z)¤ +(x-z)¤ (x-y)
=(x-z)¤ (y-z+x-y)
=(x-z)‹
따라서 인수분해한 것이 옳지 않은 것은 ④이다. ④ 07 x에 관하여 내림차순으로 정리하면
x¤ +y¤ +2xy+3x+3y+2
=x¤ +(2y+3)x+y¤ +3y+2
=x¤ +(2y+3)x+(y+1)(y+2)
=(x+y+1)(x+y+2)
즉, a=1, b=1, c=1, d=1이므로
a+b+c+d=1+1+1+1=4 ②
01 5_7.5¤ -5_2.5¤ =5_(7.5¤ -2.5¤ )
=5_(7.5+2.5)(7.5-2.5)
=5_10_5
=250 250
02 x-y=3+'2-(3-'2)=2'2이므로 x¤ -2xy+y¤ =(x-y)¤
=(2'2)¤ =8 8
03 x¤ -y¤ +3x-3y=(x+y)(x-y)+3(x-y)
=(x-y)(x+y+3)
=2'3_('3-3+3)
=6 ③
04 주어진 직사각형의 넓이의 합은 3x¤ +7x+2 3x¤ +7x+2=(x+2)(3x+1)
따라서 새로운 직사각형의 가로, 세로의 길이는 x+2, 3x+1 이므로
(둘레의 길이)=2{(x+2)+(3x+1)}
=8x+6 ⑤
05 3a¤ +5a-12=(a+3)(3a-4)이므로 직사각형의 세로의 길이는 3a-4이다.
따라서 구하는 정사각형의 넓이는
(3a-4)¤ =9a¤ -24a+16 ④
06 {1- }{1- }{1- }{1- }
={1-;2!;}{1+;2!;}{1-;3!;}{1+;3!;}{1-;4!;}{1+;4!;}{1-;5!;}{1+;5!;}
=;2!;_;2#;_;3@;_;3$;_;4#;_;4%;_;5$;_;5^;
=;5#; ;5#;
07 둘레의 길이의 합이 120 cm이므로 4(a+b)=120에서 a+b=30 넓이의 차가 600 cm¤ 이므로
a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)=600이므로 30(a-b)=600 ∴ a-b=20
∴ (둘레의 길이의 차)=4(a-b)=80(cm) ⑤ 5¤1
4¤1 3¤1
2¤1
38쪽
인수분해 공식의 활용 실전연습 문제
09
THEME
1
회01 36› -1=(36¤ )¤ -1=(36¤ +1)(36¤ -1)
=(36¤ +1)(36+1)(36-1)
=(36¤ +1)(36+1)(6+1)(6-1)
=(36¤ +1)_37_7_5
따라서 약수가 아닌 것은 ② 43이다. ②
02 x= 1 =('3+'2)('3-'2)'3-'2 ='3-'2 '3+'2
39쪽
인수분해 공식의 활용 실전연습 문제
09
THEME
2
회중단원실전 평가
THEME모아
40~43쪽
01 ① x¤ +2x+1=(x+1)¤
③ x¤ +4x+4=(x+2)¤
④ 9x¤ +24xy+16y¤ =(3x+4y)¤
⑤ 25x¤ -70x+49=(5x-7)¤
따라서 완전제곱식으로 인수분해할 수 없는 것은 ②이다.
② 02 3x¤ -2x-5=(x+1)(3x-5)
즉, A=1, B=-5이므로
5A+B=5+(-5)=0 ④
y= = ='3+'2
x+y=2'3, x-y=-2'2
∴ x¤ -y¤ =(x+y)(x-y)
=2'3_(-2'2)=-4'6 ②
03 주어진 직사각형의 넓이의 합은
x¤ +5x+6=(x+2)(x+3) ⑤
04 4x-8y+xy-y¤ -16=(y+4)x-(y¤ +8y+16)
=(y+4)x-(y+4)¤
=(y+4)(x-y-4)
따라서 직사각형의 가로의 길이는 y+4, 세로의 길이는 x-y-4이므로
(둘레의 길이)=2{(y+4)+(x-y-4)}=2x ③ 05 (부피)=p_6.5¤ _12-p_3.5¤ _12
=12p(6.5¤ -3.5¤ )
=12p(6.5+3.5)(6.5-3.5)
=12p_10_3
=360p(cm‹ ) 360p cm‹
06 x=2+'3, y= =2-'3이고
x¤ +4xy-4x+4y¤ -8y+4=(x+2y)¤ -4(x+2y)+4 x+2y=A로 치환하면
(주어진 식)=A¤ -4A+4
=(A-2)¤
=(x+2y-2)¤
=(2+'3+4-2'3-2)¤
=(4-'3)¤
=19-8'3 19-8'3
07 xy+x-3y-3=65에서 x(y+1)-3(y+1)=65 (x-3)(y+1)=65 65=1_65, 65=5_13에서 x, y는 x>y인 자연수이므로 x-3=13, y+1=5
∴ x=16, y=4
∴ x¤ -y¤ =(x+y)(x-y)=20_12=240 240 2+'31
'3+'2 ('3-'2)('3+'2) 1
'3-'2 03 2x¤ -(3a+1)x-6=(x-2)(2x+b)
=2x¤ +(b-4)x-2b -2b=-6에서 b=3
b-4=-(3a+1)에서 -1=-(3a+1) 3a=0 ∴ a=0
∴ a+b=0+3=3 3
04 ① 4x¤ -y¤ =(2x+y)(2x-y)
② x¤ +5x-6=(x+6)(x-1)
③ 4x¤ -12x+9=(2x-3)¤
⑤(x-1)(x-2)-2=x¤ -3x=x(x-3)
따라서 인수분해한 것이 옳은 것은 ④이다. ④ 05 공통인 인수가 x-2이므로
x¤ -ax+12=(x-2)(x-6)
=x¤ -8x+12
∴ a=8
2x¤ -7x+b=(x-2)(2x-3)
=2x¤ -7x+6
∴ b=6
∴ a+b=8+6=14 ⑤
06 A：(x+3)(x-2)=x¤ +x-6 A：˙kx의 계수는 1
B：(x+4)(x-5)=x¤ -x-20 A：˙k상수항은 -20
따라서 처음 이차식은 x¤ +x-20이므로
x¤ +x-20=(x+5)(x-4) ②
07 x-2=A로 치환하면
(x-2)¤ +3(x-2)-4=A¤ +3A-4
=(A+4)(A-1)
=(x-2+4)(x-2-1)
=(x+2)(x-3) ④
08 a¤ +2a+2b-b¤ =a¤ -b¤ +2a+2b
=(a+b)(a-b)+2(a+b)
=(a+b)(a-b+2)
ab-a+b¤ -b=a(b-1)+b(b-1)=(b-1)(a+b) 따라서 두 다항식의 1이 아닌 공통인 인수는 a+b이다.
a+b 09 x¤ -y¤ +z¤ +2xz=x¤ +2xz+z¤ -y¤
=(x+z)¤ -y¤
=(x+y+z)(x-y+z) 따라서 구하는 두 일차식의 합은
(x+y+z)+(x-y+z)=2x+2z ③
10 ㄱ. x¤ -2xy+y¤ -25=(x-y)¤ -5¤
=(x-y+5)(x-y-5) ㄴ. 5x¤ +4xy-9y¤ =(x-y)(5x+9y)
ㄷ. 2x¤ -y¤ -xy-x+y=2x¤ -xy-y¤ -(x-y)
=(2x+y)(x-y)-(x-y)
=(x-y)(2x+y-1)
03. 인수분해
75
ㄹ. x-y=A로 치환하면
ㄹ. (x-y)(x-y-4)+3=A(A-4)+3
=A¤ -4A+3
=(A-1)(A-3)
=(x-y-1)(x-y-3) 따라서 x-y를 인수로 갖는 것은 ㄴ, ㄷ이다. ③ 11 (x-3)(x-2)(x+2)(x+3)-84
=(x-3)(x+3)(x-2)(x+2)-84
=(x¤ -9)(x¤ -4)-84
=x› -13x¤ -48
=(x¤ +3)(x¤ -16)
=(x¤ +3)(x+4)(x-4)
따라서 인수가 아닌 것은 ①이다. ①
12 36¤ -4¤ =(36+4)(36-4)=40_32이므로
a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)를 이용하면 가장 편리하다. ③ 13 A=12_70-12_65=12_(70-65)=12_5=60
B=54¤ -46¤ =(54+46)(54-46)=100_8=800 C="1√02¤ √-40√8+2¤
="1√02¤ √-2√_10√2_√2+2¤
="(√102√-2)¤ =100
∴ A+B+C=60+800+100=960 ①
14 220-1=(210+1)(210-1)
=(210+1)(25+1)(25-1)
=1025_33_31
따라서 220-1은 30과 40 사이의 두 자연수 31, 33으로 나누 어떨어지므로 두 자연수의 합은
31+33=64 ①
15 x= = =3+2'2
y= = =3-2'2
x+y=(3+2'2 )+(3-2'2 )=6 xy=(3+2'2 )(3-2'2 )=9-8=1
∴ x¤ y+xy¤ =xy(x+y)=1_6=6 ⑤ 16 새로 만든 직사각형의 넓이는 2x¤ +3x+1이므로
2x¤ +3x+1=(x+1)(2x+1)
따라서 새로 만든 직사각형의 둘레의 길이는
2{(x+1)+(2x+1)}=6x+4 ①
17 도형 ㈎의 넓이는
(3x-4)¤ -5¤ =(3x-4+5)(3x-4-5)
=(3x+1)(3x-9)
두 도형 ㈎, ㈏의 넓이가 같고, 도형 ㈏의 가로의 길이가 3x+1이므로 세로의 길이는 3x-9이다. ③ 18 AB”를 지름으로 하는 반원의 넓이는 ;2!;_p_18¤ (cm¤ )
AC”=AB”-CB”=36-16=20(cm)이므로
AC”를 지름으로 하는 반원의 넓이는 ;2!;_p_10¤ (cm¤ ) 따라서 구하는 넓이는
(3+'8)(3-'8)3-'8 3+'81
(3-'8)(3+'8)3+'8 3-'81
;2“;(18¤ -10¤ )=;2“;(18+10)(18-10)=;2“;_28_8
;2“;(18¤ -10¤ )=112p(cm¤ ) ③
19 ⑴ x¤ +18x+81=(x+9)¤ y❶
⑵;4!;a¤ -;9$;b¤ ={;2!;a}2 -{;3@;b}2
⑵;4!;a¤ -;9$;b¤={;2!;a+;3@;b}{;2!;a-;3@;b} y❷
⑶ x¤ +2xy+y¤ -2x-2y-15=(x+y)¤ -2(x+y)-15 x+y=A로 치환하면
(주어진 식)=A¤ -2A-15
=(A+3)(A-5)
=(x+y+3)(x+y-5) y❸
⑴(x+9)¤ ⑵ {;2!;a+;3@;b}{;2!;a-;3@;b}
⑶(x+y+3)(x+y-5)
20 "5√03¤ √-49≈7Ω¤ ="(√503√+49√7)(5√03-√497) y❶
"5√03¤ √-49≈7Ω¤ ='1ƒ000∂_å6
="2√0¤ _ç15=20'1å5 y❷ 20'1å5
21 a¤ -b¤ +2b-1=20 a¤ -(b¤ -2b+1)=20 a¤ -(b-1)¤ =20
(a+b-1)(a-b+1)=20 y❶
a+b='5이므로 ('5-1)(a-b+1)=20
a-b+1= =5('5+1)
∴ a-b=5('5+1)-1=5'5+4 y❷ 5'5+4
22 ⑴ 두 액자의 둘레의 길이의 합이28이므로 4a+4b=28
⑵∴ a+b=7 yy ㉠ y❶
⑵ 큰 액자의 넓이가 작은 액자의 넓이보다21만큼 크므로
⑵a¤ -b¤ =21, (a+b)(a-b)=21
⑵㉠에 의해 a-b=3 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=5, b=2 y❷
⑴ 7 ⑵ a=5, b=2 20('5+1)
('5-1)('5+1)
❶인수분해 공식을 이용하여 나타내기
채점 기준 배점
❷"a≈¤ b=a'b임을 이용하여 간단히 하기
3점 3점
❶둘레의 길이를 이용하여 a+b의 값 구하기
채점 기준 배점
❷넓이의 차를 이용하여 a, b의 값 구하기
2점 3점
❶인수분해를 이용하여 주어진 식 정리하기
채점 기준 배점
❷분모의 유리화를 이용하여 a-b의 값 구하기
3점 3점
❶완전제곱식을 이용하여 인수분해하기
채점 기준 배점
❷제곱의 차를 이용하여 인수분해하기
❸치환을 이용하여 인수분해하기
2점 2점 2점
04. 이차방정식의 뜻과 풀이
01 ㄱ. 이차식
ㄴ. x¤ +5x=1+x¤ , 5x-1=0˙k일차방정식
ㅂ. x‹ +x=6x+1, x‹ -5x-1=0˙k이차방정식이 아니다.
따라서 이차방정식인 것은 ㄷ, ㄹ, ㅁ이다. ③ 02 (x-1)(4x+1)=(a-1)x¤ -x에서
4x¤ -3x-1=(a-1)x¤ -x (a-5)x¤ +2x+1=0
따라서 x에 관한 이차방정식이 되기 위한 조건은 a-5+0
∴ a+5 a+5
03 ① 3¤ -3_3+5+0
② 3¤ -8_3+-12
③ 3¤ +2_3+1+0
④ 2_3¤ -5_3-3=0
⑤ 2_3¤ +3-1+0
따라서 x=3을 해로 갖는 것은 ④이다. ④
04 x=1을 x¤ +ax-3=0에 대입하면 1+a-3=0 ∴ a=2
x=1을 3x¤ -4x-b=0에 대입하면 3-4-b=0 ∴ b=-1
∴ ab=2_(-1)=-2 ①
05 x=a를 x¤ +4x+3=0에 대입하면 a¤ +4a+3=0에서 a¤ +4a=-3
∴ 2a¤ +8a-3=2(a¤ +4a)-3
=2_(-3)-3
=-9 ①
06 x=a, x=b를 각각 주어진 이차방정식에 대입하면 a¤ -a-1=0에서 a¤ -a=1
b¤ -b-1=0에서 b¤ -b=1
∴(a¤ -a-3)(b¤ -b+2)=(1-3)(1+2)
=(-2)_3
=-6 ②
07 x=p를 x¤ -6x+1=0에 대입하면 p¤ -6p+1=0
양변을 p로 나누면 p-6+;p!;=0
∴ p+;p!;=6
{p-;p!;}2={p+;p!;}2-4이므로 {p-;p!;}2=6¤ -4=32
이때 0<p<1이므로 p-;p!;<0
∴ p-;p!;=-'∂32 =-4'2 ②
x=0을 x¤ -6x+1=0에 대입하면 성립하지 않으므로 p+0이다.
즉, 양변을 p를 나누어도 주어진 등식은 성립한다.
01 ⑤ x¤ +4x=(x+2)(x-3)에서 x¤ +4x=x¤ -x-6
5x+6=0˙k일차방정식 ⑤
02 (2x-2)¤ +(x+3)(x+2)=2x(2x+1)에서 4x¤ -8x+4+x¤ +5x+6=4x¤ +2x
5x¤ -3x+10=4x¤ +2x x¤ -5x+10=0
즉, a=-5, b=10이므로
a-b=-5-10=-15 ①
03 ① 3_1¤ -7_1+2+0
② 3_2¤ -7_2+2=0
③ 3_3¤ -7_3+2+0
④ 3_4¤ -7_4+2+0
⑤ 3_5¤ -7_5+2+0
따라서 3x¤ -7x+2=0의 해가 될 수 있는 것은 x=2이다.
② 04 x=1을 x¤ +ax-5=0에 대입하면
1+a-5=0∴∴∴ a=4 4
05 x=-;2!;을 ax¤ -2=0에 대입하면
;4!;a-2=0, ;4!;a=2∴∴∴ a=8 x=-;2!;을 2x¤ -bx-3=0에 대입하면
;2!;+;2!;b-3=0, ;2!;b=;2%;∴∴∴ b=5
∴ a+b=8+5=13 ⑤
06 x=a를 x¤ -4x-1=0에 대입하면 a¤ -4a-1=0
양변을 a로 나누면 a-4-;a!;=0
∴ a-;a!;=4
∴ a¤ + ={a-;a!;}2+2=4¤ +2=18 ③ 07 x=p를 x¤ -5x+2=0에 대입하면
p¤ -5p+2=0
양변을 p로 나누면 p+ =5 p¤ + ={p+ }2-4=5¤ -4=21
∴ p¤ +p+ + ={p¤ + }+{p+ }
=21+5=26 ③
2 p 4
p¤
4 p¤
2 p
2 p 4
p¤
2 p 1
a¤
44쪽
이차방정식의 뜻과 해 실전연습 문제
10
THEME
1
회45쪽
이차방정식의 뜻과 해 실전연습 문제
10
THEME
2
회04. 이차방정식의 뜻과 풀이
77
01 x¤ +2x-15=0에서 (x+5)(x-3)=0
∴ x=-5 또는 x=3 ③
02 6x¤ -7x-3=0에서 (3x+1)(2x-3)=0
∴ x=-;3!; 또는 x=;2#;
이때 a>b이므로 a=;2#;, b=-;3!;
∴ a-b=;2#;-{-;3!;}=:¡6¡: ④ 03 x=k를 2x¤ -kx-k-6=0에 대입하면
2k¤ -k¤ -k-6=0, k¤ -k-6=0 (k+2)(k-3)=0
∴ k=-2 또는 k=3
따라서 양수 k의 값은 3이다. ③
04 x=-4를 x¤ -3ax-2a+4=0에 대입하면 16+12a-2a+4=0
10a=-20 ∴ a=-2
x¤ +6x+8=0에서(x+4)(x+2)=0
∴ x=-4 또는 x=-2
따라서 다른 한 근은 x=-2이다. x=-2
05 x=-4를 x¤ -2x+a=0에 대입하면 16+8+a=0 ∴ a=-24 즉, 4x¤ -24x+35=0이므로 (2x-5)(2x-7)=0
∴ x=;2%; 또는 x=;2&; x=;2%; 또는 x=;2&;
06 2x¤ -9x-5=0에서 (2x+1)(x-5)=0
∴ x=-;2!; 또는 x=5
이때 x=-;2!;이 x¤ +3x+k=0의 근이므로 {-;2!;}2+3_{-;2!;}+k=0
∴ k=;4%; ③
07 x¤ +x-2=0에서 (x+2)(x-1)=0
∴ x=-2 또는 x=1
x¤ -x-6=0에서(x+2)(x-3)=0
∴ x=-2 또는 x=3
따라서 두 이차방정식의 공통인 근은 x=-2이다. ① 08 x=;2!;을 Ax¤ -1=0에 대입하면
;4!;A-1=0, ;4!;A=1
∴ A=4
x=;2!;을 2x¤ -Bx-3=0에 대입하면
;2!;-;2!;B-3=0, -;2!;B=;2%;
∴ B=-5
46~47쪽 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이 실전연습 문제
11
THEME
1
회 ∴ AB=4_(-5)=-20 -2009 ① (x+1)(x-1)=0
③∴ x=-1 또는 x=1
② x=0 또는 x=-2
③ x¤ +6x+9=0에서 (x+3)¤ =0
③∴ x=-3 (중근)
④ x¤ -4x-5=0, (x+1)(x-5)=0
③∴ x=-1 또는 x=5
⑤ x=-1 또는 x=1
따라서 중근을 갖는 것은 ③이다. ③
10 4x¤ +(3-5k)x+4=0에서 x¤ +{ }x+1=0이므로 1={ }2, (3-5k)¤ =64 3-5k=—8
3-5k=8일 때, k=-1
3-5k=-8일 때, k=:¡5¡: ②, ④
11 x=1을 (a-2)x¤ +(a¤ +3)x-6a+5=0에 대입하면 (a-2)+(a¤ +3)-6a+5=0
a¤ -5a+6=0, (a-2)(a-3)=0
∴ a=2 또는 a=3
이때 a=2이면 이차방정식이 아니므로 a=3 즉, x¤ +12x-13=0에서 (x+13)(x-1)=0
∴ x=-13 또는 x=1
즉, 다른 한 근은 x=-13이므로 b=-13
∴ ab=3_(-13)=-39 -39
12 x=-3을 x¤ +ax+12=0에 대입하면 9-3a+12=0
3a=21∴∴∴ a=7 즉, x¤ +7x+12=0에서 (x+4)(x+3)=0
∴ x=-4 또는 x=-3
따라서 x=-4가 2x¤ -3x+b=0의 근이므로 2_16+12+b=0∴∴
∴ b=-44
∴ b-a=-44-7=-51 ①
13 4x¤ +ax+b=0이 중근 x=;2#;을 가지므로
4{x-;2#;}2=0 4{x¤ -3x+;4(;}=0
∴ 4x¤ -12x+9=0 즉, a=-12, b=9이므로
a+b=-12+9=-3 ①
|`다른 풀이`| 이차항의 계수가 4이므로 (2x-k)¤ =0의 꼴로 나타낼 수 있다.
3-5k 8 3-5k
4