배운대로
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개념 05 ~ 개념 0701
주어진 다각형을 n각형이라고 하면 180ù_(n-2)=1080ù
n-2=6 ∴ n=8
따라서 팔각형의 꼭짓점의 개수는 8개이다. ②
02
주어진 다각형을 n각형이라고 하면 n-3=7 ∴ n=10
따라서 십각형의 내각의 크기의 합은
180ù_(10-2)=1440ù ④
03
육각형의 내각의 크기의 합은 180ù_(6-2)=720ù이므로 120ù+110ù+105ù+∠x+∠x+125ù=720ù
2∠x+460ù=720ù, 2∠x=260ù ∴ ∠x=130ù 130ù
04
오각형의 내각의 크기의 합은 180ù_(5-2)=540ù이므로 100ù+∠y+(180ù-60ù)+(180ù-∠x)+110ù=540ù
∠y-∠x+510ù=540ù ∴ ∠y-∠x=30ù ①
05
오른쪽 그림과 같이 보조선을 그으면 a
b
c d
h e f
∠g+∠h=180ù-90ù=90ù 육각형의 내각의 크기의 합은 180ù_(6-2)=720ù이므로
∠a+∠b+∠c+∠d+∠e+∠f
+(∠g+∠h)=720ù
∴ ∠a+∠b+∠c+∠d+∠e+∠f=720ù-90ù=630ù ③
06
∠x=180ù-95ù=85ù 외각의 크기의 합은 360ù이므로 85ù+75ù+60ù+∠y+80ù=360ù
∠y+300ù=360ù ∴ ∠y=60ù ④
07
외각의 크기의 합은 360ù이므로
∠x+(180ù-150ù)+55ù+(180ù-130ù)+85ù+40ù+(180ù-130ù)
=360ù
∠x+310ù=360ù ∴ ∠x=50ù 50ù
08
주어진 정다각형을 정 n각형이라고 하면 n(n-3)
2 =90, n(n-3)=180 이때 180=15_12이므로 n=15 따라서 정십오각형의 한 내각의 크기는
180ù_(15-2)
15 =156ù ⑤
09
구하는 정다각형을 정 n각형이라고 하면 180ù_(n-2)
n =140ù, 180ù_n-360ù=140ù_n 40ù_n=360ù ∴ n=9
따라서 구하는 정다각형은 정구각형이다. ④
10
① 한 꼭짓점에서 대각선을 모두 그었을 때 생기는 삼각형의 개수는 12-2=10(개)
② 대각선의 개수는 12_(12-3) 2 =54(개)
③ 한 내각의 크기는 180ù_(12-2) 12 =150ù
④ 외각의 크기의 합은 360ù이다.
⑤ 한 외각의 크기는 360ù 12 =30ù
따라서 옳은 것은 ②, ③이다. ②, ③
11
∠x는 정육각형의 한 외각의 크기와 정팔각형의 한 외각의 크기의 합이므로
∠x=360ù 6 +360ù
8 =60ù+45ù=105ù ⑤
12
한 내각의 크기와 한 외각의 크기의 합은 180ù이므로 한 외각의 크 기는 180ù_ 2
7+2 =180ù_;9@;=40ù 주어진 정다각형을 정 n각형이라고 하면
360ù
n =40ù ∴ n=9
따라서 정구각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는
9-3=6(개) ③
13
조건 ㈎ 를 만족시키는 다각형은 정다각형이다.
조건 ㈏ 에 의하여 한 내각의 크기와 한 외각의 크기의 비가 1 : 2이 고 한 내각의 크기와 한 외각의 크기의 합은 180ù이므로 한 외각의 크기는 180ù_ 2
1+2 =180ù_;3@;=120ù 구하는 다각형을 정 n각형이라고 하면 360ù
n =120ù ∴ n=3 따라서 조건을 모두 만족시키는 다각형은 정삼각형이다. 정삼각형
2. 원과 부채꼴
워크북 | 16 ~ 17 쪽
01
①, ④02
①03
⑴ 80ù ⑵ 27 cm04
④05
④06
③07
32 cm08
②09
200ù10
40 cmÛ`11
⑤12
②13
9 cm배운대로
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개념 01 ~ 개념 0201
① ABÓ는 현이다.
④ µ AB와 ABÓ로 둘러싸인 도형이 활꼴이다. ①, ④
02
오른쪽 그림과 같은 부채꼴 AOB에서 반지름 A
O B 의 길이와 중심각에 대한 현의 길이가 같으므 로 OAÓ=OBÓ=ABÓ
따라서 △AOB는 정삼각형이므로
∠AOB=60ù
①
03
⑴ 40ù : ∠DOE=6 : 12이므로 40ù：∠DOE=1 : 2 ∴ ∠DOE=80ù
⑵ µAB : 6=180ù : 40ù이므로 µAB：6=9 : 2
2µAB=54 ∴ µAB=27(cm) ⑴ 80ù ⑵ 27 cm
04
∠BOC=180ù-105ù=75ù이므로 105ù : 75ù=µ AC : µ BC, 7 : 5=35 : µ BC
7µ BC=175 ∴ µ BC=25(cm) ④
05
µAC：µ BC=2：3이므로 ∠AOC：∠BOC=2：3
∴ ∠AOC=180ù_ 2
2+3 =180ù_;5@;=72ù ④
06
원 O의 둘레의 길이를 x cm라고 하면 120ù : 360ù=16 : x, 1 : 3=16 : x
∴ x=48
따라서 원 O의 둘레의 길이는 48 cm이다. ③
07
오른쪽 그림과 같이 ODÓ를 그으면
30° 30° 30°
D
A B
C
O ADÓOCÓ이므로 8 cm
∠OAD=∠BOC=30ù (동위각)
△AOD에서 OAÓ=ODÓ이므로
∠ODA=∠OAD=30ù
∴ ∠AOD=180ù-(30ù+30ù)=120ù 따라서 120ù : 30ù=µAD : µ BC이므로
4 : 1=µAD : 8 ∴ µ AD=32(cm) 32 cm
08
△ODP에서 ODÓ=DPÓ이므로 ∠DOP=∠P=15ù
∴ △ODC=15ù+15ù=30ù
△OCD에서 OCÓ=ODÓ이므로 ∠OCD=∠ODC=30ù
∴ ∠COD=180ù-(30ù+30ù)=120ù
△OCP에서 ∠AOC=30ù+15ù=45ù
따라서 45ù : 15ù=µ AC`:`µ BD이므로 3：1=12：µ BD
3µ BD=12 ∴`µ BD=4(cm) ②
09
∠AOB：∠COD=2：10이므로
40ù：∠x=1 : 5 ∴ ∠x=200ù 200ù
10
µ AB : µCD=3 : 5이므로
∠AOB=∠COD= µ AB : µCD=3 : 5 부채꼴 COD의 넓이를 x cmÛ`라고 하면
∠AOB : ∠COD=24 : x, 3 : 5=24 : x 3x=120 ∴ x=40
따라서 부채꼴 COD의 넓이는 40 cmÛ`이다. 40 cmÛ`
11
④ ∠COE=∠COD+∠DOE=25ù+25ù=50ù ∠DOF=∠DOE+∠EOF=25ù+25ù=50ù 따라서 ∠COE=∠DOF이므로 CEÓ=DFÓ
⑤ 현의 길이는 중심각의 크기에 정비례하지 않으므로 DFÓ+12(cm)
따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다. ⑤
| 배운대로 복습하기 |
12
② 한 원에서 현의 길이는 중심각의 크기에 정비례하지 않으므로
2ABÓ+ACÓ ②
13
오른쪽 그림과 같이 ∠COD=∠x라고 D
x xxx
A B
C
O 9 cm 하면 CBÓDOÓ이므로
∠OCB=∠COD=∠x (엇각)
△OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로
∠OBC=∠OCB=∠x
CBÓDOÓ이므로 ∠AOD=∠OBC=∠x (동위각)
따라서 ∠AOD=∠COD이므로 ADÓ=CDÓ=9(cm) 9 cm
워크북 | 18 ~ 19 쪽
01
⑤02
③03
둘레의 길이 : 36p cm, 넓이 108p cmÛ`04
④05
24p cm06
⑤07
30p cmÛ`08
140ù09
①10
⑤11
⑤12
⑤13
(12p+16) cm14
③배운대로
복습하기
개념 03 ~ 개념 0401
원 O의 반지름의 길이는 ;2!;_14=7(cm)
따라서 원 O의 넓이는 p_7Û`=49p(cmÛ`) ⑤
02
원의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 prÛ`=400p, rÛ`=400 ∴ r=20
따라서 반지름의 길이가 20`cm이므로 원의 지름의 길이는
2_20=40(cm) ③
03
(색칠한 부분의 둘레의 길이) =2p_12+2p_6
=24p+12p=36p(cm) (색칠한 부분의 넓이) =p_12Û`-p_6Û `
=144p-36p=108p(cmÛ`)
둘레의 길이 : 36p cm, 넓이 :108p cmÛ`
04
(색칠한 부분의 넓이) =(p_9Û`)_;2!;-(p_4Û`)_;2!;-(p_5Û`)_;2!;
(색칠한 부분의 넓이) =;;¥2Á;;p-8p-;;ª2°;;p=20p(cmÛ`) ④
05
ABÓ=BCÓ=CDÓ=;3!; ADÓ=;3!;_24=8(cm) 이때 µAB=µ CD, µAC=µ BD이므로
(색칠한 부분의 둘레의 길이) =µAB+µAC+µ BD+µ CD (색칠한 부분의 둘레의 길이) =2_(µAB+µAC)
(색칠한 부분의 둘레의 길이) =2_{2p_4_;2!;+2p_8_;2!;}
(색칠한 부분의 둘레의 길이) =2_12p
(색칠한 부분의 둘레의 길이) =24p(cm) 24p cm
06
부채꼴의 중심각의 크기를 xù라고 하면 p_9Û`_;36{0;=27p ∴ x=120
따라서 부채꼴의 중심각의 크기는 120ù이다. ⑤
07
정오각형의 한 내각의 크기는 180ù_(5-2)
5 =108ù
따라서 색칠한 부채꼴의 중심각의 크기가 108ù이므로 그 넓이는 p_10Û`_;3!6)0*;=30p(cmÛ`) 30p cmÛ`
08
부채꼴의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면
;2!;_r_14p=126p ∴ r=18 부채꼴의 중심각의 크기를 xù라고 하면 2p_18_;36{0;=14p ∴ x=140
따라서 부채꼴의 중심각의 크기는 140ù이다. 140ù
09
(색칠한 부분의 둘레의 길이)
=2p_6_;3#6)0);+2p_3_;3#6)0);+3_2
=10p+5p+6
=15p+6(cm) ①
10
부채꼴의 중심각의 크기를 xù라고 하면 2p_20_;36{0;=4p ∴ x=36
∴ (색칠한 부분의 넓이) =p_20Û`_;3£6¤0;-p_5Û`_;3£6¤0;
∴ (색칠한 부분의 넓이)=40p-;2%;p=;;¦2°;;p(cmÛ`) ⑤
11
색칠한 부분의 둘레의 길이는 반지름의 길이가 ;2(; cm인 원의 둘레 의 길이의 2배와 같으므로
(색칠한 부분의 둘레의 길이)={2p_;2(;}_2=18p(cm) ⑤
12
오른쪽 그림과 같이 이동하면 색칠한 부분의
5 cm 넓이는 직사각형의 넓이와 같으므로 5 cm
5_10=50(cmÛ`)
⑤
13
(색칠한 부분의 둘레의 길이)=2p_8_;2!;+2p_16_;3¢6°0;+16 (색칠한 부분의 둘레의 길이)=8p+4p+16
(색칠한 부분의 둘레의 길이)=12p+16(cm) (12p+16) cm
14
(색칠한 부분의 넓이)
=(지름이 ABÓ인 반원의 넓이)+(지름이 ACÓ인 반원의 넓이) +△ABC-(지름이 BCÓ인 반원의 넓이)
=p_{;2%;}2`_;2!;+p_6Û`_;2!;+;2!;_5_12-p_{;;Á2£;;}2`_;2!;
=;;ª8°;;p+18p+30-;;;!8^:(;p
=30(cmÛ`) ③
Ⅲ. 입체도형
1. 다면체와 회전체
워크북 | 20 ~ 21 쪽
01
④02
②03
④04
4705
④06
14개07
①, ④08
18개09
②, ⑤10
②11
4212
③, ④13
②14
④배운대로
복습하기
개념 01 ~ 개념 0201
ㄱ, ㄷ, ㅂ은 다각형이 아닌 곡면으로 둘러싸인 입체도형이므로 다
면체가 아니다. ④
02
주어진 다면체는 면의 개수가 6개인 육면체이다.
각 다면체의 면의 개수를 구하면
① 4+1=5(개) ② 4+2=6(개) ③ 5+2=7(개)
④ 6+2=8(개) ⑤ 6+1=7(개)
따라서 주어진 다면체와 면의 개수가 같은 것은 ②이다. ②
03
각 다면체의 꼭짓점의 개수를 구하면
① 8개 ② 8+1=9(개) ③ 2_8=16(개)
④ 2_9=18(개) ⑤ 9+1=10(개)
따라서 꼭짓점의 개수가 가장 많은 것은 ④이다. ④
04
십각뿔의 면의 개수는 10+1=11(개)이므로 a=11 팔각기둥의 모서리의 개수는 3_8=24(개)이므로 b=24 육각뿔대의 꼭짓점의 개수는 2_6=12(개)이므로 c=12
∴ a+b+c=11+24+12=47 47
05
주어진 각뿔대를 n각뿔대라고 하면 꼭짓점의 개수는 2n개이므로 2n=32 ∴ n=16
십육각뿔대의 면의 개수는 16+2=18(개)이므로 a=18 십육각뿔대의 모서리의 개수는 3_16=48(개)이므로 b=48
∴ a+b=18+48=66 ④
06
주어진 각기둥을 n각기둥이라고 하면 모서리의 개수는 3n개, 꼭짓 점의 개수는 2n개이므로
3n-2n=12 ∴ n=12 따라서 십이각기둥의 면의 개수는
12+2=14(개) 14개
07
② 사각뿔대 - 사다리꼴 ③ 육각기둥 - 직사각형
⑤ 팔각기둥 - 직사각형
따라서 바르게 짝 지어진 것은 ①, ④이다. ①, ④
08
조건 ㈎, ㈏ 에 의하여 구하는 다면체는 각기둥이다.
주어진 각기둥을 n각기둥이라고 하면 모서리의 개수는 3n개이므로 조건 ㈐ 에 의하여
3n=27 ∴ n=9
따라서 구각기둥의 꼭짓점의 개수는 2_9=18(개) 18개
| 배운대로 복습하기 |
09
① 면의 개수는 6+2=8(개)이므로 팔면체이다.
③ 밑면의 개수는 2개이다.
④ 꼭짓점의 개수는 2_6=12(개)
⑤ 육각뿔대의 모서리의 개수는 3_6=18(개), 팔각뿔대의 모서리 의 개수는 3_8=24(개)이므로 팔각뿔대보다 모서리가 24-18=6(개) 적다.
따라서 옳은 것은 ②, ⑤이다. ②, ⑤
10
조건 ㈎ 를 만족시키는 정다면체는 정육면체, 정팔면체이다.
조건 ㈏ 를 만족시키는 정다면체는 정육면체이다.
따라서 조건을 모두 만족시키는 정다면체는 정육면체이다. ②
11
한 꼭짓점에 모인 면의 개수가 5개인 정다면체는 정이십면체이므로 꼭짓점의 개수는 12개이다. ∴ a=12
면의 모양이 정오각형인 정다면체는 정십이면체이므로 정십이면체 의 모서리의 개수는 30개이다. ∴ b=30
∴ a+b=12+30=42 42
12
② 면의 모양이 정사각형인 정다면체는 정육면체 하나뿐이다.
③ 정팔면체의 한 꼭짓점에 모인 면의 개수는 4개이다.
④ 정사면체의 꼭짓점의 개수는 4개이다.
⑤ 정십이면체와 정이십면체의 모서리의 개수는 30개로 같다.
따라서 옳지 않은 것은 ③, ④이다. ③, ④
13
오른쪽 그림과 같이 세 꼭짓점 B, G, D를 지 A
B C
D
E
F G
H 나는 평면으로 자르면 그 단면의 모양은 정삼
각형이다.
②
14
④ 모서리의 개수는 12개이다. ④
워크북 | 22 ~ 23 쪽
01
ㄴ, ㅂ02
④03
②04
⑤05
②06
⑤07
③08
21p cmÛ`09
③10
⑤11
③, ⑤12
①, ③배운대로
복습하기
개념 03 ~ 개념 0401
ㄱ, ㄷ, ㄹ, ㅁ은 다면체이다. ㄴ, ㅂ
02
① ②
③ ⑤
④
03
②
②
06
① ② ③ ④
따라서 단면의 모양이 될 수 없는 것은 ⑤이다. ⑤
07
회전체는 오른쪽 그림과 같은 원뿔이고, 원뿔을
5 cm
12 cm l 회전축을 포함하는 평면으로 자를 때 생기는 단
면은 밑변의 길이가 10`cm이고 높이가 12`cm 인 이등변삼각형이다.
따라서 구하는 단면의 넓이는
;2!;_10_12=60(cmÛ`) ③
08
회전체를 회전축에 수직인 평면으로 자를 때 2 cm 생기는 단면은 오른쪽 그림과 같다. 3 cm
따라서 구하는 단면의 넓이는
p_5Û`-p_2Û`=25p-4p=21p(cmÛ`)
21p cmÛ`
l l
l l
A C B
D
10
원뿔의 모선의 길이를 x cm라고 하면 부채꼴의 호의 길이는 밑면 인 원의 둘레의 길이와 같으므로
2p_x_;3!6#0%;=2p_9 ∴ x=24
따라서 원뿔의 모선의 길이는 24 cm이다. ⑤
11
① 회전체는 오른쪽 그림과 같은 원기둥이다.
3 cm l
5 cm
③ 회전체를 회전축에 수직인 평면으로 자를 때 생기는 단면의 모양은 모두 원이고 합동이다.
④ 회전체의 밑면은 반지름의 길이가 3 cm인 원 이므로 둘레의 길이는 2p_3=6p(cm)
⑤ 회전체를 회전축을 포함하는 평면으로 자를 때 생기는 단면은 가 로의 길이가 6 cm, 세로의 길이가 5 cm인 직사각형이므로 구하 는 단면의 넓이는 6_5=30(cmÛ`)
따라서 옳지 않은 것은 ③, ⑤이다. ③, ⑤
12
② 회전체를 회전축에 수직인 평면으로 자를 때 생기는 단면의 모양 은 항상 원이지만 합동은 아니다.
④ 구의 회전축은 무수히 많다.
⑤ 구의 전개도는 그릴 수 없다.
따라서 옳은 것은 ①, ③이다. ①, ③
2. 입체도형의 겉넓이와 부피
워크북 | 24 쪽
01
⑤02
⑤03
96p cmÛ`04
(120p+108) cmÛ``05
③06
②07
195배운대로
복습하기
개념 01 ~ 개념 0201
정육면체의 한 모서리의 길이를 x cm라고 하면 (x_x)_6=294, xÛ`=49
∴ x=7
따라서 한 모서리의 길이는 7 cm이다. ⑤
02
(밑넓이)=7_5-2_4=27(cmÛ`)
(옆넓이)=(5+4+2+1+7+5)_3=72(cmÛ`)
∴ (겉넓이)=27_2+72=126(cmÛ`) ⑤
03
(밑넓이)=p_4Û`=16p(cmÛ`) (옆넓이)=(2p_4)_8=64p(cmÛ`)
∴ (겉넓이)=16p_2+64p=96p(cmÛ`) 96p`cmÛ`
04
(밑넓이)=p_6Û`_;3@6$0);=24p(cmÛ`)
(옆넓이)={2p_6_;3@6$0);+6+6}_9=72p+108(cmÛ`)
∴ (겉넓이)=24p_2+(72p+108)
∴ (겉넓이)=120p+108(cmÛ`) (120p+108) cmÛ`
05
삼각기둥의 높이를 h`cm라고 하면
{;2!;_10_13}_h=715, 65h=715 ∴ h=11
따라서 삼각기둥의 높이는 11 cm이다. ③
06
(부피)=(큰 사각기둥의 부피)-(작은 사각기둥의 부피) =(9_7)_10-(3_3)_10
=630-90=540(cmÜ`) ②
07
(겉넓이) =(반지름의 길이가 5 cm인 원의 넓이)_2
+(큰 원기둥의 옆넓이)+(작은 원기둥의 옆넓이) (겉넓이) =(p_5Û`)_2+2p_5_3+2p_2_5
=50p+30p+20p=100p(cmÛ`) (부피) =(큰 원기둥의 부피)+(작은 원기둥의 부피) (부피) =(p_5Û`)_3+(p_2Û`)_5
(부피)=75p+20p=95p(cmÜ`)
따라서 a=100, b=95이므로 a+b=100+95=195 195
워크북 | 25 쪽
01
95 cmÛ`02
703
90p cmÛ`04
⑴ 9p cmÛ` ⑵ 36p cmÛ` ⑶ 36p cmÛ` ⑷ 81p cmÛ`05
④06
:;!3^:); cmÜ`07
72p cmÜ`08
④배운대로
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개념 03 ~ 개념 0401
(밑넓이)=5_5=25(cmÛ` )
(옆넓이)={;2!;_5_7}_4=70(cmÛ` )
∴ (겉넓이)=25+70=95(cmÛ` ) 95 cmÛ`
| 배운대로 복습하기 |
02
8_8+{;2!;_8_x}_4=176이므로
64+16x=176, 16x=112 ∴ x=7 7
03
밑면의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 p_r_13=65p ∴ r=5
따라서 원뿔의 겉넓이는
p_5Û`+65p=25p+65p=90p(cmÛ`) 90p cmÛ`
04
⑴ p_3Û`=9p(cmÛ`) ⑵ p_6Û`=36p(cmÛ`)
⑶ (옆넓이) =(큰 부채꼴의 넓이)-(작은 부채꼴의 넓이)
=p_6_8-p_3_4=48p-12p=36p(cmÛ`)
⑷ (겉넓이)=9p+36p+36p=81p(cmÛ`)
⑴ 9p cmÛ` ⑵ 36p cmÛ` ⑶ 36p cmÛ` ⑷ 81p cmÛ`
05
사각뿔의 높이를 h`cm라고 하면
;3!;_(9_10)_h=360 ∴ h=12
따라서 사각뿔의 높이는 12 cm이다. ④
06
(부피)=(정육면체의 부피)-(삼각뿔의 부피) =4_4_4-;3!;_{;2!;_4_4}_4
=64-;;£3ª;;=:;!3^:); (cmÜ`) :;!3^:); cmÜ`
07
오른쪽 그림과 같은 입체도형이 생기므로 8 cm
3 cm 3 cm (부피)=(큰 원뿔의 부피)-(작은 원뿔의 부피)
=;3!;_(p_6Û`)_8-;3!;_(p_3Û`)_8 =96p-24p=72p(cmÜ`)
72p cmÜ`
08
그릇의 부피는 ;3!;_(p_9Û`)_10=270p(cmÜ`)
따라서 1분에 15p cmÜ`씩 물을 넣으므로 빈 그릇을 가득 채우려면 270p15p=18(분) 동안 물을 넣어야 한다. ④
워크북 | 26 쪽