Ⅲ. 입체도형
111, 113쪽
실전 개념
04
(겉넓이)=(밑넓이)_2+(옆넓이)=24_2+216=264(cmÛ`) 답 264`cmÛ`
05
(겉넓이)={;2!;_12_5 }_2+(5+12+13)_8=60+240=300(cmÛ`) 답 300`cmÛ`
06
(겉넓이) =(2_4)_2+(2+4+2+4)_5=16+60=76(cmÛ`) 답 76`cmÛ`
02
(밑넓이)=;2!;_6_8=24(cmÛ`) 답 24`cmÛ`03
(옆넓이)=(6+10+8)_9=216(cmÛ`) 답 216`cmÛ`07
a=4, b=2p_4=8p, c=8 답 a=4, b=8p, c=808
(밑넓이)=p_4Û`=16p(cmÛ`) 답 16p`cmÛ`09
(옆넓이)=(2p_4)_8=64p(cmÛ`) 답 64p`cmÛ`10
(겉넓이) =(밑넓이)_2+(옆넓이)=16p_2+64p=96p(cmÛ`) 답 96p`cmÛ`
11
(겉넓이) =(p_2Û`)_2+(2p_2)_6=8p+24p=32p(cmÛ`) 답 32p`cmÛ`
12
밑면인 원의 반지름의 길이가 ;2!;_14=7(cm)이므로 (겉넓이) =(p_7Û`)_2+(2p_7)_10=98p+140p=238p(cmÛ`) 답 238p`cmÛ`
13
(부피)={;2!;_2_3 }_6=18(cmÜ`) 답 18`cmÜ`14
(부피)=(5_2)_7=70(cmÜ`) 답 70`cmÜ`15
(부피)=(p_5Û`)_9=225p(cmÜ`) 답 225p`cmÜ`16
밑면인 원의 반지름의 길이가 ;2!;_6=3(cm)이므로 (부피)=(p_3Û`)_12=108p(cmÜ`) 답 108p`cmÜ`08 입체도형의 겉넓이와 부피
57
18
(밑넓이)=5_5=25(cmÛ`) 답 25`cmÛ`19
(옆넓이)={;2!;_5_6 }_4=60(cmÛ`) 답 60`cmÛ`20
(겉넓이) =(밑넓이)+(옆넓이)=25+60=85(cmÛ`) 답 85`cmÛ`
21
a=2, b=2p_2=4p, c=6 답 a=2, b=4p, c=622
(밑넓이)=p_2Û`=4p(cmÛ`) 답 4p`cmÛ`23
(옆넓이)=p_2_6=12p(cmÛ`) 답 12p`cmÛ`24
(겉넓이) =(밑넓이)+(옆넓이)=4p+12p=16p(cmÛ`) 답 16p`cmÛ`
26
(겉넓이)=p_5Û`+p_5_8=25p+40p=65p(cmÛ`) 답 65p`cmÛ`
28
(부피)=;3!;_{;2!;_4_5 }_6=20(cmÜ`) 답 20`cmÜ`29
(부피)=;3!;_(p_5Û`)_6=50p(cmÜ`) 답 50p`cmÜ`30
(부피)=;3!;_(p_15Û`)_8=600p(cmÜ`) 답 600p`cmÜ`31
(겉넓이)=4p_3Û`=36p(cmÛ`) (부피)=;3$;p_3Ü`=36p(cmÜ`)답 겉넓이: 36p`cmÛ`, 부피: 36p`cmÜ`
32
구의 반지름의 길이가 ;2!;_8=4(cm)이므로 (겉넓이)=4p_4Û`=64p(cmÛ`)(부피)=;3$;p_4Ü`= 2563 p(cmÜ`)
답 겉넓이: 64p`cmÛ`, 부피: 2563 p`cmÜ`
27
(부피)=;3!;_(9_9)_8=216(cmÜ`) 답 216`cmÜ`25
(겉넓이) =6_6+{;2!;_6_8 }_4=36+96=132(cmÛ`) 답 132`cmÛ`
114~123쪽
실전 유형
(겉넓이)=[;2!;_(9+3)_4]_2+(9+5+3+5)_8
=48+176=224(cmÛ`) 답 ①
01
밑면인 원의 반지름의 길이를 r cm라 하면 2pr=8p ∴ r=4
∴ (겉넓이) =(p_4Û`)_2+8p_10
=32p+80p=112p(cmÛ`) 답 112p`cmÛ`
04
원기둥의 높이를 h`cm라 하면 (p_3Û`)_2+(2p_3)_h=72p 18p+6ph=72p, 6ph=54p
∴ h=9
따라서 원기둥의 높이는 9`cm이다. 답 ②
05
(부피)=[;2!;_(1+2)_4]_3=18(cmÜ`) 답 ⑤
07
(부피)={;2!;_6_8 }_10=240(cmÜ`) 답 240`cmÜ`
08
페인트가 칠해지는 부분의 넓이는 원기둥의 옆넓이와 같으 므로
(2p_6)_27=324p(cmÛ`) 답 324p`cmÛ`
06 17
답 a=5, b=6(겉넓이)
=[;2!;_(3+6)_4]_2 +(4+6+5+3)_10
=36+180=216(cmÛ`)
답 ④
02
6 cm
3 cm 5 cm
10 cm 4 cm
4 cm 6 cm 5 cm 3 cm 3 cm
보충 TIP 각기둥의 전개도에서 길이가 같은 선분 전개도를 접었을 때
⑴ 겹치는 선분 ⑵ 두 밑면의 대응변
⑶ 높이를 나타내는 선분
삼각기둥의 겉넓이가 108`cmÛ`이므로
{;2!;_4_3 }_2+(5+4+3)_h=108 ⋯ ➊ 12+12h=108, 12h=96
∴ h=8 ⋯ ➋
답 8
채점 기준 배점
➊ 겉넓이를 h에 대한 식으로 나타내기 50%
➋ h의 값 구하기 50%
03
형 유 북
사각기둥의 높이를 h`cm라 하면 {;2!;_5_8 }_h=180, 20h=180
∴ h=9
따라서 사각기둥의 높이는 9`cm이다. 답 ②
참고 두 대각선의 길이가 a, b인 마름모의 넓이 S는 S=;2!;ab
09
(부피)={;2!;_5_6+;2!;_5_4 }_7
=175(cmÜ`) 답 175`cmÜ`
10
밑면인 원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 prÛ`_7=175p, rÛ`=25
∴ r=5 (r>0)
따라서 밑면인 원의 둘레의 길이는
2p_5=10p(cm) 답 10p`cm
11
세 원기둥의 밑면인 원의 반지름의 길이는 각각 2`cm, 2+2=4(cm), 4+2=6(cm)이므로
(부피)=(p_2Û`)_5+(p_4Û`)_5+(p_6Û`)_5
=20p+80p+180p=280p(cmÜ`) 답 280p`cmÜ`
13
그릇 A의 부피는 (p_4Û`)_3=48p(cmÜ`) ⋯ ➊ 그릇 B의 부피는 (p_xÛ`)_4=4pxÛ`(cmÜ`) ⋯ ➋ 그릇 B의 부피는 그릇 A의 부피의 3배이므로
48p_3=4pxÛ`, 144p=4pxÛ`, xÛ`=36
∴ x=6 (x>0) ⋯ ➌
답 6
채점 기준 배점
➊ 그릇 A의 부피 구하기 30%
➋ 그릇 B의 부피를 x에 대한 식으로 나타내기 30%
➌ x의 값 구하기 40%
14
(부피)={ p_4Û`_;3@6$0);}_9=96p(cmÜ`) 답 96p`cmÜ`
16
(겉넓이)={ p_6Û`_;3!6@0);}_2
+{ 2p_6_;3!6@0);+6_2 }_10
=24p+40p+120
=64p+120(cmÛ`) 답 (64p+120)`cmÛ`
15
기둥의 높이를 h`cm라 하면 { p_3Û`_;2!;}_h=27p ∴ h=6
∴ (겉넓이)={ p_3Û`_;2!;}_2+{ 2p_3_;2!;+3_2 }_6
=27p+36(cmÛ`) 답 (27p+36)`cmÛ`
18
밑면인 부채꼴의 중심각의 크기가 225ù인 큰 기둥의 부 피는
{ p_5Û`_;3@6@0%;}_8=125p(cmÜ`)
밑면인 부채꼴의 중심각의 크기가 360ù-225ù=135ù인 작 은 기둥의 부피는
{ p_5Û`_;3!6#0%;;}_8=75p(cmÜ`)
따라서 큰 기둥과 작은 기둥의 부피의 비는
125p : 75p=5 : 3 답 5 : 3
다른 풀이 큰 기둥과 작은 기둥은 밑면인 부채꼴의 반지름의 길이와 높이가 각각 같으므로 부피의 비는 밑면인 부채꼴 의 중심각의 크기의 비와 같다.
따라서 큰 기둥과 작은 기둥의 부피의 비는 225 : 135=5 : 3
17
(부피)=(큰 원기둥의 부피)-(작은 원기둥의 부피)
=(p_4Û`)_6-(p_2Û`)_6
=96p-24p=72p(cmÜ`) 답 72p`cmÜ`
다른 풀이 (부피)=(밑넓이)_(높이)
=(p_4Û`-p_2Û`)_6
=12p_6=72p(cmÜ`)
19
보충 TIP 구멍이 뚫린 기둥에서 두 밑면이 합동인 경우 (부피)=(밑넓이)_(높이)
={(큰 기둥의 밑넓이)-(작은 기둥의 밑넓이)}_(높이)
(겉넓이)
= {(원기둥의 밑넓이)-(사각기둥의 밑넓이)}_2 +(원기둥의 옆넓이)+(사각기둥의 옆넓이)
=(p_5Û`-4_4)_2+(2p_5)_12+(4_4)_12
=50p-32+120p+192
=170p+160(cmÛ`) 답 (170p+160)`cmÛ`
20
보충 TIP 평면도형과 회전체
직사각형의 한 변을 회전축으로 하여 1회 전 시킬 때 생기는 회전체는 원기둥이다.
직사각형 원기둥 회전체는 오른쪽 그림과 같은 원기둥이므로
(부피) =(p_3Û`)_6
=54p(cmÜ`)
답 54p`cmÜ`
12
6 cm 3 cm
08 입체도형의 겉넓이와 부피
59
주어진 입체도형의 겉넓이는 잘라 내기 전 정육면체의 겉 넓이와 같다.
∴ (겉넓이) =(10_10)_6
=600(cmÛ`) 답 600`cmÛ`
24
(겉넓이)
= {(큰 사각기둥의 밑넓이)-(작은 사각기둥의 밑넓이)}_2 +(큰 사각기둥의 옆넓이)+(작은 사각기둥의 옆넓이)
= (6_5-4_3)_2+(6+5+6+5)_9 +(4+3+4+3)_9
=36+198+126=360(cmÛ`)
∴ a=360 ⋯ ➊
(부피) =(큰 사각기둥의 부피)-(작은 사각기둥의 부피)
=(6_5)_9-(4_3)_9
=270-108
=162(cmÜ`)
∴ b=162 ⋯ ➋
∴ a+b=360+162=522 ⋯ ➌
답 522
채점 기준 배점
➊ a의 값 구하기 50%
➋ b의 값 구하기 40%
➌ a+b의 값 구하기 10%
22
(겉넓이)=(6_6-2_4)_2+(6+4+4+2+2+6)_5
=56+120
=176(cmÛ`) 답 176`cmÛ`
23
⑴ (겉넓이) ={ 8_8-p_4Û`_;2!;}_2 +{ 8_3+2p_4_;2!;}_10
=128-16p+240+40p
=368+24p(cmÛ`) ⋯ ➊
⑵ (부피)=(8_8)_10-{ p_4Û`_;2!;}_10
=640-80p(cmÜ`) ⋯ ➋
답 ⑴ (368+24p)`cmÛ` ⑵ (640-80p)`cmÜ`
채점 기준 배점
➊ 겉넓이 구하기 50%
➋ 부피 구하기 50%
25
5_5+{;2!;_5_x }_4=95 25+10x=95, 10x=70
∴ x=7 답 7
29
(겉넓이)=3_3+{;2!;_3_8 }_4
=9+48=57(cmÛ`) 답 ③
28
입체도형의 부피는 높이가 10`cm인 원기둥의 부피에서 높이가 2`cm인 원 기둥의 부피의 ;2!;을 뺀 것과 같다.
∴ (입체도형의 부피)
=(p_4Û`)_10-{(p_4Û`)_2}_;2!;
=160p-16p
=144p(cmÜ`) 답 144p`cmÜ`
26
8 cm 2 cm
4 cm 10 cm
(겉넓이)=10_10+{;2!;_10_13 }_4
=100+260=360(cmÛ`) 답 360`cmÛ`
27
(겉넓이)
=(사각뿔의 옆넓이)+(사각기둥의 옆넓이) +(사각기둥의 밑넓이)
={;2!;_7_6 }_4+(7_8)_4+7_7
=84+224+49
=357(cmÛ`) 답 357`cmÛ`
주의 입체도형의 겉넓이를 구할 때, 사각뿔과 사각기둥의 겉넓이에 서 겹쳐지는 면, 즉 사각뿔의 밑넓이와 사각기둥의 한 밑넓이 는 제외한다.
30
원뿔의 모선의 길이를 l`cm라 하면 p_8Û`+p_8_l=184p
8pl=120p ∴ l=15
따라서 원뿔의 모선의 길이는 15`cm이다. 답 15`cm
31
(겉넓이)=p_6Û`+p_6_9
=36p+54p=90p(cmÛ`) 답 90p`cmÛ`
32
(부채꼴의 호의 길이)=2p_5_;3@6!0^;=6p(cm) 밑면인 원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 2pr=6p ∴ r=3
∴ (겉넓이) =p_3Û`+p_3_5
=9p+15p
=24p(cmÛ`) 답 24p`cmÛ`
33
회전체는 오른쪽 그림과 같으므로 (겉넓이)
= (p_6Û`-p_2Û`)_2+(2p_6)_8 +(2p_2)_8
=64p+96p+32p
=192p(cmÛ`) 답 192p`cmÛ`
21
8 cm 4 cm2 cm
형 유 북
전개도에서 부채꼴의 반지름의 길이를 l`cm라 하면 p_1Û`+p_1_l=6p, p+pl=6p, pl=5p
∴ l=5 ⋯ ➊
부채꼴의 중심각의 크기를 xù라 하면 2p_5_;36{0;=2p_1
∴ x=72
따라서 부채꼴의 중심각의 크기는 72ù이다. ⋯ ➋
답 72ù
채점 기준 배점
➊ 부채꼴의 반지름의 길이 구하기 50%
➋ 부채꼴의 중심각의 크기 구하기 50%
34
(겉넓이)
=p_2Û`+p_3Û`+p_3_9-p_2_6
=4p+9p+27p-12p
=28p(cmÛ`) 답 ②
35
(겉넓이)=3_3+6_6+[;2!;_(3+6)_8]_4
=9+36+144
=189(cmÛ`) 답 ③
36
(필요한 색지의 넓이)=p_5Û`+p_10_30-p_5_15
=25p+300p-75p
=250p(cmÛ`) 답 250p`cmÛ`
37
사각뿔의 높이를 h`cm라 하면
;3!;_(8_8)_h=128 ∴ h=6
따라서 사각뿔의 높이는 6`cm이다. 답 ②
38
(부피)=;3!;_(7_7)_9=147(cmÜ`) 답 147`cmÜ`
39
(부피)=(처음 사각뿔의 부피)-(잘라 낸 사각뿔의 부피)
=;3!;_(6_6)_6-;3!;_(2_2)_2
=72-;3*;= 2083 `(cmÜ`) 답 208 3 `cmÜ`
40
(부피)=(처음 삼각뿔의 부피)-(잘라 낸 삼각뿔의 부피)
=;3!;_{;2!;_8_8 }_6-;3!;_{;2!;_4_4 }_3
=64-8=56(cmÜ`) 답 56`cmÜ`
41
남아 있는 물의 모양이 삼각뿔이므로 물의 부피는
;3!;_{;2!;_10_12 }_4=80(cmÜ`) 답 80`cmÜ`
45
기울어진 그릇에 들어 있는 물의 모양이 삼각뿔이므로 물 의 부피는
;3!;_{;2!;_9_6 }_12=108(cmÜ`) ⋯ ➊ 바로 세운 그릇에 들어 있는 물의 모양이 사각기둥이므로 물의 부피는
(9_6)_x=54x(cmÜ`) ⋯ ➋
47
남아 있는 물의 모양이 삼각기둥이므로 물의 부피는 {;2!;_6_x }_5=60, 15x=60
∴ x=4 답 ③
46
정육면체의 한 모서리의 길이를 a`cm라 하자.
△ABC를 밑면으로 생각하면 높이가 BFÓ이므로 삼각뿔 B-AFC의 부피는
;3!;_{;2!;_a_a }_a=36 ⋯ ➊ aÜ`=216=6Ü` ∴ a=6
따라서 정육면체의 한 모서리의 길이는 6`cm이다. ⋯ ➋
답 6`cm
채점 기준 배점
➊ 삼각뿔 B-AFC의 부피에 대한 식 세우기 60%
➋ 정육면체의 한 모서리의 길이 구하기 40%
44
(부피)=(직육면체의 부피)-(잘라 낸 삼각뿔의 부피)
=(8_9)_10-;3!;_{;2!;_2_5 }_6
=720-10=710(cmÜ`) 답 ④
참고 잘라 낸 삼각뿔은 다음 그림과 같다.
6 cm 5 cm
2 cm 8 cm
9 cm 6 cm 4 cm
4 cm 10 cm
43
보충 TIP (잘라 낸 삼각뿔의 부피)
=;3!;_{;2!;_a_b }_c
=;3!;_;2!;_(a_b_c)
=;6!;_(직육면체의 부피)
a b
c
(부피)=;3!;_△BCD_CGÓ
=;3!;_{ ;2!;_3_3 }_3=;2(;(cmÜ`) 답 ;2(;`cmÜ`
42
08 입체도형의 겉넓이와 부피
61
원뿔의 높이를 h`cm라 하면
;3!;_(p_3Û`)_h=48p 3ph=48p ∴ h=16
따라서 원뿔의 높이는 16`cm이다. 답 16`cm
49
(부피)=(원기둥의 부피)+(원뿔의 부피)
=(p_4Û`)_6+;3!;_(p_4Û`)_3
=96p+16p=112p(cmÜ`) 답 112p`cmÜ`
50
(부피)=;3!;_(p_9Û`)_10
=270p(cmÜ`) 답 ②
48
(부피)=(처음 원뿔의 부피)-(잘라 낸 원뿔의 부피)
=;3!;_(p_10Û`)_15-;3!;_(p_6Û`)_9
=500p-108p
=392p(cmÜ`) 답 392p`cmÜ`
51
잘라 낸 단면의 넓이의 합은 반지름의 길이가 4`cm인 원의 넓이와 같으므로
(겉넓이)=(구의 겉넓이)_;4#;+(원의 넓이)
=(4p_4Û`)_;4#;+p_4Û`
=48p+16p
=64p(cmÛ`) 답 64p`cmÛ`
55
보충 TIP 구의 ;n!; 을 잘라 낸 입체도형의 겉넓이는 (구의 겉넓이)_{1-;n!;}+(잘라 낸 단면의 넓이의 합)
(겉넓이)=(4p_7Û`)_;2!;+p_7Û`
=98p+49p
=147p(cmÛ`) 답 147p`cmÛ`
56
(겉넓이)=(구의 겉넓이)+(원기둥의 옆넓이)
=4p_4Û`+(2p_4)_3
=64p+24p
=88p(cmÛ`) 답 88p`cmÛ
57
구를 한 평면으로 자를 때 생기는 단면 중 가장 큰 단면은 구의 중심을 지나는 평면으로 자를 때 생기는 원이다.
이 원의 반지름의 길이는 구의 반지름의 길이와 같으므로 구의 반지름의 길이를 r`cm라 하면
prÛ`=64p, rÛ`=64 ∴ r=8 (r>0) ⋯ ➊
∴ (구의 겉넓이)=4p_8Û`=256p(cmÛ`) ⋯ ➋
답 256p`cmÛ`
채점 기준 배점
➊ 구의 반지름의 길이 구하기 50%
➋ 구의 겉넓이 구하기 50%
58
(부피)=(반구의 부피)+(원뿔의 부피)
={;3$;p_6Ü` }_;2!;+;3!;_(p_6Û`)_8
=144p+96p=240p(cmÜ`) 답 240p`cmÜ`
59
회전체는 오른쪽 그림과 같은 원뿔이 므로
(부피)=;3!;_(p_3Û`)_4
=12p(cmÜ`)
답 ①
52
3 cm A B
C 4 cm
회전체는 오른쪽 그림과 같으므로 (겉넓이)
=(큰 원뿔의 옆넓이) +(작은 원뿔의 옆넓이)
=p_6_10+p_6_7`
=60p+42p
=102p(cmÛ`) 답 ①
54
6 cm
7 cm 10 cm
회전체는 오른쪽 그림과 같은 원뿔대 이다.
⑴ (겉넓이)
=p_3Û`+p_9Û`+p_9_15 -p_3_5
=9p+81p+135p-15p
=210p(cmÛ`)
⑵ (부피)=;3!;_(p_9Û`)_12-;3!;_(p_3Û`)_4
=324p-12p
=312p(cmÜ`) 답 ⑴ 210p`cmÛ` ⑵ 312p`cmÜ`
53
5 cm10 cm
4 cm
3 cm 8 cm 9 cm
두 그릇에 들어 있는 물의 양이 같으므로
54x=108 ∴ x=2 ⋯ ➌
답 2
채점 기준 배점
➊ 기울어진 그릇에 들어 있는 물의 부피 구하기 30%
➋ 바로 세운 그릇에 들어 있는 물의 부피를 x에 대한 식으로
나타내기 30%
➌ x의 값 구하기 40%
형 유 북
(부피)=(구의 부피)_;8&;
={;3$;p_3Ü` }_;8&;
=;;¤2£;;p(cmÜ`) 답 ;;¤2£;;p`cmÜ`
60
보충 TIP 구의 ;n!; 을 잘라 낸 입체도형의 부피는 (구의 부피)_{1-;n!;}
지름의 길이가 10`cm인 쇠공의 부피는
;3$;p_5Ü`= 5003 p(cmÜ`)
지름의 길이가 2`cm인 쇠공의 부피는
;3$;p_1Ü`=;3$;p(cmÜ`) 5003 pÖ4
3 p=500 3 p_ 3
4p =125이므로 지름의 길이가 2`cm인 쇠공을 최대 125개까지 만들 수 있다. 답 125개
62
회전체는 오른쪽 그림과 같으므로 (부피)
=(원기둥의 부피)+(반구의 부피)
=(p_6Û`)_10+{;3$;p_6Ü` }_;2!;
=360p+144p
=504p(cmÜ`) 답 504p`cmÜ`
63
6 cm10 cm
6 cm
회전체는 오른쪽 그림과 같은 구이므로 (겉넓이)=4p_9Û`=324p(cmÛ`)
답 324p`cmÛ`
64
9 cm
회전체는 오른쪽 그림과 같으므로 (부피)
=(원뿔의 부피)-(반구의 부피)
=;3!;_(p_6Û`)_7-{;3$;p_3Ü` }_;2!;
=84p-18p=66p(cmÜ`) 답 66p`cmÜ`
65
3 cm3 cm 4 cm
(구의 부피)=;3$;p_3Ü`=36p(cmÜ`) ⋯ ➊ 원뿔의 높이를 h`cm라 하면
(원뿔의 부피)=;3!;_(p_6Û`)_h=12ph(cmÜ`) ⋯ ➋ 구와 원뿔의 부피가 같으므로
36p=12ph ∴ h=3
따라서 원뿔의 높이는 3`cm이다. ⋯ ➌
답 3`cm
채점 기준 배점
➊ 구의 부피 구하기 30%
➋ 원뿔의 부피를 높이에 대한 식으로 나타내기 30%
➌ 원뿔의 높이 구하기 40%
61
원기둥의 밑면인 원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 높이 는 2r`cm이므로
prÛ`_2r=2prÜ`=432p ∴ rÜ`=216 (원뿔의 부피)=;3!;prÛ`_2r=;3@;prÜ`
=;3@;p_216=144p(cmÜ`)
∴ a=144
(구의 부피)=;3$;prÜ`=;3$;p_216=288p(cmÜ`)
∴ b=288
∴ a+b=144+288=432 답 432 다른 풀이 (원뿔의 부피) : (구의 부피) : (원기둥의 부피)
=1 : 2 : 3
이므로 (원뿔의 부피) : (원기둥의 부피)=1 : 3에서 ap : 432p=1 : 3, 3ap=432p
∴ a=144
(구의 부피) : (원기둥의 부피)=2 : 3에서 bp : 432p=2 : 3, 3bp=864p
∴ b=288
∴ a+b=144+288=432
67
구의 반지름의 길이를 r`cm라 하면
;3$;prÜ`=36p ∴ rÜ`=27
∴ (원뿔의 부피)=;3!;prÛ`_2r=;3@;prÜ`
=;3@;p_27
=18p(cmÜ`) 답 18p`cmÜ 다른 풀이 (원뿔의 부피) : (구의 부피) : (원기둥의 부피)
=1 : 2 : 3
이므로 (원뿔의 부피) : (구의 부피)=1 : 2에서 (원뿔의 부피) : 36p=1 : 2, (원뿔의 부피)_2=36p ∴ (원뿔의 부피)=18p(cmÜ`)
68
회전체는 오른쪽 그림과 같으므로 (겉넓이)
=(4p_4Û`)_;2!;+(4p_6Û`)_;2!;
+p_6Û`-p_4Û`
=32p+72p+36p-16p=124p(cmÛ`) 답 124p`cmÛ`
66
4 cm6 cm
08 입체도형의 겉넓이와 부피
63
정육면체의 각 면의 한가운데 점을 연결하여 만든 입체도 형은 정팔면체이다.
따라서 구하는 정팔면체의 부피는 밑면인 정사각형의 대각 선의 길이가 6`cm이고 높이가 3`cm인 사각뿔의 부피의 2배 와 같으므로
(부피)=[;3!;_{;2!;_6_6 }_3]_2
=36(cmÜ`) 답 36`cmÜ`
72
보충 TIP 정육면체 각 면의 한가운데 점을 연결하여 만든 입체도 형은 정다면체이다. 이때 정육면체의 면의 개수는 6이므로 꼭짓점 의 개수가 6인 정다면체는 정팔면체이다.
(정육면체의 부피)=4_4_4=64(cmÜ`) (구의 부피)=;3$;p_2Ü`=;;£3ª;;p(cmÜ`)
(사각뿔의 부피)=;3!;_(4_4)_4=;;¤3¢;;(cmÜ`) 따라서 정육면체, 구, 사각뿔의 부피의 비는
64 : ;;£3ª;;p : ;;¤3¢;;=6 : p : 2 답 ③
71
124~126쪽
실전 기출
사각기둥의 높이를 h cm라 하면
[;2!;_(3+6)_4]_2+(3+4+6+5)_h=180 36+18h=180, 18h=144
∴ h=8
따라서 사각기둥의 높이는 8`cm이다. 답 ③
01
(겉넓이)={ p_8Û`_;3@6&0);}_2
+{ 2p_8_;3@6&0);+8_2 }_12
=96p+144p+192
=240p+192(cmÛ`) 답 (240p+192)`cmÛ`
03
(겉넓이)=4_4+8_8+[;2!;_(4+8)_6 ]_4
=16+64+144=224(cmÛ`) 답 224`cmÛ`
05
사각뿔의 높이를 h`cm라 하면
;3!;_(5_5)_h=225, ;;ª3°;;h=225 ∴ h=27
따라서 사각뿔의 높이는 27`cm이다. 답 ⑤
06
(부피)=(큰 원기둥의 부피)-(작은 원기둥의 부피)
=(p_4Û`)_9-(p_2Û`)_5
=144p-20p=124p(cmÜ`) 답 ⑤
04
야구공의 겉넓이는 4p_3Û`=36p(cmÛ`)
따라서 가죽 한 조각의 넓이는
;2!;_36p=18p(cmÛ`) 답 18p`cmÛ`
08
(겉넓이)
=p_3Û`+p_6Û`+p_6_10-p_3_5
=9p+36p+60p-15p=90p(cmÛ`)
∴ a=90
(부피)=;3!;_(p_6Û`)_8-;3!;_(p_3Û`)_4
=96p-12p=84p(cmÜ`)
∴ b=84
∴ a-b=90-84=6 답 6
07
구하는 정팔면체의 부피는 밑면인 정사각형의 대각선의 길 이가 12`cm이고 높이가 6`cm인 사각뿔의 부피의 2배와 같으므로
(부피)=[;3!;_{;2!;_12_12 }_6]_2
=288(cmÜ`) 답 288`cmÜ`
70
보충 TIP 정사각형은 마름모이므로 두 대각선은 서로를 수직이등분한다.
(정사각형의 넓이)=(마름모의 넓이)
=;2!;_2r_2r
r
캔의 밑면인 원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 2pr=10p ∴ r=5
∴ (부피) =(p_5Û`)_4
=100p(cmÜ`) 답 100p`cmÜ`
02
(공 3개의 부피의 합)={;3$;p_2Ü` }_3
=32p(cmÜ`) ⋯ ➊
통은 밑면인 원의 반지름의 길이가 2`cm, 높이가 2_6=12(cm)인 원기둥 모양이므로 (통의 부피)=(p_2Û`)_12
=48p(cmÜ`) ⋯ ➋
따라서 공 3개를 제외한 통의 빈 공간의 부피는
48p-32p=16p(cmÜ`) ⋯ ➌
답 16p`cmÜ`
채점 기준 배점
➊ 공 3개의 부피의 합 구하기 40%
➋ 통의 부피 구하기 40%
➌ 공 3개를 제외한 통의 빈 공간의 부피 구하기 20%
69
형 유 북
(부피)=(삼각기둥의 부피)-(사각뿔의 부피)
={;2!;_3_5 }_4-;3!;_(5_2)_3
=30-10=20(cmÜ`) 답 ①
=(p_1Û`)_2-;3!;_(p_1Û`)_2
=;3$;p(cmÜ`) 7aÜ`=189, aÜ`=27=3Ü` ∴ a=3
이 입체도형에서 중심에 있는 정육면체를 제외한 6개의 정 육면체는 각각 5개의 면이 밖으로 드러나 있다.
∴ (겉넓이)=(3_3)_5_6
=270(cmÛ`) 답 270`cmÛ`
13
회전체는 오른쪽 그림과 같으 므로 원뿔 ㈎의 높이를 a`cm, 원뿔 ㈏의 높이를 b`cm라 하면 a+b=8
∴ (부피)=;3!;_(p_3Û`)_a +;3!;_(p_3Û`)_b
=3p_(a+b)
=3p_8
=24p(cmÜ`) 답 24p`cmÜ`
12
=;3$;p_3Ü`-[;3$;p_{;2#;}Ü` ]_2
=36p-9p
=27p(cmÜ`) 답 27p`cmÜ`
09
3 cm3 cm
입체도형은 오른쪽 그림과 같은 삼각 뿔이므로
(부피)=;3!;_{;2!;_6_6 }_12
=72(cmÜ`)
=;3!;_{;2!;_a_a }_;2!;a
=;1Á2;aÜ`(cmÜ`) ⋯ ➊ 2pl=6p_3 ∴ l=9
∴ (옆넓이)=p_3_9=27p(cmÛ`) 답 27p`cmÛ`
15
=112p(cmÛ`) ⋯ ➋
답 112p`cmÛ`
그릇에 물을 가득 채울 때, 물의 부피는
;3!;_(p_6Û`)_9=108p(cmÜ`) ⋯ ➊ 물을 1분에 3p`cmÜ`씩 넣으므로 빈 그릇을 가득 채우는 데 걸리는 시간은
108pÖ3p=36(분) ⋯ ➋
답 36분
채점 기준 배점
➊ 가득 채운 물의 부피 구하기 50%
➋ 가득 채우는 데 걸리는 시간 구하기 50%
19
회전체는 오른쪽 그림과 같다.
⋯ ➊
(큰 원기둥의 부피)=(p_9Û`)_10
=810p(cmÜ`) (작은 원기둥의 부피)=(p_4Û`)_7
=112p(cmÜ`)
(원뿔의 부피)=;3!;_(p_4Û`)_3=16p(cmÜ`) ⋯ ➋
∴ (회전체의 부피)
=(큰 원기둥의 부피)-(작은 원기둥의 부피) -(원뿔의 부피)
=810p-112p-16p
=682p(cmÜ`) ⋯ ➌
답 682p`cmÜ`
채점 기준 배점
➊ 회전체 그리기 30%
➋ 큰 원기둥, 작은 원기둥, 원뿔의 부피 구하기 50%
➌ 회전체의 부피 구하기 20%
20
10 cm 7 cm
5 cm 4 cm
9 cm 3 cm
쇠구슬 1개의 부피는 ;3$;p_3Ü`=36p(cmÜ`) ⋯ ➊ 이므로 줄어든 물의 부피는 3_36p=108p(cmÜ`) ⋯ ➋
21
줄어든 물의 높이를 h`cm라 하면 (p_6Û`)_h=108p
36ph=108p ∴ h=3
따라서 줄어든 물의 높이는 3`cm이다. ⋯ ➌
답 3`cm
채점 기준 배점
➊ 쇠구슬 1개의 부피 구하기 30%
➋ 줄어든 물의 부피 구하기 30%
➌ 줄어든 물의 높이 구하기 40%
칸막이가 있을 때, 물의 부피는 6_9_3+9_9_7 =162+567
=729(cmÜ`) ⋯ ➊
칸막이를 뺄 때, 물의 높이를 h`cm라 하면 칸막이가 있을 때의 물의 부피와 칸막이를 뺀 후의 물의 부피는 같으므로 (6+9)_9_h=729 ∴ h=;;ª5¦;;
따라서 칸막이를 뺄 때, 물의 높이는 ;;ª5¦;;`cm이다. ⋯ ➋
답 ;;ª5¦;;`cm
채점 기준 배점
➊ 칸막이가 있을 때, 물의 부피 구하기 50%
➋ 칸막이를 뺄 때, 물의 높이 구하기 50%