실전 개념

11

모든 변의 길이가 같고 모든 내각의 크기가 같은 다각형이

정다각형이다. ^답 ×

06

다각형의 한 꼭짓점에서 내각과 외각의 크기의 합은 180ù

이다. ^답 ×

10

마름모는 네 변의 길이가 같지만 정사각형은 아니다.

^답 ×

12

^{답 }

28

구하는 다각형을 n각형이라 하면 180ù_(n-2)=2700ù

n-2=15 ∴ n=17

따라서 구하는 다각형은 십칠각형이다. ^답 십칠각형

29

사각형의 내각의 크기의 합은 180ù_(4-2)=360ù이므로 ∠x=360ù-(93ù+85ù+100ù)=82ù ^답 82ù

30

오각형의 내각의 크기의 합은 180ù_(5-2)=540ù이므로 ∠x=540ù-(96ù+104ù+130ù+110ù)=100ù ^답 100ù

31

육각형의 내각의 크기의 합은 180ù_(6-2)=720ù이므로 ∠x=720ù-(120ù+110ù+90ù+155ù+140ù)=105ù

^답 105ù

34

다각형의 외각의 크기의 합은 360ù이므로

∠x=360ù-(80ù+105ù+100ù)=75ù ^답 75ù

35

다각형의 외각의 크기의 합은 360ù이므로

∠x=360ù-(75ù+52ù+68ù+65ù+50ù)=50ù ^답 50ù

36

(한 내각의 크기)= 180ù_(8-2) 8 =135ù (한 외각의 크기)= 360ù

8 =45ù

^답 한 내각의 크기: 135ù, 한 외각의 크기: 45ù ^{다른 풀이} (한 외각의 크기)= 360ù

8 =45ù (한 내각의 크기)=180ù-45ù=135ù

또는 180ù-135ù=45ù

07

180ù-60ù=120ù ^답 120ù

08

180ù-95ù=85ù ^답 85ù

25

구하는 다각형을 n각형이라 하면 180ù_(n-2)=900ù

n-2=5 ∴ n=7

따라서 구하는 다각형은 칠각형이다. ^답 칠각형

26

구하는 다각형을 n각형이라 하면 180ù_(n-2)=1440ù

n-2=8 ∴ n=10

따라서 구하는 다각형은 십각형이다. 답 십각형

27

구하는 다각형을 n각형이라 하면 180ù_(n-2)=1620ù

n-2=9 ∴ n=11

따라서 구하는 다각형은 십일각형이다. ^답 십일각형

14

^∠x=180ù-(55ù+90ù)=35ù ^답 35ù

21

180ù_(5-2)=540ù ^답 540ù

22

180ù_(8-2)=1080ù ^답 1080ù

23

180ù_(9-2)=1260ù ^답 1260ù

24

180ù_(12-2)=1800ù ^답 1800ù

15

^∠x=80ù+60ù=140ù ^답 140ù

16

^∠x+50ù=105ù ∴ ∠x=55ù ^답 55ù

17

^{4-3=1 답 1}

18

^{6-3=3 답 3}

19

^8_(8-3)₂ ^{=20 답 20}

20

^11_(11-3)₂ ^{=44 답 44}

13

^∠x=180ù-(30ù+70ù)=80ù ^답 80ù

03

^{답 9}

04

^{답 }

05

^{답 }

09

^{답 }

32

^{답 360ù}

33

^{답 360ù}

형 유 북

39

(한 외각의 크기)=180ù-140ù=40ù 구하는 정다각형을 정n각형이라 하면 360ù

n =40ù ∴ n=9

따라서 구하는 정다각형은 정구각형이다. ^답 정구각형

40

(한 외각의 크기)=180ù-144ù=36ù 구하는 정다각형을 정n각형이라 하면 360ù

n =36ù ∴ n=10

따라서 구하는 정다각형은 정십각형이다. ^답 정십각형

41

(한 외각의 크기)=180ù-150ù=30ù 구하는 정다각형을 정n각형이라 하면 360ù

n =30ù ∴ n=12

따라서 구하는 정다각형은 정십이각형이다. ^답 정십이각형

42

구하는 정다각형을 정n각형이라 하면 360ù

n =120ù ∴ n=3

따라서 구하는 정다각형은 정삼각형이다. ^답 정삼각형

44

구하는 정다각형을 정n각형이라 하면 360ù

n =20ù ∴ n=18

따라서 구하는 정다각형은 정십팔각형이다. ^답 정십팔각형

45

구하는 정다각형을 정n각형이라 하면 360ù

n =18ù ∴ n=20

따라서 구하는 정다각형은 정이십각형이다. ^답 정이십각형

38

(한 외각의 크기)=180ù-108ù=72ù 구하는 정다각형을 정n각형이라 하면 360ù

n =72ù ∴ n=5

따라서 구하는 정다각형은 정오각형이다.

^답 정오각형

^{다른 풀이} 구하는 정다각형을 정n각형이라 하면 180ù_(n-2)

n =108ù, 180ùn-360ù=108ùn 72ùn=360ù ∴ n=5

따라서 구하는 정다각형은 정오각형이다.

43

구하는 정다각형을 정n각형이라 하면 360ù

n =36ù ∴ n=10

따라서 구하는 정다각형은 정십각형이다.

^답 정십각형

37

(한 내각의 크기)= 180ù_(15-2) 15 =156ù (한 외각의 크기)= 360ù

15 =24ù

^답 한 내각의 크기: 156ù, 한 외각의 크기: 24ù

68~75쪽

유형

실전

답 ㄴ,ㄹ,ㅁ

01

∠A의 외각의 크기는 180ù-118ù=62ù

∠B의 외각의 크기는 180ù-70ù=110ù

따라서 ∠A의 외각과 ∠B의 외각의 크기의 합은

62ù+110ù=172ù ^답 172ù

03

조건 ㈎, ㈏에서 구하는 다각형은 정다각형이고 조건 ㈐에 서 구하는 다각형은 칠각형이다.

따라서 구하는 다각형은 정칠각형이다. ^답 정칠각형

04

삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로 2x+(4x-25)+(3x-20)=180

9x=225 ∴ x=25 ⋯ ➊

∴ ∠A=2xù=2_25ù=50ù ⋯ ➋

^답 50ù

채점 기준 배점

➊ x의 값을 구하기 60%

➋ ∠A의 크기 구하기 40%

06

① 오른쪽 그림의 정육각형에서 두 대각선 의 길이는 같지 않다.

② 모든 변의 길이가 같고 모든 내각의 크기 가 같은 다각형이 정다각형이다.

④ 정삼각형은 정다각형이지만 한 내각의 크기는 60ù, 한 외각의 크기는 120ù이다. ^답 ③, ⑤

02

△ABC에서 ∠ACB=180ù-(75ù+40ù)=65ù

∠DCE=∠ACB=65ù (맞꼭지각)이므로 △CDE에서

∠x=180ù-(60ù+65ù)=55ù ^답 55ù ^{다른 풀이} 75ù+40ù=60ù+∠x ∴ ∠x=55ù

05

보충 TIP 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로

∠a+∠b=180ù-∠x

∠c+∠d=180ù-∠x

∴ ∠a+∠b=∠c+∠d

a x x

b

c d 맞꼭지각

05 다각형

35

x+(x+15)=125 2x+15=125, 2x=110

∴ x=55 ^답 55

08

삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로 크기가 가장 작은 각의 크기는

180ù_ 3

3+4+5 =180ù_;4!;=45ù ^답 45ù

07

△^ABC에서 ∠ACE=20ù+30ù=50ù

△^DCE에서 ∠x=25ù+50ù=75ù ^답 ②

따라서 △ADC에서 ∠x+25ù=110ù ∴ ∠x=85ù

11

^△ABC에서

∠ABC+∠ACB=180ù-50ù=130ù 따라서 △DBC에서

∠x=180ù-(∠DBC+∠DCB)

=180ù-{;2!;∠ABC+;2!;∠ACB }

=180ù-;2!;(∠ABC+∠ACB)

=180ù-;2!;_130ù

=180ù-65ù=115ù ^답 115ù

14

∠DAC+∠DCA =180ù-125ù

=55ù 따라서 △ABC에서

∠x =180ù-(24ù+36ù+∠DAC+∠DCA)

=180ù-(24ù+36ù+55ù)=65ù ^답 ④

13

^A

△ABC에서 ∠ABC=180ù-(60ù+50ù)=70ù

∴ ∠DBC=;2!;∠ABC=;2!;_70ù=35ù

∠ACE=180ù-50ù=130ù이므로

∠DCE=;2!;∠ACE=;2!;_130ù=65ù

형 유

∴ ∠CAD=40ù+40ù=80ù

△CAD에서 ∠CDA=∠CAD=80ù 따라서 △DBC에서

∠x =∠DBC+∠CDB

=40ù+80ù=120ù ^답 120ù

18

∴ ∠CAD=23ù+23ù=46ù

△ACD에서 ∠CDA=∠CAD=46ù ⋯ ➊

∠ACD=180ù-140ù=40ù이므로

△ADC에서 ∠DAC=∠ACD=40ù

∴ ∠ADB=40ù+40ù=80ù

△ABD에서 ∠DAB=∠DBA=∠x이므로

∠CBE=24ù+45ù=69ù x

△ADF에서

∠ADC=26ù+50ù=76ù 따라서 △BCD에서

∠x =180ù-(69ù+76ù)

=35ù ^답 ⑤

22

오른쪽 그림의 △CDE에서

∠CEA=28ù+34ù=62ù 따라서 △ABE에서

∠x=30ù+62ù=92ù

^답 ③

∠DAF=35ù+30ù=65ù

△FAE에서

다각형의 내부의 한 점에서 각 꼭짓점에 선분을 그었을 때 생기는 삼각형의 개수가 8이므로 주어진 다각형은 팔각형 이다.

따라서 팔각형의 대각선의 개수는 8_(8-3)

2 =20 ^답 ⑤

30

조건 ㈎에서 구하는 다각형은 정다각형이다.

구하는 다각형을 정n각형이라 하면 조건 ㈏에서 n-3=6 ∴ n=9

따라서 구하는 다각형은 정구각형이다. ^답 정구각형

28

십일각형의 내각의 크기의 합은 180ù_(11-2)=1620ù

십이각형의 내각의 크기의 합은 180ù_(12-2)=1800ù 십삼각형의 내각의 크기의 합은 180ù_(13-2)=1980ù 따라서 내각의 크기의 합이 1700ù보다 크고 1900ù보다 작

은 다각형은 십이각형이다. ⋯ ➊

십이각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는

12-3=9 ⋯ ➋

^답 9

채점 기준 배점

➊ 내각의 크기의 합이 1700ù보다 크고 1900ù보다 작은 다각

형 구하기 60%

➋ 다각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수 구하기 40%

36

주어진 다각형을 n각형이라 하면 n-3=10 ∴ n=13

따라서 십삼각형의 대각선의 개수는 13_(13-3)

2 =65 ^답 ④

29

주어진 다각형을 n각형이라 하면 n(n-3)

2 =77, n(n-3)=154=14_11

∴ n=14

따라서 십사각형의 변의 개수는 14이다. ^답 ④

31

주어진 다각형을 n각형이라 하면 n(n-3)

2 =14, n(n-3)=28=7_4

∴ n=7

따라서 칠각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개 수는

7-3=4 ^답 ①

32

주어진 다각형을 n각형이라 하면 n(n-3)

2 =27, n(n-3)=54=9_6

∴ n=9

따라서 구각형의 내각의 크기의 합은

180ù_(9-2)=1260ù ^답 ⑤

33

주어진 다각형을 n각형이라 하면 n-3=5 ∴ n=8

따라서 팔각형의 내각의 크기의 합은

180ù_(8-2)=1080ù ^답 1080ù

34

구하는 다각형을 n각형이라 하면 180ù_(n-2)=1980ù

n-2=11 ∴ n=13

따라서 구하는 다각형은 십삼각형이다. ^답 ③

35

육각형의 내각의 크기의 합은 180ù_(6-2)=720ù

∴ ∠x =720ù-(110ù+130ù+123ù+104ù+115ù)

=138ù ^답 ④

37

사각형의 내각의 크기의 합은 360ù이므로

∠x+105ù+(180ù-120ù)+(180ù-80ù)=360ù

∠x+265ù=360ù ∴ ∠x=95ù ^답 ④

38

사각형의 내각의 크기의 합은 360ù이므로

∠ABC+∠DCB =360ù-(120ù+116ù)=124ù

∴ ∠PBC+∠PCB=;2!;∠ABC+;2!;∠DCB

=;2!;(∠ABC+∠DCB)

=;2!;_124ù=62ù 따라서 △PBC에서

∠x=180ù-(∠PBC+∠PCB)

=180ù-62ù=118ù ^답 118ù

39

오각형의 내각의 크기의 합은

180ù_(5-2)=540ù ⋯ ➊

∴ ∠FCD+∠FDC

=540ù-(105ù+80ù+60ù+65ù+90ù)

=140ù ⋯ ➋

따라서 △FCD에서

∠x =180ù-(∠FCD+∠FDC)

=180ù-140ù=40ù ⋯ ➌

^답 40ù

채점 기준 배점

➊ 오각형의 내각의 크기의 합 구하기 30%

➋ ∠FCD+∠FDC의 크기 구하기 40%

➌ ∠x의 크기 구하기 30%

40

형 유 북

다각형의 외각의 크기의 합은 360ù이므로

∠x+65ù+93ù+72ù+(180ù-110ù)=360ù

∠x+300ù=360ù ∴ ∠x=60ù ^답 ④

41

다각형의 외각의 크기의 합은 360ù이므로 (180ù-∠x)+44ù+70ù+50ù+75ù+55ù=360ù

474ù-∠x=360ù ∴ ∠x=114ù ^답 ④

∠DCG=30ù+27ù=57ù

△HBF에서

∠BFE=38ù+42ù=80ù

사각형의 내각의 크기의 합은 360ù 180ù_n=1080ù ∴ n=6 따라서 정육각형의 한 내각의 크기는 180ù_ 27+2 =180ù_;9@;=40ù이므로

360ùn =40ù ∴ n=9 ^{⋯ ➊}

따라서 정구각형의 내각의 크기의 합은

180ù_(9-2)=1260ù ^{⋯ ➋}

^답 1260ù

정오각형의 한 내각의 크기는 180ùÙ_(5-2) 5 =108ù

△ABC는 ABÓ=BCÓ인 이등변삼각형이므로

∠BCA=;2!;_(180ù-108ù)=36ù

△CDE에서 같은 방법으로 하면 ∠ECD=36ù

∴ ∠x=108ù-(36ù+36ù)=36ù ^답 36ù

52

정팔각형의 한 외각의 크기는 360ù8 =45ù ∴ b=45

∴ a+b=150+45=195 ^답 195

정사각형의 한 내각의 크기는 90ù

정오각형의 한 내각의 크기는 180ù_(5-2) 5 =108ù 정육각형의 한 내각의 크기는 180ù_(6-2)

6 =120ù

∴ ∠x=360ù-(90ù+108ù+120ù)=42ù ^답 42ù

53

05 다각형

39

정오각형의 한 외각의 크기는 360ù

5 =72ù이므로

∠FDE=∠FED=72ù 따라서 △DFE에서

∠x=180ù-(72ù+72ù)=36ù ^답 36ù

56

정오각형의 한 외각의 크기는 360ù

5 =72ù이므로

∠DEP=72ù

정육각형의 한 외각의 크기는 360ù

6 =60ù이므로

∠DIP=60ù

58

lm이므로 ∠ABD=62ù (엇각)

△BCD에서

∠x+43ù=62ù ∴ ∠x=19ù ^답 ①

02

△IBC에서 ∠^IBC+∠ICB=180ù-110ù=70ù 따라서 △^ABC에서

∠x =180ù-(∠^ABC+∠^ACB)

=180ù-(2∠^IBC+2∠^ICB)

=180ù-2(∠^IBC+∠^ICB)

=180ù-2_70ù

=40ù ^답 40ù

03

오각형의 대각선의 개수는 5_(5-3)

2 =5

구하는 다각형을 n각형이라 하면 n-3=5 ∴ n=8

따라서 구하는 다각형은 팔각형이다. ^답 ①

05

악수를 하는 횟수는 십각형의 대각선의 개수와 같으므로 10_(10-3)

2 =35(번) ^답 35번

06

76~78쪽

실전 기출

① 5개의 선분으로 이루어진 다각형은 오각형이다.

③ 다각형에서 한 내각에 대한 외각은 두 개이다.

④ 모든 변의 길이가 같고 모든 내각의 크기가 같은 다각형 이 정다각형이다.

⑤ 외각의 크기는 180ù-72ù=108ù ^답 ②

01

오른쪽 그림의 △ACE에서

∠AEF=40ù+45ù=85ù

△BDG에서

∠FGD=∠x+∠y

△EFG에서

(∠x+∠y)+∠z+85ù=180ù

∴ ∠x+∠y+∠z=95ù ^답 ⑤

04

^{B A}

C

D

E F

G 40ù

45ù x

y z

∠EDI=72ù+60ù=132ù이므로 사각형 DIPE에서

∠x=360ù-(72ù+132ù+60ù)=96ù ^답 ① 정육각형의 한 내각의 크기는

180ù_(6-2)

6 =120ù ⋯ ➊

△ABC는 ABÓ=BCÓ인 이등변삼각형이므로

∠BCA=;2!;_(180Ùù-120ù)=30ù

△BCD에서 같은 방법으로 하면 ∠CBD=30ù ⋯ ➋

△BCP에서 ∠BPC=180ù-(30ù+30ù)=120ù

∴ ∠x=∠BPC=120ù (맞꼭지각) ⋯ ➌

^답 120ù

채점 기준 배점

➊ 정육각형의 한 내각의 크기 구하기 30%

➋ ∠BCA, ∠CBD의 크기 구하기 40%

➌ ∠x의 크기 구하기 30%

54

△PBC에서 ∠PBC=∠PCB=60ù이므로

∠ABP=∠DCP=90ù-60ù=30ù

△ABP는 ABÓ=BPÓ인 이등변삼각형이므로

∠BPA=;2!;_(180ù-30ù)=75ù

△PCD에서 같은 방법으로 하면 ∠CPD=75ù

∴ ∠x=360ù-(75ù+60ù+75ù)=150ù ^답 ⑤

55

오른쪽 그림에서

정육각형의 한 외각의 크기는 360ù6 =60ù ∴ ∠a=60ù 정팔각형의 한 외각의 크기는

360ù8 =45ù ∴ ∠b=45ù

∴ ∠x=∠a+∠b=60ù+45ù=105ù 답 ② ^{다른 풀이} 정육각형의 한 내각의 크기는 180ù_(6-2)

6 =120ù 정팔각형의 한 내각의 크기는 180ù_(8-2)

8 =135ù

∴ ∠x=360ù-(120ù+135ù)=105ù

57

^{a b}

형 유

4x+280=360, 4x=80

∴ x=20 ^답 ③

△CDE는 CDÓ=DEÓ인 이등변삼각형이므로

∠DCE=;2!;_(180ù-135ù)=22.5ù

△BCD에서 같은 방법으로 하면 ∠CDB=22.5ù

△CDI에서 ∠CID=180ù-(22.5ù+22.5ù)=135ù

∴ ∠x=∠CID=135ù (맞꼭지각) ^답 135ù 180ù_ 23+2 =180ù_;5@;=72ù이므로

360ùn =72ù ∴ n=5

72ù-xù108ù 72ù-xù

∠FAE=180ù-(xù+108ù)

=72ù-xù (72-x)+3x=108, 2x=36

∴ x=18 ^답 18

필요한 빨간 끈의 개수는 육각형의 변의 개수와 같으므로

a=6 ⋯ ➊

필요한 파란 끈의 개수는 육각형의 대각선의 개수와 같으 므로

b= 6_(6-3)2 =9 _{⋯ ➋}

∴ ab=6_9=54 ⋯ ➌

^답 54

x+(x+108)=180, 2x=72 ∴ x=36 ⋯ ➊ 주어진 정다각형을 정n각형이라 하면

=360ù-110ù=250ù ⋯ ➋

∴ ∠PBC+∠PCB=;2!;∠DBC+;2!;∠BCE

=;2!;(∠DBC+∠BCE)

=;2!;_250ù=125Ùù ^{⋯ ➌} 따라서 △BPC에서

∠x=180ù-(∠PBC+∠PCB)

=180ù-125ù=55ù ⋯ ➍

^답 55ù

∠CFE=108ù-60ù=48ù x

∠CEF=108ù-90ù=18ù

△CEF에서

∠ECF=180ù-(48ù+18ù)=114ù

∴ ∠BCD=∠ECF=114ù (맞꼭지각) ⋯ ➋ 사각형 ABCD에서

∠BAD=360ù-(60ù+114ù+90ù)=96ù

∴ ∠x=∠BAD=96ù (맞꼭지각) ⋯ ➌

=55ù+30ù=85ù ⋯ ➊ 오각형의 내각의 크기의 합은

180ù_(5-2)=540ù이므로 ⋯ ➋

∠x=540ù-(120ù+85ù+90ù+105ù+95ù)=45ù ⋯ ➌

^답 45ù

∴ ∠CBD=25ù+25ù=50ù

△BCD에서 ∠CDB=∠CBD=50ù ⋯ ➊

=25ù+75ù=100ù ⋯ ➌

^답 100ù

형 유 북

01

^답 ㉠ 현 ㉡ 호 ㉢ 활꼴 ㉣ 부채꼴

원과 부채꼴

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