IV 일차함수
2. 일차함수와 일차방정식의 관계
y
2a (ii) a<0일 때
x O
-2 y
2a (i) a>0일 때
O
2. 일차함수와 일차방정식의 관계
01
2x-3y+6=0에서 3y=2x+6 ∴ y=;3@;x+202
4x+3y-6=0에서 3y=-4x+6 ∴ y=-;3$;x+2 따라서 a=-;3$;, b=2이므로a+b={-;3$;}+2=;3@;
03
3x-4y=12에서 4y=3x-12 ∴ y=;4#;x-3① y=;4#;x-3에 y=0을 대입하면 0=;4#;x-3 ∴ x=4
③ y=;4#;x-3에 x=8, y=3을 대입하면 3=;4#;_8-3 따라서 y=;4#;x-3의 그래프는 점 (8, 3)을 지난다.
④ y=;4#;x-3의 그래프는 오른쪽 그림 과 같으므로 제`2사분면을 지나지 않 는다.
⑤ y=;4#;x-3의 그래프의 기울기는 ;4#;이고 y=-;4#;x+1 의 그래프의 기울기는 -;4#;이므로 두 그래프는 평행하 지 않다.
04
3x+y-2=0에서 y=-3x+2즉, y=ax+b의 그래프는 y=-3x+2의 그래프와 평행 하므로 a=-3
y=-3x+b의 그래프는 x절편이 -;3!;이므로 x=-;3!;, y=0을 대입하면
O x y
-3 4
01③ 02① 03④, ⑤ 04-4
05-;2#; 06⑤ 07③ 081 09a>0, b<010④ 11② 12-3 13y=2 14;5!; 1520 16x=2, y=1 17A(1, -1)18-1 196 20;3*;
21a+-2 22-2 23a=-4, b+-4
유형 TEST
01. 일차함수와 일차방정식의 관계 061~063쪽 02. 일차방정식의 해와 그래프Ⅳ. 일차함수
093
테스트BOOK
0=(-3)_{-;3!;}+b ∴ b=-1
∴ a+b=(-3)+(-1)=-4
05
ax+2y-2=0에 x=2, y=-2를 대입하면 2a+2_(-2)-2=0, 2a=6 ∴ a=3 3x+2y-2=0을 y에 대하여 풀면 2y=-3x+2 ∴ y=-;2#;x+1 따라서 이 그래프의 기울기는 -;2#;이다.06
ax+by-3=0에서 by=-ax+3∴ y=-;bA;x+;b#;
이때 이 그래프의 기울기는 -2, y절편은 3이므로 -;bA;=-2, ;b#;=3
따라서 b=1, a=2이므로 a+b=2+1=3
07
ax-4y+8=0에서 4y=ax+8 ∴ y=;4A;x+2 두 점 (-2, 2), (2, 4)를 지나는 직선과 평행하므로(기울기)= =
따라서 ;4A;=;2!;이므로 a=2
08
ax+by-6=0에 x=2, y=0을 대입하면 2a-6=0에서 a=33x+by-6=0에 x=0, y=-3을 대입하면 -3b-6=0에서 b=-2
∴ a+b=3+(-2)=1
09
x+ay+b=0에서 ay=-x-b ∴ y=-;a!;x-;aB;이때 주어진 그래프의 기울기는 음수, y절편은 양수이므로 -;a!;<0, -;aB;>0 ∴ a>0, b<0
10
ax+by+c=0에서 by=-ax-c∴ y=-;bA;x-;bC;
이때 a>0, b<0, c>0이므로 -;bA;>0, -;bC;>0
112 111122-(-2)4-2
따라서 y=-;bA;x-;bC;의 그래프는 오른쪽 그림과 같이 제`4사분면을 지나지 않는다.
⑴
11
ax-by+c=0에서 by=ax+c ∴ y=;bA;x+;bC;(기울기)>0, (y절편)<0이므로 ;bA;>0, ;bC;<0
∴ -;cB;>0
따라서 y=-;cB;x+;bA;의 그래프로 알맞은 것은 ②이다.
12
y축에 평행한 직선의 방정식은 x=k 꼴이므로 두 점의 x좌 표가 같아야 한다.∴ a=-3
13
3x-3=0에서 3x=3 ∴ x=1직선 x=1에 수직인 직선의 방정식은 y=k 꼴이고, 점 (-4, 2)를 지나므로 y=2
14
ax+by=1에서 by=-ax+1∴ y=-;bA;x+;b!;
주어진 직선의 방정식은 y=5이므로 -;bA;=0, ;b!;=5 ∴ a=0, b=;5!;
∴ a+b=0+;5!;=;5!;
15
4x-8=0에서 x=2, x+3=0에서 x=-3, 2y=6에서 y=3, y+1=0에서 y=-1 즉, 네 직선 x=2, x=-3,y=3, y=-1은 오른쪽 그림과 같으므로 구하는 넓이는 (2+3)_(3+1)=20
⑴
16
연립방정식 의 해는 두 그래프의 교점의좌표와 같으므로 x=2, y=1
17
연립방정식 에서㉠+㉡을 하면 5x=5 ∴ x=1 3x+y=2 yy`㉠
2x-y=3 yy`㉡
‡
x-2y=0 ax+by=6
‡
y
y=3
y=-1 x=-3 x=2
x 2 -3
3
-1 O
O x y (057~098)부-해 2018.8.2 9:42 AM 페이지093
01
(3a-1)x-y+2+a=0에서 y=(3a-1)x+(a+2)이 일차방정식의 그래프가 제3사분면 을 지나지 않으려면 오른쪽 그림과 같이 (기울기)<0이고 (`y절편)æ0이어야 하므로 3a-1<0, a+2æ0
a<;3!;, aæ-2
∴ -2…a<;3!;
02
ax+by-3=0에서 `by=-ax+3 ∴ y=-;bA;x+;b#;y=-;bA;x+;b#;`의 그래프를 `y축의 방향으로 -3만큼 평행 이동한 그래프의 식은 y=-;bA;x+;b#;`-3 yy`㉠
이 직선이 두 점 (3, -3), (-2, 7)을 지나므로
㉠에 x=3, y=-3을 대입하면
-3=- +;b#;`-3, 3a-3=0 ∴ a=1 y=-;b!;`x+;b#;`-3에 x=-2, y=7을 대입하면
1233ab
O x y x=1을 ㉠에 대입하면
3_1+y=2 ∴ y=-1
∴ A(1, -1)
18
두 일차방정식의 그래프의 교점의 좌표가 (2, 2)이므로 두 일차방정식에 x=2, y=2를 각각 대입하면 2a+2=4에서 a=12+2b=-2에서 b=-2
∴ a+b=1-2=-1
19
두 점 (1, 0), (0, -1)을 지나는 직선의 방정식은 l : y=x-1두 점 (-3, 0), (0, 1)을 지나는 직선의 방정식은 m : y=;3!;x+1
연립방정식
㉠을 ㉡에 대입하면 x-1=;3!;x+1 ∴ x=3 x=3을 ㉠에 대입하면 y=2
따라서 연립방정식의 해는 x=3, y=2이므로 a=3, b=2 ∴ ab=6
20
2x+2y=b에서 y=-x+;2B;3ax-y=4에서 y=3ax-4
두 직선의 교점이 무수히 많으려면 두 그래프가 일치해야 하므로 y=-x+;2B;, y=3ax-4의 그래프의 기울기와 y절편이 각각 같아야 한다.
따라서 3a=-1, ;2B;=-4이므로 a=-;3!;, b=-8
∴ ab={-;3!;}_(-8)=;3*;
21
ax-y=-2에서 y=ax+2 4x+2y=1에서 y=-2x+;2!;오직 한 쌍의 해를 가지려면 두 직선이 한 점에서 만나야 하 므로 a+-2
22
x+2y=-1에서 y=-;2!;x-;2!;ax-4y=3에서 y=;4A;x-;4#;
y=x-1 yy`㉠
y=;3!;x+1 yy`㉡
‡
연립방정식의 해가 없으려면 두 일차방정식의 그래프가 평 행해야` 하므로 기울기가 같고 y절편은 달라야 한다.
따라서 -;2!;=;4A;이므로 a=-2
23
x-2y=1에서 y=;2!;x-;2!;ax+8y=b에서 y=-;8A;x+;8B;
두 직선의 교점이 존재하지 않으려면 두 그래프가 평행해 야` 하므로
;2!;=-;8A;, -;2!;+;8B;
∴ a=-4, b+-4
01-2…a<;3!; 02;2#; 03-1
04;4#; 057 062 072 : 1
실력 TEST
064~065쪽Ⅳ. 일차함수
095
테스트BOOK
7=;b@;`+;b#;`-3, 10b=2+3 ∴ b=;2!;
∴ a+b=1+;2!;=;2#;
■ 다른 풀이 ■
두 점 (3, -3), (-2, 7)을 지나는 직선의 기울기는
=-2
직선의 방정식을 y=-2x+n이라 하고 x=-2, y=7을 대입하면 7=4+n ∴ n=3
직선 y=-2x+3을 y축의 방향으로 3만큼 평행이동하면 y=-2x+3+3=-2x+6
∴ x+;2!;y-3=0
이 식이 일차방정식 ax+by-3=0과 일치하므로 a=1, b=;2!;
∴ a+b=1+;2!;=;2#;
03
2x-3y+1=0에서 y=;3@;x+;3!;이 그래프와 평행하므로 구하는 직선의 방정식을 y=;3@;x+n이라고 하면 점 (-3, 1)을 지나므로 1=-2+n ∴ n=3
즉, 구하는 직선의 방정식은 y=;3@;x+3 ∴ 2x-3y+9=0 따라서 a=2, b=-3이므로 a+b=2+(-3)=-1
04
ax+3y=6에 x=0을 대입하면 3y=6 ∴ y=2ax+3y=6에 y=0을 대입하면 ax=6 ∴ x=;a^;
즉, x절편이 ;a^; {;a^;>0}, y절편이 2이므로 삼각형의 넓이는
;2!;_;a^;_2=8, ;a^;=8
∴ a=;8^;=;4#;
05
두 일차방정식의 그래프가 점 (3, 2)에서 만나므로 x-2y+a=0에 x=3, y=2를 대입하면 3-4+a=0 ∴ a=1x y
O 2
;a^;
1122313-(-2)-3-7
∴ x-2y+1=0
2x+3y+b=0에 x=3, y=2를 대입하면 6+6+b=0 ∴ b=-12
∴ 2x+3y-12=0 ……❶
일차방정식 x-2y+1=0에 y=0을 대입하면 x+1=0 ∴ x=-1
∴ A (-1, 0)
일차방정식 2x+3y-12=0에 y=0을 대입하면 2x-12=0 ∴ x=6
∴ B (6, 0) ……❷
따라서 선분 AB의 길이는 6-(-1)=7 ……❸
0 6
연립방정식㉠_2-㉡을 하면 7y=7 ∴ y=1 y=1을 ㉠에 대입하면 x=3
직선 ax+y=4a-1도 점 (3, 1)을 지나야 하므로 3a+1=4a-1, -a=-2 ∴ a=2
0 7
x-y+2=0의 그래프의 x절편은 -2, y절편은 2이므로 A(-2, 0), B(0, 2)x+y-4=0의 그래프의 y절편은 4이므로 D(0, 4) 연립방정식 을 풀면 x=1, y=3이므로
C(1, 3) ……❶
이때 △OAB의 넓이는 ;2!;_2_2=2,
△BCD의 넓이는 ;2!;_2_1=1이므로 ……❷
△OAB의넓이와△BCD의넓이의비는2 : 1이다.……❸ x-y+2=0
x+y-4=0
‡
x+3y=6 yy`㉠
2x-y=5 yy`㉡
‡
❶네 점 A, B, C, D의 좌표 각각 구하기
❷△OAB의 넓이와 △BCD의 넓이 각각 구하기
❸△OAB의 넓이와 △BCD의 넓이의 비 구하기
50 % 30 % 20 %
채점 기준 배점
❶두 일차방정식 각각 구하기
❷두 일차방정식의 x절편 각각 구하기
❸선분 AB의 길이 구하기
40 % 40 % 20 %
채점 기준 배점
(057~098)부-해 2018.8.2 9:42 AM 페이지095
③ 0=;3@;x-2, ;3@;x=2 ∴ x=3Δ(3, 0)
④ 0=;6!;x-;2!;, ;6!;x=;2!; ∴ x=3Δ(3, 0)
⑤ 0=;1¶2;x+;4&;, ;1¶2;x=-;4&; ∴ x=-3Δ(-3, 0) 따라서 x축과 만나는 점의 좌표가 다른 것은 ⑤이다.
06
세 점 중 어느 두 점을 지나는 일차함수의 그래프의 기울기가 모두 같으므로 (직선 AB의 기울기)=(직선 BC의 기울기)즉, = 이므로 =
-6(a-2)=-12 ∴ a=4
07
y=ax+4(a<0)의 그래프의 x절편은 -;a$;, y절편은 4이므로 그 그래프는 오 른쪽 그림과 같다.색칠한 도형의 넓이가 4이므로
;2!;_{-;a$;}_4=4, -;a@;=1
∴ a=-2
08
④ y=;3!;x+4에 y=0을 대입하면 0=;3!;x+4, ;3!;x=-4 ∴ x=-12 즉, x절편은 -12이다.09
ab<0, b>a이므로 a<0, b>0 따라서 -b<0이므로 y=ax-b의 그 래프는 오른쪽 그림과 같이 제`1사분면 을 지나지 않는다.10
두 점 (1, -2), (k, -4)를 지나는 직선의 기울기가 -;3@;이므로
(기울기)= =-;3@;
1-k=-3 ∴ k=4
11
기울기가 ;2#;이므로 구하는 일차함수의 식을 y=;2#;x+b라 고 하면 점 (2, 4)를 지나므로 4=;2#;_2+b∴ b=1
따라서 구하는 일차함수의 식은 y=;2#;x+1이다.
-2-(-4) 111111-k
O x y O x
4
a4 -y
112a-2-3 11-64
-5-(-2) 111212a-2 111122-(-2)-2-4
01
① y=2x (함수이다.)② 키가 같더라도 몸무게가 다를 수 있으므로 x의 값 하나 에 y의 값이 하나씩 대응하지 않는다. 따라서 함수가 아 니다.
③ y= (함수이다.)
④ y= (함수이다.)
⑤ y=0.3x (함수이다.)
02
① 일차함수가 아니다.② 분모에 x가 있으므로 일차함수가 아니다.
④ y=x¤ -x-3은 y=(`x에 대한 이차식) 꼴이므로 일차 함수가 아니다.
⑤ y=(`x에 대한 이차식) 꼴이므로 일차함수가 아니다.
03
f(-4)=;4#;_(-4)-2=-5 f(8)=;4#;_8-2=4∴ f(-4)+2 f(8)=-5+8=3
04
y=-;2!;x의 그래프를 y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 그래프의 식은 y=-;2!;x+3④ x=4, y=4를 대입하면 {-;2!;}_4+3=1+4
④따라서 점 (4, 4)를 지나지 않는다.
05
각 일차함수의 식에 y=0을 대입하여 x축과 만나는 점의 좌표를 각각 구해 보자.① 0=x-3 ∴ x=3Δ(3, 0)
② 0=-;3!;x+1, ;3!;x=1 ∴ x=3Δ(3, 0) 1230x
11100x
01② 02③ 033 04④
05⑤ 064 07-2 08④
09제`1사분면 104 11y=;2#;x+112y=2x-1 13③ 14⑴ y=2x+1 ⑵ 21개 1518분 16제`3사분면 17a=0, b=2182 192
20-6 21-6 2212
대단원 TEST
066~068쪽Ⅳ. 일차함수
097
테스트BOOK
12
두 점 (-1, -3), (2, 3)을 지나므로(기울기)= =2
구하는 일차함수의 식을 y=2x+b라고 하면 점 (2, 3)을 지나므로
3=2_2+b ∴ b=-1
∴ y=2x-1
13
두 점 (2, 3), (8, 0)을 지나므로 (기울기)= =-;2!;구하는 일차함수의 식을 y=-;2!;x+b라고 하면 점 (8, 0)을 지나므로
0={-;2!;}_8+b ∴ b=4
∴ y=-;2!;x+4
14
⑴ 정삼각형 1개를 만들 때 필요한 성냥개비는 3개이고, 정 삼각형이 1개 늘어날 때마다 성냥개비는 2개씩 늘어난 다. 따라서 x와 y 사이의 관계식은y=3+2(x-1) ∴ y=2x+1
⑵ y=2x+1에 y=43을 대입하면 43=2x+1, 2x=42 ∴ x=21 따라서 21개의 정삼각형을 만들 수 있다.
15
시간을 x분, 물의 온도를 y æ라고 하면 40 æ의 물을 데 울 때에는 1분에 6 æ씩 온도가 올라가므로y=6x+40
82 æ에서 물이 식을 때에는 1분에 2 æ씩 온도가 내려가
므로 y=-2x+82 ……❶
따라서 40 æ의 물이 82 æ까지 올라갈 때 걸린 시간은 82=6x+40 ∴ x=7
또 물의 온도가 60 æ까지 내려갈 때 걸린 시간은
60=-2x+82 ∴ x=11 ……❷
따라서 소요된 시간은 7+11=18(분) ……❸ 11230-38-2
3-(-3) 111122-(-1)
16
ax-y-b=0에서 y=ax-b즉, y=ax-b의 그래프가 주어진 그림과 같으므로 (기울기)=a<0, (`y절편)=-b<0
∴ a<0, b>0
따라서 ab<0, -a>0이므로 y=abx-a의 그래프는 오른쪽 그림과 같이 제`3사분면을 지나지 않는다.
17
주어진 그래프의 식은 y=3이다.ax+by-6=0에서 by=-ax+6
∴ y=-;bA;x+;b^;
이 식이 y=3과 같으므로
-;bA;=0, ;b^;=3 ∴ a=0, b=2
18
ax+2y+4b=0에서 2y=-ax-4b∴ y=-;2A;x-2b
주어진 함수의 그래프가 두 점 (2, 1), (0, 2)를 지나므로 (기울기)= =-;2!;, (`y절편)=2
따라서 -;2A;=-;2!;, -2b=2이므로 a=1, b=-1
∴ a-b=1-(-1)=2
19
주어진 연립방정식의 해를 x=k, y=2라 하고, x+y=6에 x=k, y=2를 대입하면k+2=6 ∴ k=4
따라서 x-y=a에 x=4, y=2를 대입하면 a=4-2=2
20
ax-2y=4에서 y=;2A;x-2 2x+y=b에서 y=-2x+b연립방정식의 해가 무수히 많으려면 두 일차방정식의 그래 프가 일치해야 하므로
;2A;=-2, -2=b ∴ a=-4, b=-2
∴ a+b=(-4)+(-2)=-6
21
3x+y=4에서 y=-3x+4 ax-2y=3에서 y=;2A;x-;2#;1121-22-0
O x y
❶물을 데울 때의 관계식과 식힐 때의 관계식 구하기
❸소요된 시간 구하기
❷물의 온도가 올라갈 때 걸린 시간과 내려갈 때 걸린 시간 구하기
40 %
20 % 40 %
채점 기준 배점
(057~098)부-해 2018.8.3 1:36 PM 페이지097
;2B;-{;2B;-2}=2
02
점 B와 x축에 대하여 대칭인 점을 B'이라고 하면 B'의 좌 표는 (6, 4)이다.AB'”과 x축과의 교점을 점 P' 이라고 하면
AP”+PB”=AP”+PB'”
æAP'”+P'B'”
즉, 점 P가 점 P'이 될 때 AP”+PB”가 최소가 된다.
두 점 A(1, -5), B'(6, 4)를 지나는 그래프의 식을 y=ax+b라고 하면
a= =;5(;이므로 y=;5(;x+b
x=1, y=-5를 y=;5(;x+b에 대입하면 b=-:£5¢:
일차함수 y=;5(;x-:£5¢:의 그래프의 x절편은 y=0을 대입 하면
;5(;x-:£5¢:=0 ∴ x=:£9¢:
따라서 AB”+BP”가 최소가 되게 하는 점 P의 좌표는 P{:£9¢:, 0}이다.
03
⁄a가 양수인 경우a의 값이 0보다 크고 점 (3, 2)를 지날 때의 기울기보다 는 작아야 하므로 x=3, y=2를 y=ax-4에 대입하면 2=3a-4 ∴ a=2
∴ 0<a<2
¤a가 음수인 경우
a의 값이 0보다 작고 점 (-1, 2)를 지날 때의 기울기 보다는 커야 하므로
x=-1, y=2를 y=ax-4에 대입하면 2=-a-4 ∴ a=-6
∴ -6<a<0
⁄, ¤에서 a의 값의 범위는 -6<a<0 또는 0<a<2
4-(-5) 112116-1
1
-4-5
P P'
B 6 y
O x
A
B'{6, 4}
두 직선의 교점이 존재하지 않으려면 두 직선이 평행해야 하므로
;2A;=-3 ∴ a=-6
22
두 직선의 교점의 좌표는연립방정식 의 해와 같다.
㉠+㉡을 하면 3x=15 ∴ x=5 x=5를 ㉠에 대입하면 5-y=1 ∴ y=4
∴ A(5, 4) ……❶
㉠의 그래프의 x절편은 1이므로 B(1, 0)
㉡의 그래프의 x절편은 7이므로 C(7, 0) ……❷
∴ △ABC=;2!;_(7-1)_4=12 ……❸ x-y=1 yy`㉠
2x+y=14 yy`㉡
‡
01
두 일차함수 y=;3A;x+b, y=(a+4)x+b-4의 그래프 의 기울기가 서로 같으므로;3A;=a+4 ∴ a=-6
즉, 두 일차함수의 그래프는 y=-2x+b, y=-2x+b-4 두 일차함수의 그래프가 서로 평행하므로 두 점 A, B 사이 의 거리는 두 그래프의 x절편의 차와 같다.
y=-2x+b에 y=0을 대입하면 -2x+b=0 ∴ x=;2B;
y=-2x+b-4에 y=0을 대입하면 -2x+b-4=0 ∴ x=;2B;-2
따라서 두 일차함수 y=-2x+b, y=-2x+b-4의 x절 편은 각각 ;2B;, ;2B;-2이므로 두 점 A, B 사이의 거리는
012 02P{:£9¢:, 0}
03-6<a<0 또는 0<a<2