01
xÛ`-x=A로 치환하면AÛ`-8A+12 =(A-2)(A-6)
=(xÛ`-x-2)(xÛ`-x-6)
=(x+1)(x-2)(x+2)(x-3) ∴ a+b+c+d=1+(-2)+2+(-3)=-2
02
x+5y=A로 치환하면(주어진 식) =A(A-2)+(A-12)
=AÛ`-A-12
=(A-4)(A+3)
=(x+5y-4)(x+5y+3) 따라서 인수인 것을 모두 고르면 ③, ⑤이다.
(x-2)(2x+9)
x+4
4x+12
-2
③, ⑤
04
0<a<1이므로 a+ 1a >0, a-1 a <0 ∴ (주어진 식) =¾Ð{a- 1a}2`+¾Ð{a+1a }2`
=-{a- 1a}+{a+1 a }
= 2a
05
8xÛ`-50yÛ` =2(4xÛ`-25yÛ`)=2{(2x)Û`-(5y)Û`}
=2(2x+5y)(2x-5y) 따라서 A=2, B=2, C=-5이므로 A+B+C=2+2+(-5)=-1
06
aÝ`-81 =(aÛ`+9)(aÛ`-9)=(aÛ`+9)(a+3)(a-3) 따라서 인수가 아닌 것은 ①이다.
07
xÛ`+6x-27=(x+9)(x-3) 따라서 두 일차식의 합은 (x+9)+(x-3)=2x+608
⑤ (x-2)+(2x-xÛ`) =(x-2)-x(x-2)=(x-2)(1-x)
09
① 9aÛ`-6ab+bÛ`=(3a-b)Û`이므로 =3 ② xÛ`+14xy+49yÛ`=(x+7y)Û`이므로 =7 ③ 3xÛ`+5x-2=(x+2)(3x-1)이므로 =2 ④ 25aÛ`-16bÛ`=(5a+4b)(5a-4b)이므로 =4 ⑤ xÛ`-8xy+12yÛ`=(x-6y)(x-2y)이므로 =6 따라서 안에 알맞은 수가 가장 작은 것은 ③이다.10
① xÛ`+2x+1=(x+1)Û`② xÛ`-1=(x+1)(x-1) ③ 2xÛ`+x-1=(2x-1)(x+1) ④ xÛ`-4x-5=(x+1)(x-5) ⑤ xÛ`+2x-3=(x+3)(x-1)
따라서 x+1을 인수로 갖지 않는 다항식은 ⑤이다.
11
3xÛ`-2x-1=(3x+1)(x-1)3xÛ`y-3y=3y(xÛ`-1)=3y(x+1)(x-1) 세 다항식의 공통인수는 x-1이므로
2xÛ`-4x+a=(x-1)(2x+m)`(m은 상수)으로 놓으면 2xÛ`-4x+a=2xÛ`+(m-2)x-m이므로
m-2=-4 ∴ m=-2 -m=a이므로 a=2
;a@;
-1
①
2x+6
⑤
③
⑤
2
중3해설.indb 57 20. 10. 13. 오후 12:42
11
x=2-1'3=(2-'3)(2+'3)2+'3 =2+'3, y= 12+'3= 2-'3
(2+'3)(2-'3)=2-'3이므로 x-y=(2+'3)-(2-'3)=2'3
∴ (주어진 식) =9-(xÛ`-2xy+yÛ`)=9-(x-y)Û`
=9-(2'3)Û`=-3
12
ax+bx-ay-by =ax+bx-(ay+by)=(a+b)x-(a+b)y
=(a+b)(x-y)=20
이때 a+b=5이므로 5(x-y)=20 ∴ x-y=4 ∴ xÛ`-2xy+yÛ`=(x-y)Û`=4Û`=16
13
두 정사각형의 둘레의 길이의 합이 40이므로 4x+4y=40 ∴ x+y=10두 정사각형의 넓이의 차가 20이므로 xÛ`-yÛ`=20, (x+y)(x-y)=20 10(x-y)=20 ∴ x-y=2
14
xÜ`-xÛ`y-x+y=xÛ`(x-y)-(x-y)=(x-y)(xÛ`-1)=(x-y)(x+1)(x-1)
따라서 직육면체의 높이는 x-y이므로 겉넓이는 2{(x-y)(x+1)+(x-y)(x-1)+(x+1)(x-1)}
=2{(xÛ`-xy+x-y)+(xÛ`-xy-x+y)+(xÛ`-1)}
=2(3xÛ`-2xy-1)=6xÛ`-4xy-2
15
점 D는 ACÓ의 중점이므로 ADÓ= a+b2 , DBÓ=a-a+b2 =a-b 2 ∴ SÁ-Sª={ a+b2 }2`-{a-b
2 }2`
={ a+b2 +a-b 2 }{a+b
2 -a-b 2 }=ab
01 ③ 02 ④ 03 ② 04 6
05 ④ 06 ③ 07 ① 08 -39
09x=- 32 또는 x=-1 10 ② 11 ③ 12 ⑤ 13 2 14 ② 15 ⑤
워크북 018 ~ 019쪽
0 9 이차방정식의 풀이
②
16
2
②
①
03
x+y=A로 치환하면(주어진 식)=2AÛ`-5A-18=(2A-9)(A+2) 이때 주어진 식의 값이 소수가 되려면 2A-9=1 또는 A+2=1이어야 한다.
Ú 2A-9=1일 때, A=5
Û A+2=1일 때, A=-1이므로 성립하지 않는다.
즉 x+y=A이므로 x+y=5를 만족하는 자연수 x, y의 순서쌍 (x, y)는 (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)의 4개이다.
04
(주어진 식) ={(x-1)(x+6)}{(x+1)(x+4)}+a=(xÛ`+5x-6)(xÛ`+5x+4)+a 이때 xÛ`+5x=A로 치환하면
(주어진 식)=(A-6)(A+4)+a=AÛ`-2A-24+a 이 식이 완전제곱식이 되려면
-24+a={ -22 }2`=1 ∴ a=25
05
(주어진 식) =3xy-3y+4x-4=3y(x-1)+4(x-1)
=(x-1)(3y+4) 따라서 a=-1, b=3, c=4이므로 a+b-c=-1+3-4=-2
06
(주어진 식) =xÛ`-(yÛ`-2yz+zÛ`)=xÛ`-(y-z)Û`
={x+(y-z)}{x-(y-z)}
=(x+y-z)(x-y+z)
07
(주어진 식) =2xÛ`+3xy+yÛ`-y-2=2xÛ`+3yx+(y-2)(y+1)
=(2x+y-2)(x+y+1)
따라서 두 일차식은 2x+y-2, x+y+1이므로 두 일차식의 합은 (2x+y-2)+(x+y+1)=3x+2y-1
08
880_884+880_6885Û`-5Û` = 880_(884+6)
(885+5)(885-5)
= 880_890890_880 =1
09
f(x)= xÛ`-1xÛ` =(x-1)(x+1)
x_x 이므로
(주어진 식) = 2_43_3 _3_5
4_4 _y_ 9_11
10_10 _10_12 11_11
= 23 _12 11 = 8
11
10
x+y=1+'3+'3-1=2'3, xy=(1+'3)('3-1)=2이므로 xÛ`+4xy+yÛ` =(x+y)Û`+2xy=(2'3)Û`+2_2
=12+4=16
4개
25
-2
⑤
④
1
⑤
⑤
중단원 Test
059
그런데 a-2+0, 즉 a+2이어야 하므로 a=3xÛ`+12x-13=0에서 (x-1)(x+13)=0 ∴ x=1 또는 x=-13
따라서 b=-13이므로 ab=3_(-13)=-39
09
x=3을 xÛ`+px-24=0에 대입하면 9+3p-24=0, 3p=15 ∴ p=5 x=3을 xÛ`-4x+q=0에 대입하면 9-12+q=0 ∴ q=32xÛ`+5x+3=0에서 (2x+3)(x+1)=0 ∴ x=- 32 또는 x=-1
10
① (x+3)(x-3)=0 ∴ x=-3 또는 x=3 ② (3x-1)Û`=0 ∴ x= 13③ xÛ`-x-2=0에서 (x+1)(x-2)=0
∴ x=-1 또는 x=2
④ xÛ`-16=0에서 (x+4)(x-4)=0
∴ x=-4 또는 x=4
⑤ xÛ`+6x-16=0에서 (x+8)(x-2)=0
∴ x=-8 또는 x=2 따라서 중근을 갖는 것은 ②이다.
11
4={ 3m+12 }2`이므로 9mÛ`+6m-15=0 3mÛ`+2m-5=0, (3m+5)(m-1)=0 ∴ m=1 (∵ m은 양수)12
2(x+a)Û`=14에서 (x+a)Û`=7 x+a=Ñ'7 ∴ x=-aÑ'7따라서 a=3, b=7이므로 b-a=7-3=4
13
(x-5)Û`=2k에서 x-5=Ñ'2k ∴ x=5Ñ'2k 이때 서로 다른 두 근이 정수가 되려면 2k는 제곱수이어야 한다.2k=1, 4, 9, 16, y ∴ k= 12, 2, 9 2 , 8, y 따라서 자연수 k의 값 중 가장 작은 값은 2이다.
14
3xÛ`+12x-6=0의 양변을 3으로 나누면 xÛ`+4x-2=0, xÛ`+4x=2xÛ`+4x+4=2+4, (x+2)Û`=6 x+2=Ñ'6 ∴ x=-2Ñ'6 따라서 A=4, B=4, C=2, D=6이므로 A+B+C-D=4+4+2-6=4
-39
x=-;2#; 또는 x=-1
②
③
⑤
2
②
01
ㄱ. 이차식ㄴ. 이차방정식이 아니다.
ㄷ. 이차방정식
ㄹ. 2xÛ`-x=0 (이차방정식) ㅁ. xÛ`-2x+1=0 (이차방정식) ㅂ. -4x+4=0 (일차방정식) 따라서 이차방정식은 ㄷ, ㄹ, ㅁ이다.
02
① (-2)Û`+2+0 ② 3Û`+3-6+0 ③ -3_(-3+3)+10 ④ 3Û`+7_3=5_(3+3) ⑤ {- 12-4}_[2_{-12 }-1]+0
따라서 [ ] 안의 수가 주어진 이차방정식의 해인 것은 ④이다.
03
x=a를 xÛ`+2x-4=0에 대입하면 aÛ`+2a-4=0 ∴ aÛ`+2a=4 x=b를 2xÛ`-3x-6=0에 대입하면 2bÛ`-3b-6=0 ∴ 2bÛ`-3b=6∴ 2aÛ`-2bÛ`+4a+3b =2(aÛ`+2a)-(2bÛ`-3b)
=2_4-6=2
04
x=a를 xÛ`-2x-1=0에 대입하면 aÛ`-2a-1=0 a+0이므로 양변을 a로 나누면a-2- 1a=0 ∴ a-1 a =2 ∴ aÛ`+ 1aÛ`={a- 1a}2`+2=2Û`+2=6
05
①, ②, ③, ⑤ x=- 12 또는 x=13 ④ x=-2 또는 x=2
06
2xÛ`-6=x-3에서 2xÛ`-x-3=0(x+1)(2x-3)=0 ∴ x=-1 또는 x= 32
07
xÛ`-6x-16=0에서 (x+2)(x-8)=0 ∴ x=-2 또는 x=82xÛ`+x-6=0에서 (2x-3)(x+2)=0 ∴ x= 32 또는 x=-2
따라서 두 이차방정식의 공통인 근은 x=-2이다.
08
x=1을 주어진 이차방정식에 대입하면 a-2+aÛ`+3-6a+5=0, aÛ`-5a+6=0 (a-2)(a-3)=0 ∴ a=2 또는 a=3 ③
④
②
6
④
③
①
중3해설.indb 59 20. 10. 13. 오후 12:42
04
12 xÛ`-56 x-13 =0의 양변에 6을 곱하면 3xÛ`-5x-2=0, (x-2)(3x+1)=0 ∴ x=2 또는 x=- 130.2xÛ`-0.1x-0.6=0의 양변에 10을 곱하면 2xÛ`-x-6=0, (x-2)(2x+3)=0 ∴ x=2 또는 x=- 32
따라서 두 이차방정식의 공통인 근은 x=2이다.
05
x-2y=A로 놓으면 (A-1)(A+3)=-4 AÛ`+2A+1=0, (A+1)Û`=0 ∴ A=-1 따라서 x-2y=-1이므로2x-4y=2(x-2y)=2_(-1)=-2
06
① (-14)Û`-4_1_49=0 1개 ② 1Û`-4_1_5=-19<0 0개 ③ 3Û`-4_1_1=5>0 2개④ (-2)Û`-4_3_(-2)=28>0 2개
⑤ 6xÛ`-5x+1=0에서 (-5)Û`-4_6_1=1>0 2개 따라서 해가 없는 것은 ②이다.
07
(2m)Û`-4_1_(6m-5)=0이므로 4mÛ`-24m+20=0, mÛ`-6m+5=0 (m-1)(m-5)=0 ∴ m=1 또는 m=5 따라서 모든 상수 m의 값의 합은 1+5=608
두 근이 -7, 4이고 xÛ`의 계수가 2인 이차방정식은 2(x+7)(x-4)=0, 2(xÛ`+3x-28)=0 ∴ 2xÛ`+6x-56=009
3-21'2= 3+2'2(3-2'2)(3+2'2)=3+2'2이므로 다른 한 근 은 3-2'2이다.
10
-3과 2를 두 근으로 하고 xÛ`의 계수가 1인 이차방정식은 (x+3)(x-2)=0 ∴ xÛ`+x-6=0즉 처음 이차방정식의 상수항은 -6이다.
-1과 2를 두 근으로 하고 xÛ`의 계수가 1인 이차방정식은 (x+1)(x-2)=0 ∴ xÛ`-x-2=0
즉 처음 이차방정식의 x의 계수는 -1이다.
따라서 처음 이차방정식은 xÛ`-x-6=0이다.
11
연속하는 세 짝수를 x-2, x, x+2라고 하면 (x+2)Û`=(x-2)Û`+xÛ`-84xÛ`-8x-84=0, (x+6)(x-14)=0 ∴ x=14`(∵ x는 자연수)
따라서 연속하는 세 짝수는 12, 14, 16이다.
x=2
-2
②
⑤
2xÛ`+6x-56=0
3-2'2
②
12, 14, 16
15
① (x-1)Û`=0이므로 중근 x=1을 가진다.② 5-k>0이므로 서로 다른 두 근을 가진다.
③ (x-1)Û`=3에서 x=1Ñ'3이므로 무리수인 두 근을 가진 다.
④ (x-1)Û`=9에서 x=-2 또는 x=4이므로 정수인 두 근을 가진다.
⑤ (x-1)Û`=5에서 x=1Ñ'5이므로 무리수인 두 근을 가진 다.
따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.
01 ① 02 ③ 03 ⑤ 04 x=2
05 -2 06 ② 07 ⑤
08 2xÛ`+6x-56=0 09 3-2'2 10 ② 11 12, 14, 16 12 9세 13 ④ 14 ⑤ 15 ②
워크북 020 ~ 021쪽
10 이차방정식의 활용
01
3xÛ`+4x+p=0에서 x=-2Ñ"Ã2Û`-3_p3 =-2Ñ'Ä4-3p 3
따라서 q=-2, 4-3p=10에서 p=-2이므로 p+q=-2+(-2)=-4
02
xÛ`-5x+2=0에서x=-(-5)Ñ"Ã(-5)Û`-4_1_2
2_1 =5Ñ'17 2 따라서 k=5-'17
2 이므로 4k-3 =4_5-'17
2 -3=10-2'17-3
=7-2'17
03
0.3x+ 45 (xÛ`+1)=xÛ`+12 의 양변에 10을 곱하면 3x+8(xÛ`+1)=10xÛ`+5
3x+8xÛ`+8=10xÛ`+5, 2xÛ`-3x-3=0 ∴ x=-(-3)Ñ"Ã(-3)Û`-4_2_(-3)
2_2 =3Ñ'33 4 따라서 a=3, b=33이므로 b-a=33-3=30
⑤
①
③
⑤
중단원 Test
061 02
① y=x(x-10)=xÛ`-10x (이차함수)② y=6xÛ` (이차함수) ③ y=pxÛ` (이차함수) ④ y=3x (일차함수)
⑤ y=x(x+2)=xÛ`+2x (이차함수) 따라서 이차함수가 아닌 것은 ④이다.
03
y=2xÛ`-4-ax(1-x)=(2+a)xÛ`-ax-4가 이차함수이 려면 2+a+0 ∴ a+-204
f(1)=2_1Û`+3_1-5=2+3-5=0 f(2)=2_2Û`+3_2-5=8+6-5=9 ∴ f(1)+f(2)=0+9=905
주어진 이차함수의 그래프 중 아래로 볼록한 그래프는 ③ y= 12 xÛ` ④ y=34 xÛ` ⑤ y=2xÛ`
이 중 폭이 가장 넓은 것은 xÛ`의 계수의 절댓값이 가장 작은 것 으로 ③ y= 12 xÛ`이다.
06
④ 이차함수 y=axÛ`의 그래프와 y=-axÛ`의 그래프는 x축에 대하여 대칭이다. 즉 ㄷ과 ㅁ이 x축에 대하여 대칭이다.
07
y=axÛ`의 그래프가 점 (-1, 2)를 지나므로 2=a_(-1)Û` ∴ a=2즉 y=2xÛ`의 그래프가 점 (2, b)를 지나므로 b=2_2Û`=8 ∴ ba=8
2 =4
08
y=4xÛ`의 그래프가 점 (-2, a)를 지나므로 a=4_(-2)Û`=16y=4xÛ`의 그래프는 y=-4xÛ`의 그래프와 x축에 대하여 대칭 이므로 b=-4
∴ a-b=16-(-4)=20
09
이차함수의 식을 f(x)=axÛ`으로 놓으면 y=f(x)의 그래프가 점 (-2, 6)을 지나므로 f(-2)=a_(-2)Û`=6 ∴ a= 32 따라서 f(x)= 32xÛ`이므로f(6)= 32_6Û`=54
④
①
9
③
④
4
20
54
12
동생의 나이를 x세라고 하면 형의 나이는 (x+7)세이므로 (x+7)Û`=3xÛ`+13xÛ`-7x-18=0, (x+2)(x-9)=0 ∴ x=9`(∵ x>0)
따라서 동생의 나이는 9세이다.
13
55t-5tÛ`=90에서 tÛ`-11t+18=0 (t-2)(t-9)=0 ∴ t=2 또는 t=9따라서 물 로켓을 쏘아 올린 지 2초 후 또는 9초 후이다.
14
처음 정사각형 모양의 종이의 한 변의 길이를 x`cm라고 하면 상자의 밑면인 정사각형의 한 변의 길이는 (x-10)`cm이므 로5(x-10)Û`=200
(x-10)Û`=40, x-10=Ñ2'10 ∴ x=10+2'10`(∵ x>10)
따라서 처음 정사각형 모양의 종이의 한 변의 길이는 (10+2'10)`cm이다.
15
x초 후에 처음 직사각형 ABCD와 넓이가 같아진다고 하면 (10+2x)(14-x)=10_14xÛ`-9x=0, x(x-9)=0 ∴ x=9`(∵ 0<x<14)
따라서 처음 직사각형 ABCD와 넓이가 같아지는 것은 9초 후 이다.
01 3개 02 ④ 03 ① 04 9 05 ③ 06 ④ 07 4 08 20 09 54 10 ② 11 11 12 3
13 ③ 14 1 15 ③ 16 ③
워크북 022 ~ 023쪽