이차함수

24 2 25 -1 26 7 27 12

본교재 108 ~ 111쪽

01

y=mÛ`xÛ`-4(x+1)Û`=(mÛ`-4)xÛ`-8x-4가 이차함수가 되 려면 mÛ`-4+0, (m+2)(m-2)+0

∴ m+-2이고 m+2

02

f(2)=3_2Û`+a=10이므로 12+a=10 ∴ a=-2

03

그래프가 색칠한 부분을 지나는 이차함수의 식을 y=axÛ`으로 놓으면 -1<a<0 또는 0<a<4

따라서 그래프가 색칠한 부분을 지나지 않는 것은 ①이다.

04

ㄷ. 위로 볼록한 그래프이다.

ㄹ. 꼭짓점의 좌표는 (0, 0)이다.

따라서 옳은 것을 모두 고른 것은 ③이다.

05

점 Q의 좌표를 (k, 25)`(k>0)라고 하면 점 Q는 y=xÛ` 위의 점이므로

25=kÛ` ∴ k=5 (∵ k>0)

이때 PQÓ=QRÓ이므로 QRÓ=5 ∴ R(10, 25) 따라서 점 R는 y=axÛ`의 그래프 위의 점이므로 25=a_10Û` ∴ a= 14

06

ABCD는 정사각형이고, C(3, 0)이므로 BCÓ=DCÓ=6

y=axÛ`의 그래프가 D(3, 6)을 지나므로 6=9a ∴ a= 23

 m+-2이고 m+2

 -2

 ①

 ③

 ④

 ;3@;

07

y=- 25xÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 4만큼 평행이동하면 y=- 25(x-4)Û`

y=- 25 (x-4)Û`의 그래프는 위로 볼록하고, 축의 방정식이 x=4이므로 x<4일 때, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한 다.

08

^①y=3xÛ`-1의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (0, -1)이고, y=3(x-1)Û`의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (1, 0)이다.

② y=3xÛ`-1의 그래프의 축의 방정식은 x=0이고, y=3(x-1)Û`의 그래프의 축의 방정식은 x=1이다.

③ y=3xÛ`-1의 그래프는 점 (0, -1)을 지나고, y=3(x-1)Û`의 그래프는 점 (0, 3)을 지난다.

④ 아래로 볼록한 포물선이다.

따라서 옳은 것은 ⑤이다.

09

주어진 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 좌표를 구해 보면 ㄱ. (-3, 1)  제2사분면 ㄴ. (5, -3)  제4사분면 ㄷ. (-1, -7)  제3사분면 ㄹ. (2, 5)  제1사분면 따라서 꼭짓점이 제4사분면 위에 있는 것은 ㄴ이다.

10

y=2(x-2)Û`-3의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동하면 y=2(x-m-2)Û`-3+n 이 그래프가 y=2xÛ`+2의 그래프와 일치하므로

-m-2=0, -3+n=2 ∴ m=-2, n=5

11

y=- 34(x+1)Û`-3의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 그 래프의 식은 y 대신 -y를 대입하면

-y=- 34(x+1)Û`-3 ∴ y=3

4 (x+1)Û`+3 이 그래프가 점 (-3, k)를 지나므로

k= 34(-3+1)Û`+3=6

12

그래프의 모양이 위로 볼록하므로 a<0

꼭짓점 (p, q)가 제1사분면 위에 있으므로 p>0, q>0 ㄱ. p+q>0

ㄹ. apq<0

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ의 2개이다.

13

y =- 13xÛ`+4kx-k-5

=- 13(xÛ`-12kx+36kÛ`-36kÛ`)-k-5

=- 13(x-6k)Û`+12kÛ`-k-5

 ③

 ⑤

 ㄴ

 m=-2, n=5

 ④

 ③

중3해설.indb 47 20. 10. 13. 오후 12:42

이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (6k, 12kÛ`-k-5) 꼭짓점이 직선 3x+y=0 위에 있으므로 3_6k+12kÛ`-k-5=0, 12kÛ`+17k-5=0 (3k+5)(4k-1)=0 ∴ k= 14 (∵ k는 양수)

14

y=-4xÛ`+12x+k=-4{x- 32}2`+k+9 이 그래프의 축의 방정식은 x= 32이고 PQÓ=5이므로 x축과 두 점 { 32-5

2 , 0}, {3 2 +5

2 , 0}

즉 (-1, 0), (4, 0)에서 만난다.

따라서 y=-4xÛ`+12x+k의 그래프가 점 (-1, 0)을 지나 므로 0=-4_(-1)Û`+12_(-1)+k

-16+k=0 ∴ k=16

15

꼭짓점의 좌표가 (1, 2)이므로 y=a(x-1)Û`+2로 놓자.

이때 꼭짓점은 제1사분면 위에 있으므로 이 그래프가 모든 사 분면을 지나려면 위로 볼록한 포물선이어야 한다.

∴ a<0 yy`㉠

또 그래프가 모든 사분면을 지나려면 y축과의 교점이 원점의 위쪽에 위치해야 하므로 a+2>0 ∴ a>-2 yy`㉡

따라서 ㉠, ㉡에서 a의 값의 범위는 -2<a<0

16

y=xÛ`-4x+1=(x-2)Û`-3의 그래프를 y축의 방향으로 2 만큼 평행이동하면

y=(x-2)Û`-3+2 ∴ y=(x-2)Û`-1 이 그래프가 점 (-1, k)를 지나므로 k=(-1-2)Û`-1=8

17

y=xÛ`-6x+8=(x-3)Û`-1의 그래프를 x축의 방향으로 p 만큼, y축의 방향으로 q만큼 평행이동하면

y=(x-p-3)Û`-1+q

이 그래프가 y=xÛ`-12x+26=(x-6)Û`-10의 그래프와 일 치하므로 -p-3=-6, -1+q=-10

∴ p=3, q=-9

∴ p+q=3+(-9)=-6

18

y=-xÛ`+4x+5에 y=0을 대입하면 -xÛ`+4x+5=0, xÛ`-4x-5=0

(x+1)(x-5)=0 ∴ x=-1 또는 x=5 ∴ A(-1, 0), B(5, 0)

y=-xÛ`+4x+5=-(x-2)Û`+9 ∴ C(2, 9) y=-xÛ`+4x+5에 x=0을 대입하면 y=5 ∴ D(0, 5) ∴ ABCD =△AOD+△OCD+△OBC

= 12 _1_5+1

2 _5_2+1

2 _5_9

=30

 ①

 16

 ④

 8

 -6

 ④

19

그래프가 위로 볼록하므로 a<0

축이 y축의 왼쪽에 위치하므로 -ab>0 ∴ b>0 y축과의 교점이 원점의 위쪽에 위치하므로 c>0

20

꼭짓점의 좌표가 (3, -2)이므로 y=a(x-3)Û`-2로 놓자.

그래프가 점 (2, 2)를 지나므로

2=a(2-3)Û`-2, 2=a-2 ∴ a=4

즉 y=4(x-3)Û`-2=4xÛ`-24x+34이므로 b=-24, c=34 ∴ a+b+c=4+(-24)+34=14

21

꼭짓점의 좌표가 (1, 9)이므로 y=a(x-1)Û`+9로 놓자.

그래프가 점 (4, 0)을 지나므로

0=a(4-1)Û`+9, 0=9a+9 ∴ a=-1 ∴ y=-(x-1)Û`+9=-xÛ`+2x+8

따라서 y=-xÛ`+2x+8에 x=0을 대입하면 y=8이므로 y축 과의 교점의 좌표는 (0, 8)이다.

22

⑴ f(-1)=2_(-1)Û`-a_(-1)-2=1이므로

2+a-2=1 ∴ a=1 yy`40`%

f(x)=2xÛ`-x-2이므로

f(3)=2_3Û`-3-2=13 ∴ b=13 yy`40`%

⑵ a+b=1+13=14 yy`20`%

23

y=axÛ`의 그래프가 직사각형 ABCD의 둘레 위의 서로 다른 두 점을 지나려면 y=axÛ`의 그래프가 ACÓ 위의 한 점을 지나 야 한다.

점 A(2, 7)을 지날 때, 7=4a ∴ a= 74 yy`35`%

점 C(6, 1)을 지날 때, 1=36a ∴ a= 136 yy`35`%

따라서 상수 a의 값의 범위는 1

36 <a<7

4 yy`30`%

24

y=xÛ`-9에 y=0을 대입하면 0=xÛ`-9, (x+3)(x-3)=0 ∴ x=-3 또는 x=3

즉 y=xÛ`-9의 그래프와 x축과의 교점의 좌표는 (-3, 0), (3, 0)이다.

yy`20`%

y=a(x-b)Û`의 그래프는 점 (3, 0)을 꼭짓점으로 하므로

b=3 yy`30`%

이때 y=a(x-3)Û`의 그래프가 점 (0, -9)를 지나므로 -9=a(0-3)Û`, -9=9a ∴ a=-1 yy`30`%

∴ a+b=-1+3=2 yy`20`%

 ③

 ④

 ⑴ a=1, b=13 ⑵ 14

 136 <a<7 4

ZB YC

ZYA

 2

대단원 마무리하기

049 25

x축에 대하여 대칭이동한 그래프의 식은 y 대신 -y를 대입하

면 -y= 14 xÛ`-a ∴ y=-1

4 xÛ`+a yy`30`%

y=- 14 xÛ`+a의 그래프를 y축의 방향으로 -3만큼 평행이동 하면 y=- 14 xÛ`+a-3 yy`30`%

이때 y=- 14 xÛ`+a-3의 그래프와 y=bxÛ`+1의 그래프가 일 치하므로

b=- 14 , a-3=1 ∴ a=4, b=-1

4 yy`30`%

∴ ab=4_{- 14}=-1 yy`10`%

26

y=2xÛ`-2x+ 32 =2{x-1 2 }2`+1

이므로 그래프의 꼭짓점의 좌표는 { 12, 1} yy`30`%

y =-8xÛ`+ax+b=-8{xÛ`- a8x+ aÛ`

256 - aÛ`

256 }+b

=-8{x- a16 }2`+aÛ`

32 +b yy`30`%

이므로 그래프의 꼭짓점의 좌표는 { a16 , aÛ`

32 +b}

즉 1 2 = a

16 , 1=aÛ`

32 +b에서 a=8, b=-1 yy`30`%

∴ a+b=8+(-1)=7 yy`10`%

27

오른쪽 그림과 같이 두 이차 함수 y=xÛ`-2x-3, y=xÛ`-8x+12의 그래프의

꼭짓점 P, Q에서 x축에 내린 수선의 발을 각각 A, B라고 하자.

이때 y=xÛ`-8x+12=(x-4)Û`-4의 그래프는

y=xÛ`-2x-3=(x-1)Û`-4의 그래프를 x축의 방향으로 3 만큼 평행이동한 것과 같으므로 빗금친 부분의 넓이는 서로 같

다. yy`60`%

따라서 색칠한 부분의 넓이는 직사각형 APQB의 넓이와 같으

므로 3_4=12 yy`40`%

 -1

 7

0 " #

Y ZYAY

ZYAY

 12

중3해설.indb 49 20. 10. 13. 오후 12:42

01^{③, ⑤} 02^④ 03^⑤ 04₈₅ 05 ④ 06'30 07 13 08 ② 09^② 10^④ 11^① 12 24

13 ⑤ 14 ② 15 ⑤ 16 15개

워크북 002 ~ 003쪽

문서에서 2021 수학의 바이블 특강 중3-1 답지 정답 (페이지 47-50)