05
x+2=A로 놓으면 4AÛ`+3A-10=0(A+2)(4A-5)=0 ∴ A=-2 또는 A= 54 즉 x+2=-2 또는 x+2= 54이므로
x=-4 또는 x=- 34
따라서 두 근의 곱은 (-4)_{- 34}=3
06
3a-5b=A로 놓으면 (A-3)(A-9)+9=0 AÛ`-12A+36=0, (A-6)Û`=0 ∴ A=6 즉 3a-5b=6이므로 양변을 3으로 나누면 a- 53b=207
① (-3)Û`-4_1_1=5>0 2개 ② 0Û`-4_1_(-9)=36>0 2개 ③ (-4)Û`-4_2_1=8>0 2개 ④ 10Û`-4_25_1=0 1개 ⑤ 2xÛ`+3x-10=0이므로3Û`-4_2_(-10)=89>0 2개
따라서 근의 개수가 나머지 넷과 다른 하나는 ④이다.
08
{-(m+1)}Û`-4(2m-1)=0이므로 mÛ`+2m+1-8m+4=0, mÛ`-6m+5=0 (m-1)(m-5)=0 ∴ m=1 또는 m=5 따라서 모든 상수 m의 값의 합은 1+5=6 6
④
x=-1 또는 x=;2!;
3
③
④
④
27
2xÛ`-5x+2=0에서 (2x-1)(x-2)=0∴ x= 12 또는 x=2 yy`30`%
x=2를 xÛ`-(m-1)x+m+3=0에 대입하면 4-2(m-1)+m+3=0, 4-2m+2+m+3=0
∴ m=9 yy`30`%
x= 12 을 4xÛ`-nx-5=0에 대입하면 1- 12n-5=0, -1
2 n=4 ∴ n=-8 yy`30`%
∴ m-n=9-(-8)=17 yy`10`%
28
m-1={ -m2 }2`이므로 4(m-1)=mÛ`mÛ`-4m+4=0, (m-2)Û`=0 ∴ m=2 yy`60`%
즉 xÛ`-2x+1=0이므로
(x-1)Û`=0 ∴ x=1 yy`40`%
29
xÛ`-3x+1=0에서 xÛ`-3x=-1 xÛ`-3x+ 94=-1+94 , {x-3 2 }2`=5
4 yy`40`%
x- 32=Ñ'5
2 ∴ x=3Ñ'5
2 yy`30`%
따라서 a=- 32, b=5
4 , c=3+'5
2 , d=3-'5 2 이므로 a+b+c+d =- 32+5
4 + 3+'5
2 +3-'5
2
= 114 yy`30`%
10
이차방정식의 활용대표문제 확인하기
01 ① 02 6 03 ④
04x=-1 또는 x= 12 05 3 06 ③ 07 ④ 08 ④ 09 -xÛ`+3x+10=0 10 3 11 23 12 ③ 13 42 14 12 15 ④ 16 ②
본교재 069, 071쪽
01
xÛ`-7x+5=0에서x=-(-7)Ñ"Ã(-7)Û`-4_1_5
2_1 =7Ñ'29 2 따라서 a=7, b=29이므로
b-a=29-7=22
17
m=2, x=1
:Á4Á:
①
Ⅲ. 이차방정식
029 09
-(x+2)(x-5)=0에서 -(xÛ`-3x-10)=0∴ -xÛ`+3x+10=0
10
xÛ`의 계수가 3이고 두 근이 -1, 13인 이차방정식은 3(x+1){x- 13}=0, 3{xÛ`+23 x-1 3 }=0 ∴ 3xÛ`+2x-1=0
따라서 a=2, b=-1이므로 a-b=2-(-1)=3
11
xÛ`의 계수가 4이고 중근이 x=-3인 이차방정식은 4(x+3)Û`=0, 4(xÛ`+6x+9)=0∴ 4xÛ`+24x+36=0 따라서 A=24, B=36이므로 A
B =24 36 =2
3
12
다른 한 근은 -2-'6이므로 m=(-2+'6)+(-2-'6)=-4 n=(-2+'6)(-2-'6)=4-6=-2 ∴ m-n=-4-(-2)=-213
연속하는 두 자연수를 x, x+1이라고 하면 3xÛ`=2(x+1)Û`+10xÛ`-4x-12=0, (x+2)(x-6)=0 ∴ x=6`(∵ x는 자연수)
따라서 두 자연수는 6, 7이므로 그 곱은 6_7=42
14
n(n+1)2 =78에서 nÛ`+n-156=0(n-12)(n+13)=0 ∴ n=12`(∵ n은 자연수) 따라서 1부터 12까지의 자연수를 더해야 한다.
15
100x-5xÛ`=180에서 xÛ`-20x+36=0 (x-2)(x-18)=0 ∴ x=2 또는 x=18 따라서 물을 뿜어 올린 지 2초 후이다.16
가로의 길이를 x`cm라고 하면 세로의 길이는 (19-x)`cm이 므로x(19-x)=90
xÛ`-19x+90=0, (x-9)(x-10)=0 ∴ x=9 또는 x=10
이때 가로의 길이가 세로의 길이보다 더 길므로 직사각형의 가 로의 길이는 10`cm이다.
-xÛ`+3x+10=0
3
;3@;
③
42
12
④
②
필수문제 확인하기
01 ② 02 x=-5Ñ'73 4
03 x=-3Ñ'14 04 ⑤ 05 ④
06 ④ 07 x=-9Ñ'77
2 08 74
09 ③ 10 4개 11 ④ 12 ③ 13 ⑤ 14 ④ 15 ⑤ 16 4 17 28 18 3xÛ`-12x+9=0
19 x=1Ñ'11
3 20 ⑤ 21 10
22 ③ 23 15 24 십각형 25 ① 26 ③ 27 ③ 28 10`cm 29 78 30 250보 31 2'19 32 x=-1 33 10 34 1 35 ⑴ (-2xÛ`+50x)`cmÛ` ⑵ 5, 20
본교재 072 ~ 076쪽
01
3xÛ`+2x+p=0에서 x=-1Ñ"Ã1Û`-3_p3 =-1Ñ'Ä1-3p 3 이때 -1=q, 1-3p=7이므로 p=-2, q=-1
∴ p-q=-2-(-1)=-1
02
xÛ`+4x+k-1=0이 중근을 가지므로 k-1={ 42}2`=4 ∴ k=5 따라서 2xÛ`+5x-6=0의 해는 x =-5Ñ"Ã5Û`-4_2_(-6)2_2
=-5Ñ'73 4
03
xÛ`+(k+1)x-k=0에서 일차항의 계수와 상수항을 바꾸면 xÛ`-kx+k+1=0x=3을 위의 식에 대입하면
9-3k+k+1=0, -2k=-10 ∴ k=5 따라서 처음 이차방정식은 xÛ`+6x-5=0이므로 x=-3Ñ"Ã3Û`-1_(-5)
1 =-3Ñ'14
04
xÛ`-4x-3=0에서x=-(-2)Ñ"Ã(-2)Û`-1_(-3)
1 =2Ñ'7
∴ a=2-'7, b=2+'7`(∵ a<b)
따라서 -'7<n<'7을 만족하는 정수 n은 -2, -1, 0, 1, 2의 5개이다.
05
xÛ`-12x+2a+1=0에서x =-(-6)Ñ"Ã(-6)Û`-1_(2a+1)
1
=6Ñ'Ä35-2a
②
x=-5Ñ'73 4
x=-3Ñ'14
⑤
(해001~049)중3수학특강_ok.indd 29 20. 10. 16. 오전 1:36
즉 x+y=-9 또는 x+y=6 이때 x+y>0이므로 x+y=6 ∴ xÛ`+yÛ` =(x+y)Û`-2xy
=6Û`-2_5=26
12
① 1Û`-4_1_5=-19<0이므로 근이 없다.② (-12)Û`-4_4_9=0이므로 근이 1개이다.
③ xÛ`-7x+12=0에서 (-7)Û`-4_1_12=1>0이므로 근 이 2개이다.
④ xÛ`-10x+25=0에서 (-10)Û`-4_1_25=0이므로 근 이 1개이다.
⑤ 9xÛ`-3x+2=0에서 (-3)Û`-4_9_2=-63<0이므로 근이 없다.
따라서 서로 다른 두 개의 근을 갖는 것은 ③이다.
13
(-6)Û`-4_1_(k-4)¾0이므로36-4k+16¾0, -4k¾-52 ∴ kÉ13
14
10Û`-4_5_(k-3)>0이므로100-20k+60>0, -20k>-160 ∴ k<8
15
xÛ`-(k+4)x+9=0에서 {-(k+4)}Û`-4_1_9=0 kÛ`+8k-20=0, (k+10)(k-2)=0∴ k=2 (∵ k는 양수)
x=2를 xÛ`-px+2=0에 대입하면 4-2p+2=0, -2p=-6 ∴ p=3
16
xÛ`-2(a-2)x+a=0이 중근을 가지므로 {-2(a-2)}Û`-4_1_a=0aÛ`-5a+4=0, (a-1)(a-4)=0
∴ a=1 또는 a=4 yy`㉠
3xÛ`+9x-4(a-3)=0이 서로 다른 두 근을 가지므로 9Û`-4_3_{-4(a-3)}>0
81+48a-144>0, 48a>63 ∴ a> 2116 yy`㉡
㉠, ㉡에 의하여 a=4
17
두 근이 -3, 2이고 xÛ`의 계수가 4인 이차방정식은 4(x+3)(x-2)=0, 4(xÛ`+x-6)=0∴ 4xÛ`+4x-24=0
따라서 a=4, b=-24이므로 a-b=4-(-24)=28
18
2xÛ`-4x+m=0이 중근을 가지므로 (-4)Û`-4_2_m=016-8m=0, -8m=-16 ∴ m=2
④
③
⑤
④
⑤
4
28 이때 근이 모두 유리수가 되려면 35-2a는 0 또는 35보다 작
은 제곱수이어야 하므로 35-2a=0, 1, 4, 9, 16, 25 ∴ a= 352 , 17, 31
2 , 13, 19 2 , 5
따라서 자연수 a의 값은 5, 13, 17이므로 구하는 합은 5+13+17=35
06
0.2xÛ`-0.8x= -1-x4 의 양변에 20을 곱하면 4xÛ`-16x=-5-5x4xÛ`-11x+5=0
∴ x =-(-11)Ñ"Ã(-11)Û`-4_4_5
2_4
=11Ñ'41 8
07
(x-2)(x-5)=3x+1에서 xÛ`-7x+10=3x+1 xÛ`-10x+9=0, (x-1)(x-9)=0∴ x=1 또는 x=9
이때 a>b이므로 a=9, b=1 따라서 xÛ`+9x+1=0의 해는 x=-9Ñ"Ã9Û`-4_1_1
2_1 =-9Ñ'77 2
08
x(x-1)3 =(x+2)(x-3)2 의 양변에 6을 곱하면 2x(x-1)=3(x+2)(x-3)
2xÛ`-2x=3xÛ`-3x-18, xÛ`-x-18=0 ∴ x =-(-1)Ñ"Ã(-1)Û`-4_1_(-18)
2_1
=1Ñ'73 2
따라서 A=1, B=73이므로 A+B=1+73=74
09
x+1=A로 놓으면 AÛ`-2A-8=0(A+2)(A-4)=0 ∴ A=-2 또는 A=4 즉 x+1=-2 또는 x+1=4이므로
x=-3 또는 x=3
10
2(x+2y)Û`-17(x+2y)-9=0에서 x+2y=A로 놓으면 2AÛ`-17A-9=0, (2A+1)(A-9)=0∴ A=- 12 또는 A=9 즉 x+2y=- 12 또는 x+2y=9 이때 x, y는 자연수이므로 x+2y=9
따라서 x+2y=9를 만족하는 두 자연수 x, y의 순서쌍 (x, y)는 (7, 1), (5, 2), (3, 3), (1, 4)의 4개이다.
11
(x+y)Û`+3(x+y)-54=0에서 x+y=A로 놓으면 AÛ`+3A-54=0, (A+9)(A-6)=0∴ A=-9 또는 A=6
④
④
x=-9Ñ'77 2
74
③
4개
Ⅲ. 이차방정식
031
따라서 두 근이 1, 3이고 xÛ`의 계수가 3인 이차방정식은3(x-1)(x-3)=0, 3(xÛ`-4x+3)=0 ∴ 3xÛ`-12x+9=0
19
중근이 3이고 xÛ`의 계수가 1인 이차방정식은 (x-3)Û`=0 즉 xÛ`-6x+9=0이므로 a=-6, b=9따라서 이차방정식 9xÛ`-6x-10=0의 근은 x =-(-3)Ñ"Ã(-3)Û`-9_(-10)
9 =3Ñ'99
9
=3Ñ3'11
9 =1Ñ'11 3
20
-1과 6을 두 근으로 하고 xÛ`의 계수가 1인 이차방정식은 (x+1)(x-6)=0 ∴ xÛ`-5x-6=0즉 처음 이차방정식의 상수항은 -6이다.
-4와 3을 두 근으로 하고 xÛ`의 계수가 1인 이차방정식은 (x+4)(x-3)=0 ∴ xÛ`+x-12=0
즉 처음 이차방정식의 x의 계수는 1이다.
따라서 처음 이차방정식은 xÛ`+x-6=0이므로 (x+3)(x-2)=0 ∴ x=-3 또는 x=2
21
두 근을 a, 3a라고 하면 xÛ`의 계수가 1이므로 (x-a)(x-3a)=0, xÛ`-4ax+3aÛ`=0 이때 -4a=-8이므로 a=2따라서 k+2=3aÛ`=3_2Û`=12이므로 k=10
22
1<'3<2에서 -2<-'3<-1 ∴ 2<4-'3<3 따라서 a=2, b=(4-'3)-2=2-'3이므로2xÛ`-8x+m=0의 한 근은 2-'3이고 다른 한 근은 2+'3 이다.
두 근이 2-'3, 2+'3이고 xÛ`의 계수가 2인 이차방정식은 2{x-(2-'3)}{x-(2+'3)}=0
2(xÛ`-4x+1)=0, 2xÛ`-8x+2=0 ∴ m=2 |다른 풀이|
1<'3<2에서 -2<-'3<-1 ∴ 2<4-'3<3 따라서 a=2, b=(4-'3)-2=2-'3이므로 2xÛ`-8x+m=0의 한 근이 2-'3이다.
x=2-'3을 2xÛ`-8x+m=0에 대입하면 2(2-'3)Û`-8(2-'3)+m=0
14-8'3-16+8'3+m=0 ∴ m=2
23
연속하는 두 홀수를 x, x+2라고 하면 x(x+2)=195xÛ`+2x-195=0, (x+15)(x-13)=0 ∴ x=13`(∵ x는 자연수)
따라서 두 홀수는 13, 15이므로 두 홀수 중 큰 수는 15이다.
3xÛ`-12x+9=0
x=1Ñ'11 3
⑤
10
③
15
24
n(n-3)2 =35이므로 nÛ`-3n-70=0 (n+7)(n-10)=0 ∴ n=10`(∵ n>0) 따라서 구하는 다각형은 십각형이다.25
-5tÛ`+20t+1=21에서 tÛ`-4t+4=0 (t-2)Û`=0 ∴ t=2따라서 공을 친 지 2초 후이다.
26
물건의 원가를 A원이라고 하면 (정가)=A{1+ x100 }(원)이므로 A{1+ x100 }{1- x100 }=A{1- 4 100 } 1- xÛ`10000 = 96
100 , xÛ`=400 ∴ x=20`(∵ x>0)
27
도로의 폭을 x`m라고 하면 도로를 제외한 땅의 넓이는 가로의 길이가 (20-x)`m, 세로의 길이가 (15-x)`m인 직사각형 의 넓이와 같으므로(20-x)(15-x)=204
xÛ`-35x+96=0, (x-3)(x-32)=0 ∴ x=3`(∵ 0<x<15)
따라서 도로의 폭은 3`m이다.
28
큰 정사각형의 한 변의 길이를 x`cm라고 하면 작은 정사각형 의 한 변의 길이는 (12-x)`cm이므로 (12-x)Û`+xÛ`=104 xÛ`-12x+20=0, (x-2)(x-10)=0∴ x=2 또는 x=10
따라서 큰 정사각형의 한 변의 길이는 10`cm이다.
29
카드 1장의 짧은 변의 길이를 x라고 하면 긴 변의 길이는 32 x 이다.널빤지의 넓이가 378이므로 {2x+ 32x}_3x=378 xÛ`=36 ∴ x=6`(∵ x>0)
이때 카드의 짧은 변의 길이는 6, 긴 변의 길이는 9이므로 널빤 지의 가로의 길이는 21, 세로의 길이는 18이다.
따라서 널빤지의 둘레의 길이는 2_(21+18)=78
30
읍성의 한 변의 길이를 x보라고 하면 오른쪽 그림에서 △ABC»△ADE이므로
ACÓ`:`AEÓ=BCÓ`:`DEÓ (x+34)`:`20=1775`:` 12x 1
2 x(x+34)=35500
십각형
①
③
③
10`cm
78
보
보
보
"
% &
# $
Y보
중3해설.indb 31 20. 10. 13. 오후 12:41
xÛ`+34x-71000=0, (x+284)(x-250)=0 ∴ x=250`(∵ x>0)
따라서 읍성의 한 변의 길이는 250보이다.
31
5(2x-1)+xÛ`-4=2(x-2)(x+3)에서 xÛ`+10x-9=2xÛ`+2x-12xÛ`-8x-3=0 yy`30`%
∴ x =-(-4)Ñ"Ã(-4)Û`-1_(-3)
1
=4Ñ'19 yy`40`%
따라서 a=4+'19이므로
2a-8=2(4+'19)-8=2'19 yy`30`%
32
0.3xÛ`-x-1.3=0의 양변에 10을 곱하면 3xÛ`-10x-13=0, (x+1)(3x-13)=0∴ x=-1 또는 x= 133 yy`40`%
1 2 xÛ`+1
3 x-1
6 =0의 양변에 6을 곱하면 3xÛ`+2x-1=0, (x+1)(3x-1)=0
∴ x=-1 또는 x= 13 yy`40`%
따라서 두 이차방정식의 공통인 근은 x=-1이다. yy`20`%
33
{2(a-3)}Û`-4_(-3-a)_(-a+4)>0이므로yy`40`%
aÛ`-6a+9-(aÛ`-a-12)>0
-5a+21>0, -5a>-21 ∴ a< 215 yy`30`%
따라서 자연수 a의 값은 1, 2, 3, 4이므로 그 합은
1+2+3+4=10 yy`30`%
34
(a-1)C3a =(a-1)Û`-2_3a+(a-1)_3a=aÛ`-2a+1-6a+3aÛ`-3a
=4aÛ`-11a+1 yy`50`%
(a-1)C3a=-6에서 4aÛ`-11a+1=-6 4aÛ`-11a+7=0, (4a-7)(a-1)=0
∴ a=1`(∵ a는 자연수) yy`50`%
35
⑴ 색칠한 단면의 가로의 길이는 (50-2x)`cm이므로 넓이는 x(50-2x)=-2xÛ`+50x`(cmÛ`) yy`40`%⑵ -2xÛ`+50x=200에서
xÛ`-25x+100=0, (x-5)(x-20)=0
∴ x=5 또는 x=20 yy`60`%
250보
2'19
x=-1
10
1
⑴ (-2xÛ`+50x)`cmÛ` ⑵ 5, 20