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03
(x+y)(x+y-3)-4 =A(A-3)-4 =AÛ`-3A-4 =(A+1)(A-4) =(x+y+1)(x+y-4)04
(2x-y)Û`-(x+2y)Û`=AÛ`-BÛ`
=(A+B)(A-B)
=(2x-y+x+2y){2x-y-(x+2y)}
=(3x+y)(x-3y) 따라서 a=1, b=-3이므로 a+b=1+(-3)=-2
05
(x-2)(x-1)(x+2)(x+3)-60 =(x-2)(x+3)(x-1)(x+2)-60 =(xÛ`+x-6)(xÛ`+x-2)-60 =(A-6)(A-2)-60 =AÛ`-8A-48 =(A-12)(A+4) =(xÛ`+x-12)(xÛ`+x+4) =(x+4)(x-3)(xÛ`+x+4)따라서 (x-2)(x-1)(x+2)(x+3)-60의 인수가 아닌 것은 ① x-1, ③ x+2이다.
06
4ab-a-4b+1 =4b(a-1)-(a-1)=(a-1)(4b-1)
07
aÛ`-4bÛ`-10a+25 =aÛ`-10a+25-4bÛ`=(a-5)Û`-(2b)Û`
=(a-5+2b)(a-5-2b)
=(a+2b-5)(a-2b-5) 따라서 aÛ`-4bÛ`-10a+25의 인수는 ② a+2b-5, ⑤ a-2b-5이다.
08
xÛ`-5xy+4yÛ`+x+2y-2 =xÛ`-(5y-1)x+(4yÛ`+2y-2) =xÛ`-(5y-1)x+(y+1)(4y-2) =(x-y-1)(x-4y+2)09
76Û`-24Û`=(76+24)(76-24)=100_52=520010
x= 12+'3= 2-'3
(2+'3 )(2-'3 )=2-'3 y= 1
2-'3= 2+'3
(2-'3 )(2+'3 )=2+'3
x+y=A로 치환
A=x+y를 대입
2x-y=A, x+2y=B로 치환
A=2x-y, B=x+2y를 대입
xÛ`+x=A로 치환
A=xÛ`+x를 대입
∴ xÛ`-yÛ` =(x+y)(x-y)
=(2-'3+2+'3 ){2-'3-(2+'3 )}
=4_(-2'3)
=-8'3
11
xÛ`-2xy+yÛ`-3x+3y+2 =(x-y)Û`-3(x-y)+2 =AÛ`-3A+2=(A-1)(A-2) =(x-y-1)(x-y-2)
이때 x-y-1=0이므로 (주어진 식)=0
12
3xÛ`+4xy-x+yÛ`-y =3xÛ`+4xy+yÛ`-x-y =(3x+y)(x+y)-(x+y) =(x+y)(3x+y-1)따라서 직사각형의 가로의 길이가 x+y이고 세로의 길이가 3x+y-1이므로 둘레의 길이는
2{(x+y)+(3x+y-1)}
=2(4x+2y-1) =8x+4y-2
x-y=A로 치환
A=x-y를 대입
01
③ xÛ`y-3xyÛ`=xy(x-3y)02
① xÛ`+2xy+yÛ`=(x+y)Û`② aÛ`+6ab+9bÛ`=(a+3b)Û`
③ 16xÛ`-4x+;4!;={4x-;2!;}2`
⑤ ;4!;xÛ`+;3!;xy+;9!;yÛ`={;2!;x+;3!;y}2`
03
;1Á6;xÛ`-Ax+1={;4!;x}2`-Ax+1Û`에서Ax=Ñ2_;4!;x_1=Ñ;2!;x ∴ A=Ñ;2!;
중단원
쌍둥이 유형 테스트
| 3. 인수분해 p.21~p.2401 ③ 02 ④ 03 ④ 04 2x 05 ④
06 2x-8 07 ① 08 ④ 09 x-3 10 -5 11 (x+2)(x-5) 12 2a-2 13 ④
14 ① 15 ② 16 (6x+6y-5)(3x-8y+14) 17 (xÛ`+3x+4)(xÛ`+3x-2) 18 ① 19 0 20 ③, ⑤ 21 1 22 -18'3 23 20 24 ② 25 ③
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04
"ÃxÛ`+4x+4-"ÃxÛ`-4x+4="Ã(x+2)Û`-"Ã(x-2)Û`-2<x<2일때,x+2>0,x-2<0이므로
(주어진식)=x+2-{-(x-2)}
=x+2+x-2
=2x
05
xÚ`ß`-1=(x¡`+1)(x¡`-1)=(x¡`+1)(xÝ`+1)(xÝ`-1)
=(x¡`+1)(xÝ`+1)(xÛ`+1)(xÛ`-1)
=(x¡`+1)(xÝ`+1)(xÛ`+1)(x+1)(x-1)
따라서xÚ`ß`-1의인수가아닌것은④xß`+1이다.
06
xÛ`-8x+15=(x-3)(x-5)따라서구하는두일차식은x-3,x-5이므로그합은
(x-3)+(x-5)=2x-8
07
6xÛ`+ax-15=(2x+b)(cx-5)이므로2c=6에서c=3
-5b=-15에서b=3
a=-10+bc에서a=-1
∴a+b+c=-1+3+3=5
08
①2xÛ`+5x-3=(x+3)(2x-1)②4xÛ`-25=(2x+5)(2x-5)
③4xÛ`+4xy+yÛ`=(2x+y)Û`
⑤(x-y)y+(y-x)x=(x-y)y-(x-y)x
=(x-y)(y-x)
=-(x-y)Û`
09
xÛ`-5x+6=(x-2)(x-3),4xÛ`-13x+3=(x-3)(4x-1)이므로두다항식의1이아 닌공통인인수는x-3이다.
10
xÛ`+ax-21=(x+3)(x+☐)로놓으면3_☐=-21에서☐=-7
(x+3)(x-7)=xÛ`-4x-21이므로a=-4
2xÛ`-bx-15=(x+3)(2x+
△
)로놓으면3_
△
=-15에서△
=-5(x+3)(2x-5)=2xÛ`+x-15이므로b=-1
∴a+b=-4+(-1)=-5
11
지영이는xÛ`의계수와상수항을제대로보았으므로(x-2)(x+5)=xÛ`+3x-10
➡xÛ`의계수：1,상수항：-10
민준이는xÛ`의계수와x의계수를제대로보았으므로
(x-8)(x+5)=xÛ`-3x-40
➡xÛ`의계수：1,x의계수：-3
따라서처음이차식은xÛ`-3x-10이므로인수분해하면
xÛ`-3x-10=(x+2)(x-5)
12
사다리꼴의높이를h라하면;2!;_{(a+1)+(a+3)}_h=2aÛ`+2a-4
h(a+2)=2(aÛ`+a-2)
=2(a-1)(a+2)
∴h=2(a-1)=2a-2
13
(a-1)xÛ`-2(a-1)xy+(a-1)yÛ`=(a-1)(xÛ`-2xy+yÛ`)
=(a-1)(x-y)Û`
따라서인수인것은④x-y이다.
14
(x+2)Û`+6(x+2)+8=AÛ`+6A+8
=(A+2)(A+4)
=(x+2+2)(x+2+4)
=(x+4)(x+6)
따라서인수인것은①x+6이다.
15
(xÛ`-2x-2)(xÛ`-2x+6)+16=(A-2)(A+6)+16
=AÛ`+4A+4
=(A+2)Û`
=(xÛ`-2x+2)Û`
∴a=-2,b=2
∴a-b=-2-2=-4
16
3x+2=A,2y-3=B로놓으면2(3x+2)Û`-5(3x+2)(2y-3)-12(2y-3)Û`
=2AÛ`-5AB-12BÛ`
=(2A+3B)(A-4B)
={2(3x+2)+3(2y-3)}{3x+2-4(2y-3)}
=(6x+4+6y-9)(3x+2-8y+12)
=(6x+6y-5)(3x-8y+14)
17
x(x+1)(x+2)(x+3)-8=x(x+3)(x+1)(x+2)-8
=(xÛ`+3x)(xÛ`+3x+2)-8
=A(A+2)-8
=AÛ`+2A-8
=(A+4)(A-2)
=(xÛ`+3x+4)(xÛ`+3x-2)
x+2=A로 치환
A=x+2를 대입
xÛ`-2x=A로 치환
A=xÛ`-2x를 대입
xÛ`+3x=A로 치환
A=xÛ`+3x를 대입
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18
aÜ`-aÛ`-4a+4 =aÛ`(a-1)-4(a-1)=(aÛ`-4)(a-1)
=(a+2)(a-2)(a-1)
따라서 aÜ`-aÛ`-4a+4의 인수가 아닌 것은 ① a+1이다.
19
xÛ`-yÛ`+8y-16 =xÛ`-(yÛ`-8y+16)=xÛ`-(y-4)Û`
=(x+y-4){x-(y-4)}
=(x+y-4)(x-y+4)
따라서 A=y-4, B=-y+4 또는 A=-y+4, B=y-4 이므로
A+B=0
20
xÛ`+xy+2x+3y-3 =y(x+3)+(xÛ`+2x-3)=y(x+3)+(x-1)(x+3)
=(x+3)(y+x-1)
=(x+3)(x+y-1) 따라서 인수는 ③ x+3, ⑤ x+y-1이다.
21
2025Û`+2_2025+12026Û` = (2025+1)Û`
2026Û` = 2026Û`
2026Û`=1
22
xÛ`-yÛ`+5x-5y=(x+y)(x-y)+5(x-y) =(x-y)(x+y+5)
={(2-'3 )-(2+'3 )}{(2-'3 )+(2+'3 )+5}
=-2'3_9=-18'3
23
xÜ`y+xyÜ`+2xÛ`yÛ` =xy(xÛ`+yÛ`+2xy)=xy(x+y)Û`
=1_(2'5 )Û`=20
24
xÛ`y+xyÛ`+x+y =xy(x+y)+(x+y)=(xy+1)(x+y) 즉 (5+1)_(x+y)=42이므로 6(x+y)=42 ∴ x+y=7
∴ xÛ`+yÛ` =(x+y)Û`-2xy=7Û`-2_5=39
25
색칠된 부분의 큰 원의 반지름의 길이를 R`cm, 작은 원의 반 지름의 길이를 r`cm라 하면R-r=3`(cm)
또 색칠된 부분의 한가운데를 지나는 원의 둘레의 길이가 18p cm이므로
2p_ R+r2 =18p ∴ R+r=18`(cm)
∴ (색칠된 부분의 넓이) =pRÛ`-prÛ`
=p(R+r)(R-r)
=p_18_3=54p`(cmÛ`)
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4 | 이차방정식
쌍둥이 유형 테스트
p.25~p.2601 ⑤ 02 ④ 03 ④ 04 ① 05 8
06 ① 07 x=6 08 ④ 09 3 10 ③
11 9 12 23
0 1 이차방정식과 그 풀이
01
⑤ 5x+2=0 (일차방정식)02
④ x=2일 때, 2Û`+2_2-8=0 (참)03
x=3을 xÛ`+(2k-5)x-3k=0에 대입하면3Û`+(2k-5)_3-3k=0, 9+6k-15-3k=0 3k=6 ∴ k=2
04
x=m을 xÛ`-3x+1=0을 대입하면 mÛ`-3m+1=0 ∴ mÛ`-3m=-1 x=n을 xÛ`-3x+1=0에 대입하면 nÛ`-3n+1=0 ∴ nÛ`-3n=-1∴ (mÛ`-3m+4)(nÛ`-3n-2)
=(-1+4)_(-1-2)=-9
05
xÛ`-12=-4x에서 xÛ`+4x-12=0(x+6)(x-2)=0 ∴ x=-6 또는 x=2 이때 a>b이므로 a=2, b=-6
∴ a-b=2-(-6)=8
06
x=-3을 xÛ`-2x+a=0에 대입하면 9+6+a=0 ∴ a=-15 이때 xÛ`-2x-15=0에서(x+3)(x-5)=0 ∴ x=-3 또는 x=5
즉 다른 한 근이 5이므로 x=5를 2xÛ`-bx-5=0에 대입하 면 50-5b-5=0
-5b=-45 ∴ b=9
07
xÛ`-3x-18=0에서 (x+3)(x-6)=0∴ x=-3 또는 x=6
(x-2)Û`=16에서 xÛ`-4x+4=16, xÛ`-4x-12=0 (x+2)(x-6)=0 ∴ x=-2 또는 x=6 따라서 공통인 근은 x=6이다.
08
① x=0 또는 x=4 ② x=-3 또는 x=3③ x=3 또는 x=-;2!; ④ x=;4!; (중근)
⑤ x=2 또는 x=;2%;
따라서 중근을 갖는 것은 ④이다.
01
x=-(-2)Ñ"Ã(-2)Û`-2_(-2)2 =1Ñ'2
따라서 a=1, b=2이므로 a+b=1+2=3
02
0.2xÛ`+0.3x=1의 양변에 10을 곱하면2xÛ`+3x=10, 2xÛ`+3x-10=0
∴ x=-3Ñ"Ã3Û`-4_2_(-10)
2_2 = -3Ñ'¶894
03
x-2=A로 놓으면 AÛ`+4A-12=0(A+6)(A-2)=0 ∴ A=-6 또는 A=2 즉 x-2=-6 또는 x-2=2
∴ x=-4 또는 x=4
04
(3-2k)Û`-4_1_(kÛ`-2)>0이어야 하므로 -12k+17>0 ∴ k<;1!2&;05
(k-3)Û`-4_2_;2!;=0이어야 하므로 kÛ`-6k+5=0, (k-1)(k-5)=0∴ k=1 또는 k=5
06
(두 근의 합)=-;3P;=-2+;3!; ∴ p=5 (두 근의 곱)=;3Q;=-2_;3!; ∴ q=-2∴ pq=5_(-2)=-10
쌍둥이 유형 테스트
p.27~p.2801 ④ 02 ③ 03 ③ 04 ④ 05 ②, ④
06 -10 07 ① 08 ② 09 1
10 4xÛ`-14x+6=0 11 ② 12 2초 후 또는 6초 후
0 2 이차방정식의 활용
09
xÛ`-10x+7+6k=0이 중근을 가지려면 7+6k={ -102 }2`=25이어야 하므로 6k=18 ∴ k=310
(x-p)Û`=q에서 x=pÑ'q즉 p=5, q=3이므로 p-q=5-3=2
11
3xÛ`-6x-7=0에서 xÛ`-2x-;3&;=0즉 (x-1)Û`=:Á3¼: 이므로 p=-1, q=:Á3¼:
∴ p+3q=-1+3_:Á3¼:=9
12
A=16, B=4, C=11이므로 A-B+C=16-4+11=23http://zuaki.tistory.com
07
a+b=- -41 =4, ab=;1@;=2∴ 1 a +1
b =a+b
ab =;2$;=2
08
xÛ`-mx+n의 한 근이 -2+'3 이므로 다른 한 근은 -2-'3 이다.(두 근의 합)=m=(-2+'3 )+(-2-'3 )=-4 (두 근의 곱)=n=(-2+'3 )(-2-'3 )=1
∴ m+n=-4+1=-3
09
xÛ`+2(2m-1)x+8=0의 두 근을 a, a+2로 놓으면 a_(a+2)=8에서 aÛ`+2a-8=0(a+4)(a-2)=0 ∴ a=-4 또는 a=2 Ú a=-4일 때, 두 근은 -4, -2이므로 -4+(-2)=-2(2m-1), -6=-4m+2 4m=8 ∴ m=2
Û a=2일 때, 두 근은 2, 4이므로 2+4=-2(2m-1), 6=-4m+2 4m=-4 ∴ m=-1
따라서 모든 m의 값의 합은 2+(-1)=1
10
a+b=- -62 =3, ab=;2!; 이므로 구하는 이차방정식은 4(x-3){x-;2!;}=0 ∴ 4xÛ`-14x+6=011
학생 수를 x명이라 하면 한 학생이 받는 공책의 수는 (x-2)권이므로x(x-2)=143, xÛ`-2x-143=0
(x-13)(x+11)=0 ∴ x=13 (∵ x>0) 따라서 학생 수는 13명이다.
12
40t-5tÛ`=60에서 5tÛ`-40t+60=0 tÛ`-8t+12=0, (t-2)(t-6)=0∴ t=2 또는 t=6
따라서 물로켓의 지면으로부터의 높이가 60`m인 지점을 지 나는 것은 쏘아 올린 지 2초 후 또는 6초 후이다.
01
③ x(xÛ`-1)=xÜ`+x에서 xÜ`-x=xÜ`+x ∴ -2x=0 (일차방정식)④ x(x-1)=4x+5에서 xÛ`-x=4x+5 ∴ xÛ`-5x-5=0 (이차방정식)
⑤ (x-2)(x+1)=0에서 xÛ`-x-2=0 (이차방정식)
02
2(x-2)Û`+1=axÛ`-8x+9에서2(xÛ`-4x+4)+1=axÛ`-8x+9 (2-a)xÛ`=0
이 식이 이차방정식이 되려면 2-a+0 ∴ a+2
03
각 방정식에 [ ] 안의 수를 대입하여 등식이 성립하는 것을 찾는다.① (-1)Û`-4_(-1)+3+0
② (-2)Û`-6_(-2)+8+0
③ (-2)Û`-5_(-2)-6+0
④ (-9)Û`+7_(-9)-18=0
⑤ 2_4Û`+4_4-16+0
04
xÛ`+2ax+aÛ`=0에 x=-2를 대입하면 4-4a+aÛ`=0, (a-2)Û`=0 ∴ a=205
xÛ`-3x+1=0에 x=p를 대입하면pÛ`-3p+1=0
양변을 p(p+0)로 나누면 p-3+;p!;=0 ∴ p+;p!;=3
∴ pÛ`+ 1
pÛ`={p+;p!;}2`-2=9-2=7
06
xÛ`-3x-10=0에서 (x+2)(x-5)=0∴ x=-2 또는 x=5
따라서 axÛ`+x-2a=0에 x=-2를 대입하면 4a-2-2a=0, 2a=2 ∴ a=1
07
xÛ`-2x+a=0에 x=-1을 대입하면 1+2+a=0 ∴ a=-3xÛ`+3x+b=0에 x=-1을 대입하면 1-3+b=0 ∴ b=2
∴ a+b=-3+2=-1
08
㉠ (x-2)Û`=0 ∴ x=2 (중근)㉡ (x+3)(x-3)=0 ∴ x=-3 또는 x=3
㉢ {;2!;x+;5!;}2`=0 ∴ x=-;5@; (중근)
㉣ xÛ`=0 ∴ x=0 (중근)
따라서 중근을 갖는 것은 ㉠, ㉢, ㉣이다.
09
xÛ`+6x+7-m=0이 중근을 가지려면 7-m={;2^;}2`=9이어야 하므로 m=-2 중단원쌍둥이 유형 테스트
| 4. 이차방정식 p.29~p.3201 ③ 02 ④ 03 ④ 04 ④ 05 7
06 ③ 07 ② 08 ③ 09 ② 10 ③
11 ② 12 ② 13 x=7Ñ'¶73
2 14 ⑤
15 k<;1»6; 16 ① 17 ① 18 ④ 19 ⑤
20 ⑤ 21 ⑤ 22 13 23 ③ 24 4초 후
25 ⑤
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10
(x-3)Û`=49에서 x-3=Ñ7∴ x=-4 또는 x=10
11
;2!;xÛ`-2x-1=0에서 xÛ`-4x-2=0 xÛ`-4x+4=2+4 ∴ (x-2)Û`=6 따라서 p=-2, q=6이므로p+q=-2+6=4
12
3xÛ`-2x-3=0에서 짝수 공식에 의해 x=-(-1)Ñ"Ã(-1)Û`-3_(-3)3 = 1Ñ'¶103
13
x(x+2)3 = (x-2)(x+1)2 의 양변에 6을 곱하면 2x(x+2)=3(x-2)(x+1)2xÛ`+4x=3xÛ`-3x-6, xÛ`-7x-6=0
∴ x=-(-7)Ñ"Ã(-7)Û`-4_1_(-6)
2_1 = 7Ñ'¶732
14
x-2=A로 놓으면 AÛ`+3A-4=0(A+4)(A-1)=0 ∴ A=-4 또는 A=1 즉 x-2=-4 또는 x-2=1
∴ x=-2 또는 x=3
15
4xÛ`+3x+k=0이 서로 다른 두 근을 가지려면 3Û`-4_4_k>0, 16k<9 ∴ k<;1»6;16
2xÛ`+ax+b=0에서 근과 계수의 관계에 의해 두 근의 합은 -;2A;, 두 근의 곱은 ;2B;이다.-;2A;=4이므로 a=-8
;2B;=1이므로 b=2
∴ a+b=-8+2=-6
17
xÛ`-2x-5=0의 두 근이 a, b이므로 a+b=2, ab=-5이때 aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab=2Û`-2_(-5)=14이므로 a+1 +b a
b+1 =b(b+1)+a(a+1) (a+1)(b+1)
= aÛ`+bÛ`+a+bab+a+b+1
= 14+2
-5+2+1 = 16 -2 =-8
18
이차방정식 xÛ`+mx+n=1의 한 근이 1-'3이므로 다른 한 근은 1+'3이다.-m=(1-'3 )+(1+'3 )=2이므로 m=-2 n=(1-'3 )(1+'3 )=1-3=-2
∴ mn=-2_(-2)=4
19
xÛ`-8x+3k=0의 두 근을 a, a+2라 하면 a+(a+2)=8, 2a=6 ∴ a=3따라서 xÛ`-8x+3k=0의 두 근이 3, 5이므로 3k=3_5 ∴ k=5
20
xÛ`-8x+k=0의 두 근을 a, 3a(a+0)라 하면 a+3a=8, 4a=8 ∴ a=2따라서 xÛ`-8x+k=0의 두 근이 2, 6이므로 k=2_6=12
21
xÛ`+6x+3=0의 두 근의 합은 -6, 두 근의 곱은 3이므로 두 근이 -6, 3이고 xÛ`의 계수가 3인 이차방정식은 3(x+6)(x-3)=0, 3(xÛ`+3x-18)=0∴ 3xÛ`+9x-54=0
따라서 a=9, b=-54이므로 a-b=9-(-54)=63
22
n(n+1)2 =91, n(n+1)=182 nÛ`+n-182=0, (n+14)(n-13)=0∴ n=13 (∵ n은 자연수)
23
연속하는 세 자연수를 x-1, x, x+1(x¾2)이라 하면 xÛ`=(x+1)Û`-(x-1)Û`, xÛ`-4x=0x(x-4)=0 ∴ x=4 (∵ x¾2)
따라서 연속하는 세 자연수는 3, 4, 5이므로 그 합은 3+4+5=12
24
-5xÛ`+40x=80에서 xÛ`-8x+16=0 (x-4)Û`=0 ∴ x=4(중근)따라서 쏘아 올린 지 4초 후에 물로켓의 높이가 80`m가 된다.
25
x초 후 직사각형의 넓이가 처음과 같아진다고 하면 (10-x)(8+2x)=10_8-2xÛ`+12x+80=80 xÛ`-6x=0, x(x-6)=0
∴ x=6 (∵ x>0 )
따라서 직사각형의 넓이가 처음과 같아지는 것은 6초 후이다.
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5 | 이차함수
01
① y=4x-1 (일차함수)② y= 2
xÛ`-3 (이차함수가 아니다.)
③ y=xÛ`-x(xÛ`+1)=-xÜ`+xÛ`-x (이차함수가 아니다.)
④ y=-(x+1)Û`-xÛ`=-2xÛ`-2x-1 (이차함수)
⑤ y=(x-2)Û`-(xÛ`-5x)=x+4 (일차함수)
02
f(a)=-2aÛ`-2a+3=-1이므로 2aÛ`+2a-4=0, aÛ`+a-2=0(a+2)(a-1)=0 ∴ a=-2 또는 a=1
03
y=axÛ`의 그래프가 점 (-3, 18)을 지나므로 18=a_(-3)Û` ∴ a=2즉 y=2xÛ`의 그래프가 점 (2, b)를 지나므로 b=2_2Û`=8
∴ a-b=2-8=-6
04
이차함수 y=axÛ`의 그래프에서 a의 절댓값이 클수록 그래프 의 폭이 좁아진다.따라서 y=-4xÛ`의 그래프보다 폭이 좁은 것은 ④이다.
05
③ x축에 서로 대칭인 그래프는 ㉡과 ㉣이다.06
① y축에 대칭인 포물선이다.② 꼭짓점의 좌표는 {0, -;4!;}이다.
③ 0+2Û`-;4!;이므로 점 (2, 0)을 지나지 않는다.
④ 아래로 볼록한 포물선이다.
07
축의 방정식이 x=-2이므로 p=-2즉 y=a(x+2)Û`의 그래프가 점 {-3, ;2!;}을 지나므로
;2!;=a(-3+2)Û` ∴ a=;2!;
∴ a-p=;2!;-(-2)=;2%;
쌍둥이 유형 테스트
p.33 ~ p.3401 ④ 02 -2, 1 03 -6 04 ④ 05 ③
06 ⑤ 07 ;2%; 08 ④ 09 1 10 -5
11 ④ 12 ③ 13 a>0, p<0, q<0
01 이차함수의 그래프 ⑴
08
①, ⑤ y=-3xÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 -5만큼, y축 의 방향으로 3만큼 평행이동한 것이다.② 꼭짓점의 좌표는 (-5, 3)이다.
③ 축의 방정식은 x=-5이다.
09
꼭짓점의 좌표가 (-1, 5)이므로 p=-1, q=5 즉 y=a(x+1)Û`+5의 그래프가 점 (0, 2)를 지나므로 2=a+5 ∴ a=-3∴ a+p+q=-3+(-1)+5=1
10
평행이동한 그래프의 식은y=-3(x+2-2)Û`-7+5, 즉 y=-3xÛ`-2 이 그래프가 점 (1, k)를 지나므로
k=-3_1Û`-2=-5
11
x축에 대칭인 그래프의 이차함수의 식은 y 대신 -y를 대입 하면 되므로y=2(x-1)Û`-;3!;에서 -y=2(x-1)Û`-;3!;
∴ y=-2(x-1)Û`+;3!;
12
이차함수 y=4(x-2)Û`-5의 그래프가 아래로 볼록하고, 축 의 방정식이 x=2이므로 x의 값이 증가할 때 y의 값도 증가 하는 x의 값의 범위는 x>2이다.13
그래프가 아래로 볼록하므로 a>0꼭짓점이 제 3 사분면 위에 있으므로 p<0, q<0
01
y =-xÛ`+4x+1=-(xÛ`-4x)+1=-(xÛ`-4x+4-4)+1=-(x-2)Û`+5 따라서 a=-1, p=2, q=5이므로
a+p+q=-1+2+5=6
02
y=2xÛ`-4kx+6=2(x-k)Û`+6-2kÛ`이때 축의 방정식이 x=k이므로 k=3
쌍둥이 유형 테스트
p.35 ~ p.3601 ② 02 3 03 1 04 3 05 ②
06 5 07 ④ 08 ② 09 ④ 10 15
11 a>0, b>0, c<0 12 ④
02 이차함수의 그래프 ⑵
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03
y=2xÛ`-2x+;2#;=2{x-;2!;}2`+1이므로 꼭짓점의 좌표는 {;2!;, 1}y=-xÛ`+4ax+b=-(x-2a)Û`+4aÛ`+b이므로 꼭짓점의 좌표는 (2a, 4aÛ`+b)
즉 ;2!;=2a, 1=4aÛ`+b이므로 a=;4!;, b=;4#;
∴ a+b=;4!;+;4#;=1
04
y=xÛ`-6x=(x-3)Û`-9의 그래프를 x축의 방향으로 m만 큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 그래프의 식은 y=(x-3-m)Û`-9+n또 y=xÛ`-8x+9=(x-4)Û`-7이므로 -3-m=-4, -9+n=-7
따라서 m=1, n=2이므로 m+n=1+2=3
05
y=-2xÛ`-4x-5=-2(x+1)Û`-3이 그래프는 위로 볼록하고 축의 방정식이 x=-1이므로 x>-1일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.
06
y=;2!;xÛ`-;2#;x-2에 y=0을 대입하면 0=;2!;xÛ`-;2#;x-2, xÛ`-3x-4=0(x-4)(x+1)=0 ∴ x=4 또는 x=-1 따라서 A(4, 0), B(-1, 0) 또는 A(-1, 0), B(4, 0) 이므로 ABÓ=5
07
①, ② x축과 한 점에서 만난다.③ x축과 만나지 않는다.
⑤ y=(x+1)Û`+2이므로 x축과 만나지 않는다.
08
y=-;2!;xÛ`+2x-3=-;2!;(x-2)Û`-1 따라서 이차함수의 그래프는 오른쪽x y O 2
-1 -3
그림과 같으므로 그래프가 지나는 사
분면은 제 3, 4 사분면이다.
09
y=xÛ`+2x-3=(x+1)Û`-4 ① 직선 x=-1을 축으로 한다.② 꼭짓점의 좌표는 (-1, -4)이다.
③ xÛ`+2x-3=0에서 (x+3)(x-1)=0
∴ x=-3 또는 x=1
x축과의 교점의 좌표는 (-3, 0), (1, 0)이다.
⑤ 6+2Û`+2_2-3이므로 점 (2, 6)을 지나지 않는다.
10
y=0일 때, -xÛ`+4x+5=0에서 xÛ`-4x-5=0, (x+1)(x-5)=0∴ x=-1 또는 x=5, 즉 A(-1, 0), B(5, 0) x=0일 때, y=5 ∴ C(0, 5)
∴
△
ABC=;2!;_ABÓ_OCÓ=;2!;_6_5=1511
그래프가 아래로 볼록하므로 a>0 축이 y축의 왼쪽에 있으므로 b>0y축과의 교점이 x축보다 아래쪽에 있으므로 c<0
12
그래프가 위로 볼록하므로 a<0축이 y축의 왼쪽에 있으므로 b<0
y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로 c>0 ① a<0, b<0이므로 ab>0
② a<0, c>0이므로 ac<0
③ x=1일 때, y=0이므로 a+b+c=0 ④ x=-2일 때, y=0이므로 4a-2b+c=0 ⑤ x=-1일 때, y>0이므로 a-b+c>0 따라서 옳은 것은 ④이다.
01
y=a(x-2)Û`+3에 x=0, y=2를 대입하면 2=a(0-2)Û`+3, 4a=-1 ∴ a=-;4!;∴ y=-;4!;(x-2)Û`+3=-;4!;xÛ`+x+2 즉 a=-;4!;, b=1, c=2이므로
abc=-;4!;_1_2=-;2!;
02
그래프의 축의 방정식이 x=2이므로 y=a(x-2)Û`+q로 놓고x=1, y=-2를 대입하면 -2=a+q yy ㉠ x=4, y=4를 대입하면 4=4a+q yy ㉡ ㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 a=2, q=-4
∴ y=2(x-2)Û`-4
쌍둥이 유형 테스트
p.37 ~ p.38 01 -;2!; 02 ④ 03 0 04 y=-;2!;xÛ`-x+405 최댓값 2 06 ① 07 -3 08 y=;2!;xÛ`+2x+1 09 5 10 ③ 11 (4, 1) 12 ④
0 3 이차함수의 활용
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03
y=axÛ`+bx+c에 세 점의 좌표를 각각 대입하면 3=c, 2=a+b+c, -3=4a+2b+c세 식을 연립하여 풀면 a=-2, b=1, c=3
∴ a-b+c=-2-1+3=0
04
x축과의 교점의 좌표가 (-4, 0), (2, 0)이므로 y=a(x+4)(x-2)로 놓고 x=0, y=4를 대입하면 4=-8a ∴ a=-;2!;∴ y=-;2!;(x+4)(x-2)=-;2!;xÛ`-x+4
05
y=-;3!;xÛ`+2x-1=-;3!;(x-3)Û`+2 따라서 x=3일 때, 최댓값이 2이다.06
y =2axÛ`-4ax-3=2a(x-1)Û`-2a-3 이 이차함수의 최댓값이 3이므로-2a-3=3 ∴ a=-3
07
y=;2!;xÛ`+ax+b가 x=2에서 최솟값이 -3이므로 y=;2!;(x-2)Û`-3=;2!;xÛ`-2x-1따라서 a=-2, b=-1이므로 a+b=-2+(-1)=-3
08
y=a(x+2)Û`-1로 놓고 x=0, y=1을 대입하면 1=4a-1 ∴ a=;2!;∴ y=;2!;(x+2)Û`-1=;2!;xÛ`+2x+1
09
y=2xÛ`-4kx+4k+3=2(x-k)Û`-2kÛ`+4k+3 즉 x=k일 때, 최솟값은 -2kÛ`+4k+3이다.∴ m=-2kÛ`+4k+3=-2(k-1)Û`+5 따라서 k=1일 때, m의 최댓값은 5이다.
10
물받이의 높이를 x`cm라 하면 단면의 가로의 길이는 (10-2x)`cm이다.단면의 넓이를 y`cmÛ`라 하면 y=x(10-2x)=-2xÛ`+10x
=-2{x-;2%;}2`+:ª2°:
따라서 x=;2%;일 때 최댓값을 가지므로 양철판의 양쪽을 2.5`cm씩 접어 올리면 단면의 넓이가 최대가 된다.
01
① y=(x+2)Û`-xÛ`=xÛ`+4x+4-xÛ`=4x+4 (일차함수)② y=;2!;(x+8)=;2!;x+4 (일차함수)
③ y=x(3-x)=3x-xÛ` (이차함수)
④ y=xÛ`(x+2)=xÜ`+2xÛ` (이차함수가 아니다.)
⑤ y=2x(xÛ`-2x)=2xÜ`-4xÛ` (이차함수가 아니다.)
02
f(x)=-2xÛ`+ax+4에서f(-1)=-2-a+4=-1 ∴ a=3 따라서 f(x)=-2xÛ`+3x+4이므로 f(2)=-8+6+4=2
03
y=axÛ`의 그래프가 점 (3, -2)를 지나므로 -2=9a ∴ a=-;9@;04
y=axÛ`의 그래프가 y=-;2%;xÛ`의 그래프보다는 폭이 넓고 y=-;3$;xÛ`의 그래프보다는 폭이 좁으므로-;2%;<a<-;3$;
중단원
쌍둥이 유형 테스트
| 5. 이차함수 p.39 ~ p.43 01 ③ 02 2 03 -;9@; 04 -;2%;<a<-;3$;05 ② 06 7 07 ④, ⑤ 08 ④ 09 3
10 y=2(x-1)Û`-1 11 ③ 12 ⑤ 13 ③
14 ③ 15 ⑤ 16 8 17 k<-1
18 제 3 사분면, 제 4 사분면 19 ④ 20 ③
21 a>0, b<0, c>0 22 14 23 y=-xÛ`-2x+3
24 ④ 25 3 26 ① 27 ⑤ 28 4
29 ② 30 125`m, 5초
11
점 P의 x좌표를 a라 하면 P{a, -;4!;a+2}즉 OAÓ=a, PAÓ=-;4!;a+2
∴
△
POA=;2!;a{-;4!;a+2}=-;8!;aÛ`+a=-;8!;(a-4)Û`+2
따라서 a=4일 때 최댓값을 가지므로 구하는 점 P의 좌표는 (4, 1)이다.
12
h=9+6t-3tÛ`=-3tÛ`+6t+9=-3(t-1)Û`+12
따라서 물체가 가장 높이 올라갔을 때의 높이는 12`m이다.
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05
② 축의 방정식은 x=0이다.06
y=4xÛ`+q의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (0, q)이므로 a=0, q=-7 ∴ a-q=0-(-7)=707
① 꼭짓점의 좌표는 (1, 0)이다.② 1+-(2-1)Û`이므로 점 (2, 1)을 지나지 않는다.
③ 축의 방정식은 x=1이다.
08
④ y=a(x-p)Û`+q의 그래프에서 p>0, q>0이면 꼭짓점 은 제 1 사분면 위에 있다.09
y=;3!;(x-1)Û`+2의 그래프는 y=;3!;xÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이므 로p=1, q=2 ∴ p+q=1+2=3
10
y=2(x+3)Û`-1의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼 평행이 동한 그래프의 식은y=2(x+3-2)Û`-1=2(x+1)Û`-1 이 그래프를 y축에 대칭이동한 그래프의 식은 y=2(-x+1)Û`-1=2(x-1)Û`-1
11
y=a(x-p)Û`+q의 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0 꼭짓점이 제 4 사분면 위에 있으므로 p>0, q<0① a-q>0 ② apq<0
④ pq<0 ⑤ p-q>0
12
y=-;2!;xÛ`-2x+3=-;2!;(x+2)Û`+5이므로 a=-;2!;, p=-2, q=5∴ ap+q=-;2!;_(-2)+5=6
13
y=2xÛ`+ax+b의 그래프가 점 (0, -11)을 지나므로 b=-11따라서 주어진 그래프의 식은 y=2xÛ`+ax-11=2{xÛ`+;2A;x}-11
=2{x+;4A;}2`- aÛ`8 -11
이때 축의 방정식이 x=-;4A;이므로 -;4A;=6 ∴ a=-24
∴ a-b=-24-(-11)=-13
14
y=xÛ`-6x+3=(x-3)Û`-6의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방향으로 q만큼 평행이동한 그래프의 식은 y=(x-3-p)Û`-6+q이때 y=xÛ`+2x+5=(x+1)Û`+4이므로 -3-p=1, -6+q=4 ∴ p=-4, q=10
∴ p+q=-4+10=6
15
y=3xÛ`-6x+5=3(x-1)Û`+2이 그래프는 아래로 볼록하고 축의 방정식이 x=1이므로 x>1일 때, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.
16
y=xÛ`-4x-12에 y=0을 대입하면 0=xÛ`-4x-12, (x+2)(x-6)=0∴ x=-2 또는 x=6
따라서 이 그래프와 x축과의 교점의 좌표는 (-2, 0), (6, 0)이므로 두 점 사이의 거리는 6-(-2)=8
17
y=2xÛ`+4x+k+3=2(x+1)Û`+k+1이 그래프는 아래로 볼록하므로 x축과 서로 다른 두 점에서 만나려면 꼭짓점의 y좌표가 0보다 작아야 한다.
즉 k+1<0이므로 k<-1
18
y=;2!;xÛ`+2mx+3의 그래프가 점 (2, 9)를 지나므로 9=2+4m+3에서 m=1∴ y=;2!;xÛ`+2x+3=;2!;(x+2)Û`+1 따라서 그래프는 꼭짓점의 좌표가
x y
O 3 1 -2
(-2, 1), y축과 만나는 점의 좌표가 (0, 3)이고 아래로 볼록한 포물선이 므로 오른쪽 그림과 같이 그래프가 지 나지 않는 사분면은 제 3 사분면, 제 4 사분면이다.
19
y=xÛ`-4x+3=(x-2)Û`-1① y축과 만나는 점의 좌표는 (0, 3)이다.
② 직선 x=2를 축으로 한다.
③ 꼭짓점의 좌표는 (2, -1)이다.
⑤ y=xÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이다.
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20
y=-xÛ`+bx+c의 그래프가 점 (0, 0)을 지나므로 c=0y=-xÛ`+bx의 그래프가 점 (4, 0)을 지나므로 0=-16+4b ∴ b=4
즉 y=-xÛ`+4x=-(x-2)Û`+4이므로 꼭짓점의 좌표는 A(2, 4)
∴
△
AOB=;2!;_4_4=821
y=axÛ`+bx+c의 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0 축이 y축의 오른쪽에 있으므로 b<0y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로 c>0
22
그래프의 꼭짓점의 좌표가 (1, 2)이므로y=a(x-1)Û`+2로 놓고 x=2, y=5를 대입하면 5=a+2 ∴ a=3
즉 y=3(x-1)Û`+2=3xÛ`-6x+5이므로 a=3, b=-6, c=5
∴ a-b+c=3-(-6)+5=14
23
x축과의 교점의 좌표가 (1, 0), (-3, 0)이므로y=a(x-1)(x+3)으로 놓고 x=3, y=-12를 대입하면 -12=12a ∴ a=-1
즉 y=-(x-1)(x+3)이므로 y=-xÛ`-2x+3
24
① y=-xÛ`+4x+2=-(x-2)Û`+6이므로 x=2일 때 최 댓값은 6이다.② 최댓값은 없다.
③ x=-2일 때 최댓값은 0이다.
④ x=0일 때 최댓값은 2이다.
⑤ 최댓값은 없다.
25
y=3xÛ`+18x+k+12=3(x+3)Û`+k-15 이때 최솟값이 -12이므로k-15=-12 ∴ k=3
26
y=;2!;xÛ`+bx+c는 x=2에서 최솟값이 -;3@;이므로 y=;2!;(x-2)Û`-;3@;=;2!;xÛ`-2x+;3$;따라서 b=-2, c=;3$;이므로 b+c=-2+;3$;=-;3@;
27
y=3xÛ`의 그래프를 평행이동한 것이므로 이차항의 계수는 3 이고, x=2일 때 최솟값 -5를 가지므로 구하는 이차함수의 식은y =3(x-2)Û`-5=3xÛ`-12x+7
28
y=xÛ`-4px+8p=(x-2p)Û`-4pÛ`+8p∴ m=-4pÛ`+8p=-4(p-1)Û`+4 따라서 m의 최댓값은 4이다.
29
직사각형의 넓이를 y`cmÛ`라 하면 y =(6-x)(6+2x)=-2xÛ`+6x+36
=-2{x-;2#;}2`+:¥2Á:
따라서 직사각형의 넓이가 최대가 되는 것은 x=;2#;일 때이 다.
30
y =50x-5xÛ`=-5(x-5)Û`+125
따라서 물체가 가장 높이 올라갔을 때의 높이는 125`m이고, 그때까지 걸린 시간은 5초이다.