9
개념 마스터
step p.154 ~ p.157
1011
답 _1017
y=;2!;x(x+1)=;2!;xÛ`+;2!;x이므로이차함수이다.답 y=;2!;xÛ`+;2!;x, ◯
9. 이차함수의 그래프 ⑴
89
③ y=xÛ`-(x-1)Û`=xÛ`-(xÛ`-2x+1)=2x-1이므로
이차함수가아니다.
따라서이차함수인것은②,⑤이다. 답 ②, ⑤
1050
㉠ y=2x(x-1)=2xÛ`-2x이므로이차함수이다.㉥ y=xÜ`-x(xÛ`+5x)=-5xÛ`이므로이차함수이다.
따라서이차함수가아닌것은㉡,㉣,㉤의3개이다.답 3개
1051
① y=4_2x=8x이므로이차함수가아니다.② y=;2!;_x_4=2x이므로이차함수가아니다.
③ y=;3!;_p_(x+1)Û`_5=;3%;p(x+1)Û`
=;3%;pxÛ`+:Á3¼:px+;3%;p 이므로이차함수이다.
④ y=3_x=3x이므로이차함수가아니다.
⑤ y=;2!;_{(2x+1)+3x}_4=10x+2이므로이차함수
가아니다.
step p.158 ~ p.170
1043
전략 a의 값을 구한 후 보기의 점의 좌표를 대입하여 등식이 성③ y=60_x=60x이므로이차함수가아니다.
④ y=1000_x=1000x이므로이차함수가아니다.
⑤ y={;2!;x}Û`=;4!;xÛ`이므로이차함수이다.
따라서y가x에대한이차함수가아닌것은③,④이다.
답 ③, ④
1053
전략 y가 x에 대한 이차함수가 되려면 (xÛ`의 계수)+0이어야 한다.y=3xÛ`-3-kx(1-x)=(3+k)xÛ`-kx-3
이식이이차함수가되려면
3+k+0 ∴k+-3 답 ②
1054
y=a(xÛ`-1)+x-2xÛ`=(a-2)xÛ`+x-a이식이이차함수가되려면
a-2+0 ∴a+2 답 a+2
1055
전략 f(1)은 f(x)에 x 대신 1을 대입한 값이고, f(-1)은 f(x)에 x 대신 -1을 대입한 값이다.f(1)=-1Û`+4_1-1=2
f(-1)=-(-1)Û`+4_(-1)-1=-6
∴f(1)+f(-1)=2+(-6)=-4 답 -4
1056
f(1)=2에서3-1+a=2 ∴a=0 답 01057
f(a)=4에서2aÛ`-5a+1=42aÛ`-5a-3=0
(a-3)(2a+1)=0 ∴a=3또는a=-;2!;
이때a는정수이므로a=3 답 3
1058
f(1)=2에서1-a+4=2∴a=3,즉 f(x)=xÛ`-3x+4
f(-1)=b에서b=1+3+4=8
∴a+b=3+8=11 답 11
1059
전략 xÛ`의 계수의 절댓값이 클수록 그래프의 폭이 좁고, 절댓값 이 작을수록 그래프의 폭이 넓다.xÛ`의계수의절댓값이가장큰것을찾으면
① y=-2xÛ`이다. 답 ①
1060
주어진이차함수의중그그래프가아래로볼록한것은① y=2xÛ`,③ y=xÛ`,⑤ y=;5*;xÛ`
이고이중그래프의폭이가장넓은것은xÛ`의계수의절댓 값이가장작은③ y=xÛ`이다. 답 ③
1061
y=axÛ`의그래프의폭이y=-xÛ`보다넓고그래프가위로볼록하므로-1<a<0
따라서a의값이될수있는것은③ -;5!;이다. 답 ③
1062
y=axÛ`의그래프가y=2xÛ`의그래프와y=;3!;xÛ`의그래프사이에있으므로
;3!;<a<2 답 ;3!;<a<2
1063
전략 y=axÛ`의 그래프에서 a<0인 경우와 a>0인 경우로 나 누어 생각한다.y=axÛ`의그래프가색칠한부분에있으려면-1<a<0또 는0<a<2이어야한다.
따라서그래프가색칠한부분에있지않은것은
㉠ y=-;2#;xÛ`,㉥ y=3xÛ`이다. 답 ㉠, ㉥
1064
y=axÛ`의그래프가아래로볼록하면양수,위로볼록하면음 수이고a의절댓값이클수록그래프의폭이좁아지므로a의값이큰것부터차례대로나열하면
㉠,㉡,㉢,㉥,㉤,㉣
따라서a의값이가장큰그래프는㉠,가장작은그래프는
㉣이다. 답 ㉠, ㉣
1065
전략 x축에 대칭인 그래프를 나타내는 두 이차함수의 식은 xÛ`의 계수의 절댓값은 같고 부호가 반대이다.㉡ y=-2xÛ`과㉤ y=2xÛ`은xÛ`의계수의절댓값은같고부 호가반대이므로x축에대칭이다. 답 ㉡과 ㉤
1066
y=3xÛ`의그래프와x축에대칭인것은xÛ`의계수의절댓값 은같고부호가반대인④ y=-3xÛ`이다. 답 ④1067
y=-;4!;xÛ`의그래프와x축에대칭인그래프를나타내는이차함수의식은y=;4!;xÛ`
y=;4!;xÛ`의그래프가점(-2,k)를지나므로
k=;4!;_(-2)Û`=1 답 1
1068
전략 xÛ`의 계수의 절댓값이 클수록 그래프의 폭이 좁다.② y=2xÛ`의그래프는y=xÛ`의그래프보다폭이좁다.
따라서옳지않은것은②이다. 답 ②
1069
③ y=-axÛ`의그래프와x축에대칭이다.따라서옳지않은것은③이다. 답 ③
1070
② 폭이가장좁은그래프는㉠이다.③ 모두y축을축으로하는포물선이다.
④ ㉡,㉢은위로볼록한포물선이다.
따라서옳은것은①,⑤이다. 답 ①, ⑤
1071
전략 원점을 꼭짓점으로 하는 포물선을 그래프로 하는 이차함 수의 식을 y=axÛ`이라 하고 포물선이 지나는 점의 좌표를 대입 하여 상수 a의 값을 구한다.9. 이차함수의 그래프 ⑴
91
1075
y=-2xÛ`-6의그래프는y=-2xÛ`의그래프를y축의방향 으로-6만큼평행이동한것이므로꼭짓점의좌표는1077
y=-xÛ`+q의그래프가점(-1,3)을지나므로3=-1+q ∴q=4
1079
y=axÛ`+q의그래프가점(1,2)를지나므로2=a+q yy㉠
1081
y=-5xÛ`의그래프를x축의방향으로-1만큼평행이동한그래프를나타내는식은
이그래프가두점(1,m),(-1,n)을지나므로
1086
y=a(x-p)Û`의그래프의축의방정식이x=-2이므로p=-2 yy㈎
1089
y=-2xÛ`의그래프를x축의방향으로a만큼,y축의방향으 로b만큼평행이동한그래프를나타내는식은y=-2(x-a)Û`+b
이때이식이y=-2(x+3)Û`-5이므로
a=-3,b=-5
∴a+b=-3+(-5)=-8 답 -8
1090
y=2(x-1)Û`+3의그래프는y=2xÛ`의그래프를x축의방 향으로1만큼,y축의방향으로3만큼평행이동한것이므로1093
y=-xÛ`의그래프를x축의방향으로-3만큼,y축의방향 으로1만큼평행이동한그래프를나타내는식은1094
y=a(x-p)Û`+q의그래프의꼭짓점의좌표가(2,-1)이 므로p=2,q=-1y=a(x-2)Û`-1의그래프가점(0,3)을지나므로
3=a_(-2)Û`-1,4a=4 ∴a=1
∴a+p+q=1+2+(-1)=2 답 2
1095
y=;4#;(x-p)Û`+3p의그래프의꼭짓점의좌표는(p,3p)이고,이꼭짓점이직선y=-x+8위에있으므로
3p=-p+8,4p=8 ∴p=2 답 2
1096
전략 그래프의 모양을 확인하고 축을 기준으로 x의 값이 증가 하면 y의 값도 증가하는 x의 값의 범위를 구한다.9. 이차함수의 그래프 ⑴
93
(1,4)1111111111Ú(-3,1)
따라서1+m=-3,4+n=1이므로m=-4,n=-3
∴m+n=-7
1100
y=-(x+1)Û`-2의그래프를x축의방향으로-5만큼,y 축의방향으로3만큼평행이동한그래프를나타내는식은y=-(x+1+5)Û`-2+3
∴y=-(x+6)Û`+1 답 ②
1101
y=axÛ`+1의그래프를y축의방향으로q만큼평행이동한그래프를나타내는식은
1104
y=a(x-3)Û`+2의그래프를x축의방향으로3만큼,y축의방향으로-5만큼평행이동한그래프를나타내는식은
1105
y=(x-1)Û`+3의그래프를x축에대칭이동한그래프를나 타내는식은1107
⑴ y=3(x-1)Û`-4의그래프를y축에대칭이동한그래프 를나타내는식은y=3(-x-1)Û`-4
∴y=3(x+1)Û`-4 yy㈎
⑵ y=3(x+1)Û`-4의그래프를x축에대칭이동한그래프 를나타내는식은
-y=3(x+1)Û`-4
∴y=-3(x+1)Û`+4 yy㈏
y=-3(x+1)Û`+4의그래프가점(-2,k)를지나므로
k=-3_(-2+1)Û`+4=1 yy㈐
답 ⑴ y=3(x+1)Û`-4 ⑵ 1
채점 기준 비율
㈎ y=3(x-1)Û`-4의 그래프를 y축에 대칭이동한
그래프의 식 구하기 40 %
㈏ y=3(x+1)Û`-4의 그래프를 x축에 대칭이동한
그래프의 식 구하기 40 %
㈐ k의 값 구하기 20 %
1108
전략 그래프의 모양과 꼭짓점의 위치로 a, p, q의 부호를 정한 다.그래프의모양이아래로볼록하므로a>0
꼭짓점이제4사분면위에있으므로p>0,q<0 답 ④
1109
그래프의모양이아래로볼록하므로a>0꼭짓점이x축보다아래쪽에있으므로q<0
⑤ a+q의부호는알수없다. 답 ⑤
1110
y=a(x-p)Û`의그래프의모양이위로볼록하므로a<0
꼭짓점이y축의왼쪽에있으므로
p<0
즉y=pxÛ`+a의그래프는p<0,
x y
a<0이므로오른쪽그림과같다. O
따라서제3,4사분면을지난다.
답 ⑤
1111
전략 ACÓ=CEÓ이므로 점 C의 x좌표가 k이면 점 E의 x좌표는 2k이다.직선y=4와y축의교점의좌표는(0,4)이므로
A(0,4)
점B,C의y좌표는4이므로y=xÛ`에y=4를대입하면
xÛ`=4 ∴x=Ñ2
즉B(-2,4),C(2,4)
이때ACÓ=CEÓ이므로E(4,4)
따라서y=axÛ`의그래프는점(4,4)를지나므로
4=16a ∴a=;4!; 답 ;4!;
1112
전략 점 A와 점 C의 y좌표가 같음을 이용한다.점A의x좌표를3m(m<0)이라하면점C의x좌표는2m 이다.
y=xÛ`에x=3m을대입하면
y=(3m)Û`=9mÛ`,즉A(3m,9mÛ`)
y=axÛ`에x=2m을대입하면
y=a_(2m)Û`=4amÛ`,즉C(2m,4amÛ`)
이때점A와점C의y좌표는같으므로
9mÛ`=4amÛ`,9=4a ∴a=;4(; 답 ;4(;
1113
전략 ACDB가 평행사변형이므로 ABÓ∥CDÓ이고 ABÓ=CDÓ 임을 이용한다.점D의x좌표를a라하면
D{a,;2!;aÛ`},C{-a,;2!;aÛ`} yy㉠
점B의y좌표가10이므로y=;2!;xÛ`에y=10을대입하면
10=;2!;xÛ`,xÛ`=20 ∴x=2'5(∵x>0)
∴B(2'5,10)
한편CDÓ=ABÓ=2'5이므로C{a-2'5,;2!;aÛ`} yy㉡
㉠,㉡에서-a=a-2'5이므로
-2a=-2'5 ∴a='5
따라서점D의좌표는{'5,;2%;}이다. 답 D{'5, ;2%;}
1114
점D의x좌표를a라하면D(a,-aÛ`),C(-a,-aÛ`),B{a,;2!;aÛ`},A{-a,;2!;aÛ`}
이때CDÓ=2a,BDÓ=;2!;aÛ`-(-aÛ`)=;2#;aÛ`이고CDÓ=BDÓ
이므로
2a=;2#;aÛ`,3aÛ`-4a=0
a(3a-4)=0 ∴a=;3$;`(∵a>0)
따라서점D의x좌표는;3$;이다. 답 ;3$;
1115
A{p,;3!;pÛ`},B(p,pÛ`)이므로ABÓ=pÛ`-;3!;pÛ`=;3@;pÛ`,ADÓ=p
이때ABCD의넓이가18이므로
;3@;pÛ`_p=18 ∴pÜ`=27 답 27
9. 이차함수의 그래프 ⑴
95
④ y=xÛ`+(x+1)Û`=2xÛ`+2x+1이므로이차함수이다.
⑤ y=6xÛ`이므로이차함수이다.
f(2)=2_2Û`-3_2+1=8-6+1=3 yy㈐
답 3
1116
y=axÛ`의그래프가점(2,1)을지나므로1=4a ∴a=;4!;,즉y=;4!;xÛ`
이때ABÓ=b-a,ADÓ=4aÛ`-aÛ`이고ABÓ=ADÓ이므로
b-a=4aÛ`-aÛ`
2a-a=3aÛ`,3aÛ`-a=0,a(3a-1)=0
∴a=;3!;(∵a>0)
이그래프가점(a,2a)를지나므로
④ y=2(x-3)Û`-5에x=2,y=7을대입하면
7+2_(2-3)Û`-5
⑤ y=2(x-3)Û`+5에x=2,y=7을대입하면
7=2_(2-3)Û`+5
따라서조건을모두만족하는이차함수의식은⑤이다.
답 ⑤
9. 이차함수의 그래프 ⑴
97
이차함수의 식을 y=a(x-p)Û`+q라 하면
㈎에서 이차함수 y=-2(x+1)Û`+4의 그래프와 폭이 같고 ㈏에 서 아래로 볼록한 포물선이므로 a=2
㈐에서 축의 방정식이 x=3이므로 p=3 즉 이차함수의 식은 y=2(x-3)Û`+q
㈑에서 이 그래프가 점 (2, 7)을 지나므로 7=2_(2-3)Û`+q ∴ q=5
따라서 조건을 모두 만족하는 이차함수의 식은 y=2(x-3)Û`+5 이다.
Lecture
1131
전략 축을 기준으로 xÛ`의 계수의 부호에 따라 증가·감소하는 x 의 값의 범위를 구한다.그래프가위로볼록하고축의방정식이x=1이므로x>1일
때,x의값이증가하면y의값은감소한다. 답 x>1
1132
전략 a의 부호로 그래프의 모양을 정하고 -q의 부호로 꼭짓점 의 위치를 정한다.a<0이므로그래프가위로볼록하고,
q<0에서-q>0이므로꼭짓점이x축보다위쪽에있다.
따라서y=axÛ`-q의그래프로적당한것은③이다.
답 ③
1133
전략 계단 모양으로 배열할 때 나타나는 x와 y 사이의 규칙을 찾아 y를 x의 식으로 나타낸다.⑴ 1계단을만들려면1장,
2계단을만들려면1+3=4=2Û`(장),
3계단을만들려면1+3+5=9=3Û`(장),
4계단을만들려면1+3+5+7=16=4Û`(장),y 의카드를배열해야하므로x계단을만들려면xÛ`장의카
드를배열해야한다.
따라서y를x의식으로나타내면y=xÛ`이므로이차함수 이다.
⑵ y=xÛ`에y=400을대입하면
400=xÛ` ∴x=20(∵x>0)
따라서20계단을만들수있다.
⑶ y=xÛ`에x=17을대입하면
y=17Û`=289
따라서카드는289장이필요하다.
답 ⑴ y=xÛ`, 이차함수이다. ⑵ 20계단 ⑶ 289장
1134
전략 y=3xÛ`의 그래프를 x축을 접는 선으로 하여 접었다가 펼 치는 것은 y=3xÛ`의 그래프와 x축에 대칭인 그래프를 그리는 것 과 같다.㈎,㈏ 에서y=3xÛ`의그래프를 y=3x¤
y=-3x¤
x y
O
x축을접는선으로하여접었다
가 펼칠 때 생기는 이차함수의
그래프는y=3xÛ`의그래프를x 축에대칭이동한그래프이므로
y=-3xÛ`이다.
따라서y=axÛ`의그래프는위의그림에서색칠한부분을지 나므로구하는a의값의범위는
-3<a<0또는0<a<3 답 ②, ④
1135
전략 점 A와 점 D의 y좌표가 같음을 이용한다.점D의x좌표를3m(m>0)이라하면점A의x좌표는
-4m이다.
이때A(-4m,16mÛ`),D(3m,9amÛ`)이고
점A와점D의y좌표가같으므로
16mÛ`=9amÛ`,16=9a ∴a=:Á9¤:
답 :Á9¤: