이차방정식의 근의 공식

-2. 이차방정식의근의공식과활용

Ⅲ

2

20 0 이차방정식의 근의 공식

기본서 86~87쪽

익히기

1

^{근의 공식에 a= , b=-5, c= 을 대입하}

면 x=

x= =

풀이 참조 5—'ƒ25-12

2

3 1

유제❶ ⑴ 근의 공식에 a=1, b=1, c=-8을 대입 하면

x=

x=

⑵ 근의 공식에 a=1, b=-7, c=-1을 대입하면 x=

x=

⑶ 짝수 공식에 a=2, b'=-4, c=5를 대입하면 x=

x=

⑷ 짝수 공식에 a=3, b'=5, c=2를 대입하면

x= =

풀이 참조 -5—'ß19

3 -5—"√5¤ -√3_2

3 4—'6

2

-(-4)—"√(-4√)¤ -√2_5 2

7—'ß53 2

-(-7)—"√(-7√)¤ -√4_1√_(-1) 2_1

-1—'ß33 2

-1—"√1¤ -√4_1√_(√-8) 2_1

유제❷-1 근의 공식에 a=1, b=3, c=-9를 대입하 면

x= =

∴ A=-3, B=5 A=-3, B=5

-3—3'5 2 -3—"√3¤ -√4_1√_(√-9)

2_1

유제❷-2 짝수 공식에 a=2, b'=-3, c=-1을 대입 하면

x=

x=

따라서 A=3, B=11이므로

A+B=3+11=14 14

3—'ß11 2

-(-3)—"√(-3√)¤ -√2_√(-1) 2

-(-5)—"√(-5√)¤ -√4_√ _ 2_ 1

3 1

5—"√

2 13

근의 공식에서 a, b, c에 해당하는 수를 찾는다.

x의 계수가 -8이므로 b'=-8_;2!;=-4

x의 계수가 10이므로 b'=10_;2!;=5

유제❸-1 ⑴ 양변에 20을 곱하면

10x¤ -5x=2, 10x¤ -5x-2=0

∴ x=

∴ x=

⑵ 양변에 10을 곱하면 x¤ -10x-12=0

∴ x=

∴ x=5—'ß37

⑶ 주어진 식의 좌변을 전개하면 5(x¤ -3x-4)-3x¤ +3x=-14 2x¤ -12x-6=0, x¤ -6x-3=0

∴ x=

∴ x=3—2'3

⑴x= ⑵x=5—'ß37

`⑶x=3—2'3 5—"ç105

20

-(-3)—"√(-3)¤ -1_(-3) 1

-(-5)—"√(-5)¤ -1_(-12) 1

5—"ç105 20

-(-5)—"√(-5)¤ -√4_10_(-2) 2_10

유제❸-2 양변에 6을 곱하면

3(3x¤ +1)+2(x¤ -3x)=6x¤ +11 9x¤ +3+2x¤ -6x=6x¤ +11

2

21 1 복잡한 이차방정식의 풀이

기본서 88~89쪽

익히기

2

⑴ 양변에 4를 곱하면 2x¤ +x-4=0

∴ x=

∴ x=

⑵ 양변에 10을 곱하면

x¤ -3x-10=0, (x+2)(x-5)=0 ∴ x=-2 또는 x=5

⑶ 주어진 식의 좌변을 전개하면 x¤ -x-6=6 x¤ -x-12=0, (x+3)(x-4)=0

∴ x=-3 또는 x=4

⑷ 주어진 식의 우변을 전개하면 2x¤ +5=3-6x 2x¤ +6x+2=0, x¤ +3x+1=0

∴ x=

∴ x=

⑴ x= ⑵ x=-2 또는 x=5

⑶ x=-3 또는 x=4 ⑷ x=-3—'5 2 -1—'ß33

4 -3—'5

2

-3—"√3√¤ -√4_1√_1 2_1 -1—'ß33

4

-1—"√1√¤ -√4_2√_(-4) 2_2

익히기

3

A¤ -4A+4=0에서 (A-2)¤ =0

∴ A=2 (중근) 2

2와 4의 최소공배수

ax¤ +2b'x+c=0 (a+0) x=-b'—"√b'¤ -ac

a

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02

인수분해가 되지 않는 이차방정식 근의 공식을 이용

x¤ -6x+7=0에서

x=-(-3)—"√(-3)¤ -1_7=3—'2

③ x의 계수;aB;의 ;2!;인 ;2ıa;를 제곱한 {;2ıa;}2 을 양변에 더하면

x¤ +;aB;x+{ }2 = +{ }2

{x+ }2 =

x+ =—æ≠ =—

∴ x=- — =

∴ ㈎ -;aC; ㈏ ㈐ b¤ -4ac ㈑ -b—"√b¤ -4ac

풀이 참조 b

2a

"√b¤ -4ac 2a 2a b

2a

2a b¤ -4ac

4a¤

b 2a

4a¤

b 2a

b -;aC; 2a b

2a

04

이차방정식 ax¤ +bx+c=0의 근의 공식 x=

① x¤ +2x-2=0에서

x=-1—"√1¤ -1_(-2)=-1—'3

② x¤ +6x+3=0에서

x=-3—"√3¤ -1_3=-3—'6

③ x¤ -3x+1=0에서

x= =

④ x¤ +5x-3=0에서

x= =

⑤ x¤ +x-3=0에서

x= =

⑤ -1—'∂13

2 -1—"√1¤ -4_1_(-3)

2

-5—'∂37 2 -5—"√5¤ -4_1_(-3)

2

3—'5 2 -(-3)—"√(-3)¤ -4_1_1

2 -b—"√b¤ -4ac

2a

-b—"√b¤ -4ac øπ b¤ -4ac 우공비 B0X

Step Up

기본서

유제❹ ⑴ x-1=A로 치환하면 주어진 이차방정식 은

A¤ -4A-5=0, (A+1)(A-5)=0

∴ A=-1 또는 A=5 즉 x-1=-1 또는 x-1=5이므로

x=0또는 x=6

⑵ x+4=A로 치환하면 주어진 이차방정식은 2A¤ +5A+2=0, (A+2)(2A+1)=0

∴ A=-2 또는 A=-;2!;

즉 x+4=-2 또는 x+4=-;2!;이므로 x=-6 또는 x=-;2(;

⑶ 3x+1=A로 치환하면 주어진 이차방정식은 4A¤ +4A+1=0, (2A+1)¤ =0

∴ A=-;2!; (중근)

즉 3x+1=-;2!;이므로 3x=-;2#;

∴ x=-;2!; (중근)

` ⑴x=0또는 x=6

⑵x=-6 또는 x=-;2(;

` ⑶x=-;2!; (중근) 5x¤ -6x-8=0, (5x+4)(x-2)=0

∴ x=-;5$; 또는 x=2

따라서 정수인 근은 x=2 x=2

01 ^{풀이 참조} 02^③ 03^② 04 ^⑤ 05 ²² 06 ^① 07-;2!; 08^-6

09 ^x=8(중근) 10^④ 11^② 12⁴

13^④ 14x=;4#; 15^⑤

기본서 90~91쪽

소단원성취도진단

01

^{근의 공식} 이차방정식 ax¤ +bx+c=0의 좌변을 완전제곱식으로 만든다.

이차방정식 ax¤ +bx+c=0 (a+0)의 양변을 a로 나누면

x¤ +;aB;x+;aC;=‚

x¤ +;aB;x= -;aC;

b¤ -4ac

A=x-1을 대입하여 x의 값을 구한다.

A에 대한 이차방정식

03

계수가 소수인 이차방정식

양변에 10의 거듭제곱을 곱하여 계수를 정수로 고친다.

0.4x¤ -x+0.3=0의 양변에 10을 곱하면 4x¤ -10x+3=0

∴ x= =

따라서 A=5, B=13이므로

AB=5_13=65 ②

5—"≈13 4 -(-5)—"√(-5√)¤ -√4_3

4

이차방정식

ax¤ +2b'x+c=0의 근의 공식

x=-b'—"√b'¤ -ac a

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우공비 B0X 기본서

89~91

쪽

Step Up

Ⅲ.이차방정식

05

ax¤ +bx+c=0 꼴로 정리한 후, 근의 공식을 이용 한다.

2x¤ -4x=x¤ +x-2에서 x¤ -5x+2=0

∴ x=

∴ x=

따라서 A=5, B=17이므로

A+B=5+17=22 22

5—'∂17 2

-(-5)—"√(-5)¤ -4_1_2 2

06

근의 공식을 이용하여 주어진 이차방정식의 해를 k 에 대한 식으로 나타낸다.

2x¤ -6x+k+1=0에서 x=

x=

따라서 -2k+7=5이므로 -2k=-2

∴ k=1 ①

3—'ƒ-2k+7 2

-(-3)—"√(-3)¤ -2_(k+1) 2

07

;2#;x¤ -3x+A=0의 양변에 2를 곱하면 3x¤ -6x+2A=0

∴ x=

∴ x= ^▶50%

이때 x= 이므로

B=3, 9-6A=10

따라서 A=-;6!;, B=3이므로 ▶30%

AB=-;6!;_3=-;2!; ^▶20%

-;2!;

B—'1å0 3

3—'ƒ9-6A 3

-(-3)—"√(-3)¤ -3_2A 3

이차방정식의 해 구하기 A, B의 값 구하기 AB의 값 구하기

50%

30%

20%

채점 기준 배점

08

주어진 이차방정식의 양변에 30을 곱하면 10(x+1)=-6(x-1)(x+3)

3x¤ +11x-4=0 ▶40%

(x+4)(3x-1)=0

이차방정식을 간단히 정리하기 이차방정식의 두 근 구하기

두 근 사이에 있는 모든 정수의 합 구하기

40%

30%

30%

채점 기준 배점

양변에 어떤 수를 곱할 때에는 모든 항에 각각 곱한다.

치환하여 이차방정식을 푼 다음에는 원래의 식을 대입하여 x의 값을 구하 다.

10

공통부분이 여러 개인 이차방정식 공통부분을 각각 다른 문자로 치환

x-1=A, x+2=B로 치환하면

3A¤ +2AB-B¤ =0, (A+B)(3A-B)=0 (x-1+x+2){3(x-1)-(x+2)}=0

(2x+1)(2x-5)=0

∴ x=-;2!; 또는 x=;2%;

따라서 두 근의 합은 -;2!;+;2%;=2

④

∴ x=-4 또는 x=;3!; ^▶30%

따라서 두 근 사이에 있는 정수는 -3, -2, -1, 0

이므로 구하는 합은

-3+(-2)+(-1)+0=-6 ▶30%

-6

0 9

공통부분이 있는 이차방정식 공통부분을 치환 x-2=A로 치환하면

-4A+12=0

양변에 3을 곱하면 A¤ -12A+36=0 (A-6)¤ =0 ∴ A=6 (중근) 즉 x-2=6이므로 x=8 (중근)

x=8(중근) A¤

3

12

x¤ -4x-2=0에서

x=-(-2)—"√(-2)¤ -1_(-2)

=2—'6 ^▶40%

∴ a=2+'6 ^▶20%

11

x-2y=A로 치환하여 먼저 A에 대한 이차방정식

을 푼다.

x-2y=A로 치환하면 A(A-4)+4=0

A¤ -4A+4=0, (A-2)¤ =0

∴ A=2 (중근) 따라서 구하는 값은

-2x+4y=-2(x-2y)

=-2A=-2_2

=-4 ②

이차방정식의 해 구하기 a의 값 구하기

a보다 크지 않은 최대의 정수 구하기

40%

20%

40%

채점 기준 배점

10x+10

=-6x¤ -12x+18 6x¤ +22x-8=0

∴ 3x¤ +11x-4=0 A, B대신 치환한 식 을 대입

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15

공통부분이 있는 방정식 공통부분을 치환 x¤ +2x=A로 치환하면

A¤ -11A+24=0, (A-3)(A-8)=0

∴ A=3 또는 A=8

⁄ A=3일 때,

⁄ x¤ +2x=3,즉 x¤ +2x-3=0에서

⁄ (x+3)(x-1)=0 ∴ x=-3 또는 x=1

¤ A=8일 때,

⁄ x¤ +2x=8,즉 x¤ +2x-8=0에서

⁄ (x+4)(x-2)=0 ∴ x=-4 또는 x=2

⁄, ¤에서 주어진 방정식의 해는

x=-4또는 x=-3 또는 x=1 또는 x=2 이므로 구하는 곱은

-4_(-3)_1_2=24 ⑤

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