이차방정식의 근과 계수의 관계

15

공통부분이 있는 방정식 공통부분을 치환 x¤ +2x=A로 치환하면

A¤ -11A+24=0, (A-3)(A-8)=0

∴ A=3 또는 A=8

⁄ A=3일 때,

⁄ x¤ +2x=3,즉 x¤ +2x-3=0에서

⁄ (x+3)(x-1)=0 ∴ x=-3 또는 x=1

¤ A=8일 때,

⁄ x¤ +2x=8,즉 x¤ +2x-8=0에서

⁄ (x+4)(x-2)=0 ∴ x=-4 또는 x=2

⁄, ¤에서 주어진 방정식의 해는

x=-4또는 x=-3 또는 x=1 또는 x=2 이므로 구하는 곱은

-4_(-3)_1_2=24 ⑤

우공비 B0X 기본서

91~96

쪽

Step Up

Ⅲ.이차방정식 유제❷-2 (k+2)x¤ +(k+2)x+4=0이 중근을 가지

려면

(k+2)¤ -4_(k+2)_4=0

k¤ +4k+4-16k-32=0, k¤ -12k-28=0 (k+2)(k-14)=0

∴ k=-2 또는 k=14

이때 k+-2이므로 k=14 14

유제❸ (k+1)x¤ -2kx+k=0이 근을 갖지 않으려면 (-2k)¤ -4_(k+1)_k<0

이어야 하므로

4k¤ -4k¤ -4k<0, -4k<0

∴ k>0 k>0

유제❹-1 주어진 이차방정식의 양변에 2를 곱하면 x¤ -2x-5=0

이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a=- =2, b= =-5

∴ a-b=2-(-5)=7 7

-5 1 -2

1

유제❹-2 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 -5+2=- , -5_2=;2N;

∴ m=6, n=-20

∴ m+n=-14 -14

m 2

유제❺-1 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=3, ab=-5

⑴ a+b-ab=3-(-5)=8

⑵ a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab

=3¤ -2_(-5)=19

⑶ (a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab

=3¤ -4_(-5)=29

⑷ + = =-;5#;

⑴ 8 ⑵ 19 ⑶ 29 ⑷ -;5#;

b+a ab 1 b 1 a

유제❺-2이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=-5, ab=a

;å©;+;∫ƒ= =

;å©;+;∫ƒ= =9 이므로 25-2a=9a, 11a=25

∴ a=;1@1%; ;1@1%;

(-5)¤ -2a a

(a+b)¤ -2ab ab b¤ +a¤

ab

곱셈 공식의 변형

① a¤ +b¤

`=(a+b)¤ -2ab

`=(a-b)¤ +2ab

② (a+b)¤

`=(a-b)¤ +4ab

③ (a-b)¤

`=(a+b)¤ -4ab 이차방정식에서 x¤ 의 계수는 0이 될 수 없 다.

a¤ +b¤을 a+b와 ab 로 나타낸다.

유제❼-1 (두 근의 합)=(3+'2)+(3-'2)=6 (두 근의 곱)=(3+'2)(3-'2)=7

따라서 두 근의 합이 6, 곱이 7이고 x¤ 의 계수가 -;6!;인 이차방정식은

-;6!;(x¤ -6x+7)=0 ∴ -;6!;x¤ +x-;6&;=0 -;6!;x¤ +x-;6&;=0

유제❼-2 두 근이-;3@;, ;2!;이고 x¤ 의 계수가 6인 이차방 정식은

6 {x+;3@;}{x-;2!;}=0, 6 {x¤ +;6!;x-;3!;}=0

∴ 6x¤ +x-2=0 따라서 a=1, b=-2이므로

3ab=3_1_(-2)=-6 -6

(두 근의 합)=-;3@;+;2!;=-;6!;, (두 근의 곱)=-;3@;_;2!;=-;3!;

이므로 두 근의 합이-;6!;, 곱이 -;3!;이고 x¤ 의 계수가 6 인 이차방정식은

6 {x¤ +;6!;x-;3!;}=0 ∴ 6x¤ +x-2=0 따라서 a=1, b=-2이므로

3ab=3_1_(-2)=-6

유제❻ a, b가 유리수이므로 주어진 이차방정식의 계 수가 모두 유리수이다. 따라서 한 근이 x=2-3'2일 때, 다른 한 근은 x=2+3'2이므로 이차방정식의 근과 계 수의 관계에 의하여

-a=(2-3'2)+(2+3'2)=4

∴ a=-4

b=(2-3'2)(2+3'2)

=4-18=-14

∴ ab=-4_(-14)=56 ④

익히기

4

^⑴2(x+4)(x-2)=0에서 2x¤ +4x-16=0

⑵ (x+4)¤ =0에서 x¤ +8x+16=0

⑶ 두 근의 합이 7, 곱이 5이므로 x¤ -7x+5=0

` ` ⑴ 2x¤ +4x-16=0 ⑵ x¤ +8x+16=0

`` ⑶ x¤ -7x+5=0

2

23 3 ^{이차방정식 구하기}

^{기본서 95~96쪽}

익히기

3

a, b, c가 유리수이므로 다른 한 근은

x=5+'2 x=5+'2

두 근의 합이 m, 두 근의 곱이 n이고 x¤ 의 계수가 a인 이차방정식

a(x¤ -mx+n)=0 D1001우중수3상_정(032-054) 2014.10.1 12:56 PM 페이지045 SinsagoHitec

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02

이차방정식 ax¤ +bx+c=0 (두 근의 곱)=;aC;

k= =-2이므로 2k¤ +k-m=0에서 2_(-2)¤ -2-m=0

∴ m=6 ③

-8 4

03

계수가 유리수인 이차방정식의 한 근이

x=p-q'∂m 다른 한 근은 x=p+q'∂m (단, p, q는 유리 수,'∂m은 무리수)

a, b가 유리수이므로 주어진 이차방정식의 계수가 모두 유리수이다. 따라서 한 근이 x=3-'5일 때, 다른 한 근은 x=3+'5이므로 이차방정식의 근과 계수의 관 계에 의하여

- =(3-'5)+(3+'5)=6 ∴ a=12

=(3-'5)(3+'5)=4 ∴ b=8

∴ a-b=12-8=4 4

b 2

-a 2

06

이차방정식 ax¤ +bx+c=0의 두 근을 a, b라 하면 a+b=-;aB;, ab=;aC;

①, ② a+b=;2%;, ab=-1

③ a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab={;2%;}2 -2_(-1)=:£4£:

④ (a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab={;2%;}2 -4_(-1)=:¢4¡:

⑤;å!;+;∫!;= =;2%;_ 1 =-;2%; ^④ -1

b+a ab

07

^{두 근의 차가 3} 두 근을 a, a-3으로 놓는다.

주어진 이차방정식의 두 근을 a, a-3이라 하면 근 과 계수의 관계에 의하여

a+(a-3)=-6 yy㉠

a(a-3)=k yy㉡

㉠`에서 2a-3=-6 ∴ a=-;2#;

a=-;2#;을 ㉡`에 대입하면

k=-;2#;_{-;2#;-3}=-;2#;_{-;2(;}=;;™4¶;; ^② 주어진 이차방정식의 두 근을 a, b라 하면 근과 계 수의 관계에 의하여

a+b=-6, ab=k (a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab이므로

3¤ =(-6)¤ -4k, 9=36-4k ∴ k=;;™4¶;;

우공비 B0X

Step Up

기본서

05

이차방정식 ax¤ +bx+c=0이 해를 가지려면 b¤ -4acæ0

이차방정식 x¤ -2x+k-5=0이 해를 가지려면 (-2)¤ -4_1_(k-5)æ0

이므로 4-4k+20æ0

4k…24 ∴ k…6 ③

(k+2)(k-2)=0

∴ k=-2 또는 k=2 ▶40%

⁄k=-2이면 4x¤ -2x+;4!;=0

¤ 16x¤ -8x+1=0, (4x-1)¤ =0

¤ ∴ x=;4!; (중근)

¤k=2이면 4x¤ +2x+;4!;=0

¤ 16x¤ +8x+1=0, (4x+1)¤ =0

∴ x=-;4!; (중근) ^▶60%

k=-2일 때 x=;4!;(중근),

k=2일 때x_{=-;4!;(중근)} 01 ^② 02 ^③ 03⁴ 04^{풀이 참조}

05 ^③ 06 ^④ 07^② 08¹⁴ 09 ² 10^-7 11^② 12^④ 13⁰ 14^④ 15¹ 16^-1

기본서 97~98쪽

소단원성취도진단

01

이차방정식 ax¤ +bx+c=0이 서로 다른 두 근을 갖는다. b¤ -4ac>0

㈀ 6x¤ -x-4=0에서

(-1)¤ -4_6_(-4)=97>0

㈁ 3x¤ -2x+4=0에서

(-2)¤ -4_3_4=-44<0

㈂ 주어진 방정식의 양변에 2를 곱하면 x¤ +4x+4=0

이므로 4¤ -4_1_4=0

㈃ 주어진 방정식의 양변에 6을 곱하면 6x¤ -x-2=0

이므로 (-1)¤ -4_6_(-2)=49>0 이상에서 서로 다른 두 근을 갖는 것은 ㈀, ㈃이다.

②

04

4x¤ +kx+;4!;=0이 중근을 가지므로 k¤ -4_4_;4!;=0, k¤ -4=0

상수 k의 값 구하기 중근 구하기

40%

60%

채점 기준 배점

근이 없다.

중근을 갖는다.

두 근의 차가 k이면 두 근 을 a, a-k 또는 a, a+k 로 놓는다.

두 근 a, b의 차가 3 이므로

|a-b|=3

∴ (a-b)¤ =3¤

D1001우중수3상_정(032-054) 2014.10.1 12:56 PM 페이지046 SinsagoHitec

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우공비 B0X 기본서

97~98

쪽

Step Up

Ⅲ.이차방정식

10

두 근이 a, b이고 x¤ 의 계수가 1인 이차방정식 (x-a)(x-b)=0

x¤ +5x-3=0에서 근과 계수의 관계에 의하여 (두 근의 합)=-5, (두 근의 곱)=-3

이므로 두 근이 -5, -3이고 x¤ 의 계수가 1인 이차방정 식은

(x+5)(x+3)=0 ∴ x¤ +8x+15=0 따라서 a=8, b=15이므로

a-b=8-15=-7 -7

-5와 -3이 x¤ +ax+b=0의 근이므로 근과 계 수의 관계에 의하여

a=-{-5+(-3)}=8, b=-5_(-3)=15

∴ a-b=8-15=-7

08

두 근을 a, 2a로 놓고 근과 계수의 관계를 이용한다.

주어진 이차방정식의 한 근이 다른 한 근의 2배이 므로 두 근을 a, 2a (a>0)라 하면 근과 계수의 관계에 의하여

a+2a=k+1 yy㉠

a_2a=50 yy㉡

㉡에서 a¤ =25 ∴ a=5 (∵ a>0) a=5를 ㉠에 대입하면

5+2_5=k+1, k+1=15

∴ k=14 14

09

x¤ +(4-m)x+m¤ -3m=0에서 근과 계수의 관 계에 의하여

(두 근의 합)=-(4-m),

(두 근의 곱)=m¤ -3m ▶40%

-(4-m)=m¤ -3m에서

m¤ -4m+4=0, (m-2)¤ =0

∴ m=2 ▶60%

2

11

두 근이 a, b이고 x¤ 의 계수가 a인 이차방정식 a(x-a)(x-b)=0

두 근이 -;5!;, 1이고 x¤ 의 계수가 5인 이차방정식은 5 {x+;5!;}(x-1)=0, 5 {x¤ -;5$;x-;5!;}=0

∴ 5x¤ -4x-1=0

따라서 a=-4, b=1이므로 x¤ -4x-10=0

∴ x=-(-2)—"√(-2)¤ -1_(-10)

∴ x=2—'ß14 ^②

두 근의 합과 곱 구하기 상수 m의 값 구하기

40%

60%

채점 기준 배점

ax¤ +2b'x+c=0 (a+0) x=-b'—"√b'¤ -ac

a 근은 모두 양수이다.

m=2를 주어진 방정 식에 대입하면 x¤ +2x-2=0이므로

(두 근의 합)=-2, (두 근의 곱)=-2

12

두 근의 합이 m, 곱이 n이고 x¤ 의 계수가 a인 이차방 정식 a(x¤ -mx+n)=0

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=2, ab=-3

∴ + = =-;3@;,

∴ _ = =-;3!;

따라서 , 을 두 근으로 하는 이차방정식은 k {x¤ +;3@;x-;3!;}=0 (k+0)

꼴이므로 보기 중 구하는 이차방정식은 ④이다.

④ x¤ -2x-3=0에서 (x+1)(x-3)=0

∴ x=-1 또는 x=3

즉 a, b가 -1과 3이므로 , 은 -1과;3!;이다.

따라서 구하는 이차방정식은 k (x+1){x-;3!;}=0, 즉 k {x¤ +;3@;x-;3!;}=0 (k+0) 꼴이다.

1 b 1 a 1

b 1 a

1 ab 1 b 1 a

a+b ab 1 b 1 a

14

이차방정식의 두 근의 절댓값이 같고, 부호가 반대 (두 근의 합)=0, (두 근의 곱)<0

x¤ -(a¤ +a-12)x-a+2=0의 두 근의 절댓값이 같고 부호가 반대이므로

a¤ +a-12=0, (a+4)(a-3)=0

∴ a=-4 또는 a=3 yy㉠

이때 (두 근의 곱)<0이므로 -a+2<0

∴ a>2 yy㉡

㉠, ㉡에서 a=3 ④

13

조건 ㈎에서 x¤ +2x-a+3=0이 근을 갖지 않으 므로

2¤ -4_1_(-a+3)<0, 4+4a-12<0 4a<8 ∴ a<2 yy㉠ ▶40%

조건 ㈏에서 x¤ +ax+a=0이 중근을 가지므로 a¤ -4_1_a=0, a¤ -4a=0

a(a-4)=0

∴ a=0 또는 a=4 yy㉡ ▶40%

㉠, ㉡에서 a=0 ▶20%

0 조건 ㈎를 만족시키는 a의 값의 범위 구하기

조건 ㈏를 만족시키는 a의 값 구하기 조건 ㈎, ㈏를 만족시키는 a의 값 구하기

40%

40%

20%

채점 기준 배점

두 근의 합이-;3@;, 곱 이-;3!;인 이차방정식

k=3일 때,

3{x¤ +;3@;x-;3!;}=0

∴ 3x¤ +2x-1=0 D1001우중수3상_정(032-054) 2014.10.1 12:56 PM 페이지047 SinsagoHitec

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유제❶ 1부터 n까지의 합을 120이라 하면

=120, n¤ +n-240=0 (n+16)(n-15)=0

∴ n=15 (∵ n은 자연수)

따라서 1부터 15까지 더해야 한다. 15

n(n+1) 2

유제❷ 연속하는 두 짝수를 x, x+2라 하면 x(x+2)=120, x¤ +2x-120=0

(x+12)(x-10)=0 ∴ x=10 (∵ x는 짝수) 따라서 구하는 두 수는 10, 12이다. 10, 12

유제❸ 학생 수를 x라 하면 한 학생이 받는 사탕의 수는 x+3이므로

x(x+3)=108, x¤ +3x-108=0 (x+12)(x-9)=0 ∴ x=9 (∵ x>0)

따라서 학생은 9명이다. 9

유제❹-1 높이가:¢2£: m이므로 h=:¢2£:을 h=;2#;+25t-5t¤ 에 대입하면

:¢2£:=;2#;+25t-5t¤ , -5t¤ +25t-20=0 t¤ -5t+4=0, (t-1)(t-4)=0

∴ t=1 또는 t=4

따라서 야구공의 높이가 :¢2£: m가 되는 것은 1초 후 또

는 4초 후이다. 1초 또는 4초

유제❹-2 물체가 지면에 떨어지는 것은 높이가 0 m일 때이므로

70x-5x¤ =0, -5x(x-14)=0

∴ x=14 (∵ x>0)

따라서 물체가 지면에 떨어지는 것은 14초 후이다.

14초

2

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