유리함수

⑴ 10x€y€z€15x€y›z€=5x€y€z€_ 2

5x€y€z€_3y€ = 23y€

⑵ x€-x-6x€-4x+3 = (x-3)(x+2)

(x-3)(x- 1 )= x+2x-1

2-1

함수 y=;x#;에 x=-3, -2, -1, 1, 2, 3을 차례로 대입하 면 다음과 같다.

x -3 -2 -1 1 2 3

y -1 -;2#; -3 3 ;2#; 1

함수 y=;x#;의 그래프는 점 (-3, -1 ), {-2, -;2#;}, (-1, -3), (1, 3), {2, ;2#;}, (3, 1)을 지나는 쌍곡선이므로 오른쪽 그림과 같다.

따라서 점근선의 방정식은 x=0, y= 0

4-1

y

O 2 x

2 4

-2

-2 -4

-4 4

x3 y=

46 ^{| 정답과 해설}

답_046054_수1(하)2-6사.indd 46 2017. 3. 9. 오후 6:33

본문 | 120~131 ^쪽 확인 문제

⑴ 1x+2 - 1 x€+5x+6

= 1x+2 - 1 (x+2)(x+3)

= (x+3)-1(x+2)(x+3)

= x+2

(x+2)(x+3)

= 1x+3

⑵ x

x€+x-2+ x-1 x€+3x+2

= x

(x-1)(x+2)+ x-1 (x+1)(x+2)

= x(x+1)+(x-1)€(x-1)(x+1)(x+2)

= x€+x+x€-2x+1(x-1)(x+1)(x+2)

= 2x€-x+1

(x-1)(x+1)(x+2)

01-1

^셀파 ⑶, ⑷ 각 항의 분자를 분모로 나누어 분자의 차수를 낮춘다.

함수 y=-;x#;에 x=-3, -2, -1, 1, 2, 3을 대입하면 다 음과 같다.

x -3 -2 -1 1 2 3

y 1 ;2#; 3 -3 -;2#; -1

함수 y=-;x#;의 그래프는 점 (-3, 1), {-2, ;2#;}, (-1, 3), (1, -3),

{2, -;2#;}, (3, -1)을 지나는 쌍곡선이므로 오른쪽 그림과 같다.

따라서 점근선의 방정식은x=0, y=0

4-2

y

O 2 x

2 4

-2 -2 -4

-4 4

y=- x3

⑴ x+2x(x+1) _ x+1x(x+2) = 1x€

⑵ xx+1 _ x€-1

x€+2x = xx+1 _(x+1)(x-1) x(x+2) = x-1x+2

⑶ x-2x€-x/ x€-x-2x = x-2x€-x_ x x€-x-2 = x-2x(x-1) _ x

(x-2)(x+1) = 1

(x-1)(x+1)

02-1

^셀파 먼저 분자, 분모를 인수분해한 다음 공통인수로 약분 한다.

⑶ x+2x+1 -x+3 x+2

= (x+1)+1x+1 - (x+2)+1x+2

={1+ 1x+1 }-{1+ 1 x+2 }

= 1x+1 - 1 x+2

= x+2-(x+1)(x+1)(x+2)

= 1

(x+1)(x+2)

⑷ 5x+9x+2 -10x-6 2x-1

= 5(x+2)-1x+2 -5(2x-1)-1 2x-1

={5- 1x+2 }-{5- 1 2x-1 }

=- 1x+2 + 1 2x-1

= -(2x-1)+x+2 (x+2)(2x-1)

= -2x+1+x+2 (x+2)(2x-1)

= -x+3 (x+2)(2x-1)

6. 유리함수 | 47

답_046054_수1(하)2-6사.indd 47 2017. 3. 2. 오후 7:51

⑴ 함수 y=- 2x +3의 그래프는 y=-;x@;의 그래프를 y축의 방

=;2!; {;2!;-;4!;+;4!;-;6!;+;6!;-;8!;+;8!;-;1¡0;}

=;2!; {;2!;-;1¡0;}=;5!;

본문 | 125 ^쪽

y= x-2x+1 =(x+1)-3

y= 2x-1 x-1 =2(x-1)+1 x-1 = 1

x-1 +2

따라서 함수 y= 2x-1x-1 의 그래프는 두 점근선 x=1, y=2의 교점 (1, 2)에 대하여 대칭이므로 a=1, b=2

∴ ab=2

07-1

^{셀파 유리함수 y=}_x-p ^k +q (k+0)의 그래프는 두 점근 선의 교점 (p, q)에 대하여 대칭이다.

점근선의 방정식이 x=2, y=-3이므로 y= kx-2 -3 (k+0) yy㉠

㉠이 점 (3, 0)을 지나므로 0= k3-2 -3 ∴ k=3 k=3을 ㉠에 대입하면 y= 3x-2 -3=-3x+9

x-2

따라서 y= -3x+9 x-2 가 y=bx+c

x+a 와 같으므로 a=-2, b=-3, c=9

08-1

^셀파 점근선의 방정식이 x=p, y=q인 유리함수는 y= k

x-p +q (k+0) 꼴임을 이용한다.

y

O2 x

-3 3

y= x+3 x+1 =(x+1)+2 x+1 = 2

x+1 +1

따라서 함수 y= x+3 x+1 의 그래프는 두 점근선 x=-1, y=1의 교점 (-1, 1)을 지나고 기울기가 \1인 직선에 대하여 대칭이다.

즉, 직선 y=x+k는 점 (-1, 1)을 지나므로 1=-1+k ∴ k=2

07-2

^셀파 직선 y=x+k는 함수 y=x+3

x+1 의 그래프의 두 점 근선의 교점을 지난다.

주어진 그래프에서 점근선의 방정식이 x=-1, y=3이므로 y= kx+1 +3 (k+0) yy㉠

㉠이 점 (1, -3)을 지나므로

-3= k1+1 +3, ;2K;=-6 ∴ k=-12 k=-12를 ㉠에 대입하면

y= -12x+1 +3=3x-9 x+1 따라서 y= 3x-9x+1 가 y=bx+c

x+a 와 같으므로 a=1, b=3, c=-9

08-2

^셀파 그래프에서 점근선의 방정식이 x=-1, y=3임을 이 용하여 식을 세운다.

y= x-1x-2 =(x-2)+1 x-2 = 1

x-2 +1 따라서 3<x<4에서

y= x-1x-2 의 그래프는 오른쪽 그림 과 같으므로

x=3일 때 최댓값：2, x=4일 때 최솟값：;2#;

y

O x

1 2

2 1 3 4 23

y=x-2x-1

09-1

^셀파 그래프를 그린 다음 정의역의 양 끝값에서의 함숫값을 구한다.

y= -2x+a x-1 =-2(x-1)-2+a

x-1 = a-2 x-1 -2 이때 a<2, 즉 a-2<0이므로

y= a-2 x-1 -2의 그래프는 오른쪽 그 림과 같다.

-4<x<0에서 함수 y= -2x+a x-1 는 x=0일 때 최댓값 3을 가지므로

-1 =3 ∴ a=-3a

09-2

^{셀파 y=}x-p ^k +q(k+0) 꼴로 변형한 다음 k의 부호를 살펴본다.

y

O x

y

O x

a>2

-4 -4

-2 3

y=-2 x=1

1

6. 유리함수 | 51

답_046054_수1(하)2-6사.indd 51 2017. 3. 9. 오후 6:33

⑴ 함수 y=- 1 x+2 -3을 x에 대하여 정리하면 - 1 x+2 =y+3, x+2=- 1

y+3 ∴ x=- 1 y+3 -2

x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는 y=- 1

x+3 -2

⑵ 함수 y= -5x+4 2x-3 를 x에 대하여 정리하면 (2x-3)y=-5x+4, 2xy-3y=-5x+4 (2y+5)x=3y+4 ∴ x= 3y+4 2y+5 x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는 y= 3x+42x+5

10-1

^셀파 함수 y=f(x)의 역함수는 y=f(x)를 x에 대하여 정 리한 다음 x와 y를 서로 바꾸어 구한다.

➊ x와 y를 서로 바꾸어 구하기

역함수를 구할 때, 가장 많이 사용하는 방법으로 x와 y를 서로 바꾸어 역함수를 구한다.

확인 문제10-1에서는 이 방법을 이용하여 역함수를 구한 것 이다.

➋ 점근선을 이용하여 구하기

함수 y= k x-p +q(k+0) 꼴로 표현되어 있을 때는 점근 선을 이용한다.

점근선이 x=



^{p, y=}



q인 함수 y= k x-p +q의 역함수는 점근선이 x=



^{q, y=}



p인 함수 y= k x-q +p이다.

예 y= 3x-1 +2의 역함수는 y= 3

x-2 +1이다.

점근선：x=1, y=2 점근선：x=2, y=1

➌ 공식을 이용하여 구하기

함수 y= ax+bcx+d (c+0, ad-bc+0) 꼴로 표현되어 있을 때는 공식을 이용한다.

예 y= -x+1x-2 의 역함수는 y=2x+1 x+1 이다.

세미나 유리함수의 역함수 구하기

함수 y= -3x+1 x-2 을 x에 대하여 정리하면 y(x-2)=-3x+1, xy-2y=-3x+1 (y+3)x=2y+1 ∴ x= 2y+1 y+3

x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는 y= 2x+1 x+3 따라서 y= 2x+1 x+3 이 y=bx+c

x+a 와 같으므로 a=3, b=2, c=1

10-2

^{셀파 함수 y=-3x+1}_x-2 ^{의 역함수는 y=bx+c} _x+a ^이다.

{1- 1x }_ 2x

1-x =x-1 x _ 2x

1-x

= x-1x _{- 2x

x-1 }=-2 따라서 구하는 답은 ①

02

^{셀파 1-};x!;을 통분하여 계산한 다음 공통인수로 약분한다.

1-x +1 1

x+1 + 2

x€+1+ 4x›+1

={- 1x-1 + 1

x+1 }+ 2

x€+1+ 4x›+1

=[-(x+1)+(x-1)

x€-1 + 2x€+1 ]+ 4x›+1

={ -2x€-1+ 2x€+1 }+ 4x›+1

= -2(x€+1)+2(x€-1) x›-1 + 4x›+1

= -4x›-1+ 4x›+1

= -4(x›+1)+4(x›-1) (x›-1)(x›+1)

=- 8x°-1

01

^셀파 곱셈 공식 (a-b)(a+b)=a€-b€을 이용한다.

본문 | 132~133 ^쪽 연습 문제

52 ^{| 정답과 해설}

답_046054_수1(하)2-6사.indd 52 2017. 3. 9. 오후 6:33

유리함수 y=;xK;(k+0)에서 |k|의 값이 클수록 그래프가 원점에 서 멀어진다.

① k=1이므로 |k|=1

② k=-2이므로 |k|=2

③ y=- 32x = -;2#;

x 에서 k=-;2#;이므로 |k|=;2#;

④ y= 34x =

;4#;

x 에서 k=;4#;이므로 |k|=;4#;

⑤ y=- 52x = -;2%;

x 에서 k=-;2%;이므로 |k|=;2%;

따라서 |k|의 값이 가장 큰 것은 ⑤

04

^{셀파 유리함수 y=};xK; (k+0)에서 |k|의 값을 비교한다.

(x+2)(x-1)=x€+x-2이므로 등식 ax+2 - b

x-1 = x-7

x€+x-2의 양변에 (x+2)(x-1)을 곱하면

a(x-1)-b(x+2)=x-7 (a-b)x-a-2b=x-7

이 식이 x에 대한 항등식이므로 양변의 동류항의 계수를 비교하면 a-b=1, -a-2b=-7

두 식을 연립하여 풀면 a=3, b=2

∴ ab=3_2=6

03

^셀파 양변에 (x+2)(x-1)을 곱한다.

y= -2x+6x-2 =-2(x-2)+2

x-2 = 2x-2 -2

함수 y= 2x+3 +1의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동하면

y= 2

x-m+3 +n+1

이 함수가 y= 2x-2 -2와 같으므로 -m+3=-2, n+1=-2 m=5, n=-3　　∴ m+n=2 따라서 구하는 답은 ③

05

^{셀파 함수 y=-2x+6}_x-2 ^{을 y=}_x-p^k +q (k+0) 꼴로 변형한 다.

 유리함수 y= ax-bx-3 의 그래프가 점 (1, 1)을 지나므로 1= a-b1-3 ∴ a-b=-2 …… ㉠

 y= ax-bx-3 =a(x-3)+3a-b

x-3 = 3a-bx-3 +a 이 그래프가 y=3을 점근선으로 가지므로

a=3

 a=3을 ㉠에 대입하면 3-b=-2 ∴ b=5

 ∴ a+b=3+5=8

채점 기준 배점

a, b 사이의 관계식을 구한다. 30%

a의 값을 구한다. 30%

b의 값을 구한다. 30%

a+b의 값을 구한다. 10%

06

^{셀파 유리함수 y=ax-b}_x-3 ^{를 y=}_x-p^k +q (k+0) 꼴로 변 형한 다음 점근선의 방정식을 구한다.

유리함수의 그래프의 평행이동

함수 y= 2x+3 +1의 그래프는 y=;x@;의 그래프를 x축의 방 향으로 -3만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이다.

또 y= 2x-2 -2의 그래프는 y=;x@;의 그래프를 x축의 방향 으로 2만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 것이다.

y=;x@;

y= 2x+3 +1 ^{y축：-3x축：5} y= 2 x-2 -2

x축：2 y축：-2 x축：-3

y축：1 LEC TURE

주어진 그래프에서 점근선의 방정식이 x=1, y=2이므로 -a=1, c=2 ∴ a=-1, c=2

유리함수 y= bx-1 +2의 그래프가 점 (0, 3)을 지나므로

3= b-1 +2　　∴ b=-1

∴ a=-1, b=-1, c=2

07

^셀파 그래프에서 점근선과 지나는 한 점을 이용한다.

6. 유리함수 | 53

답_046054_수1(하)2-6사.indd 53 2017. 3. 10. 오후 3:22

y= x+3x+2 =(x+2)+1 x+2 = 1

x+2 +1 -1<x<a에서

x=-1일 때 최댓값 b를 가지므로 b= -1+3-1+2 ∴ b=2 x=a일 때 최솟값 ;4%;를 가지므로

;4%;=a+3

a+2 , 5a+10=4a+12 ∴ a=2

∴ a+b=4

따라서 구하는 답은 ④

10

^셀파 그래프를 그린 다음 -1<x<a에서 최대, 최소가 되는 x의 값을 구한다.

x y

O b

-2-1 1 a 54

y= x+2x+3

f(x)= bx+2x-a yy ㉠

의 그래프에서 점근선의 방정식은 x=2, y=-3이므로 f(x)= kx-2 -3 (k+0)

즉, f(x)= -3x+6+kx-2 yy ㉡

㉠, ㉡의 계수를 비교하면 a=2, b=-3

∴ f(x)= -3x+2x-2

이때 f ^-1(1)=m이라 하면 f(m)=1이므로 -3m+2

m-2 =1, -3m+2=m-2 -4m=-4 ∴ m=1

∴ f ^-1(1)=1

12

^셀파 유리함수 f(x)=bx+2

x-a 의 그래프가 두 직선 x=2, y=-3과 만나지 않으므로 두 점근선의 방정식은 x=2, y=-3 이다.

유리함수 y= x+13x+a 을 x에 대하여 정리하면 (3x+a)y=x+1, 3xy+ay=x+1

(3y-1)x=-ay+1 ∴ x= -ay+13y-1 x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는 y= -ax+13x-1 ∴ f ^-1(x)= -ax+13x-1

함수 y= x+13x+a 의 역함수가 자기 자신과 일치하므로 -ax+1

3x-1 = x+1

3x+a ∴ a=-1 따라서 구하는 답은 ②

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