무리함수

7. 무리함수 | 55

답_055063_수1(하)2-7-사.indd 55 2017. 3. 9. 오후 6:34

본문 | 140~151 ^쪽 확인 문제

⑴ '3+1>0이므로

"ƒ('3+1)€=|'3+1|='3+1

⑵ 1-'2<0이므로

"ƒ(1-'2 )€=|1-'2|=-(1-'2 )='2-1

⑶ a>1에서 a-1>0이므로

"ƒ(a-1)€=|a-1|=a-1

| 참고 |

a의 값의 범위에 따라 식의 값은 다음과 같다.

1 a>1일 때, "ƒ(a-1)€=|a-1|=a-1

2 a<1일 때, "ƒ(a-1)€=|a-1|=-(a-1)=1-a

⑷ a는 실수이므로 a€-2a+3=(a-1)€+2>0 ∴ "ƒ(a€-2a+3)€=|a€-2a+3|=a€-2a+3

01-1

^셀파 "∂A€=|A|임을 이용한다.

y=-'ß3x에 x 대신 -x를 대입하면 y=-'ß-3x이다.

즉, y=-'ß3x의 그래프와 y=-'ß-3x의 그래프는 y축 에 대하여 대칭이므로 y=-'ß-3x의 그래프는 오른 쪽 그림과 같다.

∴ 정의역：{x|x<0}, 치역：{y|y<0}

4-2

^y

O 2 x

2 4

-2 -2 -4

-4 4

y

O 2 x

2 4

-2 -2 -4

-4 4

y=- -3x

y='ß2x에 x 대신 -x를 대입 하면 y='ß-2x이다.

즉, y='ß2x의 그래프와 y='ß-2x의 그래프는 y 축에 대하여 대칭이므로 y='ß-2x의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.

∴ 정의역：{x|x < 0}, 치역：{y|y>0}

4-1

^y

O 2 x

2 4

-2 -2 -4

-4 4

y= -2x

방정식 f(x, y)=0이 나타내는 도형을 축 또는 원점에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 다음과 같다.

➊ x축에 대하여 대칭이동 ⇨ f(x, -y)=0

➋ y축에 대하여 대칭이동 ⇨ f(-x, y)=0

➌ 원점에 대하여 대칭이동 ⇨ f(-x, -y)=0

무리함수 y='x의 그래프를

➊ x축에 대하여 대칭이동하면 y 대신 -y를 대입해야 하므로 -y='x ∴ y=-'x

➋ y축에 대하여 대칭이동하면 x 대신 -x를 대입해야 하므로 y='ß-x

➌ 원점에 대하여 대칭이동하면 x 대신 -x, y 대신 -y를 대 입해야 하므로

-y='ß-x ∴ y=-'ß-x

y= -x

y=- -x y=- x y y= x

O x

x축 대칭 y축 대칭

원점 대칭 세미나 도형의 대칭이동

⑴ 함수 y="∂x€=|x|는 근호 안에 문자가 없으므로 ^무리 함수가 아니다.

⑵ 함수 y='2x+1은 근호 안에 문자가 없으므로 ^무리함 수가 아니다.

⑶ 함수 y=-'ß-x+5에서 -'ß-x+5는 무리식이므로 이 함수는 무리함수이다.

(근호 안의 식의 값)>0에서 -x+5>0 ∴ x<5 따라서 정의역은 {x|x<5}

⑷ 함수 y=-'ß2x+3에서 -'ß2x+3은 무리식이므로 이 함수는 무리함수이다.

(근호 안의 식의 값)>0에서 2x>0 ∴ x>0 따라서 정의역은 {x|x>0}

3-2

56 ^{| 정답과 해설}

답_055063_수1(하)2-7-사.indd 56 2017. 3. 9. 오후 6:34

"ƒx€-4x+4="ƒ(x-2)€=|x-2|,

"ƒx€+2x+1="ƒ(x+1)€=|x+1|이므로

"ƒx€-4x+4-"ƒx€+2x+1=|x-2|-|x+1|

⑴ x<-1일 때, x-2<0, x+1<0

∴ |x-2|-|x+1| =-(x-2)+x+1

=-x+2+x+1=3

⑵ -1<x<2일 때, x-2<0, x+1>0이므로 ∴ |x-2|-|x+1| =-(x-2)-(x+1)

=-x+2-x-1=-2x+1

⑶ x>2일 때, x-2>0, x+1>0이므로 ∴ |x-2|-|x+1| =x-2-(x+1)

=x-2-x-1=-3

01-2

^셀파 근호 안의 식을 완전제곱식으로 고쳐서 절댓값으로 나 타낸 다음 주어진 범위에서 절댓값 기호를 없앤다.

x=2+'3에서 x-2='3의 양변을 제곱하면 x€-4x+4=3 ∴ x€-4x+1=0

⑴ x€-4x+3=(x€-4x+1)+2=0+2=2

⑵ 3x€-5x-7 =3(x€-4x+1)+7x-10

=0+7x-10

=7(2+'3 )-10

=4+7'3

⑶ x‹-4x€-x =x(x€-4x+1)-2x

=0-2x=-2(2+'3 )

=-4-2'3

⑷ x-1

x€-4x+1

Ϸ

x‹-5x€+5x+2 x‹-4x€+x

-x€+4x+2

-x€+4x-1

3

x‹-5x€+5x+2 =(x€-4x+1)(x-1)+3=3

| 다른 풀이 | x€-4x+1=0일 때 x€=4x-1

x‹=4x€-x=4(4x-1)-x=15x-4 이므로

x‹-5x€+5x+2

=15x-4-5(4x-1)+5x+2 =15x-4-20x+5+5x+2 =3

03-1

^셀파 x=a+'b 꼴은 x-a='b의 양변을 제곱하여 x€+Ax+B=0 꼴의 식을 구한다.

⑴ 3

'ßa+3-'a= 3('ßa+3+'a ) ('ßa+3-'a )('ßa+3+'a )

= 3('ßa+3+'a )a+3-a

='ßa+3+'a

⑵ 1

'x-1- 1

'x+1= ('x+1)-('x-1)('x-1)('x+1)

= 'x+1-'x+1x-1

= 2x-1

⑶ 1

'a+'b- 1

'a-'b= ('a-'b )-('a+'b )('a+'b )('a-'b )

= 'a-'b -'a-'ba-b

= -2'ba-b

⑷ 1

2+'ßx+4 + 1

2-'ßx+4 = 2-'ßx+4+2+'ßx+4(2+'ßx+4)(2-'ßx+4)

= 4

4-(x+4)

=-;x$;

02-1

^셀파 분모를 유리화하거나 통분하여 계산한다.

x= '5-1 2 에서 2x='5-1, 2x+1='5 이 식의 양변을 제곱하면

4x€+4x+1=5, 4x€+4x-4=0

∴ x€+x-1=0 yy㉠

㉠을 이용하여 주어진 식을 변형하면 x‹+x€-x+5

x€+x = x(x€+x-1)+5x€+x

= 0+51 =5

03-2

^{셀파 x='5-1}2 에서 2x+1='5의 양변을 제곱한다.

7. 무리함수 | 57

답_055063_수1(하)2-7-사.indd 57 2017. 3. 2. 오후 7:52

⑴ y=-'ßx-1+2의 그래프는

⑵ y='ß-3x+6+1="ƒ-3(x-2)+1 y='ß-3x+6+1의 그래프는 x+a>0에서 x>-a

이때 정의역이 {x|x>2}이므로 -a=2 ∴ a=-2

또 치역은 -'ßx+a<0이므로 y=-'ßx+a+b<b에서 y<b 이때 치역은 {y|y<1}이므로 b=1

⇦ ax>-b (a>0)

⇦ ax>-b (a<0)

⇦ 'ßax+b+c>0+c

⇦ -'ßax+b+c<0+c LEC TURE

58 ^{| 정답과 해설}

답_055063_수1(하)2-7-사.indd 58 2017. 3. 9. 오후 6:34

⑹ y=-æ√-{x+;2%;}+1의

⑶ y='ß4-2x-2="ƒ-2(x-2)-2 y='ß4-2x-2의 그래프는

⑷ y=-'ß3x+2-5=-Ƙ3{x+;3@;}-5 y=-'ß3x+2-5의 그래프

⑸ y=-'ß3x-9+3=-"ƒ3(x-3)+3 y=-'ß3x-9+3의 그래프는

⑹ y=-'ß5-2x+;2!;=-Ƙ-2{x-;2%;}+;2!;

y=-'ß5-2x+;2!;의 그래프는

⑴ y='ß2x+4="ƒ2(x+2) y='ß2x+4 의 그래프는

y='ß2x 의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼 평행이동 한 것이므로 오른쪽 그림과 같다.

∴ 정의역：{x|x>-2}, 치역：{y|y>0}

⑵ y='ß1-x+;3!;="ƒ-(x-1)+;3!;

y='ß1-x+;3!;의 그래프는

주어진 그래프는 무리함수 y='ßax (a<0)의 그래프를 x축의 방 향으로 2만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이므로 y="ƒa(x-2)-1 (a<0) yy ㉠

㉠이 점 (0, 1)을 지나므로

1='ß-2a-1, 'ß-2a=2, -2a=4 ∴ a=-2 a=-2를 ㉠에 대입하면

y="ƒ-2(x-2)-1='ß-2x+4-1

y='ß-2x+4-1이 y='ßax+b+c와 같으므로 a=-2, b=4, c=-1

06-1

^셀파 그래프가 왼쪽 위로 항하면 y="ƒa(x-p)+q (a<0) 꼴이다.

주어진 그래프는 무리함수 y=-'ßax (a>0)의 그래프를 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이므로 y=-"ƒa(x-3)+2 (a>0) yy ㉠

㉠이 점 (4, 0)을 지나므로 0=-'a+2, 'a=2 ∴ a=4 a=4를 ㉠에 대입하면

y=-"ƒ4(x-3)+2=-'ß4x-12+2

y=-'ß4x-12+2가 y=-'ßax+b+c와 같으므로 a=4, b=-12, c=2

06-2

^셀파 그래프가 오른쪽 아래로 항하면 y=-"ƒa(x-p)+q (a>0) 꼴이다.

y='ß4x+8-1="ƒ4(x+2)-1

y='ß4x+8-1의 그래프는 y='ß4x의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이다.

-1<x<2에서 함수

y='ß4x+8-1의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로

x=2일 때 최댓값 3, x=-1일 때 최솟값 1을 가진다.

∴ 최댓값：3, 최솟값：1

07-1

^셀파 -1<x<2에서 함수 y='ß4x+8-1의 그래프를 그 려 본다.

y

O x

-1 -2-1

1 2 3

y= 4x+8-1

y='ßx+3+k의 그래프는 y='x의 그래프를 x축의 방향으로 -3만큼, y축의 방향으로 k만큼 평행이동한 것이다.

-2<x<1에서 무리함수

y='ßx+3+k의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 x=-2일 때 최 솟값 k+1=2 ∴ k=1 따라서 최댓값은 x=1일 때 k+2=1+2=3

07-2

^셀파 무리함수 y='ßx+3+k의 그래프는 오른쪽 위로 향 한다.

k k+1 k+2

1 O

y

-3 -2 x

y= x+3+k

함수 y=-'ß3x+6에서 치역은 {y|y<0}이고, 3x+6>0에서 정의역은 {x|x>-2}이므로 역함수의 정의역과 치역은

정의역：{x|x<0}, 치역：{y|y>-2}

y=-'ß3x+6의 양변을 제곱하여 x에 대하여 정리하면 y€=3x+6, 3x=y€-6 ∴ x=;3!;y€-2

x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는 y=;3!;x€-2 (x<0)

08-1

^셀파 원래 함수의 치역이 역함수의 정의역이 되고, 원래 함 수의 정의역은 역함수의 치역이 된다.

무리함수 y='ßax의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방 향으로 q만큼 평행이동한 식은 y='ßax에 x 대신 x-p, y 대신 y-q를 대입하면

y-q="ƒa(x-p) ∴ y="ƒa(x-p)+q yy ㉠

㉠이 y='ß3x+3-2="ƒ3(x+1)-2와 같으므로 a=3, p=-1, q=-2

05-1

^셀파 함수 y='ß3x+3-2와 무리함수 y="ƒa(x-p)+q의 계수를 비교한다.

y='ß2x+4+3="ƒ2(x+2)+3에 x 대신 x-m, y 대신 y-n 을 대입하면

y-n="ƒ2(x-m+2)+3

∴ y="ƒ2(x-m+2)+3+n yy ㉠

㉠이 y='ß2x-2-1="ƒ2(x-1)-1과 같으므로 -m+2=-1, 3+n=-1

∴ m=3, n=-4

05-2

^{셀파 y=}'ß2x+4+3에 x 대신 x-m, y 대신 y-n을 대입한다.

60 ^{| 정답과 해설}

답_055063_수1(하)2-7-사.indd 60 2017. 3. 9. 오후 6:34

함수 y=-(x-2)€-3(x<2)에서 치역이 {y|y<-3}이므로 역함수의 정의역은 {x|x<-3}이다.

y=-(x-2)€-3에서 (x-2)€=-y-3

∴ x-2=-'ß-y-3

그런데 x<2이므로 x-2=-'ß-y-3

∴ x=-'ß-y-3+2

x와 y를 서로 바꾸면 역함수는 y=-'ß-x-3+2 이 함수가 y=-'ßax+b+c와 같으므로

a=-1, b=-3, c=2

08-2

^셀파 함수 f(x)의 역함수가 f ^-1(x)이면 f ^-1(x)의 역함수 는 f(x)이다.

두 함수 y='ßx-2+2와

x='ßy-2+2는 x와 y를 서로 바꾼 것이므로 서로 역함수이다.

따라서 두 함수의 그래프의 교점은 함수 y='ßx-2+2의 그래프와 직 선 y=x의 교점과 같다.

'ßx-2+2=x에서 'ßx-2=x-2 양변을 제곱하면 x-2=(x-2)€

x-2=x€-4x+4, x€-5x+6=0 (x-2)(x-3)=0 ∴ x=2 또는 x=3 즉, 두 그래프의 교점의 좌표는 (2, 2)와 (3, 3)이다.

따라서 두 교점 A, B를 A(2, 2), B(3, 3)이라 하면 AB’="ƒ(3-2)€+(3-2)€='2

확인 체크 01

셀파 특강

O 2 2 3

3 y

x y= x-2+2 x= y-2+2

y=x

( f@( g@f )^-1@f )(3) =( f@f ^-1@g^-1@f )(3)

=(I@g^-1@f )(3)

=( g^-1@f )(3)

=g^-1( f(3)) (단, I는 항등함수) f(x)= 2x-1x-2 , g(x)='ßx-2+2에서

f(3)= 6-13-2 =5이므로 g^-1( f(3))=g^-1(5) 이때 g^-1(5)=k로 놓으면 g(k)=5

'ßk-2+2=5에서 'ßk-2=3

양변을 제곱하면 k-2=9 ∴ k=11

∴ ( f@( g@f )^-1@f )(3)=11

09-1

^{셀파 (g@f )-1=f -1@g-1를 이용한다.}

g(2)=( f ^-1@f ^-1)(2)=f ^-1( f ^-1(2)) yy㉠

f ^-1(2)=k로 놓으면 f(k)=2 'ßk+1-1=2, 'ßk+1=3

양변을 제곱하면 k+1=9 ∴ k=8 f ^-1(2)=8을 ㉠에 대입하면 g(2)=f ^-1(8) f ^-1(8)=m으로 놓으면 f(m)=8

'ßm+1-1=8, 'ßm+1=9

양변을 제곱하면 m+1=81 ∴ m=80

∴ g(2) =f ^-1( f ^-1(2))=f ^-1(8)=80

09-2

^{셀파 g(2)=( f -1@f -1)(2)=f -1( f -1(2))}

x-k='ßx-2의 양변을 제곱하면 (x-k)€=x-2

x€-2kx+k€=x-2

∴ x€-(2k+1)x+k€+2=0 yy ㉠

㉠의 판별식을 D라 하면 D=(2k+1)€-4(k€+2)=0

4k€+4k+1-4k€-8=0, 4k-7=0

∴ k=;4&;

10-1

^{셀파 x-k=}'ßx-2의 양변을 제곱하여 이차방정식으로 정 리한 다음 판별식을 이용한다.

y y=x-k

O x

y= x-2 2

함수 y='ß2x+4="ƒ2(x+2)의 그래 프는 오른쪽 그림과 같다.

1 직선 y=x+k가 점 (-2, 0)을 지날 때, 0=-2+k ∴ k=2

2 직선 y=x+k가 함수 y='ß2x+4의 그래프와 접할 때, x+k='ß2x+4의 양변을 제곱하면

(x+k)€=2x+4, x€+2kx+k€=2x+4 ∴ x€+2(k-1)x+k€-4=0 yy ㉠ ㉠의 판별식을 D라 하면

;4Î;=(k-1)€-(k€-4)=0, k€-2k+1-k€+4=0 -2k+5=0 ∴ k=;2%;

함수 y='ß2x+4의 그래프와 직선 y=x+k가 서로 다른 두 점 에서 만나려면 직선이 1일 때와 1과 2 사이에 있을 때이므로 2<k<;2%;

10-2

^셀파 직선 y=x+k가 점 (-2, 0)을 지날 때와 두 그래프 가 접할 때의 k의 값을 구한다.

y

O x

-2 2

(ii) (i) y= 2x+4 y=x+k

7. 무리함수 | 61

답_055063_수1(하)2-7-사.indd 61 2017. 3. 9. 오후 6:34

본문 | 152~153 ^쪽 연습 문제

Ƙ{x+;x!;}€-4=Ƙx€+2+ 1x€-4

=Ƙx€-2+ 1x€=Ƙ{x-;x!;}€

=|x-;x!;|

Ƙ{x-;x!;}€+4=Ƙx€-2+ 1x€+4

=Ƙx€+2+ 1x€=Ƙ{x+;x!;}€

=|x+;x!;|

0<x<1일 때, ;x!;>1이므로 x-;x!;<0, x+;x!;>0

∴ (주어진 식)=|x-;x!;|+|x+;x!;|

=-{x-;x!;}+{x+;x!;}

=-x+;x!;+x+;x!;

= ;x@;

01

^셀파 근호 안의 식을 완전제곱식으로 변형하여 절댓값으로 나 타낸다.

1+'ßx+11 + 1 1-'ßx+1

= (1-'ßx+1)+(1+'ßx+1) (1+'ßx+1)(1-'ßx+1)

= 2

1-(x+1)= 2-x

= 2

-(1+'2 )

= 2(1-'2 ) -(1+'2 )(1-'2 )

= 2(1-'2 )-(1-2 )=2(1-'2 ) 따라서 구하는 답은 ③

02

^셀파 주어진 무리식의 분모를 통분하여 간단히 한 다음 x=1+'2를 대입한다.

y=-'ß3-2x+1=-Ƙ-2{x-;2#;}+1 의 그래프는 y=-'ß-2x의 그래프 를 x축의 방향으로 ;2#;만큼, y축의 방 향으로 1만큼 평행이동한 것이므로 오른쪽 그림과 같다.

④ 제2사분면을 지나지 않는다. (거짓)

⑤ -'ß3-2x+1=0에서 'ß3-2x=1

양변을 제곱하면 3-2x=1, 2x=2 ∴ x=1 즉, x축과 점 (1, 0)에서 만난다. (참)

따라서 옳지 않은 것은 ④

03

^{셀파 y=-}'ß3-2x+1=-Ƙ-2{x-;2#;}+1로 변형한 다음 그래프를 그린다.

y

O 1 x

1

32 y=- 3-2x+1

두 점 P(a, b), Q(c, d )가 모두 함수 y='x의 그래프 위의 점이 므로 b='a, d='c이다.

∴ a=b€, c=d €

또 주어진 조건에서 b+d=2이므로 직선 PQ의 기울기는

d-b

c-a = d-b

d €-b€= d-b (d+b)(d-b)

= 1d+b= ;2!;

05

^셀파 두 점 P(a, b), Q(c, d )를 지나는 직선의 기울기는 d-bc-a이다.

 y-b='ßa-x>0에서 y>b 이때 치역이 {y|y>1}이므로 b=1

 함수 y='ßa-x+1의 그래프가 점 (-1, 3)을 지나므로 3='ßa+1+1, 'ßa+1=2

양변을 제곱하면 a+1=4 ∴ a=3

 주어진 함수의 식은 y='ß3-x+1이므로 3-x>0에서 x<3

따라서 정의역은 {x|x<3}

채점 기준 배점

b의 값을 구한다. 30%

a의 값을 구한다. 30%

정의역을 구한다. 40%

04

^{셀파 무리함수 y=}"ƒa(x-p)+q(a+0)의 치역은 {y|y>q}

임을 이용한다.

62 ^{| 정답과 해설}

답_055063_수1(하)2-7-사.indd 62 2017. 3. 9. 오후 6:34

함수 y='ßax의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으

∴ f(-5)=-"ƒ-4(-5-4)+2=-4 따라서 구하는 답은 ④

소수는 2, 3, 5, 7이므로

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