10 이하의 소수는 2, 3, 5, 7이므로 A={2, 3, 5, 7} ⑴ 1은 집합 A의 원소가 아니므로 1 I A ⑵ 2는 집합 A의 원소이므로 2 G A ⑶ 3은 집합 A의 원소이므로 3 G A ⑷ 4는 집합 A의 원소가 아니므로 4 I A
1-1
⑴ {x|x는 5 이하의 자연수}={1, 2, 3, 4, 5} ⑵ {x|x는 4의 배수}={ 4 , 8, 12, 16, y} ⑶ {1, 2, 4, 8}={x|x는 8 의 약수} ⑷ {3, 6, 9, 12, 15, y}={x|x는 3의 배수}2-1
⑴ {x|x는 15의 약수}={1, 3, 5, 15} ⑵ {x|x는 100보다 작은 4의 배수} ={4, 8, 12, 16, y, 96} ⑶ {1, 3, 9}={x|x는 9의 약수} ⑷ {1, 2, 3, y, 9}={x|x는 10보다 작은 자연수} | 참고 | ⑷ 주어진 집합을 다음과 같이 나타낼 수도 있다. {1, 2, 3, y, 9} ={x|x는 10보다 작은 자연수} ={x|x는 10 미만의 자연수} ={x|x는 9 이하의 자연수}2-2
16의 약수는 1, 2, 4, 8, 16이므로 A={1, 2, 4, 8, 16} ⑴ 1은 집합 A의 원소이므로 1 G A ⑵ 4는 집합 A의 원소이므로 4 G A ⑶ 6은 집합 A의 원소가 아니므로 6 I A ⑷ 10은 집합 A의 원소가 아니므로 10 I A1-2
본문 | 11, 13 쪽 개념 익히기1.
집합
⑴ 소수는 2, 3, 5, 7, 11, y이므로 집합 {1, 3, 5}의 원소 중 1이 집합 {x|x는 소수}에 속하지 않는다. ∴ {1, 3, 5} E {x|x는 소수} ⑵ 6의 약수는 1, 2, 3, 6 이므로 집합 {x|x는 6의 약수}의 모든 원소가 집합 {1, 2, 3, 4, 5, 6}에 속한다. ∴ {x|x는 6의 약수} A {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⑶ {2x|x는 자연수}={2, 4, 6, 8 , y} {x|x는 자연수}={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, y} ∴ {2x|x는 자연수} A {x|x는 자연수}3-1
⑴ {x|x는 홀수}={1, 3, 5, 7, 9, y} 이므로 {1, 3, 5, 7}의 모든 원소가 집합 {x|x는 홀수} 에 속한다. ∴ {1, 3, 5, 7} A {x|x는 홀수} ⑵ {x|x는 6 미만의 짝수}={2, 4} 이므로 집합 {2, 4, 6}의 원소 중 6이 집합 {x|x는 6 미만의 짝수}에 속하지 않는다. ∴ {2, 4, 6} E {x|x는 6 미만의 짝수} ⑶ 두 집합이 같으므로 2의 배수의 집합의 모든 원소가 짝 수의 집합에 속한다. ∴ {x|x는 2의 배수} A {x|x는 짝수}3-2
⑴ 집합 A의 원소가 5 개이므로 부분집합의 개수는 2fi=32 ⑵ 2, 5를 제외한 집합 {1, 3, 4 }의 부분집합의 개수 와 같으므로 25-2=2‹=84-1
A={x|x는 10보다 작은 소수}={2, 3, 5, 7} ⑴ 집합 A의 원소가 4개이므로 부분집합의 개수는 2›=16 ⑵ 5, 7을 제외한 집합 {2, 3}의 부분집합의 개수와 같으므로 24-2=2€=44-2
08 | 정답과 해설 답_008013_수1(하)1-1사.indd 8 2017. 3. 2. 오후 7:48본문 | 14~23 쪽 확인 문제 12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12이므로 A={1, 2, 3, 4, 6, 12} ④ 8은 집합 A의 원소가 아니므로 8IA 따라서 옳지 않은 것은 ④
0
1-1
셀파 집합 A의 원소를 구한 다음 집합과 원소 사이의 관계 를 알아본다.2GA이고 2GB, 3GA이고 3IB, 4GA이고 4GB, 7IA이고 7GB 따라서 구하는 상수 a의 값은 3
0
1-2
셀파 a는 집합 A에는 속하고 집합 B에는 속하지 않는 원 소이다. k=1, 2, 3, 4, y이므로 3k-1=2, 5, 8, 11, y ∴ A={2, 5, 8, 11, y}0
2-1
셀파 조건에 맞는 원소를 구하여 집합 기호 안에 나열한다. ① 원소가 2, 4, 6, 8로 유한개이므로 유한집합이다. ② 0과 1 사이의 정수는 없으므로 {x|x는 0과 1 사이의 정수}=z 즉, 공집합이므로 유한집합이다. ③ {x|x는 7의 배수}={7, 14, 21, y} 즉, 원소가 7, 14, 21, y로 무한히 많으므로 무한집합이다.0
3-1
셀파 무한집합은 원소가 무한히 많은 집합이다. ① {z}은 z을 원소로 가지므로 공집합이 아니다. ② {x|x는 두 자리 자연수}={10, 11, 12, y, 99} 즉, 원소가 10, 11, 12, y, 99이므로 공집합이 아니다. ③ {0}은 0을 원소로 가지므로 공집합이 아니다. ④ {x|x는 100보다 큰 짝수}={102, 104, 106, y} 즉, 원소가 102, 104, 106, y이므로 공집합이 아니다. ⑤ 3<x<5인 홀수 x는 없으므로 {x|x는 3<x<5인 홀수}=z 따라서 공집합인 것은 ⑤0
3-2
셀파 공집합은 원소가 하나도 없는 집합이다.⑴ A={2, 4}, B={1, 2, 3}에서 xGA, yGB이므로 x가 될 수 있는 값은 2, 4이고 y가 될 수 있는 값은 1, 2, 3이다. 오른쪽 표와 같이 x+y의 값을 구하 면 3, 4, 5, 6, 7이다. ∴ C={3, 4, 5, 6, 7} ⑵ ⑴과 같은 방법으로 x-y의 값을 구 하면 -1, 0, 1, 2, 3이다. ∴ D={-1, 0, 1, 2, 3}
0
2-2
셀파 표를 이용하여 두 집합 C, D의 원소를 구한다. [x+y의 값] y x 2 4 1 3 5 2 4 6 3 5 7 [x-y의 값] y x 2 4 1 1 3 2 0 2 3 -1 1 ⑴ A={10, 20, 30, y, 90} ∴ n(A)=9 ⑵ 소수는 1과 자기 자신만을 약수로 가지는 수이므로 약수가 3개인 소수는 없다. ∴ n(A)=0 ⑶ A={z, {z}, {1}}에서 원소는 z, {z}, {1}이다. ∴ n(A)=30
4-1
셀파 10의 배수는 10, 20, 30, y이다. 소수와 합성수 1보다 큰 자연수 중 1과 자기 자신만을 약수로 갖는 수를 소수 라 한다. 소수(소수：prime number)는 바탕이 되는 수라는 뜻이다. 이때 1은 ‘1보다 큰 자연수’란 조건에 어긋나므로 소수가 아니 다. 또 2는 약수가 1, 2이므로 ‘1과 자기 자신만을 약수로 가진다.’ 는 조건을 만족시킨다. 따라서 2는 유일하게 짝수인 소수이다. 또 소수 중에서 그 차가 1인 두 소수는 2와 3이 유일하다. 2를 제외한 다른 소수는 모두 홀수이므로 그 차가 2 이상이기 때문 이다. 한편 자연수 중에서 1과 소수를 제외한 수를 합성수라 한다. 즉, 합성수는 1보다 큰 자연수 중 1과 자기 자신 이외의 또 다 른 약수를 갖는 수이므로 1은 소수도 아니고 합성수도 아니다. LEC TURE ④ {x|x는 50보다 큰 홀수}={51, 53, 55, y} 즉, 원소가 51, 53, 55, y로 무한히 많으므로 무한집합이다. ⑤ {x|x는 100 이하의 3의 배수}={3, 6, 9, y, 99} 즉, 원소가 3, 6, 9, y, 99로 유한개이므로 유한집합이다. 따라서 무한집합인 것은 ③, ④ 1. 집합 | 09 답_008013_수1(하)1-1사.indd 9 2017. 3. 2. 오후 7:48① n({z})=1, n(z)=0이므로 n({z})+n(z) ② n({1})=1, n({2})=1이므로 n({1})=n({2}) ③ n({1, 2, 3})-n({2})=3-1=2이므로 n({1, 2, 3})-n({2})+{1, 3} ④ 2보다 크고 3보다 작은 자연수는 없으므로 n({x|x는 2보다 크고 3보다 작은 자연수})=0 ∴ n({x|x는 2보다 크고 3보다 작은 자연수})+z ⑤ n(A)=3, n(B)=3이므로 n(A)=n(B) 따라서 옳은 것은 ⑤
0
4-2
셀파 n(z)=0이지만 n({z})=1 ㄱ. 집합 {0, 1}의 원소는 0, 1이므로 0G{0, 1} (참) ㄴ. 공집합은 모든 집합의 부분집합이므로 zA{0, 1, 2} (참) ㄷ. 집합 {1, 2}의 원소는 1, 2이므로 1G{1, 2} ∴ {1}A{1, 2} (참) ㄹ. 집합 {z, 0}의 원소는 z, 0이므로 zG{z, 0} (거짓) ㅁ. 집합 {0, 1, 2}의 원소는 0, 1, 2이므로 1G{0, 1, 2} ∴ {1}A{0, 1, 2} (거짓) ㅂ. 집합에서 원소를 나열하는 순서는 관계없으므로 {2, 3}={3, 2} 또 모든 집합은 자기 자신의 부분집합이므로 {2, 3}A{3, 2} (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㅂ0
5-1
셀파 G는 집합과 원소 사이의 관계를 나타내고, A는 집합 과 집합 사이의 관계를 나타낸다. ① 1은 집합 A의 원소가 아니므로 1IA ② {0}은 집합 A의 원소이므로 {0}GA ③ 집합 A의 원소는 0, {0}, {0, 1}, z이므로 n(A)=4 ④ 0과 z은 집합 A의 원소이므로 {0, z}AA ⑤ 1은 집합 A의 원소가 아니므로 {0, 1, z}EA 따라서 옳지 않은 것은 ⑤ | 참고 |⑤ {0, 1}GA, zGA이므로 {{0, 1}, z}AA
0
5-2
셀파 원소의 형태와는 상관없이 집합에 포함되어 있으면 원 소가 된다는 것에 주의한다.① A={1, 9}, B={1, 3, 9}이므로 AAB
② A={2, 4, 6, 8, 10, 12, y}, B={4, 8, 12, y}이므로
BAA
③ A=z, B={1}이므로 AAB, BEA
④ A={4, 8, 12, 16, 20}, B={4, 8, 12, 16}이므로 BAA ⑤ A={1, 2, 3, 6}, B={1, 2, 3, 4, 6, 12}이므로 AAB 따라서 옳지 않은 것은 ③
0
6-1
셀파 두 집합 A, B를 원소나열법으로 나타낸 다음 두 집합 의 원소를 비교한다. 1 a=-2일 때 A={-2, -1, 0}, B={-2, 0, 2, 3}이므로 AEB 2 a=0일 때 A={0, 1}, B={-2, 0, 2, 3}이므로 AEB 3 a=2일 때 A={0, 2, 3}, B={-2, 0, 2, 3}이므로 AAB 4 a=3일 때 A={0, 3, 4}, B={-2, 0, 2, 3}이므로 AEB 1~4에서 a=20
7-1
셀파 AAB이므로 a=-2, 0, 2, 3인 경우를 각각 구한다. A=B이고 4GA이므로 4GBa€-3a=4, a€-3a-4=0, (a+1)(a-4)=0 ∴ a=-1 또는 a=4 1 a=-1일 때, A={-3, 0, 4}, B={2, 4, 5}가 되어 A=B가 성립하지 않는다. 2 a=4일 때, A={2, 4, 5}, B={2, 4, 5}가 되어 A=B가 성립한다. 1, 2에서 a=4
0
7-2
셀파 상수 a의 값을 구한 다음 두 집합 A, B의 원소를 구하 여 A=B가 성립하는지 확인한다. A={3, 5, 7}, B={1, 3, 5, 7, 9}, C={3, 7}이므로 벤 다이어그램으로 나타내 면 오른쪽 그림과 같다. 세 집합 사이의 포함 관계는 CAAAB 따라서 구하는 답은 ④0
6-2
셀파 두 집합 A, B를 원소나열법으로 나타낸 다음 A, B, C 사이의 포함 관계를 알아본다. B A C 1 9 5 3 7 10 | 정답과 해설 답_008013_수1(하)1-1사.indd 10 2017. 3. 2. 오후 7:48⑴ 집합 A의 부분집합 중 6을 포함하는 부분집합의 개수는 집합 A에서 원소 6을 제외한 집합 {1, 2, 3}의 부분집합의 개수와 같다. ∴ 24-1=2‹=8 ⑵ 집합 A의 부분집합 중 짝수를 포함하지 않는 부분집합의 개수 는 집합 A에서 짝수인 원소 2, 6을 제외한 집합 {1, 3}의 부분 집합의 개수와 같다. ∴ 24-2=2€=4 확인 체크
01
셀파 특강 본문 | 22 쪽 집중 연습 A={1, 2, 3, 4, 5}에서 n(A)=5 ⑴ 2fi=32 ⑵ 2fi-1=32-1=31 ⑶ 25-2=2‹=8 ⑷ 25-2=2‹=8 ⑸ 25-3=2€=4 ⑹ 25-3=2€=4 ⑺ 소수로만 이루어진 부분집합은 집합 {2, 3, 5}의 부분집 합 중 z을 제외한 집합이므로 그 개수는 2‹-1=8-1=70
1
A={x|x는 12의 약수}={1, 2, 3, 4, 6, 12} 이므로 n(A)=6 ⑴ 2fl=64 ⑵ 2fl-1=64-1=63 ⑶ 26-2=2›=16 ⑷ 26-2=2›=16 ⑸ 26-4=2€=4 ⑹ 26-4=2€=4 ⑺ 소수로만 이루어진 부분집합은 집합 {2, 3}의 부분집합 중 z을 제외한 집합이므로 그 개수는 2€-1=4-1=30
2
부분집합의 개수 구하기 집합 A={1, 2, 3}의 부분집합의 개수를 구해 보자. 위의 수형도와 같이 원소를 포함하는 경우를 ◯, 포함하지 않 는 경우를 _로 나타낼 때, 어떤 부분집합에서 특정 원소를 포 함하는 경우와 포함하지 않는 두 가지 경우로 나눌 수 있다. 즉, 집합 A={1, 2, 3}의 부분집합의 개수를 구할 때, 세 개의 원소 1, 2, 3 각각에 대하여 두 가지 경우를 생각할 수 있으므 로 집합 A의 부분집합의 개수는 2_2_2=2‹=8 특정한 원소를 포함하거나 포함하지 않는 부분집합의 개수 구하기 집합 A={1, 2, 3}의 부분집합 중 원소 3을 포함하는 집합은 3을 제외한 {1, 2}의 부분집합을 구한 후 3을 넣었다고 생각하 면 되므로 다음과 같다. 즉, 집합 A={1, 2, 3}의 부분집합 중 원소 3을 포함하는 집합 은 3을 제외한 원소 1, 2 각각에 대하여 두 가지 경우를 생각할 수 있으므로 부분집합의 개수는 2_2=2€=4원소가 n개인 집합 A={a¡, a™, a£, y, an}에 대하여
➊ 집합 A의 부분집합의 개수는 2n ➋ 특정한 k개의 원소를 포함하는 부분집합의 개수는 2n-k ➌ 특정한 l개의 원소를 포함하지 않는 부분집합의 개수는 2n-l ➍ 특정한 k개의 원소는 포함하지만 특정한 l개의 원소는 포 함하지 않는 부분집합의 개수는 2n-k-l 예 집합 A={1, 2, 3, 4, 5}의 부분집합 중 원소 1, 2는 포함하고 원소 5는 포함하지 않는 부분집합의 개수는 25-2-1=2€=4 부분집합 {1, 2, 3} {1, 2} {1, 3} {1} {2, 3} {2} {3} z 1 ◯ _ 2 ◯ _ ◯ _ 3 ◯ _ ◯ _ ◯ _ ◯ _ 세미나 부분집합의 개수 집합 A의 부분집합 중 3을 포함하지 않는 것 ooooooq 각 집합에 원소 3을 넣는다. 집합 A의 부분집합 중 3을 포함하는 것 z {A3} {1} {1, A3} {2} {2, A3} {1, 2} {1, 2, A3} 1. 집합 | 11 답_008013_수1(하)1-1사.indd 11 2017. 3. 2. 오후 7:48
① {1, 3, 5, 7, y, 99}는 원소의 개수가 50인 유한집합이다. ② {x|x€=2, x는 정수}=z이므로 원소의 개수가 0인 유한집 합이다. ③ {x|x는 한 자리 자연수}={1, 2, 3, y, 9}는 원소의 개수가 9 인 유한집합이다. ④ {x|x는 약수가 2개인 짝수}={2}는 원소의 개수가 1인 유한 집합이다. ⑤ {x|x는 50보다 큰 5의 배수}={55, 60, 65, 70, y}은 원소 가 무한히 많은 집합이므로 무한집합이다. 따라서 구하는 답은 ⑤
0
4
셀파 무한집합은 원소가 무한히 많은 집합이다. 1의 약수는 1에서 (a, b)=(1, 1) 2의 약수는 1, 2에서 (a, b)=(1, 2), (2, 2) 3의 약수는 1, 3에서 (a, b)=(1, 3), (3, 3) 4의 약수는 1, 2, 4에서 (a, b)=(1, 4), (2, 4), (4, 4) 5의 약수는 1, 5에서 (a, b)=(1, 5), (5, 5) 6의 약수는 1, 2, 3, 6에서 (a, b)=(1, 6), (2, 6), (3, 6), (6, 6) 따라서 구하는 집합 X의 원소의 개수는 1+2+2+3+2+4=140
3
셀파 집합 A의 원소의 약수를 집합 A의 원소에서 구한다. ㄱ. 집합 A의 원소는 무한히 많으므로 무한집합이다. (참) ㄴ. 집합 A를 조건제시법으로 나타내면 A={x|x는 4의 배수} (참) ㄷ. 집합 A를 원소나열법으로 나타내면 A={4, 8, 12, 16, 20, y} (거짓) ㄹ. 24와 32는 모두 4의 배수이므로 24GA, 32GA (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ0
2
셀파 집합 A의 원소는 4, 8, 12, 16, 20, y으로 4의 배수이다. (6, 2)GA이므로 x=6, y=2를 ax-by=12에 대입하면 6a-2b=12 ∴ 3a-b=6 yy㉠(-3, -2)GA이므로 x=-3, y=-2를 ax-by=12에 대입하면 -3a+2b=12 yy㉡ ㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 a=8, b=18
0
1
셀파 (6, 2)GA, (-3, -2)GA를 이용하여 a, b에 대한 연 립방정식을 세운다. 본문 | 24~25 쪽 연습 문제 A={u, b, i, q, t, o, s}이므로 n(A)=7 B={10, 11, 12, y, 99}이므로 n(B)=99-9=90 C={5, 10, 15, y, 50}이므로 n(C)=10 ∴ n(A)+n(B)-n(C)=7+90-10=87 채점 기준 배점 n(A)의 값을 구한다. 30% n(B)의 값을 구한다. 30% n(C)의 값을 구한다. 30% n(A)+n(B)-n(C)의 값을 구한다. 10%0
5
셀파 집합의 원소는 중복하여 쓰지 않으므로 원소의 개수를 구 할 때, 중복되는 것은 한 번만 센다. 전체 부분집합의 개수에서 소수 2, 3, 5, 7을 포함하지 않는 부분 집합의 개수를 뺀 것과 같으므로 2‡-27-4=128-8=1200
8-2
셀파 (적어도 한 개의 ~를 포함하는 부분집합의 개수) =(전체 부분집합의 개수) -(~를 한 개도 포함하지 않는 부분집합의 개수) ‘적어도~’라는 표현 부분집합의 개수를 구하는 문제 중 ‘적어도~’라는 표현이 포 함된 것은 그 반대의 경우를 생각한다. 예를 들어 이 문제에서 ‘적어도 한 개의 소수를 포함하는’의 반 대 경우는 ‘ 소수를 한 개도 포함하지 않는’이다. LEC TURE A={1, 2}, B={1, 2, 4, 8}에서 AAXAB이므로 집합 X는 집합 B의 부분집합 중 원소 1, 2를 포함하는 집합이다. 따라서 구하는 집합 X의 개수는 24-2=2€=40
8-1
셀파 집합 X에 포함되는 원소를 찾는다. 12 | 정답과 해설 답_008013_수1(하)1-1사.indd 12 2017. 3. 2. 오후 7:481번 로봇부터 8번 로봇까지 각 로봇을 원소로 갖는 집합을 A라 하면 A={1번 로봇, 2번 로봇, 3번 로봇, …, 8번 로봇} 이 중 1번 로봇과 3번 로봇을 모두 포함하는 합체 로봇의 개수는 집합 A의 부분집합 중 1번 로봇과 3번 로봇을 포함하는 부분집 합의 개수와 같다. ∴ 28-2=2fl=64
11
셀파 집합 {1, 2, 3, y, 8}의 부분집합 중 1, 3을 포함하는 부 분집합의 개수를 구한다.A={3, a-1, a€+1}, B={a+1, 3-a, 2a+1}에서 3GA이므로 3GB이어야 한다. 1 a+1=3, 즉 a=2일 때 A={1, 3, 5}, B={1, 3, 5} 이때 A=B를 만족한다. 2 3-a=3, 즉 a=0일 때 A={-1, 1, 3}, B={1, 3} 이때 A=B를 만족하지 않는다. 3 2a+1=3, 즉 a=1일 때 A={0, 2, 3}, B={2, 3} 이때 A=B를 만족하지 않는다. 1, 2, 3에서 a=2
0
9
셀파 A=B이면 두 집합 A, B의 원소가 서로 같다.① 집합 {a, b, {a}}의 원소는 a, b, {a}이므로 {a}G{a, b, {a}}
② z은 모든 집합의 부분집합이므로 zA{z} ③ {a, b}={b, a}이므로 {a, b}A{b, a} ④ 집합 {{a}, b, c}의 원소는 {a}, b, c이므로 {a}G{{a}, b, c} ⑤ 집합 {a, b, c}의 원소는 a, b, c이므로 {a}A{a, b, c} 따라서 옳지 않은 것은 ④
0
8
셀파 G는 원소와 집합 사이의 관계, A는 집합과 집합 사이의 관계를 나타낸다. 세 조건을 만족하는 집합 B는 집합 {4, 5, 6, 7, 8}의 부분집합 중 공집합을 제외한 것이다. 따라서 구하는 집합 B의 개수는 2fi-1=3112
셀파 집합 B는 집합 A의 부분집합 중 원소가 4 이상인 것들로 만 이루어진 집합이다. x와 5-x가 모두 자연수이므로 x>1, 5-x>1 ∴ 1<x<4 이때 x의 원소가 될 수 있는 자연수는 1, 2, 3, 4이고 xGS이면 5-xGS이므로 1GS이면 4GS, 2GS이면 3GS 따라서 1과 4, 2와 3은 짝이 되어 S의 원소가 되어야 한다. 원소의 개수에 따라 집합 S를 구하면 1 원소의 개수가 2일 때, S={1, 4}, {2, 3} 2 원소의 개수가 4일 때, S={1, 2, 3, 4} 1, 2에서 구하는 집합 S의 개수는 3 | 다른 풀이 | 집합 S는 1, 2, 3, 4 중의 어떤 원소로 구성되고 1GS이면 4GS, 2GS이 면 3GS이다. 즉, 1, 2가 집합 S의 원소인지 아닌지에 따라 집합 S가 결정되므로 집합 S 의 개수는 2_2=4 이 중에는 S=z도 포함되므로 주어진 조건 S+z으로부터 집합 S의 개 수는 4-1=30
7
셀파 x와 5-x가 모두 자연수이므로 x의 값의 범위를 먼저 구 한다. AAB가 되도록 두 집합 A, B를 x a 1 -2a A B 6 수직선 위에 나타내면 오른쪽 그 림과 같으므로a<1, 1<-2a<6 ∴ -3<a<-;2!; 따라서 정수 a의 개수는 -3, -2, -1의 3
10
셀파 AAB이므로 집합 A의 모든 원소가 집합 B의 원소이 다. a=1일 때, AAB가 성립하지 않으므로 등호는 제외한다. ① {2}는 2를 원소로 가지는 집합이므로 n({2})=1 ② z은 원소가 하나도 없으므로 n(z)=0 ③ n({1, 3, 5})-n({1, 3})=3-2=1④ n(A)=0이면 집합 A의 원소가 하나도 없으므로 A=z ⑤ {x|x는 10보다 큰 자연수}={11, 12, 13, 14, y}는 원소가 무한히 많은 집합이므로 무한집합이다. 따라서 옳은 것은 ②, ④
0
6
셀파 {0}과 {z}은 원소가 1개인 집합으로 {0}+z, {z}+z 이다. 원소가 3개 원소가 2개 1. 집합 | 13 답_008013_수1(하)1-1사.indd 13 2017. 3. 2. 오후 7:48⑴ U A 2 3 7 4 8 1 6 5 B ⑵ UA 2 3 7 4 8 1 6 5 B AC={1, 4, 5, 6, 8 } BC={1, 3, 5, 6} ⑶ U A 2 3 7 4 8 1 6 5 B ⑷ UA 2 3 7 4 8 1 6 5 B A-B={ 3 } B-A={4, 8}
2-1
⑴ U A B 0 2 4 7 9 5 ⑵ U A B 0 2 4 7 9 5 AC={7, 9} BC={4, 5, 7, 9} ⑶ U A B 0 2 4 7 9 5 ⑷ U A B 0 2 4 7 9 5 A-B={4, 5} B-A=02-2
본문 | 29, 31 쪽 개념 익히기2.
집합의 연산
⑴ A 1 2 4 5 3 6 B ⑵ A 1 2 4 5 3 6 B A={1, 2, 4, 5 } B={1, 2, 3, 6} ⑶ A 1 2 4 5 3 6 B ⑷ A 1 2 4 5 3 6 B ADB={ 1 , 2} ACB={1, 2, 3, 4, 5, 6}1-1
⑴ A 2 4 8 6 10 1 3 B A 2 4 8 6 10 1 3 B A={2, 4, 6, 8, 10} B={1, 2, 3} A 2 4 8 6 10 1 3 B A 2 4 8 6 10 1 3 B ADB={2} ACB={1, 2, 3, 4, 6, 8, 10} ⑵ A 1 5 10 2 B A 1 5 10 2 B A={1, 2, 5, 10} B={1, 2} A 1 5 10 2 B A 1 5 10 2 B ADB={1, 2} ACB={1, 2, 5, 10}1-2
⑴ (ACB) B B ⑵ BD(ACB) = B A B ACB A B BD(ACB)3-2
⑴ (ADB) A A ⑵ AC(ADB) = A A B ADB A B AC(ADB)3-1
14 | 정답과 해설 답_014021_수1(하)1-2.indd 14 2017. 3. 13. 오전 9:39U A B A -U A B ADB = U A B A-(ADB) ACB B (ACB)-B U A B A -U A B ADB = U A B A-(ADB) ∴ A-(ADB) = (ACB)-B 일치
4-2
U A B B -U A B A = U A B B-A U A B B D U A B AC = U A B BDAC ∴ B-A = BDAC 일치4-1
본문 | 32~45 쪽 확인 문제 A={1, 2, 4, 8}, B={1, 3, 9}이므로 ⑴ ADB={1, 2, 4, 8}D{1, 3, 9}={1} ⑵ ACB={1, 2, 4, 8}C{1, 3, 9}={1, 2, 3, 4, 8, 9} ⑶ BC=U-B ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}-{1, 3, 9} ={2, 4, 5, 6, 7, 8} ⑷ A-B={1, 2, 4, 8}-{1, 3, 9}={2, 4, 8} ⑸ ADBC={1, 2, 4, 8}D{2, 4, 5, 6, 7, 8}={2, 4, 8} ⑹ AC=U-A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}-{1, 2, 4, 8} ={3, 5, 6, 7, 9} ∴ B-AC ={1, 3, 9}-{3, 5, 6, 7, 9}={1}0
1-1
셀파 A={1, 2, 4, 8}, B={1, 3, 9}이다.ADBC=A-B=A이므로 ADB=z
U={1, 2, 3, 4, 5}, A={1, 2, 3} 이고 ACB=U이므로 B={4, 5}
0
2-1
셀파 ADBC=A-B=A이므로 ADB=0이다.U={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, (ACB)C={0}, ADB={2, 3}, B-A={5, 7}을 벤 다이어그램에 나타내면 오른쪽 그림과 같다. 이때 A-B는 색칠한 부분과 같으므로 A-B={1, 4, 6} | 다른 풀이 | (ACB)C={0}이므로 ACB={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 또 ADB={2, 3}이고 B-A={5, 7}이므로 B=(ADB)C(B-A)={2, 3, 5, 7} ∴ A-B=(ACB)-B={1, 4, 6}
0
2-2
셀파 주어진 조건을 벤 다이어그램으로 나타낸다. U 0 A B 1 4 6 2 3 57 (ACB)C ADB B-AADB={1, 4}에서 1GA, 4GA 4GA에서 a€+3=4, a€=1 ∴ a=-1 또는 a=1 1 a=-1일 때, A={1, 2, 4}, B={-2, -1, 0} 이때 ADB=0이 되어 주어진 조건을 만족하지 않는다. 2 a=1일 때, A={1, 2, 4}, B={0, 1, 4} 이때 ADB={1, 4}이므로 주어진 조건을 만족한다. 1, 2에서 a=1 | 다른 풀이 | (ADB)AB에서 두 원소 a, 3a+1의 값이 1, 4 중 하나의 값을 각각 가 져야 하므로 다음 두 가지 경우를 생각할 수 있다. 1 [a=13a+1=4 2 [a=43a+1=1 1 a=1일 때, 3a+1=4가 성립한다. 이때 a€+3=4이므로
A={1, 2, 4}, B={0, 1, 4}에서 ADB={1, 4} 2 a=4일 때, 3a+1=13+1
1, 2에서 a=1
0
3-1
셀파 aG(ADB)이면 aGA이고 aGB이다.2. 집합의 연산 | 15
A={2, 4, 6, 2a+1}, B={2, 7, 8, a€-5}에 대하여 A-B={6}이므로 4GB
즉, a€-5=4에서 a€=9 ∴ a=-3 1 a=-3일 때 A={-5, 2, 4, 6}, B={2, 4, 7, 8} 이때 A-B={-5, 6}이 되어 주어진 조건을 만족하지 않는 다. 2 a=3일 때 A={2, 4, 6, 7}, B={2, 4, 7, 8} 이때 A-B={6}이므로 주어진 조건을 만족한다. 1, 2에서 a=3
0
4-1
셀파 A-B의 원소는 A에는 속하고 B에는 속하지 않는다. a+4이므로 a의 값은 1, 2, 3, 5 중 하나의 값을 가진다.이때 ADB=0이므로 1IB, 3IB ∴ a+1, a+3 따라서 구하는 a의 값은 2 또는 5
0
3-2
셀파 두 집합 A, B가 서로소이면 ADB=z이다.ADBC=A-B=0이므로 AAB이다. (단, A+B)
이때 2GA이므로 2GB 1 x-1=2, 즉 x=3일 때 A={2, 10}, B={2, 10} 이때 A=B가 되어 주어진 조건을 만족하지 않는다. 2 x€-7=2, x€=9, 즉 x=-3일 때 A={2, 10}, B={-4, 2, 10} 이때 A-B=z이므로 주어진 조건을 만족한다. 1, 2에서 x=-3
0
4-2
셀파 ADBC=0에서 두 집합 A, B 사이의 포함 관계를 판단한다. ⑴ AC(BDAC) =(ACB)D(ACAC) =(ACB)DU =ACB ⑵ (ACB)D(AC CB) =(BCA)D(BCAC) =BC(ADAC) =BC0=B 교환법칙을 이용0
5-1
셀파 ⑴ 분배법칙을 이용하여 식을 전개한다. ⑵ 공통이 아닌 부분 A와 AC을 괄호로 묶는다. (ADB)C(B-A) =(BDA)C(BDAC) =BD(ACAC) =BDU =B0
5-2
셀파 B-A=BDAC으로 고친 다음 간단하게 정리한다. ➊ AD(BCC)=(ADB)C(ADC) A B C A B C A B C D ⇨ AD(BCC) BCC A A B C A B C A B C ⇨ (ADB)C(ADC) ADC ADB C 일치 ➋ AC(BDC)=(ACB)D(ACC) A B C ⇨ AC(BDC) A B C BDC A B C A C A B C D ⇨ (ACB)D(ACC) A B C ACC A B C ACB 일치 세미나 벤 다이어그램을 이용한 분배법칙 확인 AC C(B-A)C =ACC(BDAC)C =AC C(BCCA) =AC C(ACBC) =(AC CA)CBC =UCBC=U | 참고 | 세 집합 A, B, C에 대하여 (ACB)CC=AC(BCC) (ADB)DC=AD(BDC) 드모르간의 법칙 교환법칙 결합법칙0
6-1
셀파 드모르간의 법칙을 이용한다. 16 | 정답과 해설 답_014021_수1(하)1-2.indd 16 2017. 3. 2. 오후 7:48➊ (ADB)C=AC CBC U A B UA B = C ADB (ADB)C AC ACCBC U A B BC U A B UA B U A B UA B = C ADB (ADB)C AC ACCBC U A B BC U A B UA B ➋ (ACB)C=AC DBC U A B UA B = D ACB (ACB)C AC ACDBC U A B BC U A B UA B U A B UA B = D ACB (ACB)C AC ACDBC U A B BC U A B UA B 세미나 벤 다이어그램을 이용한 드모르간의 법칙 확인 A-(A-B) =A-(ADBC) =AD(ADBC)C =AD(AC CB) =(ADAC)C(ADB) =0C(ADB) =ADB 따라서 구하는 답은 ③
0
6-2
셀파 차집합과 여집합의 성질과 분배법칙, 드모르간의 법칙 을 이용하여 정리한다. ACX=X이므로 AAX ∴ AAXAU 따라서 집합 X는 전체집합 U={1, 2, 3, 4, 5}의 부분집합 중 원 소 1, 2를 포함하는 집합이므로 구하는 집합 X의 개수는 25-2=2‹=80
8-1
셀파 ACX=X이면 AAX, ADX=X이면 XAA이다.P-Q=PDQC 드모르간의 법칙 분배법칙 (ACC)-(BCC) =(ACC)D(BCC)C =(ACC)D(BC DCC) ={(ACC)DCC}DBC ={(ADCC)C(CDCC)}DBC =(ADCC)DBC = AD(BC DCC) =AD(BCC)C =A-(BCC) 따라서 구하는 답은 ①
0
7-1
셀파 A-B=ADBC에서 (ACC)-(BCC)=(ACC)D(BCC)C이다. 차집합의 성질 드모르간의 법칙 교환법칙, 결합법칙 분배법칙 CDCC=z 결합법칙, 교환법칙 드모르간의 법칙 차집합의 성질 조건 ㈎에서 (ADB)CX=X이므로 (ADB)AX 조건 ㈏에서 (ACB)DX=X이므로 XA(ACB) ∴ (ADB)AXA(ACB) 이때 A={2, 3, 8}, B={2, 3, 4, 5, 6, 7}에서 ADB={2, 3}, ACB={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}이므로 {2, 3}AXA{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 따라서 집합 X는 {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}의 부분집합 중 원소 2, 3을 포함하는 집합이므로 구하는 집합 X의 개수는 27-2=2fi=320
8-2
셀파 주어진 조건에서 집합 X가 반드시 포함하는 원소와 집합 X가 어떤 집합의 부분집합인지 파악한다. 주어진 식의 좌변을 정리하면 (ACB)-B=A-B A-B=0이므로 AAB이다. 이때 오른쪽 벤 다이어그램에서 ① AAB ② BC AAC ③ ACB=B ④ ADB=A ⑤ B-A+z 따라서 항상 성립하는 것은 ① U B A0
9-1
셀파 (ACB)-B=A-B이다. AAB와 같은 여러 가지 표현 전체집합 U의 두 부분집합 A, B에 대하여 AAB이면 다음 이 항상 성립한다는 것을 벤 다이어그램으로 확인할 수 있다. ADB=A ACB=B BC AAC A-B=z AC CB=U ADBC=z LEC TURE 일치 일치 2. 집합의 연산 | 17 답_014021_수1(하)1-2.indd 17 2017. 3. 2. 오후 7:48주어진 식의 좌변을 정리하면 {(ADB)C(A-B)}DB ={(ADB)C(ADBC)}DB ={AD(BCBC)}DB =(ADU)DB=ADB ADB=B이므로 BAA이다. 이때 오른쪽 벤 다이어그램에서 ① ADB=B ② B-(ADB)=B-B=0 ③ (ACB)-A=A-A=0 ④ ACBC=U ⑤ BC-AC=BC D(AC)C=BCDA=A-B+z 따라서 항상 성립한다고 할 수 없는 것은 ⑤
0
9-2
셀파 집합의 연산법칙을 이용하여 주어진 식을 정리한다. U A B 색칠한 부분은 집합 A 중에서 집합 B와 C는 포함하지 않으므로 색칠한 부분을 나타내는 집합은 ADBC DCC =AD(BCDCC) =(ADBC)D(ADCC) =(A-B)D(A-C) 따라서 바르게 나타낸 것은 ②10-1
셀파 색칠한 부분을 포함하는 집합과 포함하지 않는 집합을 찾는다. ⑴ n(ACB)=n(A)+n(B)-n(ADB)이므로 40=33+16-n(ADB), n(ADB)=9 ∴ n(A-B) =n(A)-n(ADB) =33-9=24 | 다른 풀이 | n(A-B) =n(ACB)-n(B) =40-16=24 ⑵ n(ACBCC)= n(A)+n(B)+n(C)-n(ADB) -n(BDC)-n(CDA)+n(ADBDC) =10+14+15-5-6-3+2=27 ∴ n((ACBCC)C) =n(U)-n(ACBCC) =30-27=3 확인 체크01
셀파 특강 본문 | 42 쪽 집중 연습 ⑴ n(ACB) =n(A)+n(B)-n(ADB) =4+8-3=9 ⑵ n(ACB)=n(A)+n(B)-n(ADB)이므로 8=5+4-n(ADB) ∴ n(ADB)=1 ⑶ n(A-B)=n(A)-n(ADB)=9-4=5 ⑷ n(A-B)=n(ACB)-n(B)=8-5=3 ⑸ n(AC)=n(U)-n(A)=20-10=100
1
⑴ n(ADB) =n(A)+n(B)-n(ACB) =15+12-23=4 ⑵ n(A-B)=n(A)-n(ADB)=15-4=11 ⑶ n(B-A)=n(B)-n(ADB)=12-4=8 ⑷ n(AC)=n(U)-n(A)=26-15=11 ⑸ n((ACB)C)=n(U)-n(ACB)=26-23=30
2
U={1, 2, 3, …, 9, 10}, A={1, 2, 3, 6}, B={1, 3, 9} 에서 n(U)=10, n(A)=4, n(B)=3 ⑴ n(AC)=n(U)-n(A)=10-4=6 ⑵ ADB={1, 3}이므로 n(ADB)=2 ∴ n(ACB) =n(A)+n(B)-n(ADB) =4+3-2=5 ⑶ n(A-B)=n(A)-n(ADB)=4-2=2 ⑷ n(AC DB) =n(B-A)=n(B)-n(ADB) =3-2=1 ⑸ n(AC CBC) =n((ADB)C)=n(U)-n(ADB) =10-2=80
3
18 | 정답과 해설 답_014021_수1(하)1-2.indd 18 2017. 3. 2. 오후 7:48X=BCC라 하면 n(ACBCC) =n(ACX) =n(A)+n(X)-n(ADX) …… ㉠ 이때 n(X)=n(BCC)=n(B)+n(C)-n(BDC) …… ㉡ n(ADX) =n(AD(BCC)) =n((ADB)C(ADC)) =n(ADB)+n(ADC) -n((ADB)D(ADC)) =n(ADB)+n(ADC)-n(ADBDC) …… ㉢ ㉡, ㉢을 ㉠에 대입하면 n(ACBCC) = n(A)+n(B)+n(C)-n(ADB)-n(BDC) -n(ADC)+n(ADBDC) 세미나 연산법칙을 이용해 n(ACBCC)를 구하는 공식 확인 n(BC)=20, n(U)=40이므로 n(B)=n(U)-n(BC)=40-20=20 또 n(ADBC)=n(A-B)=n(A)-n(ADB)이므로 12=18-n(ADB) ∴ n(ADB)=6 ∴ n(BDAC) =n(B-A) =n(B)-n(ADB) =20-6=14
11-1
셀파 ADBC=A-B=A-(ADB) 학생 전체의 집합을 U, A 놀이 기구를 타 본 학생의 집합을 A, B 놀이 기구를 타 본 학생의 집합을 B라 하면n(U)=50, n(A)=38, n(B)=20, n((ACB)C)=5이므로
n(ACB)=n(U)-n((ACB)C)=50-5=45 따라서 B 놀이 기구만 타 본 학생 수는 n(B-A)=n(ACB)-n(A)=45-38=7 | 다른 풀이 | n(ADB)=x라 하고 각 영역에 해당하는 원소의 개수를 벤 다이어그램에 나타내면 오른 쪽 그림과 같다. 50=(38-x)+x+(20-x)+5 50=63-x, x=13 ∴ n(B-A) =20-x=20-13=7 38-x x 20-x 5 UA B
12-1
셀파 n(B-A) =n(ACB)-n(A)를 이용한다. n(ADB) =n(A)+n(B)-n(ACB) =9+7-12=4 n(BDC) =n(B)+n(C)-n(BCC) =7+5-10=2 ADC=z이므로 ADBDC=z ∴ n(ACBCC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(ADB) -n(BDC)-n(CDA)+n(ADBDC) =9+7+5-4-2-0+0=1511-2
셀파 n(ACBCC)=n(A)+n(B)+n(C) -n(ADB)-n(BDC)-n(CDA)+n(ADBDC) 본문 | 46~47 쪽 연습 문제 A={3, 6, 9, 12, 15}, B={6, 12, 18}에서 ① ADB={6, 12} ② ACB={3, 6, 9, 12, 15, 18} ③ A-B={3, 9, 15} ④ B-A={18} ⑤ A-(A-B) ={3, 6, 9, 12, 15}-{3, 9, 15}={6, 12} 따라서 옳지 않은 것은 ④0
1
셀파 A-B는 집합 A에는 속하고 집합 B에는 속하지 않는 원소의 집합이다. ADB={1}이므로 두 방정식 x€+ax+1=0, x€+x+b=0의 공통근이 1이다. x=1을 방정식 x€+ax+1=0에 대입하면 1+a+1=0에서 a=-2 a=-2일 때, x€-2x+1=0, (x-1)€=0 x=1이므로 A={1} x=1을 방정식 x€+x+b=0에 대입하면 1+1+b=0에서 b=-2 b=-2일 때, x€+x-2=0, (x+2)(x-1)=0 x=-2 또는 x=1이므로 B={-2, 1} ∴ ACB={-2, 1}0
2
셀파 두 방정식 x€+ax+1=0, x€+x+b=0의 공통근이 1 이다. 2. 집합의 연산 | 19 답_014021_수1(하)1-2.indd 19 2017. 3. 9. 오후 6:19U={1, 2, 3, 4, y, 9, 10} A={1, 2, 3, 6}에서 AC ={4, 5, 7, 8, 9, 10} B={1, 3, 5, 7, 9}에서 BC ={2, 4, 6, 8, 10} ∴ BC -AC ={2, 6} 따라서 BC -AC 의 모든 원소의 합은 2+6=8 | 다른 풀이 | BC-AC =BCD(AC)C=BCDA =ADBC=A-B ={1, 2, 3, 6}-{1, 3, 5, 7, 9} ={2, 6} 따라서 BC-AC의 모든 원소의 합은 2+6=8
0
4
셀파 A-B=ADBC, (AC)C=A 벤 다이어그램을 그리고 각 부분에 해당하는 원소를 써넣으면 다 음 그림과 같다. A b e B ⇨ A b e a c B ⇨ A b e a c d f BADB={b, e} A={a, b, c, e} ACB
={a, b, c, d, e, f }
∴ B={b, d, e, f}
0
5
셀파 집합의 연산 결과에서 집합을 구할 때는 벤 다이어그램을 이용한다.ACB={1, 3, 5}이고 1GA이므로 3GA 또는 5GA 1 3GA, 즉 a=3일 때 A={1, 3}, B={3, 5} 이때 ACB={1, 3, 5}이므로 주어진 조건을 만족한다. 2 5GA, 즉 a=5일 때 A={1, 5}, B={5, 19} 이때 ACB={1, 5, 19}가 되어 주어진 조건을 만족하지 않 는다. 1, 2에서 a=3 따라서 구하는 답은 ③
0
7
셀파 ACB={1, 3, 5}에서 3GA 또는 5GA이다.U={1, 2, 3, …, 9}의 두 부분집합 A, B에 대하여 (ACB)C={3, 5, 6}이므로 ACB={1, 2, 4, 7, 8, 9} A-B={1, 2, 4}, B-A={7, 9}, (ACB)C={3, 5, 6}을 벤 다이어그 램에 나타내면 오른쪽 그림과 같다. ∴ ADB={8}
0
6
셀파 주어진 집합의 원소를 벤 다이어그램에 나타내 본다. U A B 1 2 7 3 5 8 6 9 4 ① ADB={0, 1, 2}D{2, 4, 6}={2}+0 ② ADB ={x|1<x<3, x는 실수}D{x|0<x<2, x는 실수} ={x|1<x<2, x는 실수}+0 ③ AAB이므로 ADB=A={x|x는 정수}+0 ④ A={3, 6, 9, …}, B={4, 7, 10, …}이므로 ADB=0 ⑤ BAA이므로 ADB=B={2, 4, 6, 8}+0 따라서 구하는 답은 ④0
3
셀파 ADB=z인 것을 찾는다. 벤 다이어그램의 영역A-B, B-A, (ACB)C, ADB
가 나타내는 영역을 벤 다이어그램 에 나타내면 오른쪽 그림과 같다. LEC TURE U A B B-A A-B ADB (ACB)C ① (ADB)C(AC CBC)=(ADB)C(ADB)C=U ② (AC DB)C(ACDBC) =ACD(BCBC) =AC DU=AC ③ AC
D(ACB) =(ACDA)C(ACDB) =zC(AC DB) =AC DB=B-A ④ AD(BDAC) =AD(AC DB) =(ADAC)DB =zDB=z
⑤ (A-B)C(A-C) =(ADBC)C(ADCC)
=AD(BC
CCC) =AD(BDC)C
=A-(BDC) 따라서 항상 옳은 것은 ③
0
8
셀파 ACAC=U, ADAC=z이다.조건 ㈎에서 AD{3, 4, 5}={3, 4, 5}이므로 {3, 4, 5}AA 조건 ㈏에서 AA{1, 2, 3, 4, 5}이므로 {3, 4, 5}AAA{1, 2, 3, 4, 5}
0
9
셀파 {a, b}를 포함하는 {a, b, c, d}의 부분집합을 구할 때는 원소 a, b를 제외한 {c, d}의 부분집합 z, {c}, {d}, {c, d}에 a, b를 각각 넣어준다. 20 | 정답과 해설 답_014021_수1(하)1-2.indd 20 2017. 3. 2. 오후 7:48① A=B이면 AAB가 성립하지만 n(A)=n(B) ② ACB=A이면 BAA이므로 B-A=z ③ AC
CBC=(ADB)C=U-(ADB) ④ A-B=0이면 AAB
⑤ AAB이고 BAA이면 A=B이므로 A-B=0 따라서 항상 옳은 것은 ②
10
셀파 A=B이면 AAB이고 BAA이므로 n(A)=n(B)이 다. 조건 ㈎에서 n(ADB)=5 조건 ㈏에서 U-(AC DB)C=ACDB=B-A ∴ n(B-A)=12 ADB와 B-A에 해당하는 원소의 개수를 벤 다이어그램에 나타내면 오 른쪽 그림과 같다. B=(ADB)C(B-A)이므로 집합 B의 원소의 개수는 5+12=1711
셀파 B=(ADB)C(B-A)이다. U A B 5 12 학생 전체의 집합을 U, 자전거, 버스, 지하철을 이용하는 학생의 집합을 각각 A, B, C라 하면 n(U)=40, n(A)=16, n(B)=18, n(C)=17, n(ADB)=5, n(BDC)=6, n(ADC)=6, n(ADBDC)=0이므로 n(ACBCC) =n(A)+n(B)+n(C)-n(ADB)-n(BDC) -n(CDA)+n(ADBDC) =16+18+17-5-6-6+0=34 따라서 걸어서 등교하는 학생 수는 n((ACBCC)C) =n(U)-n(ACBCC) =40-34=612
셀파 걸어서 등교하는 학생의 집합은 자전거 또는 버스 또는 지하철을 이용하는 학생의 집합의 여집합이다. 학생 전체의 집합을 U, 두 영화 A, B를 본 학생의 집합을 각 각 A, B라 하면 n(U)=35, n(A)=23, n(B)=17 이때 n(A)>n(B)이므로 n(A)<n(ACB)<n(U) ∴ 23<n(ACB)<35 …… ㉠ 두 영화 A, B를 모두 본 학생 수는 n(ADB)이므로 n(ADB)=x라 하면 n(ACB) =n(A)+n(B)-n(ADB) =23+17-x =40-x …… ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면 23<40-x<35 ∴ 5<x<17 따라서 두 영화 A, B를 모두 본 학생 수의 최댓값은 17, 최솟값은 5 채점 기준 배점 n(ACB)의 값의 범위를 구한다. 30% n(ADB)=x라 하고 n(ACB)를 x로 나타낸다. 30% 최댓값과 최솟값을 구한다. 40%13
셀파 A 영화 또는 B 영화를 본 학생 수는 35를 넘지 않아야 한 다. n(ACB), n(ADB)의 최대, 최소 n(ACB), n(ADB)의 최대, 최소는 벤 다이어그램으로 쉽 게 이해할 수 있다. 다음의 원리를 꼭 기억하자. B A AB 또는 n(ACB)：최소 n(ADB)：최대 A B n(ACB)：최대 n(ADB)：최소➊ AAB 또는 BAA일 때, n(ADB)는 최대 ⇨ n(ADB)=n(A) 또는 n(ADB)=n(B) ➋ n(ACB)=n(U)일 때, n(ADB)는 최소 ⇨ n(ADB)=n(A)+n(B)-n(U) 한편 n(ACB)=n(A)+n(B)-n(ADB)이므로 n(ACB)의 값은 n(ADB)의 값에 따라 결정된다. 즉, n(A), n(B)의 값이 일정하면 n(ADB)의 값이 최대일 때 n(ACB)의 값은 최소, n(ADB)의 값이 최소일 때 n(ACB)의 값은 최대 가 된다. LEC TURE 따라서 집합 A는 {1, 2, 3, 4, 5}의 부분집합 중 원소 3, 4, 5를 포 함하는 집합이므로 구하는 집합 A의 개수는 25-3=2€=4 | 참고 | 원소 3, 4, 5를 제외한 집합 {1, 2}의 부분집합 0, {1}, {2}, {1, 2}에 원소 3, 4, 5를 각각 넣으면 {3, 4, 5}, {1, 3, 4, 5}, {2, 3, 4, 5}, {1, 2, 3, 4, 5}이므로 집합 A의 개수 는 4이다. 2. 집합의 연산 | 21 답_014021_수1(하)1-2.indd 21 2017. 3. 9. 오후 6:19
⑴ 2€=4에서 4>3이므로 ‘2€>3’은 참 인 명제이다. ⑵ x=5이면 참이고, x+5이면 거짓이다. 즉, x의 값에 따 라 참 또는 거짓이 되므로 ‘3x+4=19’는 조건이다. ⑶ 모든 직사각형은 사다리꼴이므로 참인 명제이다. ⑷ x의 값에 관계없이 항상 x+1<x+100이므로 ‘x+1>x+100’은 거짓인 명제 이다.
1-1
본문 | 51, 53, 55 쪽 개념 익히기3.
명제
| 다른 풀이 | 집합A의 원소 | 참고 | 집합A의 원소인 =f '+lim limn d$;2!!; 123123 123 "1€∂23 123'å12å3 ;3!;[1-{;;1!;}n] 1-;3!;… 34567a“ ‘41232 cdc{[abc1223abc =Úkd1Ún +;2!; ;2π; ;2∏2; ;;4Î;; D4
ebabd j i f h kffffl i f h lffm n o o q -3 조건 p, q, r, s의 진리집합을 각각 P, Q, R, S라 하면 전체집합 U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}에서 ⑴ 4의 약수는 1, 2, 4이므로 P={1, 2, 4} ⑵ (x-2)(x-3)=0에서 x=2 또는 x=3 ∴ Q={2, 3} ⑶ 7 이상의 자연수는 7, 8, 9, 10, 11, y이다. 이때 11, 12, 13, y은 전체집합 U의 원소가 아니므로 R={7, 8, 9, 10} ⑷ x€+1<10, 즉 x€<9에서 -3<x<3이다. 이때 S는 U={1, 2, 3, y, 9, 10}의 부분집합이므로 S={1, 2}
2-2
조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 전체집합 U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}에서 ⑴ x€-4=0, (x+2)(x-2)=0 ∴ x=-2 또는 x=2 이때 x=-2는 전체집합 U의 원소가 아니므로 P={ 2 } ⑵ 12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12이다. 이때 12 는 전체집합 U의 원소가 아니므로 Q={1, 2, 3, 4, 6}2-1
⑴ 1+2=3이므로 ‘1+2>3’은 거짓인 명제이다. ⑵ ‘x<5’는 x의 값에 따라 참 또는 거짓이 되므로 조건이다. ⑶ p는 무리수이므로 참인 명제이다. ⑷ 0보다 작은 자연수는 존재하지 않으므로 x의 값에 관계 없이 거짓인 명제이다.1-2
⑴ x=0일 때, |x|=0이므로 거짓이다. ⑵ x=1일 때, x€=1이므로 거짓이다. ⑶ x=0일 때, x€=0이므로 참이다. ⑷ x<0을 만족하는 자연수는 없으므로 거짓이다.3-2
전체집합 U={-2, -1, 0, 1, 2}에서 ⑴ x=-2일 때, (-2)+2=0이므로 거짓 이다. ⑵ 모든 x에 대하여 x€>0이므로 참이다. ⑶ x=-2일 때, (-2)+2=0이므로 참 이다. ⑷ 모든 x에 대하여 x€<4이다. 즉, 전체집합 U의 원소 중 x€>4를 만족하는 x는 없으므로 거짓이다.3-1
여러 가지 사각형과 포함 관계 ➊ 직사각형：네 내각의 크기가 모두 같은 사각형 ⇨ 두 대각선의 길이가 같고, 서로 다른 것을 이등분한 다. ➋ 마름모：네 변의 길이가 모두 같은 사각형 ⇨ 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분한다. ➌ 정사각형：네 내각의 크기가 모두 같고, 네 변의 길이가 모 두 같은 사각형 ⇨ 두 대각선은 길이가 같고, 서로 다른 것을 수직이등분한 다. ➍ 사다리꼴：한 쌍의 대변이 평행한 사각형 ➎ 등변사다리꼴：아랫변의 양 끝각의 크기가 같은 사다리꼴 ⇨ 두 대각선의 길이가 같고, 평행하지 않은 한 쌍의 대변의 길이가 같다. LEC TURE 사각형 사다리꼴 평행사변형 직사각형 마름모 정사 각형 22 | 정답과 해설 답_022030_수1(하)1-3_사.indd 22 2017. 3. 2. 오후 7:49⑴ 조건 ‘p : x가 12의 약수이다.’의 진리집합을 P, 조건 ‘q : x는 8의 약수이다.’의 진리집합을 Q라 하면 P={1, 2, 3, 4, 6, 12}, Q={1, 2, 4, 8} 이때 PEQ이므로 주어진 명제는 거짓이다. ⑵ 조건 ‘p : x>1’의 진리집합을 P, 조건 ‘q : x>-1’의 진리집합을 Q라 하면 P={x|x>1}, Q={x|x>-1} 이때 PAQ이므로 주어진 명제는 참이다.
4-2
두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 ⑴ P={0}, Q={0, 1 } 이때 PAQ이고 QEP이므로 p fffm q 따라서 p는 q이기 위한 충분 조건이다. ⑵ P={-5, 5}, Q={5} 이때 PEQ이고 Q A P이므로 q fffm p 따라서 p는 q이기 위한 필요조건이다. | 참고 | ⑴ 조건 q에서 x€-x=0, x(x-1)=0 ∴ x=0 또는 x=16-1
두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 ⑴ P={x|x<2}, Q={x|-1<x<1} 이때 PEQ이고 QAP이므로 q fffm p 따라서 p는 q이기 위한 필요조건이다. ⑵ P={x|x>1}, Q={x|x>0} 이때 PAQ이고 QEP이므로 p fffm q 따라서 p는 q이기 위한 충분조건이다. ⑶ 3(x-1)=x+1, 2x=4 ∴ x=2 P={2}, Q={2} 이때 P=Q이므로 p lffm q 따라서 p는 q이기 위한 필요충분조건이다. ⑷ x€-3x+2=0, (x-1)(x-2)=0 ∴ x=1 또는 x=2 P={2}, Q={1, 2} 이때 PAQ이고 QEP이므로 p fffm q 따라서 p는 q이기 위한 충분조건이다.6-2
⑴ 조건 ‘p：x가 9의 약수이다.’의 진리집합을 P, 조건 ‘q：x는 27의 약수이다.’의 진리집합을 Q라 하면 P={1, 3, 9}, Q={1, 3, 9, 27 } 이때 PAQ이므로 주어진 명제는 참 이다. ⑵ 조건 ‘p：-3<x<3’의 진리집합을 P, 조건 ‘q：-2<x<2’의 진리집합을 Q라 하면 P={x|-3<x<3}, Q={x|-2<x<2} 이때 PEQ이므로 주어진 명제는 거짓 이다.4-1
eb eb eb eb a€+b€=0이면 a=0이고 b=0이다. a=0이고 b=0이면 a€+b€ = 0이다. eb 역 bd 대우 대우 eb 역 bd5-1
명제의 역과 대우 명제 p cbd q를 가정과 결론으로 나눈 다음 ➊ 역은 가정과 결론의 자리를 바꾼다. ➋ 대우는 가정과 결론을 부정한 다음 자리를 바꾼다. LEC TURE a+0 또는 b+0 이면 a€+b€+0이다. a€+b€+0이면 a+0 또는 b+0이다. x>1이면 x€>1이다. eb 역 bd x€>1이면 x>1이다. 대우 대우 x€<1이면 x<1이다. eb 역 bd x<1이면 x€<1이다.5-2
eb eb eb eb 3. 명제 | 23 답_022030_수1(하)1-3_사.indd 23 2017. 3. 2. 오후 7:490
3-1
셀파 주어진 조건의 진리집합을 구한 다음 집합의 연산법칙 을 이용한다. 전체집합 U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}에서 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P={1, 3, 5, 7, 9}, Q={2, 3, 5, 7} 두 조건 ~p, ~q의 진리집합은 각각 PC, QC이므로 PC={2, 4, 6, 8}, QC={1, 4, 6, 8, 9} 조건 ‘~p 또는 ~q’의 진리집합은 PC CQC이므로 PC CQC={1, 2, 4, 6, 8, 9}0
4-1
셀파 ‘어떤’을 포함한 명제는 예를 찾고, ‘모든’을 포함한 명 제는 반례를 찾는다. 전체집합 U={1, 2, 3, 4, 5}의 두 원소 x, y에 대하여 ⑴ x=1, y=2일 때, x€+y€=5이다. ∴ 참 ⑵ x=1, y=2일 때, x+y=3<5이다. ∴ 참 ⑶ x-y의 값이 가장 클 때는 x=5, y=1일 때이므로 x-y=4 따라서 모든 x, y에 대하여 x-y<5 ∴ 참 ⑷ [반례] x=2, y=1일 때, x€-y€=3>0이다. ∴ 거짓 ㄱ. x=-4이면 -4<3이지만 (-4)€=16>9 따라서 거짓인 명제이다. ㄴ. 실수에서 덧셈의 교환법칙이 성립하므로 참인 명제이다. ㄷ. x의 값에 따라 참, 거짓이 달라지므로 명제가 아니다. ㄹ. ab-a-b+1=(a-1)(b-1) a, b가 짝수이면 a-1, b-1은 홀수이므로 ab-a-b+1은 홀수이다. 따라서 참인 명제이다.0
1-1
셀파 참인지 거짓인지를 분명히 판별할 수 있는 문장이나 식이 명제이다. 본문 | 56~69 쪽 확인 문제0
1-2
셀파 소수는 2, 3, 5, 7, 11, y이므로 2는 소수 중 유일한 짝 수이다. ⑴ 9의 배수는 모두 3의 배수가 되므로 참인 명제이다. ⑵ 2는 소수이지만 홀수가 아니다. 따라서 거짓인 명제이다.0
2-1
셀파 ‘>’의 부정은 ‘<’이고 ‘>’의 부정은 ‘<’이다. ⑴ 명제 ‘p는 무리수이다.’의 부정은 p는 무리수가 아니다. ⑵ 명제 ‘2+3>5’의 부정은 2+3<5 ⑶ ‘xy=0’은 ‘x=0 또는 y=0’과 같으므로 이 조건의 부정은 x+0이고 y+0 ⑷ 조건 ‘x<-1’의 부정은 ‘x>-1’이고 조건 ‘x>4’의 부정은 ‘x<4’이므로 주어진 조건의 부정은 x>-1이고 x<4 ∴ -1<x<4 명제의 부정을 구할 때 주의할 점 ⑴ ‘p이다.’의 부정은 ‘p가 아니다.’이므로 ‘p는 무리수이다.’의 부정을 ‘p는 유리수이다.’로 답하지 않도록 한다. 단, 실수 범위에서 생각한다는 조건이 있다면 무리수의 부정은 유리 수이므로 ‘p는 무리수이다.’의 부정을 ‘p는 유리수이다.’로 말할 수 있다. ⑵ >(크다)의 부정은 <(작다)가 아닌 <(작거나 같다)이므 로 ‘2+3>5’의 부정을 ‘2+3<5’로 답하지 않도록 한다. LEC TURE0
3-2
셀파 ‘~p 또는 q’의 부정은 ‘p이고 ~q’이다. 이것을 수직 선 위에 나타내어 진리집합을 구한다. 조건 ‘~p 또는 q’의 부정은 ‘p이고 ~q’이다. 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P={x|-1<x<2}, QC={x|x<-2 또는 x>1} 이것을 수직선 위에 나타내면 다음 그림과 같다. x -2 -1 1 2 QC P QC 따라서 조건 ‘~(~p 또는 q)’, 즉 ‘p이고 ~q’의 진리집합은 PDQC={x|1<x<2} 부정과 드모르간의 법칙 조건이나 명제의 부정은 드모르간의 법칙과 유사하다. ➊ ~(p 그리고 q) ⇨ ~p 또는 ~q (PDQ)C=PC CQC ➋ ~(p 또는 q) ⇨ ~p 그리고 ~q (PCQ)C=PC DQC LEC TURE 24 | 정답과 해설 답_022030_수1(하)1-3_사.indd 24 2017. 3. 2. 오후 7:490
8-1
셀파 주어진 명제에서 가정과 결론을 찾아 역과 대우를 구 한다. ⑴ 주어진 명제를 p cbd q 꼴로 나타내면 p：사각형 ABCD는 정사각형이다. q：(사각형 ABCD에서) 네 내각의 크기가 모두 같다. 역： 네 내각의 크기가 모두 같으면 사각형 ABCD는 정사각형이 다. ∴ 거짓 [반례] 직사각형의 네 내각의 크기는 모두 같지만 직사각 형은 정사각형이 아니다. 대우： 네 내각 중 크기가 다른 각이 있으면 사각형 ABCD는 정 사각형이 아니다. ∴ 참 | 참고 | ‘모든’의 부정이 ‘어떤’이므로 ‘네 내각의 크기가 모두 같다.’의 부정은 ‘네 내각 중 어떤 각은 크기가 다르다.’이고, 이것을 일반적인 표현으로 고치면 ‘네 내각 중 크기가 다른 각이 있다.’가 된다. ⑵ 주어진 명제를 p cbd q 꼴로 나타내면 p：a€+1이다. q：a+1이다. 역： a+1이면 a€+1이다. ∴ 거짓[반례] a=-1이면 a+1이지만 a€=1이다. 대우：a=1이면 a€=1이다. ∴ 참
0
5-1
셀파 두 조건 p, q의 진리집합 P, Q에 대하여 PAQ이면 명제 p cbd q는 참이다. ⑴ 두 조건 p, q를 p：2x-1=3, q：x€+x-6=0 으로 놓고 진리집합을 각각 P, Q라 하면 2x-1=3에서 x=2 ∴ P={2} x€+x-6=0, 즉 (x+3)(x-2)=0에서 x=-3 또는 x=2 ∴ Q={-3, 2} 두 집합 P, Q의 포함 관계는 PAQ이므로 주어진 명제는 참 ⑵ 두 조건 p, q를 p：x는 3의 배수, q：x는 7의 배수가 아니다. 로 놓고 진리집합을 각각 P, Q라 하면 PEQ이므로 명제 p cbd q는 거짓 이때 x=21이면 x는 3의 배수이면서 7의 배수이므로 명제 p cbd q가 거짓임을 보여주는 반례는 x=21 반례 명제 p cbd q가 거짓임을 보일 때는 조건 p를 만족시키지만 조건 q를 만족시키지 않는 원소를 찾으면 된다. 이 원소를 명제 p cbd q에 대한 반례라 한다. 이때 특별한 조 건이 없으면 실수 전체의 집합을 전체집합으로 생각한다. 예 a+b가 정수이면 a, b는 정수이다. (거짓) [반례] a=;2!;, b=-;2!;이면 a+b는 정수이지만 a, b는 정수가 아니다. LEC TURE ① RAP이므로 명제 r cbd p는 참이다. ② REQ이므로 명제 r cbd q는 거짓이다. ③ RAQC이므로 명제 r cbd ~q는 참이다. ④ RAP, 즉 PC ARC이므로 명제 ~p cbd ~r는 참이다. ⑤ (PDQ)ARC이므로 명제 (p이고 q) cbd ~r는 참이다. 따라서 거짓인 명제는 ②0
6-1
셀파 벤 다이어그램에서 세 집합 P, Q, R의 포함 관계를 알아본다. 명제 ~p cbd ~q가 참이므로 PC AQC, 즉 QAP이다. ① QAP (참) ② PCQ=P (거짓) ③ PDQ=Q (참) ④ Q-P=z (참) ⑤ PC AQC (참) 따라서 항상 옳다고 할 수 없는 것은 ②0
6-2
셀파 AAB이면 BCAAC이 성립하고 ACABC이면 BAA가 성립한다. 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P={x|x<-3}, Q={x|x<a 또는 x>1} 명제 p cbd q가 참이므로 PAQ이어야 한다. 이때 PAQ가 되도록 두 집합 P, Q를 수직선 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같으므로 -3<a<10
7-1
셀파 수직선 위에 두 조건 p, q의 진리집합을 나타낸다. 1 -3 Q Q a P x0
7-2
셀파 명제 p cbd q가 참이면 PAQ이다. 두 조건 p, q를 p：0<x<3, q：a-2<x<a+2 로 놓고 진리집합을 각각 P, Q라 하면 명제 ‘0<x<3이면 a-2<x<a+2’가 항상 참이 되려면 PAQ이어야 한다. 이때 PAQ가 되도록 두 집합 P, Q를 수직선 위에 나타내면 다 음 그림과 같다. x a-2 0 3 a+2 Q P 따라서 a-2<0이고 a+2>3이므로1<a<2 a<2 a>1
3. 명제 | 25
10-1
셀파 진리집합의 포함 관계를 이용하여 두 명제 p cbd q, q cbd p의 참, 거짓을 판별한다. ⑴ 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P={x|x는 6의 약수}={1, 2, 3, 6}, Q={x|x는 12의 약수}={1, 2, 3, 4, 6, 12} 이때 PAQ, QEP이므로 p gm q 따라서 p는 q이기 위한 충분조건 ⑵ 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P={x|-2<x<4}, Q={x|0<x<3} 이므로 수직선 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같다. 이때 QAP, PEQ이므로 q gm p 따라서 p는 q이기 위한 필요조건 0 -2 P 3 4 Q x ① 명제 ~r cbd ~q가 참이므로 그 대우 q cbd r도 참이다. ② 두 명제 p cbd q와 q cbd r가 모두 참이므로 명제 p cbd r도 참 이다. ③ 명제 p cbd r가 참이므로 그 대우 ~r cbd ~p도 참이다. ⑤ 명제 p cbd q가 참이므로 그 대우 ~q cbd ~p도 참이다. 따라서 반드시 참이라고 할 수 없는 것은 ④0
9-2
셀파 두 명제 p cbd q와 ~r cbd ~q가 모두 참이므로 각 각의 대우도 모두 참이다.10-2
셀파 두 명제 p cbd q, q cbd p가 모두 참이면 p는 q이기 위한 필요충분조건이다. ⑴ 명제 p cbd q： x가 소수이면 x는 홀수이다. (거짓) [반례] x=2는 소수이지만 홀수가 아니다. 명제 q cbd p： x가 홀수이면 x는 소수이다. (거짓) [반례] x=9는 홀수이지만 소수가 아니다. 따라서 p f/fm q, q f/fm p이므로 p는 q이기 위한 아무 조건도 아 니다. ⑵ 명제 p cbd q：xy=0이면 x=0 또는 y=0 (참) 명제 q cbd p：x=0 또는 y=0이면 xy=0 (참) 따라서 p lffm q이므로 p는 q이기 위한 필요충분조건 다음과 같은 방법으로 조건 p가 조건 q이기 위한 무슨 조건인 지 판별하는 경우가 대부분이다. ⑴ 진리집합 (범위)에 의한 판별 두 집합에 대하여 ➊ (좁은 범위)는 (넓은 범위)이기 위한 충분조건 ➋ (넓은 범위)는 (좁은 범위)이기 위한 필요조건 ➌ 두 집합의 범위가 같으면 필요충분조건 ⑵ 참이 되는 방향에 의한 판별 ➊ ‘cbd’ 방향만 참이면 충분조건 ➋ ‘ea’ 방향만 참이면 필요조건 ➌ ‘cbd’, ‘ea’ 방향이 모두 참이면 필요충분조건 세미나 충분조건, 필요조건, 필요충분조건의 판별 방법 두 명제 p cbd r와 r cbd q가 모두 참이므로 명제 p cbd q도 참 이다. 명제 p cbd q가 참이므로 그 대우 ~q cbd ~p도 참이다. 따라서 반드시 참인 것은 ③0
9-1
셀파 두 명제 p cbd r와 r cbd q가 모두 참이면 삼단논법 에 의하여 명제 p cbd q도 참이다. ⑶ 주어진 명제를 p cbd q 꼴로 나타내면 p：n이 9의 배수이다. q：n이 3의 배수이다. 역： n이 3의 배수이면 n은 9의 배수이다. ∴ 거짓 [반례] n=6은 3의 배수이지만 9의 배수가 아니다. 대우：n이 3의 배수가 아니면 n은 9의 배수가 아니다. ∴ 참 어떤 명제와 그 역, 대우는 다음의 관계가 성립한다. 이들의 참, 거짓을 판별할 때는 대우의 참, 거짓을 알아보는 것이 편리 한 경우가 많다. ~p ~q ~q ~p p q q p 대우 역 역 대우 ➊ 명제 p cbd q가 참이면 그 대우 ~q cbd ~p도 참이다. ➋ 명제 p cbd q가 참이어도 그 역 q cbd p가 반드시 참인 것 은 아니다. | 참고 | ‘반드시 참인 것은 아니다.’의 뜻은 ‘참일 수도 있고 거짓일 수도 있다.’로 명제 p cbd q가 참인 조건만을 가지고는 그 역의 참, 거짓을 판별할 수 없다는 뜻이다. 세미나 명제의 역과 대우 26 | 정답과 해설 답_022030_수1(하)1-3_사.indd 26 2017. 3. 9. 오후 6:26본문 | 66 쪽 집중 연습 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 ⑴ P={x|x는 정수}, Q={x|x는 자연수} 이때 QAP, PEQ이므로 q gm p 따라서 p는 q이기 위한 필요조건 ⑵ P={x|x>0}, Q={x|x>5} 이때 QAP, PEQ이므로 q gm p 따라서 p는 q이기 위한 필요조건 ⑶ |x|<1이면 -1<x<1이므로 P={x|-1<x<1}, Q={x||x|<1}={x|-1<x<1} 이때 P=Q이므로 p lgm q 따라서 p는 q이기 위한 필요충분조건 ⑷ 명제 p cbd q：x=2, y=5이면 x+y=7 (참) 명제 q cbd p： x+y=7이면 x=2, y=5 (거짓) [반례] x=1, y=6이면 x+y=7이지만 x+2, y+5 따라서 p gm q, q f/fm p이므로 p는 q이기 위한 충분조건 ⑸ 명제 p cbd q： x=y이면 xz=yz (참) 명제 q cbd p： xz=yz이면 x=y (거짓) [반례] x=1, y=2, z=0이면 xz=yz이지만 x+y 따라서 p gm q, q f/fm p이므로 p는 q이기 위한 충분조건 ⑹ 명제 p cbd q： x>0, y>0이면 x+y>0, xy>0 (참) 명제 q cbd p： x+y>0, xy>0이면 x>0, y>0 (참) 따라서 p lffm q이므로 p는 q이기 위한 필요충분조건 | 참고 | ⑹ 명제 q cbd p에서 xy>0이면 x, y의 부호가 같으므로 x>0, y>0 또는 x<0, y<0 이때 x+y>0이므로 x>0, y>0
0
1
⑴ 두 조건 p, q를 p：AAB, q：ADB=A 로 놓으면 명제 p cbd q： AAB이면 ADB=A (참) 명제 q cbd p：ADB=A이면 AAB (참) 따라서 p lffm q이므로 AAB는 ADB=A이기 위한 필요충분 조건이다. ⑵ 두 조건 p, q를 p：n(A)<n(B), q：AAB 로 놓으면 명제 p cbd q： n(A)<n(B)이면 AAB (거짓) [반례] A={1, 2}, B={3, 4, 5}일 때, n(A)=2, n(B)=3에서 n(A)<n(B)이지만 AEB이다. 명제 q cbd p：AAB이면 n(A)<n(B) (참) 따라서 p f/fm q, q gm p이므로 n(A)<n(B)는 AAB 이기 위한 필요 조건이다.0
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⑵ 두 조건 p, q를 p：x가 소수, q：x€+x-2>0 으로 놓고 진리집합을 각각 P, Q라 하면 전체집합 U={1, 2, 3}의 원소 x에 대하여 P={2, 3} 한편 x=1일 때, x€+x-2=1€+1-2=0, x=2일 때, x€+x-2=2€+2-2=4>0, x=3일 때, x€+x-2=3€+3-2=10>0 이므로 Q={2, 3} 이때 P=Q이므로 p lffm q 따라서 ‘x가 소수’는 ‘x€+x-2>0’이기 위한 필요충분 조건이다. ⑶ 두 조건 p, q를 p：x, y가 유리수, q：x+y가 유리수 로 놓으면 명제 p cbd q： x, y가 유리수이면 x+y는 유리수 (참) 명제 q cbd p： x+y가 유리수이면 x, y가 유리수 (거짓) [반례] x='2, y=-'2이면 x+y=0으 로 유리수이지만 x, y는 유리수가 아니다. 따라서 p gm q, q f/fm p이므로 ‘x, y가 유리수’는 ‘x+y 가 유리수’이기 위한 충분 조건이다. ⑴ 두 조건 p, q를 p：0<x<2, q：-1<x<5 로 놓고 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P={x|0<x<2}, Q={x|-1<x<5} 이때 PAQ, QEP이므로 p gm q 따라서 ‘0<x<2’는 ‘-1<x<5’이기 위한 충분 조건이다.0
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0 -1 2 5 x Q P 3. 명제 | 27 답_022030_수1(하)1-3_사.indd 27 2017. 3. 2. 오후 7:49p는 ~r이기 위한 충분조건이므로 p gm ~r r는 q이기 위한 필요조건이므로 q gm r 이때 q gm r에서 그 대우를 생각하면 ~r gm ~q이다. 따라서 p gm ~r, ~r gm ~q이므로 p gm ~q 그러므로 항상 참인 것은 ③
13-1
셀파 대우와 삼단논법을 이용한다.0
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셀파 실수 A, B, C에 대하여 A€+B€+C€+0이면 A+0 또는 B+0 또는 C+0이어야 한다. 부정： (a-b)€+(b-c)€+(c-a)€+0 lgm a+b 또는 b+c 또는 c+a lgm a, b, c 중 서로 다른 것이 있다. 따라서 구하는 답은 ⑤ | 참고 | a, b, c는 서로 다르다. lgm a+b+c lgm a+b이고 b+c이고 c+a lgm (a-b)(b-c)(c-a)+0 (a-b)(b-c)(c-a)>0lgm a<b<c 또는 b<c<a 또는 c<a<b
본문 | 70~71 쪽 연습 문제
