주어진 명제의 대우는
‘자연수 n에 대하여 n이 홀수이면 n€은 홀수 이다.’
n=2k-1(k는 자연수)로 놓으면 n€=4k€-4k+1=2(2k€-2k)+ 1
k가 자연수일 때, 2k€-2k는 음이 아닌 정수이므로 n€은 홀수 이다.
따라서 대우가 참 이므로 주어진 명제도 참이다.
1-1
주어진 명제의 대우는
‘실수 a, b, c에 대하여 c+0일 때, ac=bc이면 a=b 이 다.’
ac=bc에서
ac-bc=0, c(a-b)=0
c+0이므로 a-b=0, 즉 a=b 이다.
따라서 대우가 참이므로 주어진 명제도 참 이다.
1-2
⑴ x>0, ;x@;>0이므로 (산술평균)>(기하평균)에서 x+;x@;>2æ√x_;x@;=2'2
{단, 등호는 x=;x@;, 즉 x='2일 때 성립}
따라서 x+;x@;의 최솟값은 2'2
⑵ x>0, 14x >0이므로 (산술평균)>(기하평균)에서 x+ 14x >2æ√x_ 1
4x =2æ;4!;=1
{단, 등호는 x= 14x , 즉 x=;2!;일 때 성립}
따라서 x+ 14x 의 최솟값은 1
x€=2에서 x='2 (∵ x>0)
x€=;4!;에서 x=;2!; (∵ x>0)
2-1
⑴ x>0, ;x(;>0이므로 (산술평균)>(기하평균)에서 x+;x(;>2æ√x_;x(;=2_3=6
{단, 등호는 x=;x(;, 즉 x=3일 때 성립}
따라서 x+;x(;의 최솟값은 6
⑵ 2x>0, ;x$;>0이므로 (산술평균)>(기하평균)에서 2x+;x$;>2æ√2x_;x$;=2'8=4'2
{단, 등호는 2x=;x$;, 즉 x='2일 때 성립}
따라서 2x+;x$;의 최솟값은 4'2
x€=9에서 x=3 (∵ x>0)
x€=2에서 x='2 (∵ x>0)
2-2
본문 | 76~83 쪽 확인 문제
주어진 명제의 대우는
‘두 자연수 x, y에 대하여 x, y가 모두 짝수이면 x+y는 짝수이다.’
x, y가 모두 짝수이므로 x=2m, y=2n (m, n은 자연수)이라 하면
x+y=2m+2n=2(m+n)
이때 m+n은 자연수이므로 x+y는 짝수이다.
따라서 대우가 참이므로 주어진 명제도 참이다.
01-1
셀파 명제 p cbd q가 참이면 그 대우 ~q cbd ~p도 참 이다.주어진 명제의 대우는
‘a, b, c가 양의 정수일 때, a, b, c가 모두 홀수이면 a€+b€+c€은 홀수이다.’
a, b, c가 모두 홀수이므로 a=2l-1, b=2m-1, c=2n-1 (l, m, n은 자연수)이라 하면
a€+b€+c€ =(2l-1)€+(2m-1)€+(2n-1)€
=4l€-4l+1+4m€-4m+1+4n€-4n+1
=2(2l€-2l+2m€-2m+2n€-2n+1)+1 이때 2l€-2l+2m€-2m+2n€-2n+1은 자연수이므로 a€+b€+c€은 홀수이다.
따라서 대우가 참이므로 주어진 명제도 참이다.
01-2
셀파 명제와 그 대우의 참, 거짓은 일치한다.4. 명제의 증명 | 31
답_031035_수1(하)1-4_사.indd 31 2017. 3. 2. 오후 7:49
'3이 유리수라 하면 '3= nm (m, n은 서로소인 자연수) 위 식의 양변을 제곱하면 3= n€m€ 에서
n€=3m€ yy㉠
여기서 n€이 3의 배수이므로 n도 3의 배수이다.
n=3k (k는 자연수)로 놓고 ㉠에 대입하면 (3k)€=3m€, 9k€=3m€ 4 m€=3k€
이때 m€이 3의 배수이므로 m도 3의 배수이다.
이것은 m, n이 서로소라는 가정에 모순이다.
따라서 '3은 유리수가 아니다.
02-1
셀파 '3이 유리수라 하고 모순됨을 보인다.n이 홀수라 하면 n=2k-1(k는 자연수) n€=(2k-1)€=2(2k€-2k)+1
이때 2k€-2k는 음이 아닌 정수이므로 n€은 홀수이다.
이것은 n€이 짝수라는 가정에 모순이다.
따라서 n€이 짝수이면 n은 짝수이다.
02-2
셀파 n이 홀수라 하고 n€이 짝수라는 가정에 모순됨을 보인 다.⑴ |x-y|€-||x|-|y||€
=(x-y)€-(|x|-|y|)€
=x€-2xy+y€-(x€-2|xy|+y€)
=2(|xy|-xy)>0 ∴ |x-y|€>||x|-|y||€
|x-y|>0, ||x|-|y||>0이므로
|x-y|>||x|-|y||(단, 등호는 xy>0일 때 성립)
⑵ x€+y€+3-2(x-y) =x€+y€-2x+2y+3
=x€-2x+1+y€+2y+1+1
=(x-1)€+(y+1)€+1>0 ∴ x€+y€+3>2(x-y)
⑶ x€+y€+1-xy-x-y
=;2!;(2x€+2y€+2-2xy-2x-2y)
=;2!;(x€-2xy+y€+x€-2x+1+y€-2y+1)
=;2!;{(x-y)€+(x-1)€+(y-1)€}
x, y가 실수이므로
(x-y)€>0, (x-1)€>0, (y-1)€>0
∴ x€+y€+1>xy+x+y (단, 등호는 x=y=1일 때 성립)
03-1
셀파 A-B의 부호 또는 A€-B€의 부호를 조사한다.2a>0, 3b>0이므로 (산술평균)>(기하평균)에서 2a+3b
2 >"ƒ2a_3b
∴ 2a+3b>2"ƒ6ab (단, 등호는 2a=3b일 때 성립) 이때 2a+3b=6이므로 6>2"ƒ6ab
2"ƒ6ab<6의 양변을 제곱하면 24ab<36 ∴ ab<;2#;
이때 등호는 2a=3b일 때 성립하고 2a+3b=6이므로 2a=3, 3b=3
따라서 a=;2#;, b=1일 때, ab의 최댓값은 ;2#;
04-1
셀파 a>0, b>0이면 a+b>2'ßab이고 등호는 a=b일 때 성립한다.⑴ 3a>0, 5b>0이므로 (산술평균)>(기하평균)에서 3a+5b
2 >'ß3a_5b
∴ 3a+5b>2'ß15ab (단, 등호는 3a=5b일 때 성립) 이때 ab=15이므로 3a+5b>2_15=30
따라서 3a+5b의 최솟값은 30
⑵ a€>0, b€>0이므로 (산술평균)>(기하평균)에서 a€+b€
2 >"ƒa€b€
∴ a€+b€>2ab (단, 등호는 a€=b€일 때 성립) 이때 ab=4이므로 a€+b€>2_4=8
따라서 a€+b€의 최솟값은 8
04-2
셀파 a>0, b>0이면 a+b2 >'ßab 이다.
⑴ {a+;b!;}{b+;a!;}=ab+1+1+;a¡b;
=ab+;a¡b;+2 이때 ab>0, ;a¡b;>0이므로
ab+;a¡b;>2æ√ab_;a¡b;=2
{단, 등호는 ab=;a¡b;, 즉 ab=1일 때 성립}
∴ {a+;b!;}{b+;a!;}=ab+;a¡b;+2>2+2=4 따라서 구하는 최솟값은 4
05-1
셀파 주어진 식을 전개하여 (산술평균)>(기하평균)을 이 용한다.x, y가 실수이므로 (x-1)€>0, (y+1)€>0
32 | 정답과 해설
답_031035_수1(하)1-4_사.indd 32 2017. 3. 2. 오후 7:49
⑴ a, b, c, d가 실수이므로 코시-슈바르츠의 부등식에서 (a€+b€)(c€+d €)>(ac+bd)€
이때 a€+b€=3, c€+d €=27이므로 3_27>(ac+bd)€, (ac+bd)€<81
∴ -9<ac+bd<9 {단, 등호는;aC;=;bD;일 때 성립}
⑵ a, b가 실수이므로 코시-슈바르츠의 부등식에서 (2€+3€)(a€+b€)>(2a+3b)€
이때 a€+b€=13이므로 13_13>(2a+3b)€
∴ -13<2a+3b<13 {단, 등호는 ;2A;=;3B;일 때 성립}
따라서 2a+3b의 최댓값은 13
⑶ a, b, c가 실수이므로 코시-슈바르츠의 부등식에서 (3€+4€+5€)(a€+b€+c€)>(3a+4b+5c)€
이때 a€+b€+c€=8이므로 50_8>(3a+4b+5c)€
(3a+4b+5c)€<400 ∴ -20<3a+4b+5c<20
{단, 등호는 ;3A;=;4B;=;5C;일 때 성립}
06-1
셀파 ⑴, ⑵ (a€+b€)(x€+y€)>(ax+by)€을 이용한다.⑶ (a€+b€+c€)(x€+y€+z€)>(ax+by+cz)€을 이용한 다.
산술평균과 기하평균 {a+;a!;}{a+;a$;}에서 a>0이므로
a+;a!;>2æ√a_;a!;=2, a+;a$;>2æ√a_;a$;=4 두 식을 변끼리 곱하면
{a+;a!;}{a+;a$;}>2_4=8
과 같이 생각하여 {a+;a!;}{a+;a$;}의 최솟값을 8이라 하면 안 된다.
1 a+;a!;>2æ√a_;a!;에서 등호가 성립하는 경우는 a=;a!;, 즉 a=1일 때이다.
2 a+;a$;>2æ√a_;a$;에서 등호가 성립하는 경우는 a=;a$;, 즉 a=2일 때이다.
1, 2에 의하여
{a+;a!;}{a+;a$;}>2æ√a_;a!;_2æ√a_;a$;
에서 등호가 성립하는 실수 a의 값은 존재하지 않는다.
따라서 주어진 식을 전개하여 (산술평균)>(기하평균)을 이 용할 수 있는 부분을 찾는다.
LEC TURE
⑵ {2x+;y#;}{;x#;+2y}=6+4xy+ 9xy +6
=4xy+ 9xy +12 이때 4xy>0, 9xy >0이므로
4xy+ 9xy >2æ√4xy_ 9 xy =12
{단, 등호는 4xy= 9xy , 즉 xy=;2#;일 때 성립}
∴ {2x+;y#;}{;x#;+2y}=4xy+ 9xy +12>12+12=24 따라서 구하는 최솟값은 24
⑶ {a+;a!;}{a+;a$;}=a€+4+1+ 4a€=a€+4 a€+5 이때 a>0이므로 a€>0, 4a€>0에서
a€+ 4a€ >2æ√a€_ 4a€=4
{단, 등호는 a€= 4a€, 즉 a='2일 때 성립}
∴ {a+;a!;}{a+;a$;}=a€+ 4a€+5>4+5=9 따라서 구하는 최솟값은 9
임의의 실수 a, b, c, x, y, z에 대하여
(a€+b€+c€)(x€+y€+z€)>(ax+by+cz)€
이 성립함을 확인해 보자.
(a€+b€+c€)(x€+y€+z€)-(ax+by+cz)€
= a€x€+a€y€+a€z€+b€x€+b€y€+b€z€+c€x€+c€y€+c€z€
-(a€x€+b€y€+c€z€+2abxy+2bcyz+2acxz)
=(a€y€-2abxy+b€x€)+(b€z€-2bcyz+c€y€)
+(a€z€-2acxz+c€x€)
=(ay-bx)€+(bz-cy)€+(az-cx)€>0
∴ (a€+b€+c€)(x€+y€+z€)>(ax+by+cz)€
ay-bx=0, bz-cy=0, az-cx=0, 즉 ay=bx, bz=cy, az=cx에서 ;aX;=;bY;=;cZ;
이때 좌변은 0이 되므로 임의의 실수 a, b, c, x, y, z에 대하 여 등호는 ;aX;=;bY;=;cZ;일 때 성립한다.
세미나 (a€+b€+c€)(x€+y€+z€)>(ax+by+cz)€의 증명
4. 명제의 증명 | 33
답_031035_수1(하)1-4_사.indd 33 2017. 3. 2. 오후 7:49
본문 | 84~85 쪽 연습 문제
주어진 명제의 대우는
‘두 자연수 m, n에 대하여 m+n이 짝수이면 m€+n€도 짝수이 다.’
m+n이 짝수 이면 m, n은 모두 짝수이거나 모두 홀수이다.
m, n이 모두 짝수이면 m€, n€은 모두 짝수이고, m, n이 모두 홀 수이면 m€, n€은 모두 홀수 이다.
그러므로 m€+n€은 짝수 이다.
따라서 대우가 참이므로 주어진 명제도 참이다.
㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것을 차례로 나열한 것은 ③
01
셀파 주어진 명제의 대우가 참이면 주어진 명제도 참이다.n+1이 홀수라 하면 n은 짝수 이므로 n은 2의 배수 이다.
그런데 이것은 n이 2가 아닌 소수 라는 가정에 모순이다.
따라서 n이 2가 아닌 소수이면 n+1은 짝수이다.
㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것을 차례로 나열한 것은 ④
02
셀파 n+1이 홀수라 하고 n이 2가 아닌 소수라는 가정에 모순 됨을 보인다.n이 3의 배수가 아니라 하면
n=3k+1, 3k+2(k는 음이 아닌 정수) 꼴로 나타낼 수 있다.
1 n=3k+1일 때
n€=(3k+1)€=3(3k€+2k)+ 1 이므로 n€은 3의 배수가 아니다.
2 n=3k+2일 때
n€=(3k+2)€=3(3k€+4k+1)+ 1 이므로 n€은 3의 배수가 아니다.
1, 2에서 n€이 3의 배수라는 가정에 모순이다.
따라서 n€이 3의 배수이면 n도 3의 배수이다.
a=1, b=1이므로 a+b=2
03
셀파 n이 3의 배수가 아니라 하고 n€이 3의 배수라는 가정에 모순됨을 보인다.① x€-x-2>0, (x+1)(x-2)>0 ∴ x<-1 또는 x>2
따라서 부등식 x€-x-2>0은 x<-1 또는 x>2일 때만 성 립하므로 절대부등식이 아니다.
② x€+1>x에서 x€-x+1>0
x€-x+1={x-;2!;}€+;4#;>0이므로
x€-x+1>0은 모든 실수 x에 대하여 항상 성립한다.
04
셀파 모든 실수 x, y에 대하여 성립하는 부등식을 찾는다.③ x€>0은 모든 실수 x에 대하여 항상 성립한다.
④ x=y=0이면 x€+xy+y€=0<1이다.
따라서 부등식 x€+xy+y€>1은 절대부등식이 아니다.
⑤ x=-1, y=-1이면 x+y=-2, 2'ßxy=2 ∴ x+y<2'ßxy
따라서 부등식 x+y>2'ßxy는 절대부등식이 아니다.
구하는 절대부등식은 ②, ③
직선 ;aX;+;bY;=1이 점 (2, 3)을 지나므로
;a@;+;b#;=1 yy㉠
a>0, b>0이므로 (산술평균)>(기하평균)에서
;a@;+;b#;>2æ√;a@;_;b#;=2æ√;a§b;
㉠을 대입하면 1>2æ√;a§b;
æ√;a§b;<;2!;의 양변을 제곱하면
;a§b;<;4!;, ab6 >4
∴ ab>24 {단, 등호는 ;a@;=;b#;일 때 성립}
따라서 ab의 최솟값은 24이므로 구하는 답은 ③
06
셀파 산술평균과 기하평균의 관계를 이용하여 식의 최솟값을 구한다. x€+2y€+1-2y(x+1)
=x€+2y€+1-2xy-2y
=x€-2xy+y€+y€-2y+1
=(x-y)€+(y-1)€
이때 x, y는 실수이므로 (x-y)€>0, (y-1)€>0 ∴ x€+2y€+1-2y(x+1)>0
∴ x€+2y€+1>2y(x+1) (단, 등호는 x=y=1일 때 성립)
채점 기준 배점
우변을 좌변으로 이항하여 완전제곱식 꼴로 정리한다. 50%
실수 조건을 이용하여 ㈎에서 구한 식의 부호를 구한다. 30%
x€+2y€+1>2y(x+1)임을 보이고 등호가 성립하는 실수 x, y의 값
을 구한다. 20%
05
셀파 우변을 좌변으로 이항하여 정리한 다음 (완전제곱식)>0 을 이용한다.34 | 정답과 해설
답_031035_수1(하)1-4_사.indd 34 2017. 3. 2. 오후 7:49
두 직선 ax+y=3, 3x+by=4가 평행하므로
;3A;=;b!;+;4#; ∴ ab=3
a>0, b>0이므로 (산술평균)>(기하평균)에서 a+b>2'ßab=2'3 (단, 등호는 a=b='3일 때 성립) 따라서 a+b의 최솟값은 2'3이므로 구하는 답은 ④
08
셀파 두 직선 ax+by+c=0, a'x+b'y+c'=0이 평행하면 a'a =b'b +c' c
x€4 +y€
9 ={;2X;}€+{;3Y;}€이므로 코시-슈바르츠의 부등식에 의하여 (2€+3€)[{;2X;}€+{;3Y;}€]>{2*;2X;+3*;3Y;}€
{단, 등호는 ;4X;=;9Y;일 때 성립}
13{ x€4 +y€
9 }>(x+y)€
이때 x+y=2이므로 x€4 +y€
9 >;1¢3;
따라서 구하는 최솟값은 ;1¢3;
09
셀파 (a€+b€)(x€+y€)>(ax+by)€을 이용한다.직각삼각형 모양의 텃밭에서 빗변이 아닌 두 변의 길이를 각각 a m, b m(a>0, b>0)라 하면
1 a, b, 6은 삼각형의 세 변의 길이이므로 a+b>6 åå㉠
2 피타고라스 정리에서 a€+b€=36 이때 코시-슈바르츠의 부등식에서 (1€+1€)(a€+b€) >(a+b)€
2_36>(a+b)€, (a+b)€<72
∴ -6'2<a+b<6'2 åå㉡
㉠, ㉡에서 6<a+b<6'2 (단, 등호는 a=b일 때 성립) 이때 텃밭의 둘레의 길이는 (a+b+6) m이다.
따라서 12<a+b+6<6+6'2이므로 텃밭의 둘레의 길이의 최댓값은 (6+6'2 ) m
11
셀파 직각삼각형에서 빗변이 아닌 두 변의 길이를 각각 a m, b m로 놓는다.6 m a m
텃밭 b m
x+ 1x-3 =(x-3)+ 1 x-3 +3 x>3에서 x-3>0
x-3>0, 1x-3 >0이므로 (산술평균)>(기하평균)에서 x+ 1x-3 =(x-3)+ 1
x-3 +3
>2Ƙ(x-3)_{ 1x-3 }+3
=2+3=5
{단, 등호는 x-3= 1x-3 , 즉 x=4일 때 성립}
따라서 x+ 1x-3 의 최솟값은 5
07
셀파 주어진 식을 (x-3)+ 1x-3 +3으로 변형하여 (산술평균)>(기하평균)을 이용한다.
오른쪽 그림과 같이 지름의 길이가 30 cm인 원에 내접하는 직사각형의 가로, 세로의 길이 를 각각 x cm, y cm(x>0, y>0)라 하면 피타고라스 정리에서
x€+y€=30€
또 x€>0, y€>0이므로 (산술평균)>(기하평균)에서
x€+y€
2 >"ƒx€y€=xy (∵ xy>0)
이때 직사각형의 넓이는 xy이고 x€+y€=900이므로 xy<450 (단, 등호는 x€=y€, 즉 x=y일 때 성립) 따라서 밑면의 넓이의 최댓값은 450 cm€
10
셀파 직사각형의 가로, 세로의 길이를 각각 x cm, y cm라 하 면 대각선의 길이는 "ƒx€+y€ cm이다.30 cm x cm
y cm
산술평균과 기하평균의 활용 산술평균과 기하평균을 활용하기 위해서는
➊ 양수 조건
➋ 문자의 합이 일정한 경우
➌ 문자의 곱이 일정한 경우
➍ 등호 조건 을 확인해야 한다.
LEC TURE
4. 명제의 증명 | 35
답_031035_수1(하)1-4_사.indd 35 2017. 3. 2. 오후 7:49
본문 | 89, 91, 93 쪽
X f
주어진 대응을 그림으로 나타내면 다음과 같다. h(-1)=-1, h(0)=0, h(1)=1 i(-1)=1, i(0)=0, i(1)=1 에서
f(-1)=h(-1), f(0)=h(0), f(1)=h(1)이고 g(-1)=i(-1), g(0)=i(0), g(1)=i(1) 따라서 서로 같은 함수는
① ② ③
집합 X={1, 2, 3, y, 10}에 대하여 1 항등함수의 개수는 f(x)=x로 1
2 상수함수는 f(x)=c (c는 상수)에서 c가 될 수 있는 수는 1, 2, 3, y, 10 중 하나이다.
따라서 상수함수의 개수는 10
07-1
셀파 X={1, 2, 3, y, 10}에 대하여 X에서 X로의 상수 함수의 개수는 n(X)이다.함수 f는 항등함수이므로 f(x)=x이다.
∴ f(2)=2
모든 실수 x에 대하여 g(x)=4이므로 g(x)는 상수함수이다.
∴ g(-2)=4
∴ f(2)g(-2)=2_4=8
07-2
셀파 모든 실수 x에 대하여 g(x)=4이므로 g(x)는 상수 함수이다.함수 f(x)=2x+k는 증가함수이므 로 f(x)가 일대일대응이려면 f(3)=3이어야 한다.
즉, 직선 y=2x+k의 그래프가 점 (3, 3)을 지나야 하므로 3=6+k ∴ k=-3
06-2
셀파 집합 X={x|x>3}에 대하여 f(x)는 X에서 X로 의 함수이므로 정의역은 {x|x>3}, 공역은 {y|y>3}이다.x y
O 3
3
y=f(x)
⑴ 1에 대응할 수 있는 집합 Y의 원소는 4, 5, 6, 7, 8 중 하나이 므로 5개
2에 대응할 수 있는 집합 Y의 원소는 4, 5, 6, 7, 8 중 하나이 므로 5개
3에 대응할 수 있는 집합 Y의 원소는 4, 5, 6, 7, 8 중 하나이 므로 5개
따라서 구하는 함수의 개수는 5_5_5=5‹=125
⑵ 1에 대응할 수 있는 집합 Y의 원소는 4, 5, 6, 7, 8 중 하나이 므로 5개
2에 대응할 수 있는 집합 Y의 원소는 1에 대응한 것을 제외한 4개
08-1
셀파 정의역 X의 각 원소에 대응할 수 있는 공역 Y의 원소 의 개수를 구한다.정의역 X의 원소 a에는 공역 X의 원소 a, b, c, d 중 하나가 대 응할 수 있고, b에는 a에 대응한 원소를 제외한 나머지 3개 중 하 나가 대응할 수 있다.
또 c에는 a, b에 대응한 원소 2개를 제외한 나머지 2개 중 하나가 대응할 수 있고, d에는 a, b, c에 대응한 원소 3개를 제외한 나머 지 하나가 대응할 수 있다.
따라서 구하는 일대일대응의 개수는 4_3_2_1=24
08-2
셀파 집합 X의 원소의 개수가 n개일 때, X에서 X로의 일 대일대응의 개수는 n_(n-1)_y_2_1두 집합 A={a¡, a™, y, an}, B={b¡, b™, y, bm}에 대하여 f：A ad B일 때
➊ 함수 f의 개수 ⇨ mn
f(a¡) b¡
b™
⋮ bm
f(a™) b¡
b™
⋮ bm
y f(an) b¡
b™
⋮ bm
위의 수형도에서 f(a¡), f(a™), y, f(an)이 각각 m가지의 함숫값을 가질 수 있으므로 함수의 개수는 mn이다.
위의 수형도에서 f(a¡), f(a™), y, f(an)이 각각 m가지의 함숫값을 가질 수 있으므로 함수의 개수는 mn이다.