2
02-1 답 a=1, b=-2주어진 식의 좌변을 통분하여 정리하면 a
x+1- bx+a
x@-x+1 =a{x@-x+1}-{bx+a}{x+1}
{x+1}{x@-x+1}
={a-b}x@-{2a+b}x
x#+1
이때 {a-b}x@-{2a+b}x x#+1 = 3x@
x#+1이 x에 대한 항등식 이므로 분자의 동류항의 계수를 비교하면
a-b=3, 2a+b=0 두 식을 연립하여 풀면
=ax{x+1}+b{x-1}{x+1}+cx{x-1}
x{x-1}{x+1}
={a+b+c}x@+{a-c}x-b x{x@-1}
이때 {a+b+c}x@+{a-c}x-b
x{x@-1} = 5x@-1
x{x@-1}이 x에 대 한 항등식이므로 분자의 동류항의 계수를 비교하면 a+b+c=5, a-c=0, b=1
즉, a+c=4, a-c=0이므로 두 식을 연립하여 풀면 a=2, c=2
=2{x+4}{x+6}-2x{x+2}
x{x+2}{x+4}{x+6}
{x-1}{x@+x+1}- {x+1}{x-1}
{x@+x+1}{x-1}
+ 2x@+x
{x-1}{x@+x+1}
=x@+x+1-{x@-1}+2x@+x
{x-1}{x@+x+1}
x@+5x+4_x@-4x+3
2x@+3x+1\x@+3x-4
2x@-3x-2 ={x-2}{x-3}
{x+4}{x+1}\{x+1}{2x+1}
{x-1}{x-3}
=2{x@+1}-2{x@-1}
{x@-1}{x@+1} - 4
x$+1
= 4
x$-1- 4
x$+1
=4{x$+1}-4{x$-1}
{x$-1}{x$+1}
⑵ 1 x=3k, y=4k, y=5k
이를 주어진 식에 대입하면
xy+yz+zx = {3k}@+{4k}@+{5k}@
3k\4k+4k\5k+5k\3k =50k@
47k@=50 47
04-2 답 6
{x+y}`:`{y+z}`:`{z+x}=3`:`5`:`4이므로 x+y
㉠+㉡+㉢을 하면 2{x+y+z}=12k / x+y+z=6k yy ㉣ ㉣에서 ㉡, ㉢, ㉠을 각각 빼면 x=k, y=2k, z=3k 이를 주어진 식에 대입하면 {x+y+z}#
x#+y#+z#= {k+2k+3k}#
k#+{2k}#+{3k}#=216k#
36k#=6
4 답 ⑴ y=- 7x+2+2 ⑵ y= 3x+1-1
이때 y=ax+5
-a+1=-1, 2+b=3 / a=2, b=1 / a+b=3 이므로 a<x<1에서 y=x+b
x-2 함수 y=kx+3k+2
x+3
따라서 y=3x+1
직선 y=x를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 5만 큼 평행이동하면
y-5=x-1 / y=x+4
직선 y=-x를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 5 만큼 평행이동하면
y-5=-{x-1} / y=-x+6 이때 a>m이므로
a=1, b=4, m=-1, n=6
/ ab-mn=1\4-{-1}\6=10 08-3 답 a=2, b=-1
이때 두 직선 y=x+1, y=-x+3이 점 {-b, a}를 지 나야 하므로 a=-b+1, a=b+3
x-6+9 {k>0} yy ㉠
라 하면 이 함수의 그래프가 점 {4, 0}을 지나므로 / a=9, b=-36, c=-6
09-2 답 5 따라서 a=2, b=2, c=1이므로
a+b+c=5
이때 y=x-2
x-2={kx+1}{x+1}
x-2=kx@+kx+x+1
/ kx@+kx+3=0
이 이차방정식이 중근을 가져야 하므로 판별식을 D라
하면
D=k@-12k=0, k{k-12}=0 / k=12 {? k=0}
!, @에 의하여 k=12
11-1 답 31 f{x}= 2x
x+1 에서
f @{x} ={ f`J`f !}{x}=f{ f{x}}
=f [ 2x
f #{x} ={ f`J`f @}{x}=f{ f @{x}}
=f [ 4x
f ${x} ={ f`J`f #}{x}=f{ f #{x}}
=f [ 8x 따라서 a=16, b=0, c=15이므로 a+b+c=31
f #{x} ={ f`J`f @}{x}=f{ f @{x}}
=f{x}= x x-1 따라서 자연수 n에 대하여
f @{x}=f ${x}=f ^{x}=y=f @N{x}=x 는 항등함수이므로
f @)@!{x}=f 1010\2+1{x}=f{x}= x x-1 / f @)@!{2021}=2021
2020
12-1 답 g{x}= x+2 2x-1
{ f `J`g}{x}=x에서 g{x}=f _!{x}이므로 함수 g는 함수 f의 역함수이다.
y= x+2
2x-1 라 하고 x에 대하여 풀면 y{2x-1}=x+2, x{2y-1}=y+2 / x= y+2 y{x-a}=-x+a+2, x{y+1}=ay+a+2 / x=ay+a+2
또 y=f{x}의 역함수의 그래프가 점 {2, 1}을 지나므로 f _!{2}=1에서 f{1}=2
a-1
=-a{b-c}-b{c-a}-c{a-b}
{a-b}{b-c}{c-a}
=-ab+ca-bc+ab-ca+bc {a-b}{b-c}{c-a} =0
2 주어진 식의 좌변을 통분하여 정리하면
=ax@+{2a+b}x+a+b+c {x+1}#
이때 ax@+{2a+b}x+a+b+c
{x+1}# =x@+4x+2 {x+1}# 가 x에 대한 항등식이므로
a=1, 2a+b=4, a+b+c=2
/ a=1, b=2, c=-1 / abc=-2
5 {x+y}`:`{y+z}`:`{z+x}=4`:`7`:`5에서 x+y 2{x+y+z}=16k
/ x+y+z=8k yy ㉣ ㉣에서 ㉡, ㉢, ㉠을 각각 빼면 x=k, y=3k, z=4k 이를 주어진 식에 대입하면
7 y= 5
x-p +2의 그래프의 점근선의 방정식은 x=p, y=2 이다.
a>0이므로 직선 y=x를 x축의 방향으로 -1만큼, y축 의 방향으로 2만큼 평행이동하면
y-2=x+1 / y=x+3 따라서 a=1, b=3이므로 a+b=4
13 주어진 그래프에서 점근선의 방정식이 x=2, y=3이므 로 함수의 식을
y= k
x-2+3 {k<0} yy ㉠
이라 하면 이 함수의 그래프가 점 {0, 4}를 지나므로
따라서 a=3, b=-8, c=-2이므로 a+b+c=-7
14 f{x}=1- 1
2x=2x-1 2x 에서
f @{x} ={ f`J`f !}{x}=f{ f{x}}
=f [2x-1
f #{x} ={ f`J`f @}{x}=f{ f @{x}}
=f [ x-1
f ${x} ={ f`J`f #}{x}=f{ f #{x}}
=f [ -1
따라서 f K{x}=x를 만족시키는 자연수 k의 최솟값은 4 이다.
15 { f _!`J`g}_!{5} ={g_!`J`f }{5}
=g_!{ f{5}}
y{x-a}=2x-1, {y-2}x=ay-1 / x=ay-1 y-2
따라서 PAZ+PBZ의 최솟값은 2j3+3이다.
18 y =2x+3
x+a=2{x+a}-2a+3
x+a
=-2a+3
x+a +2 (단, a>0) 따라서 y=2x+3
x+a 의 그래프는 y=-2a+3
x 의 그래프를 x축의 방향으로 -a만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이 동한 것이다.
! -2a+3>0, 즉 0<a<3
2 y 일 때, 0<x<2에서 x+a
y=2x+3
그런데 0<a<3
2 이므로 조건을 만족시키지 않는다. 일 때, 0<x<2에서
y=2x+3
x+5 {0<x<2}은 x=0에서 최솟값 을 가지므로 최솟값은 3
1-x={kx-1}{x-2}
1-x=kx@-2kx-x+2
/ kx@-2kx+1=0
이 이차방정식의 실근이 존재하지 않아야 하므로 판별
식을 D라 하면
D
4=k@-k<0, k{k-1}<0 / 0<k<1
!, @에 의하여 0<k<1
20 f{x}=ax+1, g{x}=x+1
x-1 , h{x}=bx+1이라 할 때, 2<x<3에서 부등식 f{x}<g{x}<h{x}가 항상 성립 해야 하므로 직선 y=f{x}는 y=g{x}의 그래프보다 아 x=2일 때 g{2}=3, x=3일 때 g{3}=2이므로 2<x<3에서 y=g{x}의 그래프는 다음 그림과 같다.
이때 직선 y=f{x}는 a의 값에 관계없이 점 {0, 1}을 지 나고, a의 값이 최대가 될 때는 직선 f{x}=ax+1이 점 {3, 2}를 지날 때이므로 a=1
3
또 직선 y=h{x}도 b의 값에 관계없이 점 {0, 1}을 지 나고, b의 값이 최소가 될 때는 직선 h{x}=bx+1이 점
21 주어진 그래프에서 f _!{0}=3, f _!{3}=0이므로 f{3}=0, f{0}=3
f @{3} ={ f`J`f !}{3}=f{ f{3}}
=f{0}=3
f #{3} ={ f`J`f @}{3}=f{ f @{3}}
=f{3}=0
f ${3} ={ f`J`f #}{3}=f{ f #{3}}
=f{0}=3 ⋮
/ f N{3}=- 0 {n은 홀수}
3 {n은 짝수}
/ f !))@{3}=3