따라서 구하는 방법의 수는 6이다.
20 B 지점과 D 지점 사이에 x개의 도로를 추가한다고 하면
! A ! B ! C를 이용하는 방법의 수는 3\2=6
@ A ! D ! C를 이용하는 방법의 수는 2\3=6
# A ! B ! D ! C를 이용하는 방법의 수는 3\x\3=9x
$ A ! D ! B ! C를 이용하는 방법의 수는 2\x\2=4x
!~$에 의하여 A 지점에서 출발하여 C 지점으로 가는 방법의 수는
6+6+9x+4x=90 13x=78 / x=6
따라서 추가해야 하는 도로의 개수는 6이다.
1 답 ⑴ 3 ⑵ 90 ⑶ 360 ⑷ 1 2 답 ⑴ 1 ⑵ 6 ⑶ 120 ⑷ 5040
165쪽
순열
02 순열
1
⑵ n-1Pr+r\n-1Pr-1 = {n-1}?
9{n-1}-r0?+r\ {n-1}?
9{n-1}-{r-1}0?
= {n-1}?
{n-r-1}?+r\{n-1}?
{n-r}?
={n-r}\{n-1}?
{n-r}?+r\{n-1}?
{n-r}? {? n-r>0}
={n-r+r}\{n-1}?
{n-r}?
=n\{n-1}?
{n-r}?= n?
{n-r}?
=nPr
∴ nPr=n-1Pr+r\n-1Pr-1 (단, 1<r<n)
02-1 답 210
서로 다른 7개에서 3개를 택하는 순열의 수와 같으므로 7P3=7\6\5=210
02-2 답 720
서로 다른 10개에서 3개를 택하는 순열의 수와 같으므로 10P3=10\9\8=720
02-3 답 4
서로 다른 n개를 일렬로 나열하는 방법의 수가 24이므로 nPn=24에서 n?=4\3\2\1
/ n=4
03-1 답 240
모음 e와 i를 한 묶음으로 생각하여 나머지 4개의 문자와 함께 일렬로 나열하는 방법의 수는 5?=120
e와 i의 자리를 바꾸는 방법의 수는 2?=2 따라서 구하는 방법의 수는 120\2=240
03-2 답 720
3권의 수학책을 한 묶음으로 생각하여 4권의 영어책과 함 께 일렬로 꽂는 방법의 수는 5?=120
수학책 3권의 자리를 바꾸는 방법의 수는 3?=6 따라서 구하는 방법의 수는 120\6=720
03-3 답 1728
1반 학생 3명을 한 묶음으로, 2반 학생 4명을 한 묶음으 로, 3반 학생 2명을 한 묶음으로 생각하여 일렬로 세우는 방법의 수는 3?=6
1반 학생 3명이 자리를 바꾸는 방법의 수는 3?=6 2반 학생 4명이 자리를 바꾸는 방법의 수는 4?=24 3반 학생 2명이 자리를 바꾸는 방법의 수는 2?=2 따라서 구하는 방법의 수는 6\6\24\2=1728
03-4 답 4
여학생 2명을 한 묶음으로 생각하여 남학생 n명과 함께 일렬로 세우는 방법의 수는 {n+1}?
여학생 2명이 자리를 바꾸는 방법의 수는 2?=2 여학생끼리 이웃하도록 세우는 방법의 수가 240이므로 {n+1}?\2=240
{n+1}?=120=5\4\3\2\1=5?
/ n=4
04-1 답 ⑴ 72 ⑵ 12
⑴ 이웃해도 되는 배구 선수 3명을 일렬로 세우는 방법의 수는 3?=6
배구 선수 사이사이와 양 끝의 4개의 자리 중에서 2개 의 자리에 농구 선수 2명을 세우는 방법의 수는 4P2=12
따라서 구하는 방법의 수는 6\12=72
⑵ 농구 선수 2명을 일렬로 세우는 방법의 수는 2?=2 농구 선수 사이사이와 양 끝의 3개의 자리에 배구 선
수 3명을 세우는 방법의 수는 3P3=3?=6 따라서 구하는 방법의 수는 2\6=12 04-2 답 480
이웃해도 되는 자음 f, r, n, d를 일렬로 나열하는 방법의 수는 4?=24
자음 사이사이와 양 끝의 5개의 자리 중에서 2개의 자리 에 모음 i, e를 나열하는 방법의 수는 5P2=20
따라서 구하는 방법의 수는 24\20=480 04-3 답 144
선생님 3명을 일렬로 세우는 방법의 수는 3?=6 선생님 사이사이와 양 끝의 4개의 자리에 학생 4명을 세 우는 방법의 수는 4P4=4?=24
따라서 구하는 방법의 수는 6\24=144 05-1 답 ⑴ 120 ⑵ 720 ⑶ 4320
⑴ h를 맨 처음에, y를 맨 마지막에 고정시키고 그 사이 에 나머지 o, l, i, d, a의 5개의 문자를 일렬로 나열하 는 방법의 수이므로 5?=120
⑵ o, l, i, d, a의 5개의 문자 중에서
h y
3개를 택하여 h와 y 사이에 일렬
로 나열하는 방법의 수는 5P3=60 h와 y의 자리를 바꾸는 방법의 수는 2?=2
h★★★y를 한 묶음으로 생각하여 나머지 2개의 문자 와 함께 일렬로 나열하는 방법의 수는 3?=6
따라서 구하는 방법의 수는 60\2\6=720
⑶ 적어도 한쪽 끝에 자음이 오도록 나열하는 방법의 수는 7개의 문자를 일렬로 나열하는 방법의 수에서 양 끝에 모음만 오도록 나열하는 방법의 수를 빼면 된다.
! 7개의 문자를 일렬로 나열하는 방법의 수는 7?=5040
@ 양 끝에 모음인 o, i, a의 3개의 문자 중에서 2개를 택하여 나열하는 방법의 수는 3P2=6 나머지 자리에 5개의 문자를 일렬로 나열하는 방법
의 수는 5?=120
따라서 양 끝에 모음만 오도록 나열하는 방법의 수 는 6\120=720
!, @에 의하여 구하는 방법의 수는 5040-720=4320
06-1 답 ⑴ 96 ⑵ 36
⑴ 천의 자리에는 0이 올 수 없으므로 천의 자리에 올 수 있는 숫자는 1, 2, 3, 4의 4가지
나머지 자리에는 천의 자리에 온 숫자를 제외한 4개의 숫자 중에서 3개를 택하여 일렬로 나열하면 되므로 그 경우의 수는 4P3=24
따라서 구하는 자연수의 개수는 4\24=96
⑵ 홀수는 일의 자리에 올 수 있는 숫자가 1, 3이다.
각각의 경우에 대하여 천의 자리에는 0과 일의 자리에 온 숫자를 제외한 3개의 숫자가 올 수 있고, 백의 자리 와 십의 자리에는 천의 자리에 온 숫자와 일의 자리에 온 숫자를 제외한 3개의 숫자 중에서 2개를 택하여 나 열하면 되므로 구하는 홀수의 개수는
2\3\3P2=2\3\6=36
06-2 답 ⑴ 96 ⑵ 108
⑴ 4의 배수는 끝의 두 자리의 수가 4의 배수이므로 ` `12, ` `16, ` `24, ` `32, ` `36, ` `52, ` `56, ` `64
각각의 경우에 대하여 천의 자리와 백의 자리에는 끝 의 두 자리에 온 숫자를 제외한 4개의 숫자 중에서 2개 를 택하여 나열하면 되므로 구하는 4의 배수의 개수는 8\4P2=8\12=96
⑵ 5의 배수는 일의 자리에 올 수 있는 숫자가 0, 5 ! 일의 자리의 숫자가 0인 경우
나머지 자리에 0을 제외한 5개의 숫자 중에서 3개 를 택하여 일렬로 나열하면 되므로 그 경우의 수는 5P3=60
@ 일의 자리의 숫자가 5인 경우 천의 자리에는 0과 일의 자리에 온 숫자를 제외한 4개의 숫자가 올 수 있고, 백의 자리와 십의 자리 에는 천의 자리와 일의 자리에 온 숫자를 제외한 4 개의 숫자 중에서 2개를 택하여 나열하면 되므로
그 경우의 수는
4\4P2=4\12=48
!, @에 의하여 구하는 5의 배수의 개수는 60+48=108
07-1 답 54번째
ㄱ` ` ` ` , ㄴ` ` ` ` 꼴인 문자열의 개수는 2\4?=48
ㄷㄱㄴ` ` , ㄷㄱㄹ` ` 꼴인 문자열의 개수는 2\2?=4
ㄷㄱㅁ으로 시작하는 문자열을 순서대로 나열하면 ㄷㄱㅁㄴㄹ, ㄷㄱㅁㄹㄴ
즉, ㄷㄱㅁ` ` 꼴인 문자열에서 ㄷㄱㅁㄹㄴ의 순서는 두 번째이다.
따라서 ㄷㄱㅁㄹㄴ이 나타나는 순서는 48+4+2=54(번째)
07-2 답 51342
1 ` ` ` 꼴인 자연수의 개수는 4?=24
2 ` ` ` 꼴인 자연수의 개수는 4?=24
3 ` ` ` 꼴인 자연수의 개수는 4?=24
4 ` ` ` 꼴인 자연수의 개수는 4?=24
이때 24+24+24+24=96이므로 100번째로 나타나는 수는 5 ` ` ` `꼴인 자연수 중에서 네 번째 수이다.
5로 시작하는 자연수를 순서대로 나열하면 51234, 51243, 51324, 51342, y 따라서 100번째 수는 51342이다.
173~174쪽
1 6 2 ③ 3 ③ 4 2 5 ②
6 1440 7 ⑤ 8 ④ 9 20 10 84 11 ⑤ 12 ① 13 288 14 336
1 6Pr>4\6Pr-1에서
6?
{6-r}?>4\ 6?
96-{r-1}0?
{7-r}?
{6-r}?>4 7-r>4 / r<3
따라서 모든 자연수 r의 값의 합은 1+2+3=6
2 서로 다른 5개에서 4개를 택하는 순열의 수와 같으므로 5P4=120
3 여학생 2명을 한 묶음으로 생각하여 남학생 5명과 함께 뜀틀 넘기를 하는 방법의 수는 6?=720
여학생 2명이 순서를 바꾸는 방법의 수는 2?=2 따라서 구하는 방법의 수는 720\2=1440
4 아이 4명을 한 묶음으로 생각하여 어른 n명과 함께 일렬 로 서는 방법의 수는 {n+1}?
아이 4명이 자리를 바꾸는 방법의 수는 4?=24 아이들끼리 서로 이웃하여 서는 방법의 수가 144이므로 {n+1}?\24=144
{n+1}?=6=3\2\1=3?
∴ n=2
5 한국 선수와 중국 선수의 수가 5명으로 같으므로 교대로 세우는 방법은 다음과 같은 2가지 경우가 있다.
한국 선수 5명을 일렬로 세우는 방법의 수는 5?
중국 선수 5명을 일렬로 세우는 방법의 수는 5?
따라서 구하는 방법의 수는 2\5?\5?
6 이웃해도 되는 4개의 문자 d, e, f, g 를 일렬로 나열하는 방법의 수는 4?=24
그 사이사이와 양 끝의 5개의 자리 중에서 3개의 자리에 a, b, c를 나열하는 방법의 수는 5P3=60
따라서 구하는 방법의 수는 24\60=1440
7 홀수 번호가 적힌 3개의 의자 중에서 2개의 의자에 아버 지, 어머니가 앉는 방법의 수는 3P2=6
나머지 3개의 의자에 할머니, 아들, 딸이 앉는 방법의 수는 3P3=3?=6
따라서 구하는 경우의 수는 6\6=36
8 ! 5개의 문자를 일렬로 나열하는 방법의 수는 5?=120
@ 양 끝에 자음인 d, r, m의 3개의 문자 중에서 2개를 택하여 나열하는 방법의 수는 3P2=6 나머지 자리에 3개의 문자를 일렬로 나열하는 방법의
수는 3?=6
따라서 양 끝에 자음만 오도록 나열하는 방법의 수는 6\6=36
!, @에 의하여 구하는 방법의 수는 120-36=84
9 3의 배수는 모든 자리의 숫자의 합이 3의 배수이므로 5개 의 숫자 0, 1, 2, 3, 4에서 서로 다른 3개를 택할 때, 그 합이 3의 배수가 되는 경우는
{0, 1, 2}, {0, 2, 4}, {1, 2, 3}, {2, 3, 4}
각각의 경우에서 만들 수 있는 자연수의 개수를 구하면
! {0, 1, 2}의 경우
백의 자리에 0이 올 수 없으므로 2\2?=4
@ {0, 2, 4}의 경우
백의 자리에 0이 올 수 없으므로 2\2?=4
# {1, 2, 3}의 경우 3?=6
$ {2, 3, 4}의 경우 3?=6
!~$에 의하여 구하는 3의 배수의 개수는 4+4+6+6=20
10 1 ` ` 꼴인 자연수의 개수는 5P3=60
20 ` , 21 ` 꼴인 자연수의 개수는 2\4P2=2\12=24
따라서 2300보다 작은 자연수의 개수는 60+24=84
11 a ` ` ` ` 꼴인 문자열의 개수는 5?=120
b ` ` ` ` 꼴인 문자열의 개수는 5?=120
c ` ` ` ` 꼴인 문자열의 개수는 5?=120
이때 120+120+120=360이므로 363번째로 나타나는 문자열은 d ` ` ` ` 꼴인 문자열 중 세 번째 문자열 이다.
d로 시작하는 문자열을 순서대로 나열하면 dabcef, dabcfe, dabecf, y
따라서 363번째로 나타나는 문자열은 dabecf이다.
12 각각의 부부를 한 묶음으로 생각하여 일렬로 나열하는 방 법의 수는 4?=24
남편 A, B, C, D의 아내를 각각 a, b, c, d라 할 때, 남 편들을 먼저 앉히면 아내들은 모두 자기 남편의 오른쪽 또는 모두 자기 남편의 왼쪽에 앉으면 된다.
즉, 남녀가 교대로 앉는 방법의 수는 2가지 따라서 구하는 방법의 수는 24\2=48
13 6명을 일렬로 세우는 방법의 수에서 교사 사이에 학생을 세우지 않거나 1명만 세우는 방법의 수를 빼면 된다.
! 6명을 일렬로 세우는 방법의 수는 6?=720
@ 교사 사이에 학생을 세우지 않는 방법은 교사끼리 이
웃하도록 세우는 방법과 같다.
교사 2명을 한 묶음으로 생각하여 학생 4명과 함께 일 렬로 세우는 방법의 수는 5?=120
교사 2명이 자리를 바꾸는 방법의 수는 2?=2 따라서 교사 사이에 학생을 세우지 않는 방법의 수는 120\2=240
# 교사 사이에 학생 1명만 세우는 방법
학생 4명 중에서 1명을 택하여 교사 사이에 세우는 방 법의 수는 4P1=4
교사 2명이 자리를 바꾸는 방법의 수는 2?=2 교사와 교사 사이의 학생 1명을 한 묶음으로 생각하여
나머지 3명의 학생과 함께 일렬로 세우는 방법의 수는
4?=24
따라서 교사 사이에 학생 1명만 세우는 방법의 수는 4\2\24=192
!, @, #에 의하여 구하는 방법의 수는 720-240-192=288
14 ! 9개의 숫자 중에서 3개를 택하여 만들 수 있는 세 자리 의 자연수의 개수는 9P3=504
@ 합이 9가 되는 두 수의 쌍은
{1, 8}, {2, 7}, {3, 6}, {4, 5}의 4개
이 4개의 쌍 중 하나를 택하고 이미 택한 2개의 숫자를 제외한 나머지 7개의 숫자 중에서 1개를 택하여 일렬 로 나열하여 만들 수 있는 세 자리의 자연수의 개수는 4\7P1\3?=4\7\6=168
!, @에 의하여 구하는 자연수의 개수는 504-168=336
1 답 ⑴ 1 ⑵ 1 ⑶ 21 ⑷ 6
175쪽
조합