1
! x=1일 때, y<3이므로 y는 1, 2, 3의 3개
@ x=2일 때, y<1이므로 y는 1의 1개
!, @에 의하여 구하는 순서쌍 {x, y}의 개수는 3+1=4
02-3 답 16
한 개의 가격이 100원, 500원, 1000원인 학용품을 각각 x개, y개, z개 산다고 할 때, 그 금액의 합이 5000원이므로 100x+500y+1000z=5000
∴ x+5y+10z=50 yy ㉠
이때 3종류의 학용품을 적어도 하나씩 사야 하므로 x, y, z는 자연수이어야 한다.
즉, 구하는 방법의 수는 방정식 ㉠을 만족시키는 자연수 x, y, z의 순서쌍 {x, y, z}의 개수와 같다.
㉠에서 10z<50
∴ z=1 또는 z=2 또는 z=3 또는 z=4
! z=1일 때, x+5y=40이므로 순서쌍 {x, y}는 {35, 1}, {30, 2}, y, {5, 7}의 7개
@ z=2일 때, x+5y=30이므로 순서쌍 {x, y}는 {25, 1}, {20, 2}, y, {5, 5}의 5개
# z=3일 때, x+5y=20이므로 순서쌍 {x, y}는 {15, 1}, {10, 2}, {5, 3}의 3개
$ z=4일 때, x+5y=10이므로 순서쌍 {x, y}는 {5, 1}의 1개
!~$에 의하여 구하는 방법의 수는 7+5+3+1=16
03-1 답 ⑴ 12 ⑵ 8
⑴ {a+b}{p+q}{x+y+z}를 전개하면 a, b에 p, q를 각각 곱하여 항이 만들어지고, 그것에 다시 x, y, z를 각각 곱하여 항이 만들어지므로 구하는 항의 개수는 2\2\3=12
⑵ {a+b}{p+q}를 전개하면 a, b에 p, q를 각각 곱하
여 항이 만들어지므로 항의 개수는
2\2=4
{x+y}{m+n}을 전개하면 x, y에 m, n을 각각 곱 하여 항이 만들어지므로 항의 개수는
2\2=4
이때 곱해지는 각 항이 모두 서로 다른 문자이므로 구 하는 항의 개수는
4+4=8
03-2 답 16
십의 자리에 올 수 있는 숫자는 2, 4, 6, 8의 4가지 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 2, 3, 5, 7의 4가지 따라서 구하는 자연수의 개수는
4\4=16 03-3 답 100
백의 자리에 올 수 있는 숫자는 2, 3, 5, 7의 4가지 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 1, 3, 5, 7, 9의 5가지 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 0, 2, 4, 6, 8의 5가지 따라서 구하는 자연수의 개수는
4\5\5=100 04-1 답 15
400을 소인수분해 하면 400=2$\5@
2$의 양의 약수는 1, 2, 2@, 2#, 2$의 5개 5@의 양의 약수는 1, 5, 5@의 3개
따라서 2$의 양의 약수와 5@의 양의 약수에서 각각 하나씩 택하여 곱한 것이 400의 양의 약수이므로 구하는 약수의 개수는
5\3=15 04-2 답 12
120과 420을 각각 소인수분해하면 120=2#\3\5, 420=2@\3\5\7 120과 420의 최대공약수는
2@\3\5
2@의 양의 약수는 1, 2, 2@의 3개 3의 양의 약수는 1, 3의 2개 5의 양의 약수는 1, 5의 2개
따라서 2@의 양의 약수와 3의 양의 약수와 5의 양의 약수 에서 각각 하나씩 택하여 곱한 것이 120과 420의 양의 공 약수이므로 구하는 공약수의 개수는
3\2\2=12 04-3 답 12
2250을 소인수분해하면 2250=2\3@\5#
이때 2250의 홀수인 양의 약수는 3@의 양의 약수와 5#의 양의 약수의 곱으로 이루어진다.
3@의 양의 약수는 1, 3, 3@의 3개 5#의 양의 약수는 1, 5, 5@, 5#의 4개
따라서 3@의 양의 약수와 5#의 양의 약수에서 각각 하나씩 택하여 곱한 것이 2250의 홀수인 양의 약수이므로 구하는 약수의 개수는
3\4=12
05-1 답 7
! A ! B ! C를 이용하는 방법의 수는 2\3=6 @ A ! C를 이용하는 방법의 수는 1
!, @에 의하여 구하는 방법의 수는 6+1=7
05-2 답 22
! A ! C를 이용하는 방법의 수는 2
@ A ! B ! C를 이용하는 방법의 수는 3\2=6
# A ! D ! C를 이용하는 방법의 수는 1\3=3
$ A ! B ! D ! C를 이용하는 방법의 수는 3\1\3=9
% A ! D ! B ! C를 이용하는 방법의 수는 1\1\2=2
!~%에 의하여 구하는 방법의 수는 2+6+3+9+2=22
05-3 답 144
! 지원이가 A ! P ! B를 이용하는 방법의 수는
2\3=6
민정이가 A ! Q ! B를 이용하는 방법의 수는
3\4=12
따라서 지원이는 P 지점을 거쳐서 가고 민정이는 Q 지
점을 거쳐서 가는 방법의 수는
6\12=72
@ 지원이가 A ! Q ! B를 이용하는 방법의 수는
3\4=12
민정이가 A ! P ! B를 이용하는 방법의 수는
2\3=6
따라서 지원이는 Q 지점을 거쳐서 가고 민정이는 P 지
점을 거쳐서 가는 방법의 수는
12\6=72
!, @에 의하여 구하는 방법의 수는 72+72=144
06-1 답 48
주어진 그림에서 B 또는 D가 가장 많은 영역과 인접하고 있으므로 D부터 칠한다.
! D에 칠할 수 있는 색은 4가지
@ A에 칠할 수 있는 색은 D에 칠한 색을 제외한 4-1=3(가지)
# B에 칠할 수 있는 색은 A와 D에 칠한 색을 제외한 4-2=2(가지)
$ C에 칠할 수 있는 색은 B와 D에 칠한 색을 제외한 4-2=2(가지)
!~$에 의하여 구하는 방법의 수는 4\3\2\2=48
06-2 답 84
같은 색을 중복하여 칠할 수 있으므로 칠하는 방법의 수 는 다음과 같이 두 경우로 나누어 구할 수 있다.
! B와 D에 서로 다른 색을 칠하는 경우 B에 칠할 수 있는 색은 4가지
A에 칠할 수 있는 색은 B에 칠한 색을 제외한 4-1=3(가지)
D에 칠할 수 있는 색은 A와 B에 칠한 색을 제외한 4-2=2(가지)
C에 칠할 수 있는 색은 B와 D에 칠한 색을 제외한 4-2=2(가지)
따라서 B와 D에 서로 다른 색을 칠하는 방법의 수는 4\3\2\2=48
@ B와 D에 서로 같은 색을 칠하는 경우 B와 D에 칠할 수 있는 색은 4가지
A에 칠할 수 있는 색은 B와 D에 칠한 색을 제외한 4-1=3(가지)
C에 칠할 수 있는 색은 B와 D에 칠한 색을 제외한 4-1=3(가지)
따라서 B와 D에 서로 같은 색을 칠하는 방법의 수는 4\3\3=36
!, @에 의하여 구하는 방법의 수는 48+36=84
07-1 답 ⑴ 47 ⑵ 31
⑴ 10원짜리 동전 3개로 지불할 수 있는 방법은 0개, 1개, 2개, 3개의 4가지
50원짜리 동전 3개로 지불할 수 있는 방법은 0개, 1개, 2개, 3개의 4가지
100원짜리 동전 2개로 지불할 수 있는 방법은 0개, 1개, 2개의 3가지
이때 0원을 지불하는 1가지 경우를 빼주어야 하므로 지불할 수 있는 방법의 수는
4\4\3-1=47
⑵ 50원짜리 동전 2개로 지불할 수 있는 금액과 100원짜 리 동전 1개로 지불할 수 있는 금액이 중복된다.
따라서 100원짜리 동전 2개를 50원짜리 동전 4개로 바꾸어 생각하면 지불할 수 있는 금액의 수는 10원짜 리 동전 3개와 50원짜리 동전 7개로 지불할 수 있는 금액의 수와 같다.
10원짜리 동전 3개로 지불할 수 있는 금액은 0원, 10원, 20원, 30원의 4가지
50원짜리 동전 7개로 지불할 수 있는 금액은 0원, 50원, 100원, y, 350원의 8가지
이때 0원을 지불하는 1가지 경우를 빼주어야 하므로 지불할 수 있는 금액의 수는
4\8-1=31
07-2 답 9
! 지불할 수 있는 방법의 수
1000원짜리 지폐 2장으로 지불할 수 있는 방법은 0장, 1장, 2장의 3가지
5000원짜리 지폐 2장으로 지불할 수 있는 방법은 0장, 1장, 2장의 3가지
10000원짜리 지폐 3장으로 지불할 수 있는 방법은 0장, 1장, 2장, 3장의 4가지
이때 0원을 지불하는 1가지 경우를 빼주어야 하므로 지 불할 수 있는 방법의 수는
a=3\3\4-1=35
@ 지불할 수 있는 금액의 수
5000원짜리 지폐 2장으로 지불할 수 있는 금액과 10000원짜리 지폐 1장으로 지불할 수 있는 금액이 중 복된다.
따라서 10000원짜리 지폐 3장을 5000원짜리 지폐 6장 으로 바꾸어 생각하면 지불할 수 있는 금액의 수는 1000원짜리 지폐 2장과 5000원짜리 지폐 8장으로 지 불할 수 있는 금액의 수와 같다.
1000원짜리 지폐 2장으로 지불할 수 있는 금액은 0원, 1000원, 2000원의 3가지
5000원짜리 지폐 8장으로 지불할 수 있는 금액은 0원, 5000원, 10000원, y, 40000원의 9가지 이때 0원을 지불하는 1가지 경우를 빼주어야 하므로 지
불할 수 있는 금액의 수는
b=3\9-1=26
!, @에 의하여 a-b=35-26=9
1 나오는 두 눈의 수의 합이 5 미만인 경우는 두 눈의 수의 합이 2 또는 3 또는 4인 경우이다.
! 두 눈의 수의 합이 2인 경우 {1, 1}의 1가지
@ 두 눈의 수의 합이 3인 경우 {1, 2}, {2, 1}의 2가지
# 두 눈의 수의 합이 4인 경우 {1, 3}, {2, 2}, {3, 1}의 3가지
!, @, #에 의하여 구하는 경우의 수는 1+2+3=6
2 일정한 간격의 길이를 a라 하면
! 네 변의 길이가 모두 a인 직사각형
SG 4개
@ 두 변의 길이가 각각 a, 2a인 직사각형
SG 4개
# 네 변의 길이가 모두 2a인 직사각형
SG 1개
$ 네 변의 길이가 모두 j2a인 직사각형
SG 1개
!~$에 의하여 구하는 직사각형의 개수는 4+4+1+1=10
3 f{1}=a, f{2}=b {a{Y, b{Y}라 하면 a+b가 4의 배수가 되도록 하는 순서쌍 {a, b}의 개수는
! a+b=4일 때,
{1, 3}, {2, 2}, {3, 1}의 3개
@ a+b=8일 때,
{2, 6}, {3, 5}, {4, 4}, {5, 3}, {6, 2}의 5개
# a+b=12일 때,
{6, 6}의 1개
!, @, #에 의하여 구하는 함수 f 의 개수는 3+5+1=9
161~163쪽
1 ③ 2 ② 3 ② 4 14 5 ② 6 ② 7 ② 8 15 9 ② 10 ⑤ 11 ③ 12 ④ 13 36 14 48 15 40 16 20 17 64 18 10000 19 ④ 20 6
4 3<x+y<6을 만족시키는 자연수 x, y의 순서쌍 {x, y}는
! x+y=3일 때,
{1, 2}, {2, 1}의 2개
@ x+y=4일 때,
{1, 3}, {2, 2}, {3, 1}의 3개
# x+y=5일 때,
{1, 4}, {2, 3}, {3, 2}, {4, 1}의 4개
$ x+y=6일 때,
{1, 5}, {2, 4}, {3, 3}, {4, 2}, {5, 1}의 5개
!~$에 의하여 구하는 순서쌍 {x, y}의 개수는 2+3+4+5=14
5 50원, 100원, 500원짜리 동전을 각각 x개, y개, z개 사용 한다고 할 때, 그 금액의 합이 600원이므로
50x+100y+500z=600 / x+2y+10z=12 yy ㉠
이때 각 동전은 사용하지 않는 경우도 있으므로 x, y, z 는 x>0, y>0, z>0인 정수이어야 한다.
즉, 구하는 방법의 수는 방정식 ㉠을 만족시키는 음이 아 닌 정수 x, y, z의 순서쌍 {x, y, z}의 개수와 같다.
㉠에서 10z<12
∴ z=0 또는 z=1
! z=0일 때, x+2y=12이므로 순서쌍 {x, y}는 {12, 0}, {10, 1}, {8, 2}, {6, 3}, {4, 4}, {2, 5}, {0, 6}의 7개
@ z=1일 때, x+2y=2이므로 순서쌍 {x, y}는 {2, 0}, {0, 1}의 2개
!, @에 의하여 구하는 방법의 수는 7+2=9
6 이차방정식 x@+ax+b=0의 판별식을 D라 하면 이 이 차방정식이 실근을 가지므로
D=a@-4b>0 ∴ a@>4b
이 부등식을 만족시키는 순서쌍 {a, b}는
! b=0일 때,
a@>0, 즉 a>0이므로
{1, 0}, {2, 0}, {3, 0}, {4, 0}, {5, 0}의 5개
@ b=1일 때,
a@>4, 즉 a>2이므로
{2, 1}, {3, 1}, {4, 1}, {5, 1}의 4개
# b=2일 때,
a@>8, 즉 a>2j2 이므로 {3, 2}, {4, 2}, {5, 2}의 3개
$ b=3일 때,
a@>12, 즉 a>2j3 이므로 {4, 3}, {5, 3}의 2개
!~$에 의하여 구하는 경우의 수는 5+4+3+2=14
7 {a+b+c}{x+y}@={a+b+c}{x@+2xy+y@}이므로 전개하면 a, b, c에 x@, 2xy, y@을 각각 곱하여 항이 만들 어진다.
따라서 구하는 항의 개수는 3\3=9
8 a가 될 수 있는 것은 1, 3, 5의 3개 b가 될 수 있는 것은 2, 4, 6, 8, 10의 5개 따라서 순서쌍 {a, b}의 개수는
3\5=15 / n{X}=15
9 십의 자리의 숫자를 a, 일의 자리의 숫자를 b라 할 때, a+b가 짝수인 경우는
! a가 짝수, b가 0 또는 짝수인 경우 a에 올 수 있는 숫자는 2, 4, 6, 8의 4가지 b에 올 수 있는 숫자는 0, 2, 4, 6, 8의 5가지 / 4\5=20
@ a가 홀수, b가 홀수인 경우
a에 올 수 있는 숫자는 1, 3, 5, 7, 9의 5가지 b에 올 수 있는 숫자는 1, 3, 5, 7, 9의 5가지 / 5\5=25
!, @에 의하여 구하는 자연수의 개수는 20+25=45
10 나오는 세 눈의 수의 곱이 짝수인 경우의 수는 모든 경우의 수에서 세 눈의 수가 모두 홀수인 경우의 수를 빼면 된다.
! 서로 다른 세 개의 주사위를 던져 나올 수 있는 모든
경우의 수는
6\6\6=216
@ 주사위에서 홀수인 눈의 수는 1, 3, 5로 3가지이므로 세 눈의 수가 모두 홀수인 경우의 수는 3\3\3=27
!, @에 의하여 구하는 경우의 수는 216-27=189
11 150을 소인수분해하면 150=2\3\5@
이때 150의 홀수인 양의 약수는 3의 양의 약수와 5@의 양 의 약수의 곱으로 이루어진다.
3의 양의 약수는 1, 3의 2개 5@의 양의 약수는 1, 5, 5@의 3개
따라서 3의 양의 약수와 5@의 양의 약수에서 각각 하나씩 택하여 곱한 것이 150의 홀수인 양의 약수이므로 구하는 약수의 개수는
2\3=6
12 ! A ! B ! C ! A를 이용하는 방법의 수는 3\2\2=12
@ A ! C ! B ! A를 이용하는 방법의 수는 2\2\3=12
!, @에 의하여 구하는 방법의 수는 12+12=24
13 주어진 그림에서 C가 가장 많은 영역과 인접하고 있으므 로 C부터 칠한다.`
! C에 칠할 수 있는 색은 4가지
@ A에 칠할 수 있는 색은 C에 칠한 색을 제외한 4-1=3(가지)
# B에 칠할 수 있는 색은 C에 칠한 색을 제외한 4-1=3(가지)
!, @, #에 의하여 구하는 방법의 수는 4\3\3=36
14 주어진 그림에서 B 또는 D가 가장 많은 영역과 인접하고 있으므로 D부터 칠한다.
! D에 칠할 수 있는 색은 4가지
@ A에 칠할 수 있는 색은 D에 칠한 색을 제외한 4-1=3(가지)
# B에 칠할 수 있는 색은 A와 D에 칠한 색을 제외한 4-2=2(가지)
$ C에 칠할 수 있는 색은 B와 D에 칠한 색을 제외한 4-2=2(가지)
!~$에 의하여 구하는 방법의 수는 4\3\2\2=48
15 ! 지불할 수 있는 방법의 수
100원짜리 동전 1개로 지불할 수 있는 방법은 0개, 1개의 2가지
50원짜리 동전 3개로 지불할 수 있는 방법은 0개, 1개, 2개, 3개의 4가지
10원짜리 동전 2개로 지불할 수 있는 방법은 0개, 1개, 2개의 3가지
이때 0원을 지불하는 1가지 경우를 빼주어야 하므로 지
이때 0원을 지불하는 1가지 경우를 빼주어야 하므로 지