( -9
2 {x@-2>2}
x@-2 {|x@-2|<2}
-2 {x@-2<-2}
x@-2>2에서 x@>4이므로 |x|>2
|x@-2|<2에서 -2<x@-2<2 0<x@<4 / |x|<2
x@-2<-2에서 x@<0이므로 이를 만족시키는 x의 값은 존재하지 않는다.
따라서 { f`J`g}{x}=- 2 {|x|>2}
x@-2 {|x|<2}이므로 { f`J`g}{x}={g`J`f }{x} (? ㉠)
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
12 f{x}=- -x+3 {0<x<3}
`3x-9` {3<x<4}이므로
{ f`J`f }{x} =f{ f{x}}
=- -f{x}+3 {0< f{x}<3}
`3 f{x}-9` {3< f{x}<4}
그런데 주어진 그래프에서 항상 0< f{x}<3이므로 { f`J`f }{x}=-f{x}+3 {0<f{x}<3}
이때 f{x}의 값이 0, 3이 되는 x의 값을 기준으로 구간을 나누어 f`J`f 의 식을 구하면
{ f`J`f }{x} =- -{-x+3}+3 {0<x<3}
`-{3x-9}+3` {3<x<4}
=- x {0<x<3}
-3x+12 {3<x<4}
따라서 0<x<4에서 함수 y
O x
y={ fJ f }{x}
3 4 y={ f`J`f }{x}의 그래프는 오른쪽 3
그림과 같으므로 구하는 넓이는 1
2\4\3=6
01-1 답 ⑴ a=3, b=-3 ⑵ -1 ⑴ f _!{5}=2, g _!{-1}=1에서 f{2}=5, g{1}=-1
f{2}=5에서 2a-1=5 / a=3 g{1}=-1에서 2+b=-1 / b=-3 ⑵ f _!{8}=k ( k는 상수)라 하면 f{k}=8이므로 -5k+3=8 / k=-1
/ f _!{8}=-1 01-2 답 1
g _!{1}=2에서 g{2}=1이므로 2+a=1 / a=-1 / f{x}=-x+1, g{x}=x-1
f _!{2}=k ( k는 상수)라 하면 f{k}=2이므로 -k+1=2 / k=-1
/ f _!{2}=-1
/ f _!{2}+g{3}=-1+2=1
02-1 답 a=5, b=-3
함수 f 의 역함수가 존재하려면 함수 f 는 일대일대응이어 야 한다.
직선 y=f{x}의 기울기가 양수이므로 직선 y=f{x}가 두 점 {2, b}, {a, 3}을 지나야 한다.
/ f{2}=b, f{a}=3 f{2}=b에서 b=-3
f{a}=3에서 2a-7=3 / a=5 02-2 답 a<-1
함수 f 의 역함수가 존재하려면 함수 f 는 일대일대응이어 야 한다.
따라서 x>1, x<1일 때의 직선의 기울기의 부호가 서로 같아야 하므로
a+1<0 / a<-1
109~114쪽
1 답 ⑴ 1 ⑵ 3 ⑶ 3 ⑷ 8 2 답 ⑴ 2 ⑵ 1
108쪽
역함수
03 역함수
1
02-3 답 a<-2 또는 a>2
`{a+2}{a-2}>0 / a<-2 또는 a>2
03-1 답 -1
h{x} ={g`J`f }{x}=g{ f{x}}=g{3x-2}
=2{3x-2}+7=6x+3
{ f _!`J`g}_!{3} ={g_!`J`f }{3}
=g_!{ f{3}}
=g_!{5}
이때 g_!{5}=k (k는 상수)라 하면 g{k}=5이므로 1
2 k-1=5 / k=12 / { f _!`J`g}_!{3}=g_!{5}=12
04-2 답 -8
{g`J`{g`J`f }_!`J`g}{1}
={g`J`f _!`J`g_!`J`g}{1}
={g`J`f _!}{1} ◀ g`J`g _!=I
=g{ f _!{1}}
이때 f _!{1}=k ( k는 상수)라 하면 f{k}=1이므로 -4k-7=1 / k=-2
/ f _!{1}=-2
/ {g`J`{g`J`f }_!`J`g}{1} =g{ f _!{1}}
=g{-2}=-8
04-3 답 -1
f=f _!이면 { f`J`f }{x}=f{ f{x}}=x f{x}=ax+5이므로
{ f`J`f }{x} =f{ f{x}}=f{ax+5}
=a{ax+5}+5=a@x+5a+5 따라서 a@x+5a+5=x이므로
a@=1, 5a+5=0 / a=-1
05-1 답 4
{ f`J`f }_!{2} ={ f _!`J`f _!}{2}
= f _!{ f _!{2}} yy ㉠ f _!{2}=k {k는 상수)라 하면
{ f`J`f }_!{2} = f _!{ f _!{2}}
= f _!{3} yy ㉡ 또 f _!{3}=l ( l은 상수)이라 하면 f{l}=3 위의 그림에서 f{4}=3이므로 l=4 / f _!{3}=4
이를 ㉡에 대입하면 { f`J`f }_!{2}=f _!{3}=4
05-2 답 ③
h{c}={ f`J`g`J`f _!}{c}=f{g{ f _!{c}}} yy ㉠ f _!{c}=k (k는 상수)라 하면 y=f{x}
y=g{x}
y y=x
x dc
a b c d e O
f{k}=c
오른쪽 그림에서 f{d}=c이므로 k=d / f _!{c}=d 이를 ㉠에 대입하면 h{c} =f{g{ f _!{c}}}
=f{g{d}}=f{d}=c
06-1 답 -2
함수 y=f{x}의 그래프와 그 역함수 y=f _!{x}의 그래 프는 직선 y=x에 대하여 대칭이므로 두 함수 y=f{x}, y=f _!{x}의 그래프의 교점은 함수 y=f{x}의 그래프와
직선 y=x의 교점과 같다.
2x+k=x에서 교점의 x좌표가 2이므로 x=2를 대입하면 4+k=2 / k=-2
06-2 답 -16
함수 y=f{x}의 그래프와 그 y=x
y=f{x}
y=f _!{x}
8 8 -8-4
-4 -8 y
O x
역함수 y=f _!{x}의 그래프
는 직선 y=x에 대하여 대칭 이므로 오른쪽 그림과 같다.
두 함수 y=f{x}, y=f _!{x}
의 그래프의 교점은 함수
y=f{x}의 그래프와 직선 y=x의 교점과 같으므로 1
2 x-4=x에서 x=-8
따라서 교점의 좌표는 {-8, -8}이므로 a=-8, b=-8 / a+b=-16
06-3 답 j2
함수 y=f{x}의 그래프와 그 y=f{x}
y=g{x}
y=x y
1 2 x 2
1
O
역함수 y=g{x}의 그래프는
직선 y=x에 대하여 대칭이므 로 오른쪽 그림과 같다.
두 함수 y=f{x}, y=g{x}의 그래프의 교점은 함수 y=f{x}
의 그래프와 직선 y=x의 교점과 같으므로 {x-1}@+1=x에서 x@-3x+2=0 {x-1}{x-2}=0 / x=1 또는 x=2
따라서 두 교점의 좌표는 {1, 1}, {2, 2}이므로 두 점 사 이의 거리는
1{2-1}@3+{2-1}@3=j2
1 f _!{5}=2에서 f{2}=5이므로 2a+b=5 yy ㉠ f _!{6}=3에서 f{3}=6이므로 3a+b=6 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=3 / ab=3
2 { f _!`J`g}{4} =f _!{g{4}}
=f _!{3}
f _!{3}=k ( k는 상수)라 하면 f{k}=3 / k=2
/ { f _!`J`g}{4}=f _!{3}=2
3 { f`J`g_!}{a} =f{g_!{a}}
=3g_!{a}+1 즉, 3g_!{a}+1=1이므로 g_!{a}=0
g_!{a}=0에서 g{0}=a이므로 a=2
4 함수 f 의 역함수가 존재하려면 함수 f 는 일대일대응이어 야 한다.
직선 y=f{x}의 기울기가 양수이므로 직선 y=f{x}가 두 점 {1, 1}, {4, 3}을 지나야 한다.
f{1}=1에서 a+b=1 yy ㉠ f{4}=3에서 4a+b=3 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=2 3 , b=1
3 / a-b=1 3
5 f{x}=x@-2x={x-1}@-1
함수 f 의 역함수가 존재하려면 함수 f 는 일대일대응이어 야 하므로
a>1, f{a}=a
f{a}=a에서 a@-2a=a a@-3a=0, a{a-3}=0 / a=3`{? a>1}
115~116쪽
1 ① 2 ② 3 ④ 4 ④ 5 3
6 ⑤ 7 ④ 8 ② 9 {2, 2} 10 5 11 ④ 12 40
6 y=x-3이라 하고 x에 대하여 풀면 x=y+3 x와 y를 서로 바꾸면 y=x+3
/ g _!{x}=x+3
/ { f`J`g _!}{x} =f{g _!{x}}
=f{x+3}
=2{x+3}+1
=2x+7 따라서 a=2, b=7이므로 ab=14
7 {g_!`J`{ f`J`g_!}_!`J`g}{x}
={g_!`J`g`J`f _!`J`g}{x}
={ f _!`J`g}{x} ◀ g_!`J`g=I
=f _!{g{x}}
=f _!{2x+3} yy ㉠
f{x}=x-1에서 y=x-1이라 하고 x에 대하여 풀면 x=y+1
x와 y를 서로 바꾸면 y=x+1 / f _!{x}=x+1
㉠에서 f _!{2x+3}={2x+3}+1=2x+4 따라서 a=2, b=4이므로
f _!{c}=q ( q는 상수)라 하면 f{q}=c 위의 그림에서 f{b}=c이므로 q=b / f _!{c}=b / { f _!`J`f _!}{k}=f _!{c}=b
9 함수 y=f{x}의 그래프와 그 역함수 y=f _!{x}의 그래 프는 직선 y=x에 대하여 대칭이므로 두 함수 y=f{x}, y=f _!{x}의 그래프의 교점은 함수 y=f{x}의 그래프와 직선 y=x의 교점과 같다.
x@-x=x에서 x@-2x=0, x{x-2}=0 / x=2`[? x>1
x>2에서 직선 y=-2x+8의 기울기가 음수이므로 x<2에서 곡선 y=a{x-2}@+b의 x@의 계수가 양수이
어야 한다.
/ a>0
따라서 정수 a의 최솟값은 1이므로 a+b의 최솟값은 1+4=5
11 함수 y=f{2x+3}에서 h{x}=2x+3이라 하면 함수 y=f{h{x}}={ f`J`h}{x}의 역함수는
{ f`J`h}_!{x} ={h_!`J`f _!}{x}
=h_!{ f _!{x}}
=h_!{g{x}} yy ㉠
h{x}=2x+3에서 y=2x+3이라 하고 x에 대하여 풀면 2x=y-3 / x=1
{ f`J`h}_!{x} =h_!{g{x}}
=1
따라서 구하는 넓이를 S라 하면 S는 -4<x<6에서 함 수 y=f{x}의 그래프와 직선 y=x로 둘러싸인 부분의 넓이의 2배이므로
S1=1
2\4\6=12, S2=1
2\4\4=8 / S =2{S1+S2}=2{12+8}=40