원의 접선의 방정식

확 인 본책 249~250쪽

1

y=-xÑ2!#(-1)Û`+1 ∴ y=-xÑ2126

 y=-xÑ2126

2

-4x+2y=20 ∴ y=2x+10  y=2x+10

본책 251~254쪽 유 제

1

x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 60° 인 직선의 기울기는 tan`60°=136

원의 반지름의 길이는 3이므로 구하는 직선의 방정식은 y=13xÑ3Á°(136)Û`+1¤

∴ y=13xÑ6  y=13xÑ6

2

직선 x-y+5=0, 즉 y=x+5에 평행한 직선의 기울기는 1 이고 원의 반지름의 길이는 126이므로 접선의 방정식은

y=xÑ12 !%1Û`+1^

∴ y=xÑ2

따라서 두 직선이 x축과 만나는 점의 좌표가 각각 (-2, 0), (2, 0)이므로

PQÓ=|2-(-2)|=4  4

3

xÛ`+yÛ`-4x+2y=0에서     (x-2)Û`+(y+1)Û`=5

직선 x+2y-1=0, 즉 y=-;2!; x+;2!; 과 수직인 직선의 기울기 는 2이므로 구하는 직선의 방정식을 y=2x+n으로 놓으면 원의 중심 (2, -1)과 직선 y=2x+n, 즉 2x-y+n=0 사이의 거리 는 원의 반지름의 길이 156와 같아야 한다.

즉 |2´2-1´(-1)+n|

!%2Û`+(-1)Û`^` =156이므로 |n+5|=5,    n+5=Ñ5     ∴ n=0 또는 n=-10 따라서 구하는 직선의 방정식은

    y=2x 또는 y=2x-10  y=2x, y=2x-10

참고 중심이 원점이 아닌 원의 접선의 방정식을 구할 때에는 공식을 이 용하는 것보다

(원의 중심과 접선 사이의 거리)=(반지름의 길이) 임을 이용하는 것이 편리하다.

4

원 xÛ`+yÛ`=5 위의 점 (2, -1)에서의 접선의 방정식은 2x-y=5 ∴ y=2x-5

따라서 a=2, b=-5이므로

a+b=-3  -3

5

xÛ`+yÛ`-2x+6y-15=0에서 (x-1)Û`+(y+3)Û`=25

원의 중심 (1, -3)과 접점 (4, -7)을 지나는 직선의 기울기는 -7-(-3)

4-1 =-;3$;

원의 중심과 접점을 지나는 직선은 접선에 수직이므로 접선의 기 울기는 ;4#;이다.

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108

^{정답 및 풀이}

따라서 구하는 접선은 기울기가 ;4#;이고 점 (4, -7)을 지나므로 접선의 방정식은

y+7=;4#;(x-4) ∴ y=;4#;x-10  y=;4#;x-10

다른 풀이 원 (x-1)Û`+(y+3)Û`=25 위의 점 (4, -7)에서의 접 선의 방정식은

(4-1)(x-1)+(-7+3)(y+3)=25 3(x-1)-4(y+3)=25

3x-4y-40=0 ∴ y=;4#;x-10

6

원 xÛ`+yÛ`=20 위의 점 (-2, 4)에서의 접선의 방정식은     -2x+4y=20    ∴ x-2y+10=0

이 직선의 x절편은 -10, y절편은 5이므로 A(-10, 0), B(0, 5)

따라서 △OAB의 넓이는

;2!;´OAÓ´OBÓ=;2!;´10´5=25  25

7

xÛ`+yÛ`+2x+2y-2=0에서 (x+1)Û`+(y+1)Û`=4

접선의 기울기를 m이라 하면 접선이 점 (0, 1)을 지나므로 접선 의 방정식은

y=mx+1 ∴ mx-y+1=0

원의 중심 (-1, -1)과 직선 mx-y+1=0 사이의 거리가 원 의 반지름의 길이 2와 같으므로

|m´(-1)-1´(-1)+1|

!%mÛ`+(-1)Û`^ =2, |2-m|

!%mÛ`+1^`=2 |m-2|=2!#mÛ`+1^

위의 식의 양변을 제곱하면

mÛ`-4m+4=4mÛ`+4, 3mÛ`+4m=0 m(3m+4)=0 ∴ m=0 또는 m=-;3$;

따라서 두 접선의 기울기의 합은 -;3$;이다.  -;3$;

8

접선의 기울기를 m이라 하면 접선이 원점을 지나므로 접선 의 방정식은

    y=mx

y=mx를 xÛ`+(y-a)Û`=5에 대입하여 정리하면     (mÛ`+1)xÛ`-2amx+aÛ`-5=0

이 이차방정식의 판별식을 D라 하면     D4 =(-am)Û`-(mÛ`+1)(aÛ`-5)=0     5mÛ`-aÛ`+5=0, mÛ`= aÛ`-55

∴ m=Ѿ¨ aÛ`-55 이때 두 접선이 서로 수직이므로     -¾¨ aÛ`-55 ´¾¨aÛ`-5

5 =-1 aÛ`-55 =1, aÛ`=10

∴ a=13106 (∵ a>0)  13106

09

오른쪽 그림과 같이 원의 중심을

O

P T

C 4 y

1 x C라 하면 3

    CTÓÓ⊥PTÓ

이므로 △CTP는 ∠CTP=90°인 직 각삼각형이다.

이때 C(4, 0)이므로

    CPÓ=!%(1-4)Û`+(3-0)Û`^=3126 CTÓ는 원의 반지름이므로    CTÓ=2126 따라서 △CTP에서

    PTÓ=!%(3126)Û`-(2126)Û`^=13106  13106

10

점 P에서 원에 그은 접선의 접점을 P -2

-3 1

C T O

y

x T라 하고 원의 반지름의 길이를 r라 하

면

    PTÓ⊥CTÓ

이므로 △CTP는 ∠CTP=90°인 직각 삼각형이다.

이때

    PTÓ=4, CTÓ=r,

    CPÓ =!%(-2-0)Û`+(1+3)Û`^=2156 이므로 △CTP에서

    r=!%(2156)Û`-4Û`^=2

따라서 구하는 원의 반지름의 길이는 2이다.  2

11

오른쪽 그림에서

O

A

B 3

-4 P

y

x     OAÓ=156,

    OPÓ=!%3Û`+(-4)Û`^=5 이므로 직각삼각형 OAP에서     APÓ=!%5Û`-(156)Û`^=2156     ∴ △OAP=;2!;´OAÓ´APÓ

=;2!;´156´2156=5 따라서 OAPB의 넓이는

2△OAP=2´5=10  10

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Ⅳ. 도형의 방정식

109

13

원의 방정식

본책



^{252 ~ 255쪽}

01

^전략 주어진 원의 방정식을 (x-p)Û`+(y-q)Û`=rÛ` 꼴로 나타낸다.

풀이 xÛ`+yÛ`+ax+6y+1=0에서 {x+;2A;}2`+(y+3)Û`= aÛ`4 +8 이 원의 중심의 좌표는 {-;2A;, -3}

이때 이 중심이 직선 y=2x-1 위에 있으므로

-3=2´{-;2A;}-1    ∴ a=2  ④

02

^전략 두 점 A, B를 지름의 양 끝 점으로 하는 원의 중심은 ABÓ의 중점이고, 원의 반지름의 길이는 ;2!; ABÓ이다.

풀이 원의 반지름의 길이는 ;2!; ABÓ이므로 ;2!; !%(a-5)Û`+(2+4)Û`^=5, (a-5)Û`=64

a-5=Ñ8 ∴ a=13 (∵ a>0) y ^❶ 또 원의 중심은 ABÓ의 중점이므로

b= 5+13`2 =9, c= -4+2`2 =-1 y ❷

∴ a+b+c=21 y ^❸

 21

03

^전략 점 P와 원의 중심을 지나는 직선이 선분 AB와 수직으로 만날 때, 삼각형 PAB의 넓이는 최대이다.

풀이 오른쪽 그림과 같이 점 P에서

O P

A

-1

B 4 3

8 x y

ABÓ에 그은 수선이 원의 중심을 지날 때 △PAB의 넓이가 최대이다.

이때 두 점 A(-1, 3), B(8, 0)을 지 나는 직선의 기울기는

0-3

8-(-1)=-;3!;

따라서 구하는 직선은 기울기가 3이고 점 (4, 3)을 지나므로 그 방정식은 y-3=3(x-4) ∴ y=3x-9  y=3x-9

01

④

02

21

03

y=3x-9

04

-2

05

③

06

⑤

07

612

08

;9Ò;

09

④

10

-13<k<-3 

11

200

12

4

13

④

14

x+3y=10, 3x-y=10

15

③

16

③

17

③ 

18

3 

19

x+3y-5=0

20

12p

21

⑤

중단원 연습 문제

본책 255~257쪽

채점기준 비율

❶ a의 값을 구할 수 있다. 40%

❷ b, c의 값을 구할 수 있다. 40%

❸ a+b+c의 값을 구할 수 있다. 20%

04

^전략 방정식 xÛ`+yÛ`+Ax+By+C=0이 원을 나타내는 경우 (x-a)Û`+(y-b)Û`=c 꼴로 변형한 후 c>0임을 이용한다.

풀이 xÛ`+yÛ`-2(k-1)x+4ky+6kÛ`-7=0에서

{x-(k-1)}Û`+(y+2k)Û`=-kÛ`-2k+8 y ^❶ 이 방정식이 원을 나타내려면

-kÛ`-2k+8>0, kÛ`+2k-8<0

(k+4)(k-2)<0 ∴ -4<k<2 y ^❷ 따라서 M=1, m=-3이므로 M+m=-2 y ^❸

 -2

05

^전략 외접원의 방정식을 xÛ`+yÛ`+ax+by+c=0으로 놓고 세 점의 좌표를 대입한다.

풀이 외접원의 방정식을 xÛ`+yÛ`+ax+by+c=0이라 하고 세 점 A, B, C의 좌표를 각각 대입하면

1+b+c=0 ∴ b+c=-1

1+4-a+2b+c=0 ∴ a-2b-c=5 9+16+3a+4b+c=0 ∴ 3a+4b+c=-25 세 식을 연립하여 풀면

a=-2, b=-6, c=5

따라서 △ABC의 외접원의 방정식은

xÛ`+yÛ`-2x-6y+5=0, 즉 (x-1)Û`+(y-3)Û`=5

이므로 구하는 넓이는 5p이다.  ③

06

^전략 원이 x축에 접하므로 (반지름의 길이)=|중심의 y좌표|임을 이용한다.

풀이 원의 중심의 좌표를 (a, b)라 하면 원의 방정식은 (x-a)Û`+(y-b)Û`=bÛ`

이 원이 두 점 (4, -1), (3, -2)를 지나므로 (4-a)Û`+(-1-b)Û`=bÛ`

∴ aÛ`-8a+2b+17=0 …… ㉠ (3-a)Û`+(-2-b)Û`=bÛ`

∴ aÛ`-6a+4b+13=0 …… ㉡

㉠_2-㉡ 을 하면 aÛ`-10a+21=0 (a-3)(a-7)=0 ∴ a=3 또는 a=7 이것을 ㉠에 대입하면

a=3, b=-1 또는 a=7, b=-5

따라서 두 원의 중심의 좌표는 각각 (3, -1), (7, -5)이므로 두 원의 중심 사이의 거리는

!%(7-3)Û`+(-5+1)Û`^=4126  ⑤

채점기준 비율

❶ 주어진 방정식을 변형할 수 있다. 30%

❷ k의 값의 범위를 구할 수 있다. 50%

❸ M+m의 값을 구할 수 있다. 20%

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110

^{정답 및 풀이}

07

^전략 점 P의 좌표를 (x, y)로 놓고 x, y 사이의 관계식을 구한다.

풀이 APÓ`:`BPÓ=3`:`2이므로 2APÓ=3BPÓ ∴ 4APÓ Û`=9BPÓ Û`

점 P의 좌표를 (x, y)라 하면

4{(x-2)Û`+(y+1)Û`}=9{(x+3)Û`+(y-4)Û`}

5xÛ`+5yÛ`+70x-80y+205=0 xÛ`+yÛ`+14x-16y+41=0 ∴ (x+7)Û`+(y-8)Û`=72

따라서 원의 반지름의 길이는 6126이다.  6126

08

^전략 세 점 (xÁ, yÁ), (xª, yª), (x£, y£)을 꼭짓점으로 하는 삼각형 의 무게중심의 좌표는 {xÁ+xª+x£

3 , yÁ+yª+y£

3 }임을 이용한다.

풀이 P(a, b), G(x, y)라 하면

x= 2-1+a3 = a+13 , y=0+3+b 3 = b+33

∴ a=3x-1, b=3y-3 …… ㉠ y ^❶ 점 P가 원 xÛ`+yÛ`=1 위의 점이므로

aÛ`+bÛ`=1

㉠을 위의 식에 대입하면 (3x-1)Û`+(3y-3)Û`=1

∴ {x-;3!;}2`+(y-1)Û`=;9!; y ❷

따라서 무게중심 G가 나타내는 도형은 중심의 좌표가 {;3!;, 1}, 반 지름의 길이가 ;3!;인 원이므로 구하는 넓이는 ;9Ò; 이다. y ^❸

 ;9Ò;

09

^전략 반지름의 길이가 각각 r, r' (r>r')인 두 원의 중심 사이의 거 리를 d라 할 때, 두 원이 서로 다른 두 점에서 만나려면 r-r'<d<r+r' 이어야 한다.

풀이 xÛ`+yÛ`+2ax+aÛ`-4=0에서 (x+a)Û`+yÛ`=4 xÛ`+yÛ`-4ay+4aÛ`-9=0에서 xÛ`+(y-2a)Û`=9

두 원의 중심의 좌표는 각각 (-a, 0), (0, 2a)이므로 두 원의 중심 사이의 거리는

!%(0+a)Û`+(2a-0)Û`^=!5aÛ`^

또 두 원의 반지름의 길이는 각각 2, 3이므로 두 원이 서로 다른 두 점에서 만나려면

3-2<!5aÛ`^<3+2, 1<5aÛ`<25 ∴ ;5!;<aÛ`<5

채점기준 비율

❶ a, b를 x, y로 나타낼 수 있다. 30%

❷ 무게중심 G가 나타내는 도형의 방정식을 구할 수 있다. 50%

❸ 무게중심 G가 나타내는 도형의 넓이를 구할 수 있다. 20%

따라서 정수 a는 -2, -1, 1, 2의 4개이다.  ④

10

^전략 반지름의 길이가 r인 원의 중심과 직선 사이의 거리를 d라 할 때, 원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만나려면 d<r이어야 한다.

풀이 xÛ`+yÛ`-6x+4y+8=0에서 (x-3)Û`+(y+2)Û`=5 원의 중심 (3, -2)와 직선 y=2x+k, 즉 2x-y+k=0 사이의 거리는

|2´3-1´(-2)+k|

!%2Û`+(-1)Û`^` =|k+8|

156

원의 반지름의 길이가 156이므로 원과 직선이 서로 다른 두 점에 서 만나려면

|k+8|

156 <15, |k+8|<5, -5<k+8<5

∴ -13<k<-3  -13<k<-3

11

^전략 반지름의 길이가 r인 원의 중심과 직선 사이의 거리를 d라 할 때, 원과 직선이 접하려면 d=r이어야 한다.

풀이 원의 중심이 y=xÛ`의 그래프 위에 있으므로 원의 중심의 좌 표를 (n, nÛ`)이라 하면 원이 y축에 접하므로 반지름의 길이는

|n|이다.

원의 중심 (n, nÛ`)과 직선 y=13x-2, 즉 13x-y-2=0 사이 의 거리는

|136n-nÛ`-2|

Á°(136)Û`+(-1)Û`¤`=|nÛ`-136n+2|

2

원의 반지름의 길이가 |n|이므로 원과 직선이 접하려면 |nÛ`-136n+2|

2 =|n|

nÛ`-136n+2=Ñ2n ∴ nÛ`-(136Ñ2)n+2=0 이때 실근을 갖는 이차방정식은

nÛ`-(136+2)n+2=0

이 방정식의 두 근이 a, b이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계 에 의하여

ab=2 ∴ 100ab=200  200

참고 이차방정식 nÛ`-(13-2)n+2=0의 판별식을 D라 하면 D=(13-2)Û`-8=-413-1<0

이므로 이 이차방정식은 허근을 갖는다.

12

^전략 원의 중심에서 현에 그은 수선은 그 현을 이등분한다.

풀이 오른쪽 그림과 같이 원과 직선의

O H

P

Q x

y y=x+k 교점을 P, Q라 하고, 원의 중심 (0, 0)

에서 선분 PQ에 내린 수선의 발을 H 라 하면

PHÓ=;2!; PQÓ=4 y ^❶ OPÓ=2;166이므로 직각삼각형 OPH에서

OHÓ=Á°(2166)Û`-4Û`¤=2126 …… ㉠ y ^❷

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Ⅳ. 도형의 방정식

111

13

원의 방정식

본책



^{255 ~ 257쪽}

원의 중심 (0, 0)과 직선 y=x+k, 즉 x-y+k=0 사이의 거리는 OHÓ= |k|

!%1Û`+(-1)Û`^`=|k|

126 …… ㉡ y

㉠, ㉡에서 |k|

126=2;12이므로 |k|=4

∴ k=4 (∵ k>0) y ^❸

 4

13

^전략 원의 중심과 점 A 사이의 거리를 d, 원의 반지름의 길이를 r 라 할 때, APÓ의 길이의 최댓값은 d+r, 최솟값은 d-r임을 이용한다.

풀이 xÛ`+yÛ`+4x-2y=0에서 (x+2)Û`+(y-1)Û`=5 원의 중심 (-2, 1)과 점 A(4, -2) 사이의 거리는 !%(4+2)Û`+(-2-1)Û`^=3156

원의 반지름의 길이가 156이므로

M=3156+156=4156, m=3156-156=2156

∴ MÛ`+mÛ`=(4156)Û`+(2156)Û`=100  ④

14

^전략 원 xÛ`+yÛ`=rÛ` 위의 점 (xÁ, yÁ)에서의 접선의 방정식은 xÁx+yÁy=rÛ` 임을 이용한다.

풀이 2x+y-5=0, 즉 y=-2x+5를 xÛ`+yÛ`=10에 대입하면 xÛ`+(-2x+5)Û`=10, xÛ`-4x+3=0

(x-1)(x-3)=0 ∴ x=1 또는 x=3 따라서 직선과 원의 교점의 좌표는

(1, 3), (3, -1) y ^❶

원 xÛ`+yÛ`=10 위의 점 (1, 3), (3, -1)에서의 접선의 방정식은 각각 x+3y=10, 3x-y=10 y ^❷

 x+3y=10, 3x-y=10

15

^전략 접선의 기울기를 m이라 하고 접선의 방정식을 세운다.

풀이 접선의 기울기를 m이라 하면 접선이 점 (6, 0)을 지나므로 접선의 방정식은

y=m(x-6) ∴ mx-y-6m=0

원의 중심 (0, 0)과 직선 mx-y-6m=0 사이의 거리가 원의 반지름의 길이 3과 같으므로

|-6m|

!%mÛ`+(-1)Û`^`=3, |2m|=!%mÛ`+1^`

4mÛ`=mÛ`+1, mÛ`=;3!; ∴ m=Ñ 13 3 따라서 접선의 방정식은

x-136y-6=0 또는 x+136y-6=0

채점기준 비율

❶ PHÓ의 길이를 구할 수 있다. 30%

❷ OHÓ의 길이를 구할 수 있다. 30%

❸ k의 값을 구할 수 있다. 40%

채점기준 비율

❶ 직선과 원의 교점의 좌표를 구할 수 있다. 50%

❷ 접선의 방정식을 구할 수 있다. 50%

이때 두 직선의 y절편은 각각 -2136,

O 6 x

y213

-213 2136이므로 두 접선과 y축으로 둘러

싸인 삼각형의 넓이는

;2!;´4136´6=12136  ③

16

^전략 원의 중심과 접점을 지나는 직선은 접선과 수직임을 이용한다.

풀이 오른쪽 그림과 같이 원의 중

O C

Q 2

-1 1

P

4 x y

심을 C라 하면 C(-1, 1)이므로 CPÓ=!%(4+1)Û`+(2-1)Û`^

=13266 CQÓ=2

따라서 직각삼각형 CPQ에서

PQÓ=Á°(13266)Û`-2Û`¤=13226  ③

17

^{전략 현의 길이가 최대}´최소가 되는 경우를 생각한다.

풀이 xÛ`+yÛ`-10x=0에서 (x-5)Û`+yÛ`=25 오른쪽 그림과 같이 원의 중심을 C

O1A C 5 4 5 Q

Q P

P

x y

라 하고 점 A(1, 0)을 지나는 직선 이 원과 만나는 두 점을 각각 P, Q 라 하면 CAÓ⊥PQÓ일 때 PQÓ의 길이 가 최소이므로 직각삼각형 ACP에서 APÓ=!%5Û`-4Û`^=3

즉 PQÓ의 길이의 최솟값은 2´3=6이다.

또 PQÓ가 지름일 때 PQÓ의 길이가 최대이므로 최댓값은 10이다.

따라서 자연수인 현의 길이는 6, 7, 8, 9, 10이다.

이때 길이가 7, 8, 9인 현은 각각 2개씩 존재하고, 길이가 6, 10인 현은 각각 1개씩 존재하므로 구하는 현의 개수는

3´2+2´1=8  ③

18

^전략 큰 원이 작은 원의 둘레를 이등분하면 두 원의 교점을 지나는 직선은 작은 원의 중심을 지난다.

풀이 xÛ`+yÛ`-4x+2y=0 …… ㉠

xÛ`+yÛ`-2ax+6=0에서 (x-a)Û`+yÛ`=aÛ`-6 …… ㉡ 원 ㉠이 원 ㉡의 둘레를 이등분하려면 오른쪽

떪 그림과 같이 두 원의 교점을 지나는 직선이 떫 원 ㉡의 중심을 지나야 한다.

두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식은 xÛ`+yÛ`-4x+2y-(xÛ`+yÛ`-2ax+6)=0

(2a-4)x+2y-6=0 ∴ (a-2)x+y-3=0 이 직선이 원 ㉡의 중심 (a, 0)을 지나므로

a(a-2)-3=0, aÛ`-2a-3=0 (a+1)(a-3)=0 ∴ a=-1 또는 a=3

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112

^{정답 및 풀이}

그런데 aÛ`-6>0이어야 하므로 a=3  3

19

^전략 µAB를 일부로 하는 원의 방정식을 구한 후, 두 원의 교점을 지 나는 직선의 방정식을 이용한다.

풀이 오른쪽 그림과 같이 µAB를 일부

O A

B y

x 3

1 3

-3 -3 로 하는 원을 생각하면 이 원의 반지름 의 길이는 3이고 점 (1, 0)에서 x축에 접하므로 중심의 좌표는 (1, 3)이다.

y ❶

따라서 µAB를 일부로 하는 원의 방정식은

(x-1)Û`+(y-3)Û`=9, 즉 xÛ`+yÛ`-2x-6y+1=0 y ❷

이때 직선 AB는 두 원 xÛ`+yÛ`-9=0, xÛ`+yÛ`-2x-6y+1=0의 교점을 지나므로 직선 AB의 방정식은

xÛ`+yÛ`-9-(xÛ`+yÛ`-2x-6y+1)=0

∴ x+3y-5=0 y ❸

 x+3y-5=0

20

^전략 외접하는 두 원의 중심 사이의 거리는 두 원의 반지름의 길이 의 합과 같음을 이용한다.

풀이 세 원 OÁ, Oª, O£의 중심

O

A B C

O' H

O"

H' m

l 을 각각 O, O', O"이라 하고

세 원 OÁ, Oª, O£이 직선 m과 접하는 접점을 각각 A, B, C, 점 O에서 O'BÓ, O"CÓ에 내린

수선의 발을 각각 H, H'이라 하면 △OHO'»△OH'O"이므로 OO'Ó`:`OO"Ó=O'HÓ`:`O"H'Ó

이때 두 원 OÁ, O£의 넓이가 각각 9p, 16p이므로 반지름의 길이 는 각각 3, 4이다. 즉 원 Oª의 반지름의 길이를 r라 하면 (r+3)`:`(3+2r+4)=(r-3)`:`(4-3) r+3=(2r+7)(r-3), r+3=2rÛ`+r-21 ∴ rÛ`=12

따라서 원 Oª의 넓이는 12p이다.  12p

21

^전략 점 P를 원점으로 하는 좌표평면을 생각한다.

풀이 오른쪽 그림과 같이 관람지점

P{O}

2

2 x

y P를 원점, 점 P와 두 전시물 B, A의 밑면의 중심을 연결한 직선을 각각 x 축, y축으로 하는 좌표평면을 잡으면 전시물 A의 밑면의 방정식은 xÛ`+(y-2)Û`=1

채점기준 비율

❶ µAB를 일부로 하는 원의 중심의 좌표를 구할 수 있다. 30%

❷ µAB를 일부로 하는 원의 방정식을 구할 수 있다. 30%

❸ 직선 AB의 방정식을 구할 수 있다. 40%

전시물 B의 밑면의 방정식은 (x-2)Û`+yÛ`=1

두 전시물 사이로 전시물 C가 보여야 하므로 원점에서 두 전시물 A, B의 밑면에 그은 접선 사이에 전시물 C의 밑면이 존재해야 한다.

이때 관람지점 P에서 전시물 C의 밑면의 중심까지의 거리가 최 소가 되려면 전시물 C의 밑면이 두 접선에 모두 접해야 한다.

Ú 두 전시물 A, C의 밑면에 동시에 접하는 직선의 기울기를 m 이라 하면 직선이 원점을 지나므로 직선의 방정식은

y=mx, 즉 mx-y=0

이 직선이 원 xÛ`+(y-2)Û`=1에 접하므로 |-2|

!%mÛ`+(-1)Û`^`=1, !%mÛ`+1^=2 mÛ`+1=4, mÛ`=3

∴ m=136 (∵ m>0)

따라서 접선의 방정식은 136x-y=0

Û 두 전시물 B, C의 밑면에 동시에 접하는 직선의 기울기를 m' 이라 하면 직선이 원점을 지나므로 직선의 방정식은

y=m'x, 즉 m'x-y=0

이 직선이 원 (x-2)Û`+yÛ`=1에 접하므로 |2m'|

!%m'Û`+(-1)Û`^`=1, !%m'Û`+1^=|2m'|

m'Û`+1=4m'Û`, m'Û`=;3!;

∴ m'= 1

136 (∵ m'>0)

따라서 접선의 방정식은 x-13y=0

Ú, Û에서 전시물 C의 밑면은 두 직선 13x-y=0, x-13y=0 에 모두 접한다.

한편 전시물 C의 밑면의 중심이 직선 y=x 위에 있으므로 중심의 좌표를 (a, a)라 하면 원의 중심과 두 직선 136x-y=0, x-136y=0 사이의 거리는 각각 반지름의 길이 1과 같으므로

|136a-a|

Á°(136)Û`+(-1)Û`¤`= |a-136a|

ÚÞ1Û`+(-!3)Û`ß`=1 ∴ a= 2

!3-1=136+1 (∵ a>0)

따라서 관람지점 P에서 전시물 C의 밑면의 중심까지의 거리 d의 최 솟값은 원점과 점 (13+1, 13+1)까지의 거리와 같으므로 Á°(136+1)Û`+(136+1)Û`¤ =Á°2(136+1)Û`¤   

=126(13+1)

=166+126  ⑤

개념쎈라이트(수1-13정답)101~112.indd 112 15. 9. 25. 오후 12:28

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