연립부등식의 영역

확 인 본책 284 ~285쪽

1

⑴ 부등식 x-y>0, 즉 y<x의 영역은 직선 y=x의 아랫부 분(경계선 제외)이고, 부등식 2x+y<4, 즉 y<-2x+4의 영역은 직선 y=-2x+4의 아랫부

분(경계선 제외)이므로 구하는 연립 부등식의 영역은 오른쪽 그림의 색칠 한 부분(경계선 제외)과 같다.

⑵ 부등식 y¾xÛ`-3x-4의 영역은 포물선 y=xÛ`-3x-4의 윗부 분(경계선 포함)이고, 부등식 x-2y+1É0, 즉 y¾ 12 x+1 2 의 영역은 직선 y= 12 x+1

2 의 윗 부분(경계선 포함)이므로 구하 는 연립부등식의 영역은 오른쪽 그림의 색칠한 부분(경계선 포 함)과 같다.

 풀이 참조

2

(x-3)(y+2)<0에서     àx-3>0

y+2<0 또는 àx-3<0

y+2>0, 즉 àx>3

y<-2 또는 àx<3 y>-2 따라서 주어진 부등식의 영역은 오른쪽

그림의 색칠한 부분(경계선 제외)과 같 다.

 풀이 참조

본책 286 ~288쪽 유 제

1

⑴ 부등식 4yÉxÛ`+yÛ`É2x+8의 영역은 연립부등식 à4yÉxÛ`+yÛ`

xÛ`+yÛ`É2x+8의 영역이다.

부등식 4yÉxÛ`+yÛ`, 즉 xÛ`+(y-2)Û`¾4 의 영역은 원 xÛ`+(y-2)Û`=4의 외부(경계선 포함)이고, 부등식

y=x

y=-2x+4 O 4

2 y

x

2 1

y=x@-3x-4 -1 O 4

y

x 2 y=1x+21

x=3 y=-2

O 3

-2 y

x

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122

^{정답 및 풀이}

xÛ`+yÛ`É2x+8, 즉 (x-1)Û`+yÛ`É9의 영역은 원 (x-1)Û`+yÛ`=9의 내부(경계선 포함)이므로 주어진 부등식의 영 역은 오른쪽 그림의 색칠한 부분 (경계선 포함)과 같다.

⑵ |x-y|<3에서 -3<x-y<3

즉 부등식 |x-y|<3의 영역은 연립부등식 ày>x-3 y<x+3의 영 역이다.

부등식 y>x-3의 영역은 직선 y=x-3의 윗부분(경계선 제 외)이고, 부등식 y<x+3의 영역은 직선 y=x+3의 아랫부 분(경계선 제외)이다.

따라서 주어진 부등식의 영역은 오른 쪽 그림의 색칠한 부분(경계선 제외) 과 같다.

⑶ 부등식 |x|+|y|É4에서

Ú x¾0, y¾0일 때, x+yÉ4 ∴ yÉ-x+4 Û x¾0, y<0일 때, x-yÉ4 ∴ y¾x-4 Ü x<0, y¾0일 때, -x+yÉ4 ∴ yÉx+4 Ý x<0, y<0일 때, -x-yÉ4 ∴ y¾-x-4 부등식 y¾xÛ`의 영역은 포물선

y=xÛ`의 윗부분(경계선 포함)이 므로 주어진 연립부등식의 영역 은 오른쪽 그림의 색칠한 부분(경 계선 포함)과 같다.

 풀이 참조

2

부등식 y-1É0, 즉 yÉ1의 영역은 직선 y=1의 아랫부분 (경계선 포함)이고, 부등식 x-y+1¾0, 즉 yÉx+1의 영역은 직선 y=x+1의 아랫부분(경계선 포함)이다. 또 부등식 x-3y+1É0, 즉 y¾;3!;x+;3!;의 영역은 직선 y= 13 x+1

3 의 윗 부분(경계선 포함)이므로 주어진

연립부등식의 영역은 오른쪽 그 림의 색칠한 부분(경계선 포함) 과 같다.

두 직선 y=1, y= 13x+1

3 의 교점의 좌표는 (2, 1)이므로 구하 는 넓이는

;2!;´2´1=1  1

O

-2 1 4

4 2 y

x

{x-1}@+y@=9 x@+{y-2}@=4

-3

-3 y=x+3

y=x-3 3

3 y

x O

y=x@

O 4

-4

-4 4

!

@

#

$ y

x

3 y=1x+31

y=x+1

y=1 O

-1 1

2 y

x

3

(x-y)(xÛ`+yÛ`-4)É0에서 àx-y¾0

xÛ`+yÛ`-4É0 또는 àx-yÉ0 xÛ`+yÛ`-4¾0 ∴ àyÉx

xÛ`+yÛ`É4 ……`㉠ 또는 ày¾x

xÛ`+yÛ`¾4 ……`㉡

연립부등식 ㉠의 영역은 직선 y=x의 아랫부분과 원 xÛ`+yÛ`=4의 내부(모두 경계선 포함)의 공통부분이고, 연립부등식 ㉡의 영역은 직선 y=x의 윗부분과 원 xÛ`+yÛ`=4의

외부(모두 경계선 포함)의 공통부분이다.

따라서 주어진 부등식의 영역은 오른쪽 그 림의 색칠한 부분(경계선 포함)과 같다.

 풀이 참조

4

(2x+y)(2x-y)(xÛ`+y-1)>0에서 경계선의 방정식은 2x+y=0, 2x-y=0, xÛ`+y-1=0

∴ y=-2x, y=2x, y=-xÛ`+1

이때 경계선 위에 있지 않은 점 (0, -1)의 좌표를 주어진 부등 식의 좌변에 대입하면

(0-1)(0+1)(0-1-1)=2>0 즉 부등식이 성립하므로 점 (0, -1) 이 속하는 영역은 주어진 부등식의 영역에 속한다.

따라서 구하는 영역은 점 (0, -1) 이 속하는 영역과 이 영역에 이웃하 지 않는 영역이므로 오른쪽 그림의 색칠한 부분(경계선 제외)과 같다.

 풀이 참조

5

(xÛ`+yÛ`-4x)(xÛ`+yÛ`-4x-a)É0에서 àxÛ`+yÛ`-4x¾0

xÛ`+yÛ`-4x-aÉ0 또는 àxÛ`+yÛ`-4xÉ0 xÛ`+yÛ`-4x-a¾0 ∴ à(x-2)Û`+yÛ`¾4

(x-2)Û`+yÛ`Éa+4    …… ㉠　　 또는 à(x-2)Û`+yÛ`É4

(x-2)Û`+yÛ`¾a+4    …… ㉡　　 연립부등식 ㉡을 만족시키는 실수 x, y의 값은 존재하지 않으므 로 주어진 부등식의 영역은 연립부등식 ㉠의 영역이다.

따라서 주어진 부등식의 영역은 오른 쪽 그림의 색칠한 부분(경계선 포함) 과 같으므로

p´(a+4)-p´4=5p

∴ a=5  5

y=x

x@+y@=4 O -2

-2 2

2 y

x

y=-2x y=2x y=-x@+1

-1 1 y

O x

{x-2}@+y@=4

{x-2}@+y@=a+4

O 2

y

x

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Ⅳ. 도형의 방정식

123

15

부등식의 영역

본책



^{286 ~ 290쪽}

7

주어진 그림에서 경계선의 방정식을 구하면

y=x+1, (x+1)Û`+yÛ`=1, xÛ`+(y-1)Û`=1 ∴ x-y+1=0, xÛ`+yÛ`+2x=0, xÛ`+yÛ`-2y=0

(x-y+1)(xÛ`+yÛ`+2x)(xÛ`+yÛ`-2y)에 색칠한 영역에 속하는 점 (0, 3)의 좌표를 대입하면

(0-3+1)(0+9+0)(0+9-6)=-54<0 이고 경계선을 포함하므로 구하는 부등식은 (x-y+1)(xÛ`+yÛ`+2x)(xÛ`+yÛ`-2y)É0

 (x-y+1)(xÛ`+yÛ`+2x)(xÛ`+yÛ`-2y)É0

03

부등식의 영역의 활용

확 인 ^{본책 289쪽}

1

2x+y=k`(k는 상수)로 놓으면

y=-2x+k …… ㉠　　

이때 직선 ㉠이 점 (2, 2)를 지날 때 k의 값이 최대이므로 최댓 값은

2´2+2=6

또 직선 ㉠이 점 (0, 0)을 지날 때 k의 값이 최소이므로 최솟값은 2´0+0=0

따라서 2x+y의 최댓값은 6, 최솟값은 0이다.

 최댓값: 6, 최솟값: 0

본책 290 ~292쪽 유 제

1

주어진 세 부등식을 동시에 만족시 키는 영역을 좌표평면에 나타내면 오른 쪽 그림의 색칠한 부분(경계선 포함) 과 같다.

3y-2x=k (k는 상수)로 놓으면 y=;3@;x+;3K; …… ㉠　　

이때 직선 ㉠이 두 직선 x=1, y=- 43 x+4의 교점 {1, 8 3 }을 지 날 때 k의 값이 최대이므로 최댓값은

3´ 83 -2´1=6

또 직선 ㉠이 두 직선 y=1, y=- 43 x+4의 교점 {9

4 , 1}을 지 날 때 k의 값이 최소이므로 최솟값은

3´1-2´ 94 =-3 2

 최댓값: 6, 최솟값: - 32

1 1 4

3 x=1

y=1 y

O x

3 y=2x+

3 k

3 y=-4x+4 3

8

4 9

6

⑴ 주어진 그림에서 경계선의 방정식을 구하면

y=2x-1 …… ㉠　　

y=-;2!;x+1 …… ㉡　　

이때 색칠한 부분은 직선 ㉠의 윗부분과 직선 ㉡의 아랫부분 (모두 경계선 포함)의 공통부분과 직선 ㉠의 아랫부분과 직선

㉡의 윗부분(모두 경계선 포함)의 공통부분을 합친 것이므로 y¾2x-1

yÉ-;2!;x+1 또는 yÉ2x-1 y¾-;2!;x+1, 즉

à2x-y-1É0

x+2y-2É0 또는 à2x-y-1¾0 x+2y-2¾0 따라서 구하는 부등식은

(2x-y-1)(x+2y-2)¾0

⑵ 주어진 그림에서 경계선의 방정식을 구하면

y=xÛ`+2x …… ㉠　　

y=;2!;x+1 …… ㉡　　

이때 색칠한 부분은 포물선 ㉠의 윗부분과 직선 ㉡의 아랫부 분(모두 경계선 제외)의 공통부분과 포물선 ㉠의 아랫부분과 직선 ㉡의 윗부분(모두 경계선 제외)의 공통부분을 합친 것이 므로

y>xÛ`+2x

y<;2!;x+1 또는 y<xÛ`+2x y>;2!;x+1, 즉

àxÛ`+2x-y<0

x-2y+2>0 또는 àxÛ`+2x-y>0 x-2y+2<0 따라서 구하는 부등식은

(xÛ`+2x-y)(x-2y+2)<0

⑶ 주어진 그림에서 경계선의 방정식을 구하면

xÛ`+yÛ`=9 …… ㉠　　

(x-2)Û`+(y-2)Û`=4 …… ㉡　　 이때 색칠한 부분은 원 ㉠의 외부와 원 ㉡의 외부(모두 경계선

제외)의 공통부분과 원 ㉠의 내부와 원 ㉡의 내부(모두 경계 선 제외)의 공통부분을 합친 것이므로

àxÛ`+yÛ`>9

(x-2)Û`+(y-2)Û`>4 또는 àxÛ`+yÛ`<9

(x-2)Û`+(y-2)Û`<4, 즉 àxÛ`+yÛ`-9>0

xÛ`+yÛ`-4x-4y+4>0 또는 àxÛ`+yÛ`-9<0

xÛ`+yÛ`-4x-4y+4<0 따라서 구하는 부등식은

(xÛ`+yÛ`-9)(xÛ`+yÛ`-4x-4y+4)>0

 ⑴ (2x-y-1)(x+2y-2)¾0

⑵ (xÛ`+2x-y)(x-2y+2)<0

⑶ (xÛ`+yÛ`-9)(xÛ`+yÛ`-4x-4y+4)>0 (Ò

9

(Ò 9

(Ò 9

(Ò 9

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124

^{정답 및 풀이}

2

부등식 xÛ`+yÛ`É9의 영역은 오 른쪽 그림의 색칠한 부분(경계선 포 함)과 같다.

x+3y=k`(k는 상수)로 놓으면 y=-;3!;x+;3K; …… ㉠

직선 ㉠이 원 xÛ`+yÛ`=9에 접할 때, k는 최댓값과 최솟값을 갖는 다. 이때 원의 중심 (0, 0)과 직선 x+3y=k, 즉 x+3y-k=0 사이의 거리는 원의 반지름의 길이 3과 같으므로

|-k|

!%1Û`+3Û`^=3, |k|=313106 ∴ k=Ñ313106 따라서 x+3y의 최댓값은 313106, 최솟값은 -313106이다.

 최댓값: 313106, 최솟값: -313106

3

주어진 연립부등식의 영역은 오른 쪽 그림의 색칠한 부분(경계선 포함)과 같다.

x+2y=k`(k는 상수)로 놓으면 y=-;2!;x+;2K; …… ㉠　　 직선 ㉠이 포물선 y=xÛ`-2x와 직선

y=x의 교점 (3, 3)을 지날 때 k의 값이 최대이므로 최댓값은 3+2´3=9

또 직선 ㉠이 포물선 y=xÛ`-2x에 접할 때 k의 값이 최소이므로 이차방정식 xÛ`-2x=- 12x+;2K;, 즉 2xÛ`-3x-k=0의 판별식 을 D라 하면

D=(-3)Û`-4´2´(-k)=0 9+8k=0 ∴ k=-;8(;

따라서 M=9, m=-;8(;이므로

M

m =9´{-8

9 }=-8  -8

4

주어진 두 부등식을 동시에 만족 시키는 영역을 좌표평면에 나타내면 오른쪽 그림의 색칠한 부분(경계선 포 함)과 같다.

xÛ`+(y+7)Û`=k`(k>0)로 놓으면 1k6 는 중심이 (0, -7)인 원의 반지름의 길이와 같으므로 이 원이 직선 y=x-4에 접할 때 k의 값이 최소이다.

이때 원의 중심 (0, -7)과 직선 y=x-4, 즉 x-y-4=0 사이 의 거리가 원의 반지름의 길이 1k6와 같으므로

O -3

-3 3

3 y

x x@+y@=9

3 y=-1x+3k

y

O x

2 3 3

y=x@-2x

y=x 2 y=-1x+2k

O

-7 4 -4

y

x

x@+{y+7}@=k y=-x@

y=x-4

|0-1´(-7)-4|

!%1Û`+(-1)Û`^ =1k6, 132k6=3 2k=9 ∴ k= 92

따라서 구하는 최솟값은 9

2 이다.  ;2(;

5

주어진 세 부등식을 동시에 만족시키는 영역을 좌표평면에 나 타내면 오른쪽 그림의 색칠한 부 분(경계선 포함)과 같다.

xÛ`+y=k`(k는 상수)로 놓으면 y =-xÛ`+k …… ㉠　　

포물선 ㉠이 두 직선 x=-1, y=-x+2의 교점 (-1, 3)을 지 날 때 k의 값은 최대이므로 최댓값은

(-1)Û`+3=4

또 포물선 ㉠이 직선 y=;2!;x+;2!;에 접할 때 k의 값이 최소이므로 이차방정식 -xÛ`+k= 12 x+1

2 , 즉 2xÛ`+x+1-2k=0의 판별 식을 D라 하면

D=1Û`-4´2´(1-2k)=0 -7+16k=0 ∴ k=;1¦6;

따라서 xÛ`+y의 최댓값은 4, 최솟값은 ;1¦6;이다.

 최댓값: 4, 최솟값: ;1¦6;

6

두 약품 A, B를 각각 x`g, y`g 복용한다고 하면 비용은 (600x+400y)원이고

x¾0, y¾0, 2x+3y¾20, 3x+y¾16 위의 네 부등식을 동시에 만족시키

는 영역을 좌표평면에 나타내면 오 른쪽 그림의 색칠한 부분(경계선 포 함)과 같다.

600x+400y=k`(k는 상수)로 놓 으면

y=- 32 x+ k

400 …… ㉠　　

k

400 는 직선 ㉠의 y절편이므로 직선 ㉠이 두 직선 2x+3y=20, 3x+y=16의 교점 (4, 4)를 지날 때 k의 값이 최소이다.

따라서 구하는 최소 비용은

600´4+400´4=4000 (원)  4000원

7

두 선물 상자 A, B를 각각 x개, y개 만든다고 하면 만들 수 있는 선물 상자는 (x+y)개이고

x¾0, y¾0, 10x+5yÉ200, 5x+8yÉ155 O

3 2

-1 y

x

y=-x+2 y=-x@+k x=-1

2 y=1x+21

O 10

16

{4,`4}

y

x 3x+y=16

2x+3y=20

600x+400y=k 3

16 3 20

개념쎈라이트(수1-15정답)120~128.indd 124 15. 9. 25. 오후 12:57

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Ⅳ. 도형의 방정식

125

15

부등식의 영역

본책



^{290 ~ 293쪽}

앞의 네 부등식을 동시에 만족시키는 영 역을 좌표평면에 나타내면 오른쪽 그림 의 색칠한 부분(경계선 포함)과 같다.

x+y=k`(k는 상수)로 놓으면 y=-x+k …… ㉠　　 k는 직선 ㉠의 y절편이므로 직선 ㉠이

두 직선 10x+5y=200, 5x+8y=155의 교점 (15, 10)을 지날 때 k의 값이 최대이다.

따라서 선물 상자를 최대한 많이 만들 때 A는 15개, B는 10개이

다.  A: 15, B: 10

01

^전략 점 (a, b)가 부등식 f(x, y)>0의 영역에 속하면 f(a, b)>0 임을 이용한다.

풀이 점의 좌표를 부등식 3x-2y+1>0의 좌변에 각각 대입하 면 다음과 같다.

(1, 2)  3´1-2´2+1=0

(-1, 2)  3´(-1)-2´2+1=-6<0 (0, 0)  3´0-2´0+1=1>0

(3, -5)  3´3-2´(-5)+1=20>0 (-2, -2)  3´(-2)-2´(-2)+1=-1<0

따라서 주어진 부등식의 영역에 속하는 점은 (0, 0), (3, -5)의

2개이다.  ②

02

^전략 점 (a, b)가 직선 y=f(x)의 윗부분에 있으면 b>f(a)이고, 원 xÛ`+yÛ`=rÛ`의 내부에 있으면 aÛ`+bÛ`<rÛ`임을 이용한다.

풀이 직선 y=2x-5의 윗부분을 나타내는 부등식은 y>2x-5

점 (2, a)가 이 부등식의 영역에 속하므로

a>2´2-5 ∴ a>-1 …… ㉠ y ^❶ 원 xÛ`+(y+1)Û`=45의 내부를 나타내는 부등식은

xÛ`+(y+1)Û`<45

점 (a, 2a-1)이 이 부등식의 영역에 속하므로 aÛ`+(2a-1+1)Û`<45, aÛ`<9

O 20 40

{15,`10}

31 y

x 10x+5y=200

5x+8y=155 x+y=k 8

155

01

②

02

-1<a<3

03

6

04

-2-15

05

②

06

③

07

③

08

②

09

32

10

7

11

2

12

⑤

13

②

14

6p- 9132

15

0ÉaÉ;;Á3¼;;

16

②

17

380

중단원 연습 문제

본책 293 ~295쪽

∴ -3<a<3 …… ㉡ y ❷

㉠, ㉡에서 -1<a<3 y ❸

 -1<a<3

03

^전략 두 점 A, B를 잇는 선분 AB와 도형 f(x, y)=0이 만나려면 두 점 A, B가 도형 f(x, y)=0에 대하여 서로 다른 영역에 있거나 점 A 또는 점 B가 도형 f(x, y)=0 위에 있어야 한다.

풀이 선분 AB와 주어진 직선이 만나려면 두 점 A, B가 직선 kx+y-k+5=0에 대하여 서로 다른 영역에 있거나 점 A 또는 점 B가 직선 kx+y-k+5=0 위에 있어야 한다. y ❶

따라서 f(x, y)=kx+y-k+5라 하면 f(-2, 1)f(-1, 3)É0

(-2k+1-k+5)(-k+3-k+5)É0

6(k-2)(k-4)É0 ∴ 2ÉkÉ4 y ❷

즉 k의 최댓값은 4, 최솟값은 2이므로 구하는 합은 6이다. y ❸  6

04

^전략 주어진 포함 관계가 성립하도록 두 부등식의 영역을 좌표평면 에 나타내어 본다.

풀이 부등식 (x-1)Û`+yÛ`É1의 영역은 원 (x-1)Û`+yÛ`=1의 내 부(경계선 포함)이고, 부등식 y¾2x+k의 영역은 직선 y=2x+k의 윗부분(경계선 포함)이다.

따라서 부등식 (x-1)Û`+yÛ`É1의 영역이 부등식 y¾2x+k의 영역에 포함되려면 오른쪽 그림과 같이 직선 y=2x+k가 원 (x-1)Û`+yÛ`=1의 아래쪽에서 접하거나 원의 아래쪽에 있어야 한다.

이때 원과 직선이 접하려면 원의 중심 (1, 0)과 직선 y=2x+k, 즉 2x-y+k=0 사이의 거리가 원의 반지름의 길이 1과 같아야 하므로

|2´1-0+k|

!%2Û`+(-1)Û`^ =1, |k+2|=15 k+2=Ñ15 ∴ k=-2Ñ15

따라서 구하는 실수 k의 값의 범위는 kÉ-2-15이므로 k의 최

댓값은 -2-156이다.  -2-15

채점기준 비율

❶ 점 (2, a)가 직선 y=2x-5의 윗부분에 있을 때 a의 값의 범

위를 구할 수 있다. 40%

❷ 점 (a, 2a-1)이 원 xÛ`+(y+1)Û`=45의 내부에 있을 때 a의

값의 범위를 구할 수 있다. 40%

❸ a의 값의 범위를 구할 수 있다. 20%

채점기준 비율

❶ 선분 AB와 직선 kx+y-k+5=0이 만날 조건을 알 수 있다. 40%

❷ k의 값의 범위를 구할 수 있다. 40%

❸ k의 최댓값과 최솟값의 합을 구할 수 있다. 20%

O 2

y=2x+k y

x {x-1}@+y@=1

1

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126

^{정답 및 풀이}

05

^전략 각 점의 좌표를 연립부등식에 대입하여 성립하는지 확인한다.

풀이 점의 좌표를 주어진 연립부등식에 각각 대입하면 다음과 같다.

① 1Û`+2Û`=5É9, 2´1-2=0<1

② 0Û`+(-1)Û`=1É9, 2´0-(-1)=1

③ (-1)Û`+1Û`=2É9, 2´(-1)-1=-3<1

④ (-2)Û`+(-2)Û`=8É9, 2´(-2)-(-2)=-2<1

⑤ (-3)Û`+0Û`=9É9, 2´(-3)-0=-6<1

따라서 주어진 연립부등식의 영역에 속하지 않는 점은 ②이다.

 ②

06

^전략 먼저 경계선의 방정식을 구한다.

풀이 주어진 그림에서 경계선의 방정식은

y=x+2 …… ㉠

y=-xÛ`+4 …… ㉡

이때 색칠한 부분은 직선 ㉠의 아랫부분과 곡선 ㉡의 아랫부분 (모두 경계선 포함)의 공통부분이므로 구하는 연립부등식은 àyÉx+2

yÉ-xÛ`+4, 즉 àx-y+2¾0

xÛ`+y-4É0  ③

07

^전략 각 부등식의 영역의 공통부분을 좌표평면에 나타내어 본다.

풀이 x+yÉ1에서 yÉ-x+1 xÛ`+yÛ`-2yÉ0에서 xÛ`+(y-1)Û`É1 따라서 주어진 연립부등식의 영역을 좌표평면에 나타내면 오른쪽 그림의 색칠한 부분(경계선 포함)과 같다.

이때 직선 y=-x+1과 y축이 이루 는 예각의 크기가 45°이므로 구하는 영역의 넓이는 반지름의 길이가 1이

고 중심각의 크기가 135°인 부채꼴의 넓이와 같다.

∴ p´1Û`´135

360 =;8#;p  ③

08

^전략 f(x, y)g(x, y)¾0이면 f(x, y)¾0, g(x, y)¾0 또는 f(x, y)É0, g(x, y)É0임을 이용한다.

풀이 (x+y-1)(xÛ`+yÛ`-2x-2y+1)¾0에서 àx+y-1¾0

xÛ`+yÛ`-2x-2y+1¾0 또는 àx+y-1É0

xÛ`+yÛ`-2x-2y+1É0 ∴ ày¾-x+1

(x-1)Û`+(y-1)Û`¾1 ……`㉠　　

또는 àyÉ-x+1

(x-1)Û`+(y-1)Û`É1   ……`㉡　　

연립부등식 ㉠의 영역은 직선 y=-x+1의 윗부분과 원 (x-1)Û`+(y-1)Û`=1의 외부(모두 경계선 포함)의 공통부분이

O 1 2

1 135!

45!

y

x y=-x+1

x@+{y-1}@=1

고, 연립부등식 ㉡의 영역은 직선 y=-x+1의 아랫부분과 원 (x-1)Û`+(y-1)Û`=1의 내부(모

두 경계선 포함)의 공통부분이다.

따라서 주어진 부등식의 영역은 오 른쪽 그림의 색칠한 부분(경계선 포 함)과 같다.

 ②

09

^전략 f(x, y)g(x, y)É0이면 f(x, y)¾0, g(x, y)É0 또는 f(x, y)É0, g(x, y)¾0임을 이용한다.

풀이 (xÛ`+yÛ`-4)(xÛ`+yÛ`-36)É0에서 àxÛ`+yÛ`-4¾0

xÛ`+yÛ`-36É0 또는 àxÛ`+yÛ`-4É0 xÛ`+yÛ`-36¾0 ∴ àxÛ`+yÛ`¾4

xÛ`+yÛ`É36 …… ㉠ 또는 àxÛ`+yÛ`É4

xÛ`+yÛ`¾36 …… ㉡ 연립부등식 ㉡을 만족시키는 실수 x, y의 값은 존재하지 않으므 로 주어진 부등식의 영역은 연립부등식 ㉠의 영역이다.

따라서 주어진 부등식의 영역은 오른 쪽 그림의 색칠한 부분(경계선 포함) 과 같으므로 구하는 넓이는

p´6Û`-p´2Û`=32p ∴ a=32

 32

10

^전략 y-x=k`(k는 상수)로 놓고 직선 y=x+k를 주어진 부등식 의 영역을 지나도록 움직여 본다.

풀이 주어진 세 부등식을 동시에 만 족시키는 영역을 좌표평면에 나타내 면 오른쪽 그림의 색칠한 부분(경계선 포함)과 같다.

y-x=k`(k는 상수)로 놓으면 y=x+k …… ㉠　　

직선 ㉠이 두 직선 x=5, y=2x-2의 교점 (5, 8)을 지날 때 k 의 값이 최대이므로 최댓값은

8-5=3

또 직선 ㉠이 두 직선 x=5, y=-x+6의 교점 (5, 1)을 지날 때 k의 값이 최소이므로 최솟값은

1-5=-4

따라서 M=3, m=-4이므로

M-m=7  7

11

^전략 y-xÛ`=k`(k는 상수)로 놓고 포물선 y=xÛ`+k를 주어진 연 립부등식의 영역을 지나도록 움직여 본다.

O 1

1 y

x y=-x+1 {x-1}@+{y-1}@=1

y

x 6

6 O -6 -2 2

2

-6 -2

x@+y@=36

x@+y@=4

y

y=x+k

y=-x+6 y=2x-2

x=5 O 1 5 x

6 6

8

1 -2

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문서에서 09 여러 가지 부등식 (페이지 57-64)