대칭이동

확 인 본책 265 ~266쪽

1

 ⑴ (-3, -2) ⑵ (3, 2) ⑶ (3, -2) ⑷ (2, -3)

2

⑴ x+2´(-y)+4=0 ∴ x-2y+4=0

⑵ -x+2y+4=0 ∴ x-2y-4=0

⑶ -x+2´(-y)+4=0 ∴ x+2y-4=0

⑷ y+2x+4=0 ∴ 2x+y+4=0

 풀이 참조

본책 268 ~273쪽 유 제

1

점 A(5, 3)을 x축에 대하여 대칭이동한 점 B의 좌표는 B(5, -3)

점 A(5, 3)을 y축에 대하여 대칭이동한 점 C의 좌표는     C(-5, 3)

점 A(5, 3)을 원점에 대하여 대칭이동한 점 D의 좌표는 D(-5, -3)

따라서 오른쪽 그림에서 사각형 ACDB의 넓이는

10´6=60  60

2

점 (3, -1)을 x축에 대하여 대칭이동한 점 P의 좌표는 P(3, 1)

점 (3, -1)을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 점 Q의 좌표는 Q(-1, 3)

따라서 두 점 P, Q를 지나는 직선의 방정식은 y-1= 3-1-1-3 (x-3) ∴ y=-;2!;x+;2%;

 y=-;2!;x+;2%;

3

점 (a, a-1)을 원점에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 (-a, -a+1)

이 점이 직선 ax+2y+1=0 위의 점이므로

y

O x

C A

D

-5 5

3

-3 B

a´(-a)+2´(-a+1)+1=0 aÛ`+2a-3=0, (a+3)(a-1)=0 ∴ a=-3 또는 a=1

따라서 모든 a의 값의 합은

-3+1=-2  -2

4

직선 3x-4y+k=0을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 직 선의 방정식은

3y-4x+k=0 ∴ 4x-3y-k=0 이 직선이 점 (4, 5)를 지나므로

16-15-k=0 ∴ k=1  1

5

y=xÛ`-4x+a에서 y=(x-2)Û`+a-4

이 포물선을 원점에 대하여 대칭이동한 포물선의 방정식은 -y=(-x-2)Û`+a-4 ∴ y=-(x+2)Û`-a+4 따라서 대칭이동한 포물선의 꼭짓점의 좌표는

(-2, -a+4)

이 점이 점 (b, -4)와 일치하므로 -2=b, -a+4=-4 ∴ a=8, b=-2 ∴ a+b=6  6

다른 풀이 y=xÛ`-4x+a에서 y=(x-2)Û`+a-4 …… ㉠　　 대칭이동에 의하여 포물선의 꼭짓점은 포물선의 꼭짓점으로 이동 하므로 포물선 ㉠의 꼭짓점 (2, a-4)를 원점에 대하여 대칭이 동한 점의 좌표는

(-2, -a+4)

따라서 -2=b, -a+4=-4이므로 a=8, b=-2

6

직선 y=mx-3을 y축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은 y=-mx-3

이 직선이 원 xÛ`+yÛ`-2x+10y+1=0, 즉

(x-1)Û`+(y+5)Û`=25의 넓이를 이등분하므로 이 직선은 원의 중심 (1, -5)를 지난다. 즉

-5=-m-3 ∴ m=2  2

7

직선 y=mx-5를 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 직선의 방정식은

y+1=m(x-3)-5 ∴ y=mx-3m-6 이 직선을 직선 y=x에 대하여 대칭이동하면 x=my-3m-6 ∴ x-my+3m+6=0 이 직선이 점 (2, 1)을 지나므로

2-m+3m+6=0, 2m=-8

∴ m=-4  -4

8

y=xÛ`-6x+1에서 y=(x-3)Û`-8

포물선 y=(x-3)Û`-8을 x축의 방향으로 2만큼 평행이동한 포 물선의 방정식은

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Ⅳ. 도형의 방정식

115

14

도형의 이동

본책



^{264 ~ 272쪽}

y=(x-2-3)Û`-8 ∴ y=(x-5)Û`-8

이 포물선을 원점에 대하여 대칭이동한 포물선의 방정식은 -y=(-x-5)Û`-8 ∴ y=-(x+5)Û`+8

이차함수 y=-(x+5)Û`+8은 x=-5에서 최댓값 8을 가지므로 p=-5, q=8 ∴ pq=-40  -40

9

원 (x-a)Û`+(y+3)Û`=9를 직선 y=x에 대하여 대칭이동 한 원의 방정식은

(y-a)Û`+(x+3)Û`=9 ∴ (x+3)Û`+(y-a)Û`=9 원 (x+3)Û`+(y-a)Û`=9를 x축의 방향으로 b만큼, y축의 방향 으로 -1만큼 평행이동한 원의 방정식은

(x-b+3)Û`+(y+1-a)Û`=9 ∴ (x-b+3)Û`+(y-a+1)Û`=9

이 원과 직선 x+y+4=0이 접하므로 원의 중심 (b-3, a-1) 과 직선 x+y+4=0 사이의 거리는 원의 반지름의 길이 3과 같다.

즉 |(b-3)+(a-1)+4|

!%1Û`+1Û`^ =3이므로 |a+b|=312

∴ a+b=312 (∵ a>0, b>0)  312

10

점 A의 좌표를 (a, b)라 하면 점 A는 두 점 (2, -3), (-6, 5)를 잇는 선분의 중점이므로

2-6

2 =a, -3+5

2 =b ∴ a=-2, b=1

따라서 점 A의 좌표는 (-2, 1)이다.  (-2, 1)

11

y=2xÛ`+4x+3에서 y=2(x+1)Û`+1 …… ㉠　　 y=-2xÛ`+12x-15에서 y=-2(x-3)Û`+3 …… ㉡　　 두 포물선 ㉠, ㉡이 점 (a, b)에 대하여 대칭이므로 두 포물선의 꼭짓점 (-1, 1), (3, 3)도 점 (a, b)에 대하여 대칭이다.

따라서 점 (a, b)가 두 점 (-1, 1), (3, 3)을 잇는 선분의 중점 이므로

-1+3

2 =a, 1+32 =b ∴ a=1, b=2

∴ ab=2  2

다른 풀이 포물선 y=2xÛ`+4x+3 위의 임의의 점 P(x, y)를 점 (a, b)에 대하여 대칭이동한 점을 P'(x', y')이라 하면 점 (a, b) 가 선분 PP'의 중점이므로

x+x'

2 =a, y+y' 2 =b ∴ x=2a-x', y=2b-y'

이때 점 P가 포물선 y=2xÛ`+4x+3 위의 점이므로 2b-y'=2(2a-x')Û`+4(2a-x')+3

∴ y'=-2x'Û`+4(2a+1)x'-8aÛ`-8a+2b-3 x'을 x로, y'을 y로 바꾸면 대칭이동한 포물선의 방정식은

y=-2xÛ`+4(2a+1)x-8aÛ`-8a+2b-3

이 포물선이 포물선 y=-2xÛ`+12x-15와 일치해야 하므로 4(2a+1)=12, -8aÛ`-8a+2b-3=-15

∴ a=1, b=2

12

xÛ`+yÛ`-2x+8y+13=0에서 (x-1)Û`+(y+4)Û`=4 이 원의 중심 (1, -4)를 점 (-1, 3)에 대하여 대칭이동한 점의 좌표를 (a, b)라 하면 점 (-1, 3)이 두 점 (1, -4), (a, b)를 잇는 선분의 중점이므로

1+a

2 =-1, -4+b

2 =3 ∴ a=-3, b=10

즉 대칭이동한 원은 중심의 좌표가 (-3, 10)이고 반지름의 길 이가 2이므로 구하는 원의 방정식은

(x+3)Û`+(y-10)Û`=4  (x+3)Û`+(y-10)Û`=4

13

두 점 (3, -2), (-1, -6)을 잇

는 선분의 중점 { 3-12 , -2-6 2 }, 즉 (1, -4)가 직선 y=mx+n 위에 있 으므로

-4=m+n …… ㉠　　

또 두 점 (3, -2), (-1, -6)을 지나는 직선이 직선 y=mx+n 과 수직이므로

-6-(-2)

-1-3 ´m=-1 ∴ m=-1 m=-1을 ㉠에 대입하면 n=-3

∴ m-n=2  2

14

원 (x+2)Û`+(y+1)Û`=2의 중심 (-2, -1)을 직선

2x+y=0에 대하여 대칭이동한 점 의 좌표를 (a, b)라 하자.

두 점 (-2, -1), (a, b)를 잇는

선분의 중점 { -2+a2 , -1+b2 }가 직선 2x+y=0 위에 있으 므로

2´ -2+a2 + -1+b2 =0 ∴ 2a+b=5 …… ㉠　　 또 두 점 (-2, -1), (a, b)를 지나는 직선이 직선 2x+y=0, 즉 y=-2x와 수직이므로

b-(-1)

a-(-2)´(-2)=-1 ∴ a-2b=0 …… ㉡　　

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=1

따라서 대칭이동한 원은 중심의 좌표가 (2, 1)이고 반지름의 길 이가 12이므로 구하는 원의 방정식은

(x-2)Û`+(y-1)Û`=2  (x-2)Û`+(y-1)Û`=2

y x

y=mx+n O {3, -2}

{-1, -6}

y

x -2 O

-1

2x+y=0 a b

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116

^{정답 및 풀이}

(a+2, 3-1), 즉 (a+2, 2)

점 (a+2, 2)가 직선 2x+y-5=0 위의 점이므로 2(a+2)+2-5=0, 2a=-1

∴ a=-;2!;  ②

02

^전략 두 점 B, C의 좌표를 구한 후 세 점 A, B, C를 지나는 원의 방정식을 구한다.

풀이 점 A를 x축의 방향으로 m만큼 평행이동한 점 B의 좌표는 B(-2+m, 1)

점 B를 y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 점 C의 좌표는 C(-2+m, 1+n)

이때 세 점 A, B, C를 지나는 원의 중심의 좌표는 (3, 2)이고 반 지름의 길이는 !%(3+2)Û`+(2-1)Û`^=13266이므로 원의 방정식은 (x-3)Û`+(y-2)Û`=26 …… ㉠　　 점 B가 원 ㉠ 위의 점이므로

(-2+m-3)Û`+(1-2)Û`=26 (m-5)Û`=25, m-5=Ñ5 ∴ m=10 (∵ m>0) 점 C가 원 ㉠ 위의 점이므로

(-2+m-3)Û`+(1+n-2)Û`=26 (n-1)Û`=1, n-1=Ñ1 ∴ n=2 (∵ n>0)

∴ mn=20  ③

다른 풀이 A(-2, 1), B(-2+m, 1), C(-2+m, 1+n)에서 ABÓ Û`=mÛ`, BCÓ Û`=nÛ`, ACÓ Û`=mÛ`+nÛ`

이므로 △ABC는 ∠B=90°인 직각삼각형이다.

따라서 변 AC는 △ABC의 외접원의 지름이고, 변 AC의 중점이 원의 중심 (3, 2)이므로

-2+(-2+m)

2 =3, 1+(1+n)2 =2 ∴ m=10, n=2

03

^전략 도형 f(x, y)=0을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b 만큼 평행이동한 도형의 방정식은 f(x-a, y-b)=0이다.

풀이 직선 2x+y-7=0을 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으 로 -1만큼 평행이동한 직선의 방정식은

2(x-2)+(y+1)-7=0

∴ 2x+y-10=0 …… ㉠ y ❶

직선 2x+y+1=0을 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 3 만큼 평행이동한 직선의 방정식은

2(x-m)+(y-3)+1=0

∴ 2x+y-2m-2=0 …… ㉡ y ❷

15

오른쪽 그림과 같이 점 B를 y축에 대하여 대칭이동한 점을 B'이라 하면 B'(3, 7)

BPÓ=B'PÓ이므로

APÓ+BPÓ  =APÓ+B'PÓ¾AB'Ó   

=!%(3+5)Û`+(7-1)Û`^=10

따라서 구하는 최솟값은 10이다.  10

16

오른쪽 그림과 같이 점 B를 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 점을 B' 이라 하면

B'(4, 2) BPÓ=B'PÓ이므로

APÓ+BPÓ =APÓ+B'PÓ¾AB'Ó

=!%(4+3)Û`+(2-1)Û`^=512

따라서 구하는 최솟값은 512이다.  512

17

오른쪽 그림과 같이 점 A를

y축에 대하여 대칭이동한 점을 A'이라 하면

A'(-3, 3)

또 점 B를 x축에 대하여 대칭이 동한 점을 B'이라 하면 B'(7, -2)

이때 APÓ=A'PÓ, BQÓ=B'QÓ이므로

APÓ+PQÓ+QBÓ =A'PÓ+PQÓ+QB'Ó¾A'B'Ó

=!%(7+3)Û`+(-2-3)Û`^=515

따라서 구하는 최솟값은 515이다.  515

01

^전략 점 (x, y)를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평 행이동한 점의 좌표는 (x+a, y+b)이다.

풀이 주어진 평행이동은 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이므로 이 평행이동에 의하여 점 (a, 3) 이 옮겨지는 점의 좌표는

y

x O

1P 7 B' B

A

-5 -3 3

y

O x A

B y=x

B'

-3 2

2 1 4

4 P

y

x A

Q P

O 3 2

-2

-3 3 7

A'

B

B'

01

②

02

③

03

4

04

-6

05

2

06

①

07

3

08

①

09

12

10

-;4&;

11

⑤

12

17

13

(x+6)Û`+(y-4)Û`=4

14

②

15

(-1, -2)

16

③

17

②

18

-1

19

13416-1

중단원 연습 문제

본책 274 ~276쪽

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Ⅳ. 도형의 방정식

117

14

도형의 이동

본책



^{273 ~ 275쪽}

두 직선 ㉠, ㉡이 일치하므로

-10=-2m-2 ∴ m=4 y ❸

 4

04

^전략 먼저 점 (2, -5)를 점 (1, a)로 옮기는 평행이동을 구한다.

풀이 점 (2, -5)를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n 만큼 평행이동한 점의 좌표를 (1, a)라 하면

2+m=1, -5+n=a ∴ m=-1, n=a+5

따라서 이차함수 y=xÛ`-x+1의 그래프를 x축의 방향으로 -1 만큼, y축의 방향으로 a+5만큼 평행이동한 그래프의 식은 y-(a+5)=(x+1)Û`-(x+1)+1

∴ y=xÛ`+x+a+6

이 이차함수의 그래프가 원점을 지나므로

0=a+6 ∴ a=-6  -6

05

^전략 먼저 주어진 조건을 이용하여 평행이동하기 전의 원의 방정식 을 구한다.

풀이 중심의 좌표가 (2, 3)이고 원점을 지나는 원의 반지름의 길 이는 중심 (2, 3)과 원점 사이의 거리와 같으므로

!%2Û`+3Û`^=13136 따라서 이 원의 방정식은

(x-2)Û`+(y-3)Û`=13 y ❶

이 원을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 -5만큼 평행이 동한 원의 방정식은

(x-a-2)Û`+(y+5-3)Û`=13 {x-(a+2)}Û`+(y+2)Û`=13

∴ xÛ`+yÛ`-2(a+2)x+4y+aÛ`+4a-5=0 y ❷

이 원이 원 xÛ`+yÛ`-6x+4by+c=0과 일치하므로 -2(a+2)=-6, 4=4b, aÛ`+4a-5=c ∴ a=1, b=1, c=0

∴ a+b+c=2 y ❸

 2

06

^전략 점 (x, y)를 원점과 직선 y=x에 대하여 각각 대칭이동한 점 의 좌표는 (-x, -y), (y, x)이다.

채점기준 비율

❶ 직선 2x+y-7=0을 평행이동한 직선의 방정식을 구할 수 있다. 40%

❷ 직선 2x+y+1=0을 평행이동한 직선의 방정식을 구할 수 있다. 40%

❸ m의 값을 구할 수 있다. 20%

채점기준 비율

❶ 중심의 좌표가 (2, 3)이고 원점을 지나는 원의 방정식을 구할

수 있다. 40%

❷ ❶의 원을 평행이동한 원의 방정식을 구할 수 있다. 30%

❸ a+b+c의 값을 구할 수 있다. 30%

풀이 점 A를 원점에 대하여 대칭이동한 점 B의 좌표는 B(3, -4)

점 A를 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 점 C의 좌표는 C(4, -3)

따라서 두 점 B, C를 지름의 양 끝 점으로 하는 원의 반지름의 길이는 1

문서에서 09 여러 가지 부등식 (페이지 50-53)