제2장에서 논의한 압력손실 산정식을 다른 이름으로 압력-유량관계식이라 부 를 수 있다. 일정한 형태를 가지는 배관장치에서의 압력손실 와 유량
와의 관계를 일반화해서 표현한다면 식(3-4)와 같다.
(3-4)
여기서, 은 관의 유동에너지 손실계수이고 상첨자 상수이다. 계수
과 은 압력손실을 산정하는 방법에 따라 정해지는 상수이다. 식(2-1) 의 Darcy Equation을 식(3-4)에 적용하면 식(3-5)와 같다.
, (3-5)
3.4 분지관에서 유량의 분배
폐회로 배관망과 개회로 배관망에 상관없이 배관망해석 기법의 가장 핵심적 인 요소는 관에서의 유동에너지 손실 산정과 분기점(Junction)에서의 유량분배 의 산정이다. 분기점에서의 유량 분배는 에너지 평형(Energy Balance)에 의해 결정되는데, 연결되어 있는 배관에서의 유동에너지 손실을 어떻게 산정하느냐 에 따라 분기점에서의 유량분배가 영향을 받게 된다.
Fig. 3-1은 전형적인 형태의 분지관이다. Fig. 3-1에서 유량의 분배는 기본적 으로 식(3-6)과 같은 연속방정식을 만족하여야 한다.
Fig. 3-1 Typical branched piping system
(3-6)
그리고 압력은 등방성이므로, 배관이 분지되는 2번 지점에서의 압력은 동일 하다는 것을 알 수 있으며, 이것은 식(3-7)과 같이 표현된다.
(3-7)
Fig. 3-1이 동일한 높이(Elevation)와 각 지점에서의 밀도()가 동일하다 고 가정하면, 식(3-7)에서 를 식(3-4)을 이용하여 유량 의 함수로 나 타내면 식(3-8)과 같다.
, , (3-8)
이렇게 해서 Fig. 3-1의 분지관과 같은 배관장치의 유량분배는 식(3-6), 식
(3-7)과 식(3-8)을 해석하여 배관장치내의 유체의 물성치 즉, 압력과 유량을 해
석해 낼 수 있는 것이다. 하지만, 식(3-6), 식(3-7)과 식(3-8)을 보면, 미지수는 각 배관에서의 유량 3개와 각 지점에서의 압력 4개이다. 미지수는 총 7개이지 만, 방정식의 수는 5개이어서, 식(3-6), 식(3-7)과 식(3-8)로는 무한대의 해가 조합을 가지게 된다. 그러므로 Fig. 3-1에서 정확한 해를 구하기 위해서는 2개 의 경계조건이 필요하다. 그리고 이 2개의 경계조건에는 반드시 하나씩의 유량 과 압력이 포함되어야 한다. 물론, Fig. 3-1에서와 같이 간단한 배관장치 뿐만 아니라, 아주 복잡한 배관장치라 하더라도 Fig. 3-1과 같은 배관장치가 기본요 소를 이루어 연결되는 것이므로, 식(3-6), 식(3-7) 및 식(3-8)과 같은 형태의 지 배방정식을 가지게 되고, 복잡한 배관장치라 하더라도, 2개의 경계조건이 필요 하다.
3.5 노우드방정식과 폐회로방정식
폐회로를 이루는 배관망을 해석하기 위해서는 배관망의 유동 특성을 나타내 는 지배방정식을 알아야 한다. 배관망을 해석하기 위해서 알아야할 폐회로의 유동특성은 아래의 두 가지로 정리된다.
(1) 노우드방정식(Node Equation): 모든 노우드에서의 유량의 대수합은 0이다.
(2) 폐회로방정식(Loop Equation): 모든 폐회로에서의 압력손실의 합은 0이다.
여기서, 노우드는 배관망을 구분하기 위해서 사용되는 절점을 말한다. 통상적 으로 노우드는 배관망을 구성하는 각 구성품의 연결부를 노우드로 잡게된다.
예를 들어, 개의 배관과 개의 노우드로 구성되는 배관망이 있다고 하 자. 연속방정식은 식(3-9)와 같이 표현되게 되며 이를 노우드방정식이라 부른다.
, for any node i (3-9)
여기서, 는 노우드 에서 노우드 로의 유량을 의미하고, 는 노우 드 에 외부로부터 공급되는 유량을 의미한다. 통상적으로, 식(3-9)에서 노우드로 유입되는 유량은 양(+)의 값을 가진 것으로, 노우드로부터 유출 되는 유량을 음(-)의 값을 가진 것으로 가정된다. 식(3-9)를 확장해서 배 관망 전체에 대해서 생각해보면, 개의 배관과 개의 노우드로 구성되
는 배관망은 개의 연속방정식을 가지게 된다.
Fig. 3-2 Simple piping system
Fig. 3-2는 2개의 노우드를 가지는 배관망이다. Fig. 3-2에서 노우드방정식을 구해보면 식(3-10)과 같다.
, (3-10)
2개의 노우드에 대해 각각 노우드방정식이 구해지지만, 부호만 다를 뿐 하나 의 노우드방정식이다. 그러므로 N개의 노우드로 구성된 배관망은 N-1개의 노 우드방정식을 가지는 것이다. 물론, 배관망이 복잡해지면 식(3-10)과 같이 명료 하게 중복된다는 것을 확인하기가 어려워지는 경우가 있어, N개의 노우드방정 식이 존재하는 것처럼 이해 할 수 있지만, 본질적으로 N-1개의 노우드방정식 만 존재하다는 것을 알아야 한다.
폐회로방정식의 일반적인 형태는 식(3-11)과 같이 표현된다. 여기서,
는 노우드 i와 j로 구성되는 배관에서 발생하는 압력손실이고, 식
(3-11)은 폐회로를 이루는 모든 배관에서의 압력손실을 합을 의미한다.
식(3-11)에서도 부호가 정해져야 하는데, 통상적으로 시계방향으로 흐르 는 유동을 양(+)의 값으로, 반시계방향으로 흐르는 것을 음(-)의 값으로 가정한다.
, for each loop (3-11)
위의 식(3-9)와 식(3-11)은 배관망의 지배방정식이다. Fig. 3-3을 보면 노우드 A와 노우드 B가 있고, 노우드 A, B를 잇는 직선관을 중심으로 1-2, 2-3의 형 태로 두 개의 폐회로가 형성되게 된다. 즉, 노우드 A로 유입된 유체는 1, 2, 3 번의 배관을 통해 노우드 B로 이동하게 되는데, 각각의 배관에서의 마찰손실 은 각각 다를 것이고, 이 마찰손실의 차는 각 배관을 유동하는 유량과 상관관 계를 가지게 될 것이다. 하지만, 압력은 등방성의 성질을 가지므로, 노우드 B 로 유입되는 각각의 배관에서의 압력이 노우드 B에서는 동일해 져야 한다는 것이다. 이러한 평형(balance)을 맞추기 위해서 2번 배관에는 좀 더 많은 유량 이 흐르게 될 것이다.
Fig. 3-3 Typical loop piping system
이것을 폐회로의 시각에서 바라보면, 1번 배관과 2번 배관으로 이뤄지는 폐 회로에서는 1번 배관에서의 마찰손실을 양(+, 시계방향), 2번 배관손실에서의 마찰손실을 음(-, 반시계방향)으로 했을 때, B점에서의 압력을 동일하게 하려 면, 1번 배관과 2번 배관에서의 마찰손실이 동일하여야 한다. 만약 1번 배관 과 2번 배관의 직경이 동일하다면, 마찰손실은 유량에 비례하므로, 2번 배관에 더 많은 유량이 흘러야 하는 뜻이다. 이 현상은 복잡한 형태의 폐회로에 적용 하여도 동일하게 나타나게 될 것이며 이것을 수학적으로 나타내게 되면, 식 (3-11)과 같이 표현되는 것이다. 식(3-4)와 식(3-11)을 조합하여 식(3-12)를 얻 을 수 있으며, 식(3-12)는 일반적인 폐회로방정식으로 사용된다.
(3-12)
Fig. 3-4는 10개의 배관과 8개의 노우드로 구성된 폐회로 배관망이다. Fig.
3-4에 대한 노우드방정식과 폐회로방정식은 Table 3-1과 Table 3-2와 같다.
Fig. 3-4 Loop piping system
Node Equation
Node Equation
1 2 3 4 5
6
7 Table 3-1 Node equation for Fig. 3-4
Loop Equation
Loop Equation
1 2 3 Table 3-2 Loop equation for Fig. 3-4