수학적 귀납법

11. 수학적 귀납법

86`~`87`쪽

01 ^an=4n+3이므로

수열 {an}은 첫째항이 7, 공차가 4인 등차수열이다.

∴ a¡=7, an+1=an+4

02 ⑴ a¡=2, an+1=2a_n에서 수열 {an}은 첫째항이 2이고 공비가 2인 등비수열이다.

⑵

∴ an=2¥2^n-1=2ⁿ

⑵ 2an+1=an+an+2이므로 수열 {an}은 등차수열이고 a¡=1, a™=3이므로 공차 d는

⑵

d=3-1=2

⑵

∴ an=1+(n-1)¥2=2n-1

03 ⑴ a1=5, an+1=an-2에서 수열 {an}은 첫째항이 5이고 공차 가 -2인 등차수열이다.

⑵

∴ an=5+(n-1)¥(-2)=-2n+7

⑵

∴ a15=-2¥15+7=-23

⑵ an+12=anan+2이므로 수열 {an}은 등비수열이고 a1=-1,

⑵

a2=2이므로 공비 r는

⑵

r= =-2

⑵

∴ an=-1¥(-2)^n-1=-(-2)^n-1

⑵

∴ a15=-(-2)^15-1=-2¹⁴

04 ^an+1=a_n+2n의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례대로 대입한 후 변끼리 더하면

a™=a¡+2 a£=a™+4 a¢=a£+6

⋮

+> ≥a«=an-1+2(n-1)

_>a«=a¡+{2+4+6+y+2(n-1)}

_> a«=1+ 2k

_> a«=1+2¥

_> a«=n¤ -n+1

05 ^⁄n=1일 때,

(좌변)=1¤ =1, (우변)=;6!;¥1¥2¥3=1 따라서 등식이 성립한다.

n(n-1) 111152

n-1¡

k=1

142-12

¤n=k(kæ1)일 때, 주어진 등식이 성립한다고 가정하면 1¤ +2¤ +3¤ +y+k¤ =;6!;k(k+1)(2k+1)

위 등식의 양변에 을 더하면

1¤ +2¤ +y+k¤ +

=;6!; k(k+1)(2k+1)+

= (2k¤ +7k+6)

=;6!;(k+1)(k+2)(2k+3) 따라서 n=k+1일 때도 등식이 성립한다.

⁄, ¤에 의하여 모든 자연수 n에 대하여 등식이 성립한다.

∴ (가) : (k+1)¤ , (나) : k+1 (k+1)¤

(k+1)¤

(k+1)¤

● ● ● 개념확인^{● ● ●}

01 ⑤ 02 ⑴ a«=2« ⑵ a«=2n-1

03 ⑴ -23 ⑵ -2¹⁴ 04 a«=n¤ -n+1 05 ④

핵심유형

1

^an+1=an+3« 의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례대로 대입 하여 변끼리 더하면

+a™=a¡+3 +a£=a™+3¤

+a¢=a£+3‹

⋮

+> ≥an=a_n-1+3^n-1

+>an=a¡+(3+3¤ +3‹ +y+3^n-1)

+> aⁿ=1+ =1+

= (3« -1)

1-1 an+1=an+(2n-1)의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례대 로 대입하여 변끼리 더하면

112

3« -3 144444442 3(3^n-1-1)

111113-1

88`~`89`쪽

● ● ●핵심유형으로개념정복하기^{● ● ●}

핵심유형 1 a«=;2!;(3« -1)

1-1a«=n¤ -2n+2 1-2;1@5(; 1-3660

핵심유형 2 a«=;n!;

2-1a«= 2-210 2-319

핵심유형 3 풀이 참조

3-1풀이 참조 3-2풀이 참조 3-3풀이 참조

핵심유형 4 풀이 참조

4-1풀이 참조 4-2풀이 참조 4-3풀이 참조

1145n+12n 6 k+1

+a™=a¡+1 +a£=a™+3 +a¢=a£+5

⋮

+> ≥≥aⁿ=an-1+(2n-3)

+>an=a¡+1+3+5+y+(2n-3) +> aⁿ=a¡+ (2k-1)

+> aⁿ=1+2_ -(n-1) +> aⁿ=1+n¤ -n-n+1

+> an=n¤ -2n+2

1-2 an+1=a«+ =a«+ - 의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례대로 대입하여 변끼리 더하면

a™=a¡+;1!;-;2!;

a£=a™+;2!;-;3!;

a¢=a£+;3!;-;4!;

⋮

+• aⁿ=an-1+ -+

•

a_n =a¡+1-+

• a

ⁿ

=2-∴ a15=2-;1¡5;=;1@5(;

1-3 an+1=a«+4n의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례대로 대입 한 후 변끼리 더하면

+>a™=a¡+4¥1 +>a£=a™+4¥2 +>a¢=a£+4¥3

⋮

+>≥ a«=a«–¡+4(n-1)

+>a«=a¡+4{1+2+y+(n-1)}

+> a«=0+4 k=4¥

+> a«=2n¤ -2n

∴ a«= (2n¤ -2n)

=2¥ -2¥

=660

핵심유형

2

an+1= a«의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례대로 대입 하여 변끼리 곱하면

113n+1n

10¥11 144132 10¥11¥21

111136

¡10 n=1

¡10 n=1

(n-1)n 111132

n-1¡

k=1

1n1 1n1

1n1 114n-11

114n+11 1n1 11114n(n+1)1

n(n-1) 1444444444444552

n-1¡

k=1

+>a™=;2!;a¡

+>a£=;3@;a™

+>a¢=;4#;a£

⋮

_• aⁿ= an-1

_

•

an= _ _ _y_ _a¡

_

• a

ⁿ= _1=

2-1 a¡=1, an+1= an이므로

an+1= an의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례대로 대입하여 변끼리 곱하면

_a™= a¡

_a£= a™

_a¢= a£

⋮

_• aⁿ= an-1

_

•

a_n= _ _ _y_ _a¡

_

• a

ⁿ=;1@;_ _1=

2-2 a_n+1=3« a«의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례대로 대입한 후 변끼리 곱하면

+>a™=3¥a¡

+>a£=3¤ ¥a™

+>a¢=3‹ ¥a£

⋮ _>≥ a«=3« —⁄ a«–¡

+>a«=(3⁄ _3¤ _y_3« —⁄ )a¡

+> a«=31+2+3+y+(n-1)

¥1 +> a«=3

a˚=3› fi 에서 3 =3› fi

=45, k¤ -k-90=0

(k-10)(k+9)=0 ∴ k=10 (∵ k는 자연수)

2-3 (2n-1)an+1=(2n+1)an에서 an+1= an

2n+1 2n-1 (k-1)k 111132

(k-1)k 2 (n-1)n

2

2n n+1 n

n+1

n¥n (n-1)(n+1) 4¥4

3¥5 3¥3 2¥4 2¥2 1¥3

n¥n (n-1)(n+1) 4¥4

3¥5 3¥3 2¥4 2¥2 1¥3

(n+1)(n+1) 11111124n(n+2)

(n+1)¤

11113n(n+2) 1n1 1n1

1144n-1n 134

123 112 1144n-1n

65

11.수학적 귀납법

an+1= an의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례대로 대입하여 변끼리 곱하면

_a™=;1#; a¡

_a£=;3%; a™

_a¢=;5&; a£

⋮

_• aⁿ= a_n-1

_

•

an=;1#;_;3%;_;5&;_y_ _a¡

=(2n-1)_1=2n-1

∴ a¡º=2¥10-1=19

핵심유형

3

^{⁄n=1일 때,}

⁄

(좌변)=1¥2=2, (우변)=;3!;¥1¥2¥3=2 따라서 등식이 성립한다.

¤n=k(kæ1)일 때, 주어진 등식이 성립한다고 가정하면 1¥2+2¥3+3¥4+y+k(k+1)

=;3!;k(k+1)(k+2)

위 등식의 양변에 (k+1)(k+2)를 더하면

1¥2+2¥3+3¥4+y+k(k+1)+(k+1)(k+2)

=;3!;k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)

=;3!;(k+1)(k+2)(k+3) 따라서 n=k+1일 때도 등식이 성립한다.

⁄, ¤에 의하여 모든 자연수 n에 대하여 등식이 성립한다.

3-1 ⁄n=1일 때,

(좌변)= = , (우변)= = 따라서 등식이 성립한다.

¤n=k(kæ1)일 때, 주어진 등식이 성립한다고 가정하면

+ + +y+ =

위 등식의 양변에 을 더하면

+ +y+ +

= +

=

=

= =k+1

1135k+2 (k+1)¤

11111125(k+1)(k+2) k¤ +2k+1 11111125(k+1)(k+2)

k(k+2)+1 11111125(k+1)(k+2)

1111112(k+1)(k+2)1 1135k+1k

1111112(k+1)(k+2)1 1111k(k+1)1

14442¥31 14441¥21

11111125(k+1)(k+2)1

1135k+1k 11115k(k+1)1 113¥41

112¥31 111¥21

112 1121+11 112

111¥21

2n-1 2n-3 2n-1

2n-3 2n+1 2n-1

따라서 n=k+1일 때도 등식이 성립한다.

⁄, ¤에 의하여 모든 자연수 n에 대하여 등식이 성립한다.

3-2 ⁄n=1일 때,

(좌변)=5, (우변)=;4%;(5⁄ -1)=5 따라서 등식이 성립한다.

¤n=k(kæ1)일 때, 주어진 등식이 성립한다고 가정하면 5+5¤ +5‹ +y+5˚ =;4%;(5˚ -1)

위 등식의 양변에 5^k+1을 더하면 5+5¤ +5‹ +y+5˚ +5^k+1

=;4%;(5˚ -1)+5^k+1=;4%;{(5˚ -1)+4¥5˚ }

=;4%;(5¥5˚ -1)=;4%;(5^k+1-1) 따라서 n=k+1일 때도 등식이 성립한다.

⁄, ¤에 의하여 모든 자연수 n에 대하여 등식이 성립한다.

3-3 ⁄n=1일 때,

(좌변)=1, (우변)=2¥1¤ -1=1 따라서 등식이 성립한다.

¤n=k(kæ1)일 때, 주어진 등식이 성립한다고 가정하면 1+5+9+y+(4k-3)=2k¤ -k

위 등식의 양변에 4k+1을 더하면 1+5+9+y+(4k-3)+(4k+1)

=(2k¤ -k)+(4k+1)

=2k¤ +3k+1

=2(k+1)¤ -(k+1)

따라서 n=k+1일 때도 등식이 성립한다.

⁄, ¤에 의하여 모든 자연수 n에 대하여 등식이 성립한다.

핵심유형

4

næ2인 모든 자연수 n에 대하여 부등식이 성립함을 보이면 된다.

⁄n=2일 때, (좌변)=(1+h)¤

(좌변)=1+2h+h¤ >1+2h=(우변) (∵ h¤ >0)

따라서 부등식이 성립한다.

¤n=k(kæ2)일때, 주어진부등식이성립한다고가정하면 (1+h)˚ >1+kh

위 부등식의 양변에 (1+h)를 곱하면 (1+h)^k+1>(1+kh)(1+h)

=1+(k+1)h+kh¤

>1+(k+1)h

(∵ h>0, k는 2 이상의 자연수) 따라서 n=k+1일 때도 부등식이 성립한다.

⁄, ¤에 의하여 næ2인 모든 자연수 n에 대하여 부등식 이 성립한다.

4-1 ⁄n=1일 때,

이므로 (좌변)=24>16=(우변) 따라서 부등식이 성립한다.

111444(k+1)¤1

11k 11133444k(k+1)¤1

-(k+1)¤ +k+k(k+1) 111331111111k(k+1)¤

114k+11

67

_a¢=;5&;a£

⋮

∴

=12[{;3!;-;4!;}+{;4!;-;5!;}+y+{;1¡7;-;1¡8;}]

∴

=12{;3!;-;1¡8;}

(2k¤ +5k+2)-(2k¤ +4k+2) (k+1)(k+2)

f(k+1)=10^2k+1+1=10^2k-1¥10²+1

f(k+1)=( )10¤ +1

(∵ f(k)=10^2k-1+1, f(k)-1=10^2k-1) f(k+1)=100 f(k)-99

f(k+1)=100_11p-99 (∵ f(k)=11p, p는자연수) f(k+1)=11{100p+( )}

이므로 f(k+1)도 11의 배수이다.

⁄, ¤에 의하여 모든 자연수 n에 대하여 f(n)은 11의 배수이다.

∴ ㈎ : f (k)-1, ㈏ : -9

09 ^an+1='ƒaⁿan+2의 양변을 제곱하면 an+1

2=anan+2이므로 수열 {an}은 등비수열이다. 이때 공비를 r라 하면

a4=3r³=24, r³=8 ∴ r=2 (∵ r는 실수)

∴ an=3¥2^n-1 …… ❶

∴ a_k= 3¥2^k-1

∴

ak=

∴

ak=3¥2¹⁰-3 …… ❷

따라서 p=3, q=3이므로

p-q=0 …… ❸

10 a¡=1, a™=2, a£=1+2=3이므로 …… ❶ 점 O에서 점 Pn+2까지 가는 방법은 점 Pn을 거쳐서 가는 방법 과 점 Pn+1을 거쳐서 가는 방법으로 나누어 생각할 수 있다.

즉, an+2=an+an+1

∴‡a¡=1, a™=2 ^{…… ❷}

a_n+2=a_n+a_n+1(næ1) 3(2⁄ ‚ -1)

2-1

¡10 k=1

¡10 k=1

-9 f(k)-1

채점 기준 배점

❶a¡, a™, a£ 구하기

❷a«, a«≠¡, a«≠™ 사이의 관계를 식으로 나타내기

40 % 60 %

01 등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a™=6에서 a+d=6 yy ㉠ a¢=8에서 a+3d=8 yy ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=5, d=1

∴ a•=5+1_7=12

[다른 해설]

수열 {a«}이 등차수열이므로

a£= = =7

공차 d는 d=a£-a™=7-6=1이므로 a•=a¢+4d=8+4_1=12

02 첫째항이 -;3@;이고 공차가 ;9@;인 등차수열을 {a«}이라 하면 a«=-;3@;+(n-1);9@;=;9@;(n-4)

이때 a«이 자연수가 되려면 n-4는 9의 배수이어야 한다.

따라서 수열 {a«}에서 처음으로 자연수가 되는 항은 제`13`항이 다.

∴ m=13

03 {a«}：4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, y

수열 {b«}은 첫째항이 100이고 공차가 -5인 등차수열이다.

그런데 두 수열에 공통으로 나타나는 수는 양의 정수이므로 수열 {b«}에서 양수인 항들을 작은 수부터 나열해 보면

5, 10, 15, 20, 25, y, 100 이 수열과 수열 {a«}의 공통인 항은 10, 25, 40, 55, 70, 85, 100 따라서 구하는 수의 개수는 7이다.

[다른 해설]

수열 {a«}은 첫째항이 4, 공차가 3이므로 a«=4+3(n-1)=3n+1

수열 {b«}은 첫째항이 100, 공차가 -5이므로 b«=100-5(n-1)=-5n+105 a¬=bμ이라 하면

3l+1=-5m+105 양변에 5를 더하면

3l+6=-5m+110 6+8

2 a™+a¢

2

92`~`95`쪽

● ● ●대단원 마무리하기^{● ● ●}

01 ① 02 ② 03 ② 04 5

05 ③ 06 16 07 ④ 08 120

09 ⑤ 10 ② 11 ① 12 14

13 ① 14 ① 15 27 16 440

17 ④ 18 ④ 19 ② 20 ②

21 ① 22 22 23 ⑤

채점 기준 배점

❶ 일반항 a« 구하기

❷ ¡¹⁰ a˚의 값 구하기

k=1

❸ p-q의 값 구하기

40 % 30 % 30 %

69

01.대단원Ⅲ 마무리하기

3(l+2)=5(-m+22)

3과 5가 서로소이므로 l+2는 5의 배수이어야 한다.

l+2=5k (k는 자연수) a¬=3(5k-2)+1=15k-5이므로

4…15k-5…100 9…15k…105

∴ ;5#;…k…7

따라서 구하는 수의 개수는 7이다.

04 수열 {b«}의 첫째항과 공차가 같으므로 b™=2b¡, b£=3b¡

b¡= 에서 a™=a¡b¡

b™= =2b¡에서 a£=2a™b¡=2a¡b¡¤

b£= =3b¡에서 a¢=3a£b¡=6a¡b¡‹

a¢=144에서 a¡b¡‹ =24

이때 24=2‹ _3=1‹ _24이고 네 개의 수 a¡, a™, a£, a¢와 b¡이 자연수이고 a¡<a™<a£<a¢, b¡+1이므로

a¡=3, b¡=2

∴ a¡+b¡=5

05 ㄱ. a¡, a™, a£, a¢, a∞가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 a¡+a∞=a™+a¢=2a£

이때 a¡+a™+a£+a¢+a∞=10이므로 5a£=10

∴ a£=2 (참) ㄴ. a¡+a∞=2a£=4 (참)

ㄷ. a£+a∞=2a¢이고, a™+a¢=2a£이므로 2a™+a£+a∞=2a™+2a¢

=2(a™+a¢)

=2_2a£

=4a£=8 (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

[다른 해설]

a¡, a™, a£, a¢, a∞가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 공차를 d라 하면

a¡=a£-2d, a™=a£-d, a¢=a£+d, a∞=a£+2d ㄱ. a¡+a™+a£+a¢+a∞

=(a£-2d)+(a£-d)+a£+(a£+d)+(a£+2d)

=5a£=10

∴ a£=2 (참)

ㄴ. a¡+a∞=(a£-2d)+(a£+2d)

=2a£=4 (참)

ㄷ. 2a™+a£+a∞=2(a£-d)+a£+(a£+2d)

=4a£=8 (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

a¢

a£

a£

a™

a™

a¡

06 등비수열 {a«}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 a™=ar, a£=ar¤ , a¢=ar‹ 이므로

a¡a™=4에서 a¥ar=4, a¤ r=4 yy ㉠ 또 a£a¢=8에서 ar¤ ¥ar‹ =8, a¤ rfi =8 yy ㉡

㉡÷㉠을 계산하면

= 에서 r› =2 a∞=ar› , a§=arfi 이므로

a∞a§=ar› ¥arfi =a¤ r·

=a¤ r¥r° =a¤ r¥(r› )¤

=4¥2¤ =16

07 등비수열 {a«}의 공비를 r라 하면 a™+a¢+a§=r(a¡+a£+a∞)이므로

126=r_63 ∴ r=2

또 a¡+a£+a∞=a¡+4a¡+16a¡=63이므로 a¡=3 ∴ a•=3_2‡ =384

08 주어진 등비수열의 일반항을 b«, 공비를 r라 하면 b¡=3이므로 b¡™=3r⁄ ⁄ =40이고, 수열 [ ]은 첫째항이 ;3!;, 공비가 인 등비수열이다.

3+a¡+a™+y+a¡º+40=

+ + +y+ +

= =

=

이때 3+a¡+a™+y+a¡º+40

=k{ + + +y+ + }을 만족시키므로

=

∴ k=9r⁄ ⁄ b¡™=3r⁄ ⁄ =40이므로

k=9r⁄ ⁄ =3¥3r⁄ ⁄ =3_40=120

09 ㄱ. 2^a¡=2^a이고

2^a«=2^a+(n-1)d=2å ¥2^(n-1)d

=2^a¥(2∂ )^n-1

ㄱ.

이므로 수열 {2^a«}은 첫째항이 2^a, 공비가 2∂ 인 등비수열이다.

(참) ㄴ. S2n-S2n-1=a2n=a+(2n-1)d

=a+d+(n-1)¥(2d)

ㄱ.

이므로 수열 {S2n-S2n-1}은 첫째항이 a+d, 공차가 2d인 등차수열이다. (참)

k(r⁄ ¤ -1) 3r⁄ ⁄ (r-1) 3(r⁄ ¤ -1)

r-1

1 40 1 a¡º 1

a™

1 a¡

1 3 r⁄ ¤ -1 3r⁄ ⁄ (r-1)

r(r⁄ ¤ -1) 3r⁄ ¤ (r-1)

;3!;[1-{;r!;}⁄ ¤ ] 1-;r!;

1 40 1 a¡º 1

a™

1 a¡

1 3

3(r⁄ ¤ -1) r-1

1 r 1

b«

8 4 a¤ rfi

a¤ r

ㄷ. 2^a«≠¡2^a«=2^a+nd¥2^a+(n-1)d a∞+a¡£=3aª에서 a+4d+a+12d=3(a+8d)

∴ a+8d=0 …… ㉠

∴ a¡£=-4+12¥;2!;=2

12 ;K+!1 0 (a˚+1)¤ =28에서

13 a˚=a¡+a™+y+aª+a¡º

=(a¡+a™)+y+(aª+a¡º)

∴ a£º=a¡+29_3

=5+87=92

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