등비수열

-=57-(-287)=344 yy ❸

14{(-1)+(-40)}

2 6(17+2)

2

채점 기준 배점

❶ 일반항a« 구하기

❷ 몇 번째 항부터 음수가 나오는지 구하기

❸ 합 구하기

30 % 30 % 40 %

채점 기준 배점

❶ 항수 구하기

❷ 공차 구하기

50 % 50 %

09. 등비수열

74`~`75`쪽

01 첫째항이 1, 공비가 '2이므로 a«=('2)^n-1

02 세 수 x, x-1, x+1이 이 순서대로 등비수열을 이루므로 (x-1)¤ =x(x+1)

x¤ -2x+1=x¤ +x, 3x=1

∴ x=;3!;

03 첫째항이 2, 공비가 3인 등비수열의 첫째항부터 제`n`항까지의 합은

=3« -1

04 월이율 2 %, 1개월마다 복리로 예금할 때, 10년 후는 120개월 후이므로 원리합계는 a_1.02¹²⁰원이다.

2(3« -1) 114444444443-1

● ● ●개념확인^{● ● ●}

01 a«=('2)^n-1 02 ;3!; 03 3« -1

04 ③ 05 ①

53

09.등비수열

05 매월 초에 적립하는 100000원의 원리합계를 그림으로 나타내 면 다음과 같다.

3년 후 월말의 원리합계를 S라 하면 S=100000_1.01+100000_1.01¤

+y+100000_1.01‹ fl S=

S=

S=4040000(원) S=404(만 원)

100000_1.01(1.4-1) 11444444441111144440.01

100000_1.01(1.01‹ fl -1) 114444444411111144441.01-1

현재 1개월 후

10%

10%

10%

10% 10%\1.01#^

10%\1.01#%

10%\1.01@

10%\1.01

2개월 후 …

… …

35개월 후36개월 후 36개월

2개월 1개월 35개월

핵심유형

1

등비수열 {a«}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 a¡+a™=10에서 a+ar=10

a(1+r)=10 yy ㉠ a£+a¢=40에서 ar¤ +ar‹ =40

ar¤ (1+r)=40 yy ㉡

㉠을 ㉡에 대입하면 10r¤ =40 ∴ r¤ =4

∴ a∞+a§=ar› +arfi =a(1+r)¥r›

=10¥4¤ =160

1-1 등비수열 {a«}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 a™=ar=-9, a∞=ar› =243이므로

76`~`77`쪽

● ● ●핵심유형으로개념정복하기^{● ● ●}

핵심유형 1 160

1-1② 1-242

1-318

핵심유형 2 48

2-172

핵심유형 3 140

3-1200 3-2②

핵심유형 4 a«=4¥5« —⁄

4-1⑴ 3 ⑵ 32 ⑶ a¡=3, a«=2« (næ2)

4-2-3 4-355

핵심유형 5 1313000원

5-1541000원 5-235만 원

= = , r‹ =-27

∴ r=-3 (∵ r는 실수)

r=-3을 ar=-9에 대입하면 a=3

∴a¡º=3¥(-3)· =-3⁄ ‚

1-2 주어진 등비수열의 공비를 r라 하면 첫째항이 3, 제`5`항이 48이므로

3r› =48, r› =16

∴ r=2 (∵ x, y, z는 양수) 따라서 x=6, y=12, z=24이므로

x+y+z=6+12+24=42

1-3 세 실수를 a, ar, ar¤ 으로 놓으면 세 실수의 합이 26이므로

a+ar+ar¤ =26 ∴ a(1+r+r¤ )=26 yy ㉠ 또 세 실수의 곱이 216이므로

a¥ar¥ar¤ =216, (ar)‹ =216, ar=6 (∵ ar는 실수)

∴ a=

a= 을 ㉠에 대입하면 (1+r+r¤ )=26 3(1+r+r¤ )=13r, 3r¤ -10r+3=0 (3r-1)(r-3)=0 ∴ r=;3!; 또는 r=3 r=;3!;일 때 a=18, r=3일 때 a=2이므로 세 실수는 2, 6, 18이다.

따라서 가장 큰 수는 18이다.

핵심유형

2

a, 8, b가 이 순서대로 등차수열을 이루므로

8= ∴ a+b=16 yy ㉠

8, b, 2가` 이 순서대로 등비수열을 이루므로 b¤ =8¥2=16 ∴ b=4 (∵ b>0) b=4를 ㉠에 대입하면 a=12

∴ ab=48

2-1 3, a, b가 이 순서대로 등비수열을 이루므로

a¤ =3b yy ㉠

a, b, 18이 이 순서대로 등차수열을 이루므로

b= yy ㉡

㉡을 ㉠에 대입하면 a¤ =3¥

2a¤ =3a+54, 2a¤ -3a-54=0 (a-6)(2a+9)=0

∴ a=6 (∵ a>0) a=6을 ㉡에 대입하면 b=12

∴ ab=72 444444444444a+182 444444444444a+182 4444444444a+b2

44446r 44446r

44446r

44444444243-9 4444444ar›ar 44444a∞a™

핵심유형

3

등비수열 {a«}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면

S«= =20 yy ㉠

S™«=

S™«= =60 yy ㉡

㉡÷㉠에서 r« +1=3 ∴ r« =2 r« =2를 ㉠에 대입하면 =20이므로

S£«= =

S£«=20(2‹ -1)=140

3-1 등비수열 {a«}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면

S∞= =5 yy ㉠

S¡º=

S¡º= =20 yy ㉡

㉡÷㉠을 하면 rfi +1=4 ∴ rfi =3

∴ S™º=

∴ S™º=

∴ S™º=20(3¤ +1)=200 [다른 해설]

등비수열 {a«}에서 첫째항부터 차례대로 5개의 수를 각각 묶어 그 합을 각각

A=a¡+a™+y+a∞

B=a§+a¶+y+a¡º C=a¡¡+a¡™+y+a¡∞

D=a¡§+a¡¶+y+a™º

이라하면 A, B, C, D는이 순서대로등비수열을이룬다.

이때 S∞=5, S¡º=20이므로

A=S∞=5, B=S¡º-S∞=20-5=15

따라서 = =3에서

C=15_3=45, D=45_3=135이므로 S™º=A+B+C+D

=5+15+45+135=200

3-2 수열 {a«}은 첫째항이 1, 공비가 2인 등비수열이므로 a«=2« —⁄

즉, a«≠¡=2« 이므로 a«a«≠¡=2« —⁄ ¥2« =2¥4« —⁄

수열 {a«a«≠¡}의 첫째항부터 제`n`항까지의 합을 S«이라 하면 S¡º= = 2 (4⁄ ‚ -1)

3 2(4⁄ ‚ -1)

4-1 15

5 B A

a(r⁄ ‚ -1){(rfi )¤ +1}

r-1 a(r¤ ‚ -1)

r-1 a(rfi -1)(rfi +1)

r-1 a(r⁄ ‚ -1)

r-1 a(rfi -1)

r-1

a{(r« )‹ -1}

1111444444r-1 a(r‹ « -1)

111144r-1 114r-1a a(r« -1)(r« +1) 111144111r-1

a(r¤ « -1) 111144r-1 a(r« -1) 11114r-1

핵심유형

4

S«=5« -1에서 a«=S«-S«–¡

a«=(5« -1)-(5« —⁄ -1)

a«=(5-1)5« —⁄ =4¥5« —⁄ (næ2) yy ㉠ 첫째항은

a¡=S¡=5⁄ -1=4

이고 이것은 ㉠에 n=1을 대입하여 얻은 값과 같으므로 a«=4¥5« —⁄

4-1 ⑴ a¡=S¡=2¤ -1=3

⑵ a∞=S∞-S¢=(2fl -1)-(2fi -1)

=(2-1)2fi =2fi =32

⑶ a«=S«-S«–¡

=(2« ±⁄ -1)-(2« -1)

=(2-1)2« =2« (næ2)

⑶

즉, a¡=3, a™=2¤ , a£=2‹ , a¢=2› , y 이므로 수열 {a«}

의 일반항은

⑶

a¡=3, a«=2« (næ2)

4-2 S«=3¥2« +k에서

a¡=S¡=3¥2+k=6+k a«=S«-S«–¡

=(3¥2« +k)-(3¥2« —⁄ +k)

=(6-3)2« —⁄ =3¥2« —⁄ (næ2)

즉, a™=3¥2=6이고 공비가 2이므로 수열 {a«}이 첫째항부 터등비수열이려면 2a¡=a™이어야 한다.

2(6+k)=6

6+k=3 ∴ k=-3

4-3 log£(S«+2)=n에서 S«+2=3ⁿ이므로 S«=3ⁿ-2

⁄næ2일 때

⁄

a«=S«-S«–¡=(3ⁿ-2)-(3^n-1-2)

=3¥3^n-1-3^n-1=2¥3^n-1 yy`㉠

¤n=1일 때

⁄

a¡=S¡=3⁄ -2=1

이때 a¡=1은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 다르므로 수열 {a«}의 일반항은 a¡=1, a«=2¥3^n-1(næ2)

∴ a¡+a¢=1+2¥3‹ =55

핵심유형

5

매월 초에 적립하는 금액의 원리합계를 그림으로 나타내면 다음과 같다.

현재 1개월 후

10%

10%

10%

10% 10%\1.01!@

10%\1.01!!

10%\1.01@

10%\1.01

2개월 후 …

… …

11개월 후 12개월 후 12개월

2개월 1개월 11개월

55

09.등비수열

1년 후 월말의 원리합계를 S라 하면

S=10fi _1.01⁄ ¤ +10fi _1.01⁄ ⁄ +y+10fi _1.01

=

=

=1313000(원)

5-1 매학년 초에 적립하는 금액의 원리합계를 그림으로 나타내 면 다음과 같다.

12년 후 연말의 원리합계를 S라 하면 S=

S=

S=541333.3y(원)

따라서 백 원 단위 이하를 버리면 541000원이다.

5-2 갚아야 할 1000만 원의 36개월 후의 원리합계는

1000_1.01‹ fl =1000_1.4=1400(만 원) yy ㉠ 매달 a만 원씩 갚는다고 하면 갚는 금액의 36개월 후의 원 리합계는

a+a_1.01+y+a_1.01‹ fi

= =

=40a(만 원) yy ㉡

㉠과 ㉡이 같아야 하므로 1400=40a

∴ a=35(만 원)

따라서 매달 35만 원씩 갚아야 한다.

a(1.4-1) 114444444410.01 a(1.01‹ fl -1)

1144444444144441.01-1

20000_1.12(3.9-1) 14444444441111144444440.12

20000_1.12(1.12⁄ ¤ -1) 11444444441111144444441.12-1

현재 1년 후

2만

2만 2만

2만 20000\1.12!@

20000\1.12!!

20000\1.12@

20000\1.12

2년 후 …

… …

11년 후 12년 후 12년

2년 1년 11년

10fi _1.01(1.13-1) 114444444411114440.01

10fi _1.01(1.01⁄ ¤ -1) 11444444441111141.01-1

78`~`79`쪽

● ● ● 기출문제로내신대비하기^{● ● ●}

0154 02 ② 03 ③ 04 제`7`항

05 ;8!; 06 243 07 ④ 08 ①

09 468 10 -1 11 8 12 182번

13 ② 14 1024 15 45000원

01 등차수열 {an}의 공차를 d라 하면 a¡=8이므로 a∞=a¡+4d=8+4d=128 ∴ d=30

∴ a™=8+30=38

등비수열 {bn}의 공비를 r라 하면 b¡=8이므로 b∞=8¥r⁴=128 ∴ r=2 (∵ r>0)

∴ b™=8¥2=16

∴ a™+b™=38+16=54

02 등비수열 {a«}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 a¡a™=a¥ar=a¤ r=8 yy ㉠ a¡a¢+a™a£=a¥ar‹ +ar¥ar¤ =a¤ r‹ +a¤ r‹

=2(a¤ r)r¤ =2_8_r¤ (∵ ㉠)

=64 이므로 r¤ =4

∴ r=2 (∵ r>0)

03 등비수열 {a«}의 공비가 r이므로 =r ㄱ. 2a«=b«으로 놓으면 b«≠¡=2a«≠¡이므로

ㄱ.

= = =r

ㄱ.

즉, 수열 {2a«}은 공비가 r인 등비수열이다. (참) ㄴ. a«¤ =b«으로 놓으면 b«≠¡=a«≠¡¤ 이므로

ㄱ.

= ={ }2 =r¤

ㄱ.

즉, 수열 {a«¤ }은 공비가 r¤ 인 등비수열이다. (거짓) ㄷ. 등비수열 {a«}의 첫째항을 a라 하면 a«=ar« —⁄ 이므로

ㄱ.

a«+a«≠¡=ar« —⁄ +ar« =ar« —⁄ (1+r)

=a(1+r)r« —⁄

ㄱ.

즉, 수열 {a«+a«≠¡}은 첫째항이 a(1+r), 공비가 r인 등비 수열이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

04 등비수열 {an}의 공비를 r라 하면 a£=;2!;¥r¤ =8, r¤ =16

∴ r=4 (∵ r>0)

따라서 an=;2!;¥4^n-1=;2!;¥2^2n-2이므로

;2!;¥2^2n-2>1000에서 2^2n-2>2000 이때 2⁄ ‚ =1024, 2⁄ ⁄ =2048이므로

2n-2æ11 ∴ næ6.5 따라서 구하는 항은 제`7`항이다.

05 등비수열을 이루는 세 실근을 a, ar, ar¤ (a+0)이라 하면 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

a+ar+ar¤ =2에서

a(1+r+r¤ )=2 yy ㉠ a_ar+a_ar¤ +ar_ar¤ =1에서

a¤ r(1+r+r¤ )=1 yy ㉡ a«≠¡

a«

a«≠¡¤

a«¤

b«≠¡

b«

a«≠¡

a«

2a«≠¡

2a«

b«≠¡

b«

a«≠¡

a«

a_ar_ar¤ =k에서

(ar)‹ =k yy ㉢

㉡÷㉠을 하면

=;2!; ∴ ar=;2!;

ar=;2!;을 ㉢에 대입하면 k=;8!;

06 주어진 등비수열의 공비를 r라 하면 3은 제`12`항이므로 1_r¹¹=3 ∴ r¹¹=3 yy ㉠

이때 a¡=r, a™=r¤ , y, a¡º=r⁄ ‚ 이므로 a¡_a™_y_a¡º

=r_r¤ _r‹ _y_r⁄ ‚

=r^1+2+3+y+10

=r⁵⁵=(r¹¹)⁵=3⁵ (∵ ㉠)

=243

07 처음에는 a배, 두 번째는 b배 올렸으므로

1회 2회

A 111⁄ aA 111⁄ abA_{a배 b배} 평균을 x배라 하면

1회 2회

A 111⁄ xA 111⁄ x¤ A_{x배 x배} 따라서 x¤ A=abA에서 x¤ =ab

∴ x='aåb

08 세 실수 a, b, c가 이 순서대로 등비수열을 이루므로 b¤ =ac yy ㉠

이차방정식 ax¤ +bx+c=0의 판별식을 D라 하면 D=b¤ -4ac=b¤ -4b¤ (∵ ㉠)

=-3b¤ <0 (∵ b+0) 따라서 실근을 갖지 않는다.

09 등비수열 {a«}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면

a¡+a™+a£+a¢+a∞= =3 yy ㉠

a¡+a™+y+a¡º=

a¡+a™+y+a¡º= =18 yy ㉡

㉡÷㉠에서 r⁵+1=6 ∴ r⁵=5 이것을 ㉠에 대입하면 =;4#;

∴ a¡+a™+y+a™º=

∴ a¡+a™+y+a™º

=;4#;_(5› -1)=468

10 9개의 수 1, a¡, a™, y, a¶, 81이 이 순서대로 등비수열을 이 루므로 공비를 r라 하면 첫째항이 1이고 제`9`항이 81이므로

r° =81 ∴ r='3 (∵ r>0) a(r²⁰-1)

r-1 a r-1

a(r⁵-1)(rfi +1) r-1 a(r¹⁰-1)

r-1 a(r⁵-1)

r-1 a¤ r(1+r+r¤ )

a(1+r+r¤ )

∴ a¡+a™+a£+y+a¶

∴

=r+r¤ +r‹ +y+r‡

∴

= =

∴

= =

∴

=39+40'3

∴ p-q=39-40=-1

11 S«+20=2¥10ⁿ⁺¹에서 S«=2¥10ⁿ⁺¹-20이므로 a«=S«-S«–¡

=(2¥10« ±⁄ -20)-(2¥10« -20)

=(20-2)10«

=18¥10« (næ2) yy ㉠

첫째항은 a¡=S¡=2¥10¤ -20=180이고, 이것은 ㉠에 n=1을 대입한 값과 같으므로 수열 {a«}의 일반항은

a«=18¥10«

따라서 p=18, q=10이므로 p-q=8

12 n번 저축한 금액의 원리합계가 5억 원 이상이라 하면

10⁶+10⁶_1.01+10⁶_1.01²+y+10⁶_1.01^n-1æ5_10⁸ æ5_10° , æ5_10¤

1.01ⁿ-1æ5, 1.01ⁿæ6 양변에 상용로그를 취하면

log 1.01ⁿælog 6, n log 1.01ælog 6

∴ næ

∴ n=

=

∴ n=

=181.___

따라서 5억 원 이상이 되려면 최소한 182번 저축해야 한다.

13 l¡=;3!;

l™=;3!;_;3!;_2=;3!;_;3@;

l£=;3!;_;3!;_;3!;_2¤ =;3!;_{;3@;}2

⋮

l«=;3!;_{;3@;}^n-1

따라서 수열 {l«}은 첫째항이 ;3!;이고 공비가 ;3@;인 등비수열이다.

∴ l¡+l™+y+l¡º= =1-{;3@;}1 0

14 등비수열 {a«}의 공비를 r라 하면 S£=2(r‹ -1)

r-1

;3!;[1-{;3@;}1 0 ] 1-;3@;

0.78 0.0043

0.3+0.48 0.0043 log 2+log 3

log 1.01 log 6 log 1.01

1.01« -1 0.01 10fl (1.01« -1)

1.01-1

(81-'3)('3+1) 2 ('3)° -'3

'3-1

'3 {('3)‡ -1}

'3-1 r(r‡ -1)

r-1

57

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