굿비 수학1_해설

지수함수와 로그함수

01. 지수

10`~`11`쪽

01

⑴ a2(a5

)‹ =a¤ a5_3

=a¤ a⁄ fi =a¤ ±⁄ fi =a⁄ ‡

⑵ (a3_b2₎4_=a3_4_b2_4_=a12_b8 ⑶ { } 2 _b3_{= _b}3_{= _b}3_{= =} ⑷ a2b3 ÷a4 b2 = _b3-2 =

02

⑴3'∂-1=3"Ω(√-1)3=-1 ⑵ -5'∂-∂32=-5"Ω(√-2)5=-(-2)=2 ⑶ -4"3Ω4=-3 ⑷ -6"Ω(√-2)6=-6"2Ω6=-2

03

⑴4'24'8=4'1å6=4"2Ω4=2 ⑵ =3 '8=3"2Ω3=2 ⑶ "3'ç6å4=6'6å4=6"2Ω6=2 ⑷3 "'ç7ß2Ωå9_6'2å7=6'7ß2å9_6'2å7=6"3Ω6_6"3Ω3 ⑹3"'ç7ß2Ωå9_6'2å7=3_'3=3'3

04

⑴ a5a-2 =a5-2 =a3 ⑵ (a-3₎-2_=a(-3)_(-2)_=a6 ⑶ (a2b-3 )3 =a2_3 b(-3)_3 =a6 b-9 ⑷ (a4_÷a7₎-2_=(a4-7₎-2_=(a-3₎-2_=a6 ⑸ 42_{_(4}3₎-2₌₄2_{_4}-6₌₄2-6₌₄-4_{= =} ⑹ 3-3_÷(3-2₎3₌₃-3_÷3-6₌₃-3-(-6)₌₃3₌₂₇ 1 256 1 44 3 '1å6 3 '2 b a2 1 a4-2 a2 b3 a2 b6-3 a2 b6 a1_2 b3_2 a b3

05

⑴3 "aΩ2=a;3@; ⑵4"a≈-3=a-;4#; ⑶ = =a-;4#; ⑷3"a3"aΩ4=a;3!;¥a;3$;=a;3!;+;3$;=a;3%; ⑸ "aΩ3÷3 "aΩ2=a;2#;÷a;3@;=a;2#;-;3@;=a;6%; ⑹3"aç'a=3Æ…a¥a;2!;=3Æ…a;2#;=a;3!;_;2#;=a;2!;

[다른 해설] ⑹3"aç'a=3'a3"ç'a=‹'a fl'a

[다른 해설] ⑹3"aç'a=a;3!;a;6!;=a;3!;+;6!;=a;2!;

06

⑴ 3'1å2_{_3}'2å7₌₃2'3_{_3}3'3₌₃2'3+3'3₌₃5'3 ⑵ (2'2₎'2₌₂'2_'2₌₂2₌₄ ⑶ 24'3÷2'2å7₌₂4'3_÷23'3₌₂4'3-3'3₌₂'3 ⑷ (9 _3Æ;2#;₎'6_{=9 _3}Æ;2#;_'6₌₉'2_{_3}3 =(32 )'2_{_3}3₌₃2'2+3 '6 '3 1 '3 1 a;4#; 1 4 "aΩ3

Ⅰ

● ● ●_개념확인● ● ● 01 ⑴ a⁄ ‡ ⑵a⁄ ¤ b° ⑶ ⑷ 02 ⑴-1 ⑵ 2 ⑶ -3 ⑷ -2 03 ⑴2 ⑵ 2 ⑶ 2 ⑷ 3'3

04 ⑴ a‹ ⑵ afl ⑶ afl b—· ⑷afl ⑸ ⑹27

05 ⑴ a;3@; _{⑵ a}-;4#; _{⑶ a}-;4#; _{⑷ a};3%; _{⑸ a};6%; _{⑹ a};2!; 06 ⑴ 35'3 ⑵ 4 ⑶ 2'3 _{⑷ 3}2'2+3 1 1443₂₅₆ b 13_a¤ a¤ 13_b‹ 12`~`13`쪽 ● ● ●_{핵심유형으로}개념정복하기● ● ● 핵심유형 1 ⑴ 1 ⑵ a‹ ⑶ a⁄ ‹ b—⁄ ‚ 1-1 ⑴a⁄ ⁄ b¤ ⑵ 243 ⑶ 27 1-2 ③ 1-3① 핵심유형 2 ⑴ ;1@6%; ⑵ 2;8&; ⑶ 2 2-1 ⑴ 256 ⑵ :™8∞1§: ⑶ 3;1!6%; 2-2 ⑴ 37'2 ⑵ a4'3 ⑶ a‹ b¤ 2-3 afi 핵심유형 3 ⑴ a¤ -b¤ ⑵ a;3@;_-a;3!;_b;3!;_+b;3@; 3-1 ⑴ a+b ⑵ a;2!;_+b-;2!; _{⑶ a};3@;_+a;3!;_b-;3!;_+b-;3@; _{⑷ a¤ -b¤} 3-2 2a+6a—⁄ 3-3;3*; 핵심유형 4 ⑴ 34 ⑵ 1154 ⑶ 198 4-1 ⑴ '7 ⑵ —'3 ⑶ 4'7 ⑷ —5'∂21 4-2 ⑴ 64 ⑵ 3 ⑶ ;2#; ⑷ ;7(; 4-3 ⑴ :¡3¢: ⑵ ;1!3$; 4-41296

정답

및

해설

T H I N K M O R E A B O U T Y O U R F U T U R E

3

01.지수 핵심유형

1

⑴ (주어진 식)=fl"≈3¤ ÷‹"≈3› _"≈3¤ =‹'3÷‹"≈3› _3 ⑴ (주어진 식)=‹Æ… _3=‹Æ… _3=;3!;_3=1 ⑵ (주어진 식)=a2+(-3)-(-4)=a3 ⑶ (주어진 식)=a4b-4 ÷ =a4 b-4 ÷b6 a-9 ⑴ (주어진 식)=a4-(-9) b-4-6 =a13 b-10

1

-1 ⑴ a3_(b-3 )2 ÷{(ab)2 }-4 =a3_{_b}-6_÷(a2_b2₎-4 =a3 _b-6 ÷a-8 b-8 =a3-(-8)_b-6-(-8)_=a11_b2 ⑵ 3-3_(3-5 ÷3-3 )-4 =3-3_{_{3}-5-(-3)_}-4₌₃-3_{_(3}-2₎-4 =3-3 _38 =3-3+8 =35 =243 ⑶ -{-;3!;} -3 =- =- =27

1

-2 æ– +‹

_æ

– = + = + = = = =

1

-3 = = = =3—° = = = = = =2—° ∴ (주어진 식)=3—° _2—° =6—° 핵심유형

2

⑴ (주어진 식)=∞[{;5$;} ;3@; ] ;2%; §-;5^;={;5$;} ;3@;_;2%;_{-;5^;} ={;5$;} -2 ⑴ (주어진 식)= = _=;1@6%; ⑵ (주어진 식)=(2"√2'2 );2!; ⑴ (주어진 식)=(2¥'2¥›'2);2!;_=(2¥2;2!;_¥2;4!;₎;2!; ⑴ (주어진 식)=(21+;2!;+;4!;₎;2!;₌₍₂;4&;₎;2!;₌₂;8&; ⑶ (주어진 식)=(2 ‹"√√4 ›'∂16 );2!;_{=(2¥‹'4¥⁄ ¤'∂16)};2!; ⑶ (주어진 식)=(2¥2;3@;_¥2;1¢2;₎;2!;₌₍₂1+;3@;+;3!;₎;2!; ⑶ (주어진 식)=(2¤ );2!;₌₂ 1 16 25 1 {;5$;} 2 1 2° 2 2· 18 2· (1+2‹ ) 18 2· +2⁄ ¤ 18 (2‹ )‹ +(2› )‹ 18 8‹ +16‹ 3—° (3‹ +1) 28 3—fi +3—° 28 3—fi +(3› )—¤ 28 3—fi +81—¤ 28 3 2‹'2 6‹'2 4‹"≈≈2¤ 2‹'2+4‹'2 4‹"≈≈2¤ ‹"≈2› +4‹'2 4‹"≈≈2¤ ‹'2 ‹"≈2¤ ‹"≈2¤ 4 ⁄ ¤"≈2› fl"≈2› fl"≈2› "≈2› ›'∂16 '∂16 ‹'∂16 16 1 -;2¡7; 1 {-;3!;} 3 bfl a· 1 3‹ 3 3›

2

-1 ⑴ [{;4!;}-;1¡6;] 64 ={;4!;}-;1^6$;={;4!;}-4 = = =44₌₂₅₆ ⑵ [{ÆΔ;1ª6;}-;2#;] ;3*; ={ÆΔ;1ª6;}-4={;4#;}-4 = = = = ⑶ ø3πø3∑"3∑∑ç'3='3¥›'3¥°'3¥⁄ fl'3 =3;2!;_¥3;4!;_¥3;8!;_¥3;1¡6; =3;2!;+;4!;+;8!;+1¡6; =3;1!6%;

2

-2 ⑴ 3'8_{_3}'ß50₌₃2'2_{_3}5'2₌₃2'2+5'2₌₃7'2 ⑵ a'ß12_÷a'3_{_a}'ß27_=a2'3_÷a'3_{_a}3'3 =a2'3-'3+3'3 =a4'3 ⑶ (aÆ;4#;_{_b )}'ß12_=(aÆ;4#;₎'ß12_{_(b )}'ß12 =aÆ;4#;_'ß12_{_b} _'ß12 =a"ç3¤_{_b}"ç2¤ =a‹ b¤

2

-3 (주어진 식)=a2'ß18+'ß12÷a'ß75-5_{_a}-6'2+3'3 =a6'2+2'3_÷a5'3-5_{_a}-6'2+3'3 =a(6'2+2'3)-(5'3-5)+(-6'2+3'3) =a5 핵심유형

3

⑴ (주어진 식)={(a;2!;)¤ -(b;2!;)¤ }(a+b) (주어진 식)=(a-b)(a+b)=a¤ -b¤ ⑵ a;3!;_{=A, b};3!;_{=B라 하면 a=A‹ , b=B‹} ∴ (주어진 식) ∴=(A‹ +B‹ )÷(A+B)

∴=(A+B)(A¤ -AB+B¤ )÷(A+B)

∴=A¤ -AB+B¤ ∴=(a;3!;_{)¤ -a};3!;_b;3!;_+(b;3!;_)¤ ∴=a;3@;_-a;3!;_b;3!;_+b;3@;

3

-1 ⑴ a;3!;_{=A, b};3!;_{=B라 하면 a};3@;_{=A¤ , b};3@;_=B¤ ∴ (주어진 식)=(A+B)(A¤ -AB+B¤ ) ∴ (주어진 식)=A‹ +B‹ ∴ (주어진 식)=(a;3!;_{)‹ +(b};3!;_{)‹ =a+b} ⑵ a;2!;_{=A, b}-;2!;_{=B라 하면 a=A¤ , b—⁄ =B¤} ∴ (주어진 식)=(A¤ -B¤ )÷(A-B) ∴ (주어진 식)=(A+B)(A-B)÷(A-B) ∴ (주어진 식)=A+B=a;2!;_+b-;2!; 1 '3 1 '3 1 '3 256 81 44 34 1 34 44 1 {;4#;} 4 1 1 44 1 {;4!;} 4

⑶ a;3!;_{=A, b}-;3!;_{=B라 하면 a=A}3_{, b}-1_=B3

∴ (주어진 식)=(A3-B‹ )÷(A-B) ∴ (주어진 식)=A¤ +AB+B¤ ∴ (주어진 식)=a;3@;_+a;3!;_b-;3!;_+b-;3@;

⑷ (a;4!;_-b;4!;_)(a;4!;_+b;4!;_)(a;2!;_+b;2!;_)(a+b)

=(a;2!;_-b;2!;_)(a;2!;_+b;2!;_)(a+b) =(a-b)(a+b)

=a¤ -b¤

3

-2 a;3!;=A, a-;3@;=B라 하면 (a;3!;_+a-;3@;_{)‹ +(a};3!;_-a-;3@;_)‹ =(A+B)‹ +(A-B)‹ =(A‹ +3A¤ B+3AB¤ +B‹ )

+(A‹ -3A¤ B+3AB¤ -B‹ ) =2(A‹ +3AB¤ ) =2{(a;3!;_{)‹ +3¥a};3!;_¥(a-;3@;_{)¤ }} =2(a+3a;3!;_a-;3$;₎ =2(a+3a;3!;-;3$;_{)=2(a+3a—⁄ )} =2a+6a—⁄

3

-3 {°'x- } {°'x+ } {›'x+ } {'x+ } =(x;8!;_-x-;8!;_)(x;8!;_+x-;8!;_)(x;4!;_+x-;4!;_)(x;2!;_+x-;2!;₎ =(x;4!;_-x-;4!;_)(x;4!;_+x-;4!;_)(x;2!;_+x-;2!;₎ =(x;2!;_-x-;2!;_)(x;2!;_+x-;2!;₎ =x-x-1 =x-=3-;3!;=;3*; 핵심유형

4

⑴ (a;2!;+a-;2!;)¤ =a+a—⁄ +2에서 6¤ =a+a—⁄ +2 ∴ a+a—⁄ =34 ⑵ (a+a—⁄ )¤ =a¤ +a—¤ +2에서

34¤ =a¤ +a—¤ +2 (∵ ⑴) ∴ a¤ +a—¤ =1154 ⑶ (a;2!;_+a-;2!;_{)‹ =a};2#;_+a-;2#;_+3¥a;2!;_¥a-;2!;_(a;2!;_+a-;2!;_)에서 6‹ =a;2#;_+a-;2#;_+3¥6 ∴ a;2#;_+a-;2#;₌₁₉₈

4

-1 ⑴ (x;2!;_+x-;2!;₎2_=x+x-1₊₂₌₇ ∴ x;2!;_+x-;2!;_=—'7 그런데 x;2!;_{>0, x}-;2!;_{>0이므로 x};2!;_+x-;2!;_='7 ⑵ (x;2!;_-x-;2!;₎2_=x+x-1_-2=3 ∴ x;2!;_-x-;2!;_=—'3 1 x 1 'x 1 ›'x 1 °'x 1 °'x ⑶ x;2#;_+x-;2#;_=(x;2!;_+x-;2!;₎3_-3¥x;2!;_¥x-;2!;_(x;2!;_+x-;2!;₎ ⑶ x;2#;_+x-;2#;_=('7)3_{-3'7 (∵ ⑴)} ⑶ x;2#;_+x-;2#;_=7'7-3'7=4'7 ⑷ x2-x-2 =(x+x-1 )(x-x-1 ) yy ㉠ 한편 x-x-1 =(x;2!;_+x-;2!;_)(x;2!;_-x-;2!;₎ 한편 x-x-1 ='7¥(—'3) (∵ ⑴, ⑵) 한편 x-x-1 =—'2å1 ∴ x2_-x-2 =5_(—'2å1)=—5'2å1

4

-2 ⑴ (주어진 식)=(a-4)-3x =a12x =(a2x )6 =26 =64 ⑵ (주어진 식)= = = =3 ⑶ (주어진 식)= = ⑶ (주어진 식)= = _=;2#; ⑷ (주어진 식)= = ⑷ (주어진 식)= ⑷ (주어진 식)= _=;7(;

4

-3 a-2=;3!;이므로 a2=3 ⑴ = = ⑴ = _{=:™6•:=:¡3¢:} ⑵ = = ⑵ = _{=;2@6*;=;1!3$;}

4

-4 2x-1=3에서 2x¥2-1=3 ∴ 2x=6 ∴ {;4!;} -2x =(2-2 )-2x =24x =(2x )4 =64 =1296 3‹ +1 3‹ -1 a6 +1 a6 -1 (a3 +a-3 )a‹ (a3 -a-3 )a‹ a3 +a-3 a3 -a-3 3‹ +1 3¤ -3 a6 +1 a4 -a2 (a3_+a-3_)a‹ (a-a-1 )a‹ a3 +a-3 a-a-1 2‹ +1 2‹ -1 (a2x )3 +1 (a2x )3 -1 a6x₊₁ a6x_-1 (a3x_+a-3x_)a3x (a3x_-a-3x_)a3x 2‹ +1 2¤ +2 (a2x )3 +1 (a2x )2 +a2x a6x₊₁ a4x_+a2x (a3x_+a-3x_)a3x (ax_+a-x_)a3x 2+1 2-1 a2x +1 a2x -1 (ax +a-x )ax (ax -a-x )ax 14`~`15`쪽 ● ● ●_{기출문제로내신대비하기}● ● ● 01 ⑴‹'4>›'6>'2 ⑵ ‹'5>›'6>fl'7 02 ⑴ 1 ⑵ 12 ⑶ a;2%; _{⑷ a}:™9§: 03 3 04 ① 05 -2 06 ⑤ 07 6 08 ;1!5^; 09 ② 10 ② 11 ① 12 ② 13 0 14 2 15 24만 명

5

01.지수

01

⑴ 2;2!;_{, 4};3!;_{, 6};4!;_{에 2, 3, 4의 최소공배수인 12제곱을 하면} (2;2!;₎12₌₂6_{=64, (4};3!;₎12₌₄4_=256, (6;4!;₎12₌₆3_{=216이므로 256>216>64이다.} ∴3'4>4'6>'2 ⑵ 5;3!;_{, 6};4!;_{, 7};6!;_{에 3, 4, 6의 최소공배수인 12제곱을 하면} (5;3!;₎12₌₅4_{=625, (6};4!;₎12₌₆3_=216, (7;6!;₎12₌₇2_{=49이므로 625>216>49이다.} ∴3'5>4'6>6'7

02

⑴ 2-3_25-;2#;_{_100};2#;₌₂-3_{_(5}2₎-;2#;_{_(2}2_{_5}2₎;2#; ⑴ 2-3_25-;2#;_{_100};2#;₌₂-3_{_5}-3_{_(2}3_{_5}3₎ ⑴ 2-3_{_25}-;2#;_{_100};2#;₌₂0_{_5}0₌₁ ⑵ 4;3@;_÷12;3!;_{_36};3@; =(22 );3@;_÷(22_{_3)};3!;_{_(2}2_{_3}2₎;3@; =2;3$;_÷2;3@;_÷3;3!;_{_2};3$;_{_3};3$; =2;3$;-;3@;+;3$;_{_3}-;3!;+;3$;₌₂2_{_3}1₌₁₂

⑶ (3'a_a;3@;÷"aΩ3)-5=(a;3!;_a;3@;÷a;2#;)-5

⑶ (3'a_a;3@;÷"aΩ3)-5=(a;3!;+;3@;-;2#;)-5 ⑶ (3'a_a;3@;÷"aΩ3)-5=(a-;2!;)-5=a;2%;

⑷ ("aΩ3_{_}6

'a÷a-;2!;);3$;=(a;2#;_a;6!;÷a-;2!;);3$;

={a;2#;+;6!;-{-;2!;}_};3$; =(a:¡6£:₎;3$;_=a:™9§:

03

4"√a ‹'a "≈afi =›'a_⁄ ¤'a_°"≈afi

=a;4!;_{_a};1¡2;_{_a};8%; =a;4!;+;1¡2;+;8%;_=a;2@4#;

6

"√a fi ¥›"≈aμ =fl"çafi _¤ ›"≈aμ =a;6%;_{_a} =a;6%;+ _=a 따라서 ;2@4#;= 이므로 20+m=23 ∴ m=3

04

2fi =a이므로 2=a;5!; 9‹ =b HjK 3fl =b이므로 3=b;6!; ∴ 12⁄ fi =(2¤ _3)⁄ fi =2‹ ‚ _3⁄ fi ∴ 12⁄ fi=(a;5!;_{)‹ ‚ _(b};6!;_{)⁄ fi} ∴ 12⁄ fi=afl _b;2%;_{=afl b};2%;

05

2x =3, 2y =12를 변끼리 나누면 = 2x-y = =2-2 ∴ x-y=-2 1 4 3 12 2x 2¥ 20+m 24 20+m 24 m 24 m 24

06

연산 ◎는 두 수 중 작은 수를 밑으로, 큰 수의 부호를 바꾼 수를 지수로 갖는 거듭제곱이므로 '5 ◎4=('5)—› =(5;2!;)—› =5—¤ =;2¡5; ∴ 5◎('5◎4)=5◎;2¡5; ={;2¡5;}—fi =(5—¤ )—fi =5⁄ ‚

07

x=2;3@;₊₂;3!;_{의 양변을 세제곱하면} x3₌₍₂;3@;₎3₊₍₂;3!;₎3_+3¥2;3@;_¥2;3!;₍₂;3@;₊₂;3!;₎ x3 =4+2+6¥x ∴ x3_-6x=6

08

=4에서 = =4 22x₊₁₌₄₍₂2x_{-1), 2}2x_+1=4¥22x_-4 ∴ 22x=;3%;, 즉 4x =;3%; ∴ 4x_-4-x =;3%;-;5#;=;1!5^;

09

22x +2-2x =(2x )2 +(2-x )2 =(2x +2-x )2 -2_2x _2-x =(2x +2-x )2 -2=14 이므로 (2x +2-x )2 =16 ∴ 2x+2-x =4 (∵ 2x >0, 2-x >0) ∴ 23x+2-3x =(2x +2-x )3 -3_2x _2-x _(2x +2-x ) =43 -3_1_4=52

10

① (ø2μ'2₎2₌₂'2 ② {"(ç2'2₎2_}2₌₍₂'2₎2₌₂2'2 ③ ("√'2'2₎'2_=('2'2_{) ='2=2};2!; ④ (øø∑2μ'2₎2_=ø2μ'2₌₍₂'2₎;2!;₌₂ ⑤ [{ } 2 ] ø(∑'∑2 )¤ ={;2!;}'2= =2-'2 -'2< < _{<'2<2'2이므로} 2-'2_<2;2!;_{<2 <2}'2_<22'2_이다. 따라서 이 중 가장 큰 값은 ②이다.

11

a =(2-'3) b =(2+'3) ={ } =(2-'3) ∴ a ÷b =(2-'3) ÷(2-'3) =(2-'3) -=(2-'3)¤ =7-4'3 -2+'3 2 2+'3 2 -2+'3 2 2+'3 2 a 2 b 2 -2+'3 2 2-'3 2 1 2-'3 2-'3 2 a 2 2+'3 2 b 2 '2 2 '2 2 1 2 1 2'2 1 '2 '2 2 '2 2 22x +1 22x -1 (2x +2-x )2x (2x -2-x )2x 2x +2-x 2x -2-x

02. 로그

16`~`18`쪽

01

⑴ 22=4에서 2=log24 ⑵ 10-1=0.1에서 -1=log100.1 ⑶ 9;2!;_=3에서 ;2!;=log93 ⑷ 50_{=1에서 0=log} 51 ⑸ 53=125에서 3=log5125 ⑹ 3-2=;9!;에서 -2=log3;9!;

02

⑴ log24=2에서 22=4 ⑵ log327=3에서 3 3 =27 ⑶ log93=;2!;에서 9;2!;=3 ⑷ log51=0에서 5 0₌₁ ⑸ log3;9!;=-2에서 3 -2 =;9!; ⑹ log273=;3!;에서 27;3!;=3

03

⑴ 진수 : (x-3)2>0이어야 하므로 ⑴ 진수 : x<3 또는 x>3 ⑵ 밑 : x-2>0이고 x-2+1이어야 하므로 ⑵ 밑 : 2<x<3 또는 x>3 ⑶ ⁄ 진수 : -x2+4x-3>0에서 x2 -4x+3<0 ⑶ ⁄ 진수 : 1<x<3 yy`㉠ ⑶¤ 밑 : x-2>0이고 x-2+1이어야 하므로 ⑶ ¤ 밑 : 2<x<3 또는 x>3 yy`㉡ ⑶㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 2<x<3

04

⑴ log55-log44-log31=1-1-0=0

⑵ log102+log105=log10(2_5)=log1010=1 ● ● ●_개념확인● ● ●

01 ⑴2=log™4 ⑵ -1=log¡º0.1 ⑶ ;2!;=logª3

01⑷0=log∞1 ⑸ 3=log∞125 ⑹ -2=log£;9!;

02 ⑴2¤ =4 ⑵ 3‹ =27 ⑶ 9;2!;₌₃

01⑷5‚ =1 ⑸ 3—¤ =;9!; ⑹ 27;3!;₌₃

03 ⑴ x<3 또는 x>3 ⑵ 2<x<3 또는 x>3 ⑶ 2<x<3 04 ⑴ 0 ⑵ 1 ⑶ 1 ⑷ 2

05 ⑴ log¢ 3 ⑵ log£ 5 ⑶ 1 ⑷ log∞ 6

06 ⑴3 ⑵ ;2#;log¢3 07 ⑴3 ⑵ -3 ⑶ ;2%; 08 ⑴0.5752 ⑵ 0.8312 ⑶ 0.9552 09 ⑴0, 0.4456 ⑵ 4, 0.4456 ⑶ 5, 0.7210 ⑷ -2, 0.7210 10 ⑴1.8432 ⑵ 2.8432 ⑶ -0.1568 ⑷ -1.1568

12

a2x =5+2'6이므로 a-2x = = = _=5-2'6 ∴ a2x+a-2x =(5+2'6)+(5-2'6)=10 ∴a2x -a-2x =(5+2'6)-(5-2'6)=4'6 한편 (ax +a-x )2 =a2x +2_ax _a-x +a-2x =a2x +a-2x +2=10+2=12 ∴ ax+a-x ='∂12=2'3 (∵ a>0) ∴ a4x-a-4x =(a2x +a-2x )(a2x -a-2x ) =10¥4'6=40'6 ∴ = _=20'2

13

2x₌₅y₌₁₀z_{=k (k>0)로 놓으면} xyz+0에서 x+0이고 y+0이고 z+0이므로 k+1 2x =k에서 2=k yy ㉠ 5y_{=k에서 5=k} yy ㉡ 10z =k에서 10=k yy ㉢ ㉠_㉡÷㉢을 하면 2_5÷10=k _k ÷k ∴ k + - =1 그런데 k+1이므로 + - =0

14

A=f£(‡"√(-1)‡ )=f£(-1)=1 yy ❶ B=f¢{‹Æ…-:¡2™7∞: }=f¢{-;3%;}=0 yy ❷ C=f∞((-2)› )=f∞(16)=1 yy ❸ ∴ A+B+C=1+0+1=2 yy ❹

15

도시의 인구가 매년 일정한 비율로 증가하므로 1년마다 인구 수가 r배가 된다고 하면 2009년 말부터 2019년 말까지 10년 동안 인구는 r10_{=1920000÷30000=64(배)} yy ❶ 2009년 말부터 2014년 말까지 5년 동안 인구는 r5_=(r10₎;2!;₌₆₄;2!;_{=8(배) yy ❷} 따라서 2014년 말의 인구는 30000_8=240000(명)=24(만 명) yy ❸ 1 z 1 y 1 x 1 z 1 y 1 x 1 z 1 y 1 x 1 z 1 y 1 x 40'6 2'3 a4x_-a-4x ax_+a-x 5-2'6 (5+2'6)(5-2'6) 1 5+2'6 1 a2x 채점 기준 배점 ❶A의 값 구하기 ❷B의 값 구하기 ❸C의 값 구하기 ❹A+B+C의 값 구하기 30 % 30 % 30 % 10 % 채점 기준 배점 ❶ 인구가 10년 동안 몇 배 증가하였는지 구하기 ❷ 인구가 5년 동안 몇 배 증가하였는지 구하기 ❸ 2014년 말의 인구 구하기 40 % 30 % 30 %

7

02.로그 ⑶ log214-log27=log2:¡7¢:=log22=1

⑷ log39=log33 2

=2 log33=2

05

⑴ =log43

⑵ =log35

⑶ log35¥log43¥log54= ¥ ¥ =1

⑷ log52+ =log52+log53 ⑷ log52+ =log5(2_3)=log56

06

⑴ 10log¡º 3=3log¡º 10 =31 =3 ⑵ log4¤3‹ =;2#; log43 ⑵[다른 해설] ⑵(주어진 식)= = _{=;2#; log}43

07

⑴ log 1000=log 10‹ =3 log 10=3 ⑵ log ;10¡00;=log 10-3=-3 log 10=-3 ⑶ log 100'1å0=log (10¤ ¥10;2!;_{)=log 10};2%; ⑶ log 100'1å0=;2%; log 10=;2%;

08

⑴ log 3.76=0.5752 ⑵ log 6.78=0.8312 ⑶ log 9.02=0.9552

09

⑴ log 2.79=0.4456이므로 정수 부분：0, 소수 부분：0.4456 ⑵ log 27900=log(10› _2.79) =4+log 2.79=4.4456 ⑵∴ 정수 부분：4, 소수 부분：0.4456 ⑶ log 5.26=0.7210이므로 log 526000=log(10fi _5.26) =5+log 5.26=5.7210 ∴ 정수 부분：5, 소수 부분：0.7210 ⑷ log 0.0526=log(10—¤ _5.26) =-2+log 5.26=-2+0.7210 ∴ 정수 부분：-2, 소수 부분：0.7210

10

log 6.97=0.8432이므로 ⑴ log 69.7=log (10_6.97)

⑴ log 69.7=log 10+log 6.97=1.8432 ⑵ log 697=log (100_6.97)

⑵ log 697=log 100+log 6.97=2.8432 3 log103 2 log104 log1033 log104 2 1 log35 log104 log105 log103 log104 log105 log103 1 log53 log53 log54 ⑶ log 0.697=log (10-1_6.97) ⑶ log 0.697=log 10-1 +log 6.97 =-1+0.8432=-0.1568 ⑷ log 0.0697=log (10-2_6.97) ⑷ log 0.0697=log 10-2 +log 6.97 =-2+0.8432=-1.1568 19`~`21`쪽 ● ● ●_{핵심유형으로}개념정복하기● ● ● 핵심유형 1 ⑴ 4 ⑵ 6 ⑶ —1 ⑷ 2 1-1⑴ ;3!; ⑵ -;2!; ⑶ 2 ⑷ 2 1-2625 1-34 핵심유형 2 -6<x<1 또는 1<x<2 2-112 2-2② 2-32 핵심유형 3 ⑴ 3 ⑵ ;2#;log£2 ⑶ 0 ⑷ 2+;2!;log£2 3-1_{⑴ ;2!; ⑵ log¡º}

3-2⑴ 1-a ⑵ b+1 ⑶ ;2!;(a+c) ⑷ ;3!;(2a+3b-1)

3-33x-1 핵심유형 4 ⑴ ⑵ ⑶ 4-1 4-2 4-3⑴ 1-2 log™3 ⑵ 3 핵심유형 5 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 20 5-1⑴ 10 ⑵ 2'5 ⑶ 9 ⑷ 3 5-2⑴ log¡º3 ⑵ ;4(; 5-3⑴ 10 ⑵ 6 핵심유형 6 ⑴ 24자리의 정수 ⑵ 21자리의 정수 ⑶ 소수점 아래 7째 자리 ⑷ 소수점 아래 17째 자리 6-1⑴ 539 ⑵ 53900 ⑶ 0.539 ⑷ 0.00539 6-2⑴ 13자리의 정수 ⑵ 30자리의 정수 ⑶ 12자리의 정수 ⑷ 소수점 아래 42째 자리 6-319자리의 정수 x+2y 443444444444444444_y+2z-4 4y+2z 4434444444444_x 2y 44344_x 3z 443444444_x+y x 4434_y 225 44344444₈ 핵심유형

1

⑴ logx16=2에서 x¤ =16 ∴ x=4 (∵ x>0) ⑵ log'327=x에서 ('3) x =27, 3 =33 ∴ x=6 ⑶ log;9!;x¤ =0에서 x¤ ={;9!;}‚ =1 ∴ x=—1

⑷ log2(log4x)=-1에서 log4x=2 -1 =;2!; ∴ x=4;2!; ='4=2 x 2

1

-1 ⑴ logx9=-2에서 x -2 =9 x2 =;9!;이므로 x=;3!; (∵ x>0) ⑵ log160.25=x에서 0.25=16 x 2-2 =24x 이므로 x=-;2!;

⑶ log6(log64x)=-1에서 log64x=6 -1 =;6!; ∴ x=64;6!;₌₍₂6₎;6!;₌₂ ⑷ log0.10.01=x에서 0.01=0.1 x ∴ x=2

1

-2 log3{log4(log5x)}=0에서

log4(log5x)=3 0 =1 log4(log5x)=1에서 log5x=4⁄ =4 log5x=4에서 x=5› =625

1

-3 x=log2('3+2)에서 2 x ='3+2 또 2-x_{= =} =2-'3이므로 2x₊₂-x =('3+2)+(2-'3)=4 핵심유형

2

밑의 조건에 의하여 2-x>0, 2-x+1이므로 x<2, x+1 ∴ x<1 또는 1<x<2 yy ㉠ 진수의 조건에 의하여 12-4x-x¤ >0이므로 x¤ +4x-12<0, (x+6)(x-2)<0 ∴ -6<x<2 yy ㉡ ㉠, ㉡을 동시에 만족하는 x의 값의 범위는 -6<x<1 또는 1<x<2

2

-1 밑의 조건에 의하여 7-x>0, 7-x+1이므로 x<7, x+6 ∴ x<6 또는 6<x<7 yy ㉠ 진수의 조건에 의하여 x¤ +2x-8>0이므로 (x+4)(x-2)>0 ∴ x<-4 또는 x>2 yy ㉡ ㉠, ㉡을 동시에 만족하는 x의 값의 범위는 x<-4 또는 2<x<6 또는 6<x<7 따라서 자연수 x는 3, 4, 5이므로 구하는 합은 3+4+5=12

2

-2 ⁄log2(x-3)+log2(x-7)에서 진수의 조건에 의하여 x-3>0, x-7>0 x>3, x>7 ∴ x>7 이때 x는 10 이하의 자연수이므로 log2(x-3)+log2(x-7)이 정의되기 위한 x는 8, 9, 10으로 3개이다. ∴ a=3 1 '3+2 1 2x ¤log2(x-3)(x-7)에서 진수의 조건에 의하여 (x-3)(x-7)>0 ∴ x<3 또는 x>7 이때 x는 10 이하의 자연수이므로 log2(x-3)(x-7)이 정의되기 위한 x는 1, 2, 8, 9, 10으로 5개이다. ∴ b=5 ⁄, ¤에 의하여 b-a=5-3=2

2

-3 밑의 조건에 의하여 a-3>0, a-3+1이므로 a>3, a+4 ∴ 3<a<4 또는 a>4 yy ㉠ 진수의 조건에 의하여 모든 실수 x에 대하여 x¤ -2ax+7a>0이어야 한다. 이차방정식 x¤ -2ax+7a=0의 판별식을 D라 하면

=(-a)¤ -7a<0, a¤ -7a<0, a(a-7)<0

∴ 0<a<7 yy ㉡ ㉠, ㉡을 동시에 만족하는 a의 값의 범위는 3<a<4 또는 4<a<7 따라서 정수 a는 5, 6으로 2개이다. 핵심유형

3

⑴ (주어진 식)=log2(4_6÷3)=log28 =log22 3 =3log22=3

⑵ (주어진 식)=log3'∂12-log3'3+log3'2

=log3('∂12÷'3_'2)

=log3'8=log32;2#;=;2#; log32

⑶ (주어진 식)=log2{;3@;}¤ -log2;2!; -log2;9*; =log2{;9$;÷;2!;÷;9*;}

=log2{;9$;_2_;8(;}=log21=0

⑷ (주어진 식)=log3(9÷'6_2'3)

=log3{9_ _2'3}=log39'2

=log39+log3'2=2+;2!; log32

3

-1 ⑴ (주어진 식)=log3{ _ _ 3 '2å7} ⑴ (주어진 식)=log3{ }=log3'3 ⑴ (주어진 식)=;2!;log33=;2!; ⑵ (주어진 식)=log10{;2%;} 2 +log108-log10:¡9§: ⑵ (주어진 식)=log10{:™4∞:_8÷:¡9§:}=log10{50_;1ª6;} ⑵ (주어진 식)=log10:™;8@;∞: 3¥3 3'3 3 '9 '3 3 '3 '9 1 '6 D 4

9

02.로그

3

-2 ⑴ log105=log10:¡2º:=log1010-log102

=1-log102=1-a

⑵ log1030=log10(3_10)=log103+log1010=b+1

⑶ log10'∂14=log1014;2!;=;2!;log1014

=;2!;(log102+log107)=;2!;(a+c)

⑷ log10‹'∂10.8=;3!;log10:¡1º0•:=;3!; (log10108-log1010)

=;3!;{log10(2¤ _3‹ )-1}

=;3!;(2log102+3log103-1)

=;3!;(2a+3b-1)

3

-3 log36=x에서 log32+log33=x이므로

log32=x-1 yy ㉠ ∴ log372=log3(2 3 _32 )=3 log32+2 log33 ∴ log372=3 log32+2=3(x-1)+2 (∵ ㉠) ∴ log372=3x-1

핵심유형

4

x=log5a, y=log5b, z=log5c이므로

⑴ logba= = ⑵ logabc‹ = = = ⑶ log'ab= = = =

4

-1 3x=a에서 x=log3a 3y =b에서 y=log3b 3z_{=c에서 z=log} 3c ∴ log'ab¤ c= = = = =

4

-2 10x=3에서 x=log103 10y =4에서 y=log104=2 log102 10z =7에서 z=log107 ∴ log0.14'4å8= = = = = = x+2y y+2z-4 ;2!; (2y+x) ;2!; y+z-2 ;2!; (4 log102+log103) log102+log107-2 ;2!; log10(2› _3) log1014-log10100 ;2!; log1048 log10;1¡0¢0; log10'4å8 log100.14 4y+2z x 2(2y+z) x 2y+z ;2!;x 2 log3b+log3c ;2!; log3a log3b¤ c log3'a 2y x y ;2!; x log5b ;2!; log5a log5b log5'a 3z x+y 3log5c log5a+log5b log5c‹ log5ab x y log5a log5b

4

-3 ⑴ (log32-log25¥log54)log23

={ -log25_ } log23 ={ -2} log23=1-2 log23 ⑵ (분자)=log53_ _ =log58 (분모)=log5;2$;=log52 ∴ (주어진 식)= = =3 핵심유형

5

⑴ alogç b=x로 놓고, 양변에 밑이 c인 로그를 취하면

logcalogç b=logcx logcb¥logca=logcx logca¥logcb=logcx logcblogç a=logcx

따라서 blogç a_{=x이므로 a}logç b_=blogç a

⑵ (지수)=log316+log310-log38=log3 =log320 ∴ (주어진 식)=3log320 =20log33 =201 =20 (∵ ⑴)

5

-1 ⑴ 5log∞ 10=10log∞ 5=101=10

⑵ (지수)=log1016-log108+log10'5=log102'5

∴ (주어진 식)=10log¡º 2'5=(2'5)log¡º10 =(2'5)1 =2'5 ⑶ 2log• 3=3log• 2 =3;3!; log™ 2₌₃;3!; ∴ (주어진 식)=(3;3!;₎6₌₃2₌₉ ⑷ (지수)= +log2'3 = +log23;2!;= +;2!; log23 =log23 ∴ (주어진 식)=2log™ 3=3log™ 2 =31 =3

5

-2 ⑴ (지수)=log3(log103)

∴ (주어진 식)=3log£ (log¡º 3)=(log¡º 3)log£ 3 ∴ (주어진 식)=(log¡º 3)1

=log¡º 3 ⑵ (진수)=(4;4#;_{_8)}2₌₍₂;2#;_{_2}3₎2₌₍₂;2(;₎2₌₂9

∴ (주어진 식)=log162· =log2›2· ∴ (주어진 식)=;4(; log22=;4(;

5

-3 ⑴ (주어진 식)=(log25+log2‹5¤ )(log5¤2¤ +log52fi ) ⑴ (주어진 식)={log25+;3@;log25}{;2@;log52+5log52}

2 log23 4 log23¤ log22› log29 log216 16_10 8 3 log52 log52 log58 log52 log58 log54 log54 log53 1 log23 log24 log25 1 log23

⑴ (주어진 식)={;3%;log25}(6log52) ⑴ (주어진 식)={;3%;_6}_log25_ ⑴ (주어진 식)=10

⑵ (주어진 식)=(log32+2log3¤5)log10;2!;3‹ ⑵ (주어진 식)={log32+;2@;log35}¥ log103 ⑵ (주어진 식)=(log32+log35)¥6log103 ⑵ (주어진 식)=log310¥6log103

⑵ (주어진 식)=6¥log310¥ ⑵ (주어진 식)=6

핵심유형

6

⑴ log 6‹ ‚ =30 log 6=30(log 2+log 3)

=30(0.3010+0.4771)=30_0.7781=23.343 따라서 log 6‹ ‚ 의 정수 부분이 23이므로 6‹ ‚ 은 24자리의 정수이다.

⑵ log (2¤ ‚ _3‹ ‚ )=20 log 2+30 log 3 =20_0.3010+30_0.4771 =6.02+14.313=20.333

따라서 log (2¤ ‚ _3‹ ‚ )의 정수 부분이 20이므로 2¤ ‚ _3‹ ‚ 은 21자리의 정수이다.

⑶ log {;2!;}¤ ‚ =log 2—¤ ‚ =-20 log 2

⑶ log {;2!;}¤ ‚=-20_0.3010=-6.020 ⑶ log {;2!;}¤ ‚=(-6-1)+(1-0.020) ⑶ log {;2!;}¤ ‚=-7+0.980 따라서 log {;2!;}¤ ‚ 의 정수 부분이 -7이므로 {;2!;}¤ ‚ 은 소 수점 아래 7째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나타 난다.

⑷ log (4‹ ‚ ÷5fi ‚ )=30 log 4-50 log 5 =30 log 2¤ -50{log :¡2º:} =60 log 2-50(log 10-log 2) =60 log 2-50(1-log 2) =110 log 2-50 =110_0.3010-50=33.11-50 =-16.89=(-16-1)+(1-0.89) =-17+0.11 따라서 log (4‹ ‚ ÷5fi ‚ )의 정수 부분이 -17이므로 4‹ ‚ ÷5fi ‚ 은 소수점 아래 17째 자리에서 처음으로 0이 아 닌 숫자가 나타난다.

6

-1 ⑴ log x=2.7316에서 log 5.39와 소수 부분이 같으므로 x 는 5.39와 숫자의 배열이 같고, log x의 정수 부분이 2이 므로 x는 3자리의 정수이다. ∴ x=539 1 1444444444_{log£ 10} 3 ;2!; 1 14444444_{log™ 5} ⑵ log x=4.7316에서 log 5.39와 소수 부분이 같으므로 x 는 5.39와 숫자의 배열이 같고, log x의 정수 부분이 4이 므로 x는 5자리의 정수이다. ∴ x=53900 ⑶ log x=-0.2684=-1+0.7316에서 log 5.39와 소수 부분이 같으므로 x는 5.39와 숫자의 배열이 같고, log x 의 정수 부분이 -1이므로 x는 소수점 아래 첫째 자리에 서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나타난다. ∴ x=0.539 ⑷ log x=-2.2684=-3+0.7316에서 log 5.39와 소수 부분이 같으므로 x는 5.39와 숫자의 배열이 같고, log x 의 정수 부분이 -3이므로 x는 소수점 아래 셋째 자리에 서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나타난다. ∴ x=0.00539

6

-2 ⑴ log 1212=12 log 12=12 log (22

_3)

⑴ log 1212=12(2 log 2+log 3)

⑴ log 1212=12(2_0.3010+0.4771) ⑴ log 1212=12.9492 따라서 log 1212의 정수 부분이 12이므로 1212는 13자리 의 정수이다. ⑵ log (250_330 )=50 log 2+30 log 3 ⑵ log (250_330_{)=50_0.3010+30_0.4771} ⑵ log (250_330 )=29.363 ⑵따라서 log (250_330_{)의 정수 부분이 29이므로 2}50_{_3}30 은 30자리의 정수이다. ⑶ log ('3)50=log 325_{=25 log 3}

=25_0.4771=11.9275

⑵따라서 log ('3)50의 정수 부분이 11이므로 ('3)50은

⑵12자리의 정수이다.

⑷ log (2100÷3150_{)=100 log 2-150 log 3} ⑷ log (2100÷3150 )=100_0.3010-150_0.4771 ⑷ log (2100÷3150_)=-41.465 ⑷ log (2100÷3150 )=(-41-1)+(1-0.465) ⑷ log (2100÷3150_)=-42+0.535 따라서 log (2100÷3150 )의 정수 부분이 -42이므로 2100_÷3150 은 소수점 아래 42째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나타난다.

6

-3 27⁄ ‚ ‚ 이 144자리의 정수이므로 log 27⁄ ‚ ‚ 의 정수 부분은 143 이다. 즉, 143…log 27⁄ ‚ ‚ <144 143…100 log 27<144 ∴ 1.43…log 27<1.44 각 변에 13을 곱하면 13_1.43…13 log 27<13_1.44 ∴ 18.59…log 27⁄ ‹ <18.72 따라서 log 27⁄ ‹ 의 정수 부분은 18이므로 27⁄ ‹ 은 19자리의 정수이다.

11

02.로그 22`~`23`쪽 ● ● ● _{기출문제로내신대비하기}● ● ● 010<a<1 또는 1<a<12 02 ④ 03 :¡3§: 04 2 05 1 06 ④ 07 ② 08 3 09 1 10 ④ 11 0.0615 12 ② 13 ② 14 0.16 15 풀이 참조

01

loga(ax¤ -ax+3)에서 ⁄ 밑의 조건 : a>0, a+1

0<a<1 또는 a>1 yy ㉠

¤ 진수의 조건 : ax¤ -ax+3>0 yy ㉡

¤a+0이므로 이차방정식 ax¤ -ax+3=0의 판별식을 D라

하자. 이때 ㉡이 모든 실수 x에 대하여 항상 성립하려면

a>0이고 D=a¤ -12a<0이어야 한다. ¤즉, a(a-12)<0에서 0<a<12 yy ㉢ 따라서 ㉠, ㉢의 공통 범위를 구하면

0<a<1 또는 1<a<12

02

(주어진 식)=5¥;5!; log35+;3!;¥;2!; log33+log3'3-log35 (주어진 식)=log35+;6!;+;2!; log33-log35

(주어진 식)=;6!;+;2!;=;3@;

03

근과 계수의 관계에 의하여 a+b=5, ab=3이므로

(지수)=log£{a+ }{b+ }=log£ {ab+1+1+ }

(지수)=log£:¡3§: ∴ (주어진 식)=3log£:¡3§:_={:¡3§:}log£3_=:¡3§:

04

54x =81에서 x=log5481 ∴ =log8154 6y =27에서 y=log627 ∴ =log276 ∴ - =4 log8154-3 log276 =4 log3›54-3 log3‹6 =log354-log36 =log3:∞6¢:=log39 =log33¤ =2

05

12.8x =100에서 x=log12.8100 ∴ =log10012.8 0.128y =100에서 y=log0.128100 ∴ =log1000.128 ∴ - =log10012.8-log1000.128 =log100 =log100100=1 12.8 0.128 1 y 1 x 1 y 1 x 3 y 4 x 1 y 1 x 1 444444_ab 1 4444_a 1 4444_b

06

x¤ -6x+2=0의 두 근이 log3a, log3b이므로 log3a+log3b=6 log3a¥log3b=2 ∴ logab+logba = + = = = _=:£2™:=16

07

조건에서 log23=;a!;, log25=b이므로

log106= = =

log106= =

08

log416<log433<log464에서

2<log433<3 한편 2.5=;2%;=;2%; log44=log44 ;2%; =log432이므로 2.5<log433 ∴ 2.5<log433<3 따라서 가장 가까운 정수는 3이다.

09

logab=t라 하면

logab+2 logba=t+;;t@;=3 t¤ -3t+2=0, (t-1)(t-2)=0 ∴ t=1 또는 t=2 그런데 b>a>1이므로 t+1 ∴ t=2 logab=2에서 b=a 2 ∴ = =1

10

log A=n+a (n은 정수, 0…a<1)이라 하면 ㄱ. log 10A=log 10+log A

ㄱ. log 10A=1+n+a=(n+1)+a

ㄱ. 이므로 log 10A의 소수 부분은 a이다. ㄴ. log 100A=log 100+log A

ㄱ. log 100A=2+n+a=(n+2)+a

ㄱ. 이므로 log 100A의 소수 부분은 a이다. ㄷ. 10 log A=10(n+a)=10n+10a

ㄱ. 이므로 log 10A의 소수 부분은 항상 a라 할 수 없다. ㄹ. log =log A-log 10=log A-1

ㄱ. log =(n+a)-1=(n-1)+a ㄱ. 이므`로 log <sub>10</sub>A의 소수 부분은 a이다. ` A 10 a› +a¤ a¤ +a› a› +b a¤ +b¤ a+1 a(b+1) a+1 a b+1 1+;a!; 1+b log22+log23 log22+log25 log26 log210 6¤ -2_2 2

(log3a+log3b)2-2 log3a¥log3b

log3a¥log3b (log3b) 2 +(log3a) 2 log3a¥log3b log3a log3b log3b log3a

따라서 소수 부분이 log A의 소수 부분과 항상 같은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ이다.

11

log 6150=3.7889이므로 log 6.150=0.7889이다. log x=-1.2111=-2+0.7889에서 log 6.150과 소수 부분 이 같으므로 x는 6.150과 숫자의 배열이 같고, log x의 정수 부 분이 -2이므로 x는 소수점 아래 둘째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나타난다. ∴ x=0.0615

12

3x¤ -4x+k=0의 두 근이 n, a이므로 n+a=;3$; yy ㉠ na=;3K; yy ㉡ n은 정수, 0…a<1이므로 ㉠에서 n=1, a=;3!;이다. 이 값을 ㉡에 대입하면 ;3!;=;3K; ∴ k=1

13

log22<log2('2+1)<log24이므로

log2('2+1)의 정수 부분 a는 1이고, 소수 부분은 b=log2('2+1)-1=log2('2+1)-log22 b=log2 ∴ 2a+2b =21 +2log™ ∴ 2a₊₂b =2+{ } log™ 2 ∴ 2a+2b =2+{ }=

14

10년 전 이 도시의 정보들 사이에는 관계식 u=r+0.65+1.6log a …… ㉠ 가 성립하고, 현재 이 도시는 10년 전에 비하여

u가 u+x로, a가 ;4%;a로

변화되었으므로 관계식 u+x=r+0.65+1.6log;4%;a …… ㉡ yy ❶ 가 성립한다. ㉡-㉠을 하면 x=1.6log;4%;a-1.6loga=1.6log ;4%; x=1.6log =1.6(1-3log2) x=1.6_(1-0.90)=0.16 yy ❷

15

x¤ -2xy-y¤ =0의 양변을 y¤ 으로 나누면 { } 2 -2{x_y}-1=0 x y 10 155_2‹ 5+'2 2 '2+1 2 '2+1 2 '2+1 2 '2+1 2 채점 기준 배점 ❶ 식 세우기 ❷ x의 값 구하기 50 % 50 % 여기서 =t (t>0)라 하면 t¤ -2t-1=0 yy ㉠ 근의 공식에 의하여 t=1+'2 (∵ t>0) yy ❶

∴ log (x¤ -xy-3y¤ )-log (2x¤ -2xy-y¤ ) =log =log =log =log (∵ ㉠) =log =log =log =log =log(-7+5'2) yy ㉡ yy ❷ 한편 ㉡에서 7<5'2='∂50<8이므로 0<-7+5'2<1, 즉 log(-7+5'2)<log 1=0

따라서 log (x¤ -xy-3y¤ )-log (2x¤ -2xy-y¤ )의 값은 0보

다 작다. yy ❸ (-1+'2)(3-2'2) (3+2'2)(3-2'2) -1+'2 3+2'2 (1+'2)-2 2(1+'2)+1 t-2 2t+1 (2t+1)-t-3 2(2t+1)-2t-1 t¤ -t-3 2t¤ -2t-1 {;]{;}¤ -{;]{;}-3 2{;]{;}¤ -2{;]{;}-1 x¤ -xy-3y¤ 2x¤ -2xy-y¤ x y 채점 기준 배점 ❶ ;]”;;의 값 구하기 ❷ ;]”;;의 값을 이용하여 주어진 식 정리하기 ❸ 0보다 작음을 확인하기 30 % 40 % 30 %

03. 지수함수

24`~`25`쪽 ● ● ●개념확인● ● ● 01 ⑴, ⑷, ⑹ 02 풀이 참조 03 ⑴ '3<›'∂27 ⑵ °Æ¬;1¡6;>fiƬ;3¡2; ⑶ {Æ;3!; } 3 <;3!;<{;3!;}-0.5 04 ⑴ 최댓값 : 27, 최솟값 : ;3!; ⑵ 최댓값 : 5, 최솟값 : ;2#; 04 ⑶ 최댓값 : ;3$;, 최솟값 : 1 05 ⑴ x=-4 또는 x=1 ⑵ x=0 또는 x=2 ⑶ x=0 06 ⑴ x>;2&; ⑵ xæ-5 ⑶ x<1

13

03.지수함수

01

⑵ y=x¤ 은 이차함수이다. ⑶ y= 은 유리함수이다. ⑸ y=310은 상수함수이다. ⑹ y=5x+2=25¥5x 이므로 지수함수이다.

02

⑴ y=2x-1+1의 그래프는 ⑵y=2≈ 의 그래프를 x축의 방향 으로 1만큼, y축의 방향으로 1 만큼 평행이동한 것이므로 오 른쪽 그림과 같다. ⑵이때 점근선의 방정식은 y=1이다. ⑵ y={;2!;} x-2 -2의 그래프는 ⑶y={;2!;}x의 그래프를 x축의 방향으 ⑶로 2만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 것이므로 오른쪽 그림과 같다. 이때 점근선의 방정식은 ⑶y=-2이다. ⑶ y=2—x+1의 그래프는 ⑶y=2x 의 그래프를 y축에 대하여 대 칭이동하고, 다시 y축의 방향으로 1 만큼 평행이동한 것이므로 오른쪽 그림과 같다. 이때 점근선의 방정식 은 y=1이다.

03

⑴ '3=3;2!; , ›'∂27=›"Ω3‹ =3;4#; ⑴함수 y=3≈ 의 밑 3이 1보다 크므로 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다. ⑴따라서 ;2!;<;4#;이므로 3;2!;_<3;4#; ∴ '3<›'∂27 ⑵ °Æ¬;1¡6;=[{;2!;}4] ;8!; ={;2!;};2!;, fiƬ;3¡2;=[{;2!;}5] ;5!; =;2!; ⑴함수 y={;2!;}≈ 의 밑 ;2!;이 1보다 작으므로 x의 값이 증가하 ⑴면 y의 값은 감소한다. ⑴따라서 ;2!;<1이므로 {;2!;} ;2!; >;2!; ∴ °æ–;1¡6;>fiæ–;3¡2; ⑶ {Æ;3!; }3={;3!;};2#;이고, 함수 y={;3!;}≈의 밑 ;3!;이 1보다 작으 므로 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다. ⑴따라서 -0.5<1<;2#;이므로 {;3!;} ;2#; <;3!;<{;3!;}-0.5 ⑴ ∴ {Æ;3!; }3<;3!;<{;3!;}-0.5

04

⑴ 함수 y=3x+1 은 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다. ⑴x=2일 때 최대이고, 최댓값은 3‹ =27 ⑴x=-2일 때 최소이고, 최솟값은 3-1 =;3!; O 1 x y y=2—≈ y=2≈ +1 2 O 2 1 -2 x y y=

( )

1₂ ≈ —¤ -2 y=

( )

1₂ ≈ O 1 x y y=2≈ y=2≈ —⁄ +1 3 2 16 12_x ⑵ 함수 y=21-x +1=2{;2!;}≈ +1은 x의 값이 증가하면 y의 값 ⑴은 감소한다. ⑴x=-1일 때 최대이고, 최댓값은 2¤ +1=5 ⑴x=2일 때 최소이고, 최솟값은 2—⁄ +1=;2#; ⑶ 함수 y=4≈ ¥3—≈ ={;3$;}≈ 은 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가 ⑴한다. ⑴x=1일 때 최대이고, 최댓값은 {;3$;} ⁄ =;3$; ⑴x=0일 때 최소이고, 최솟값은 {;3$;} ‚ =1

05

⑴ 4x+2=22x+4 이므로 주어진 방정식은 2x¤ +5x₌₂2x+4 ⑵ x¤ +5x=2x+4, x¤ +3x-4=0 ⑵ (x+4)(x-1)=0 ⑵ ∴ x=-4 또는 x=1 ⑵ 22x=4x 이므로 주어진 방정식은 (x+2)≈ =4≈ 지수가 x로 같으므로 밑이 같거나 지수가 0이어야 한다. ⁄x+2=4이면 x=2 ¤x=0이면 주어진 방정식은 2‚ =4‚``이므로 성립한다. ⑵따라서 주어진 방정식의 해는 ⑵ x=0 또는 x=2 [참고] 지수를 같게 만들고 밑이 같다는 성질을 이용하는 경우에는 구 한 해를 대입하여 밑이 양수가 되는지 확인해야 한다. 또한 지수함수에서는 밑이 1이 아닌 양수인 경우만을 생각하지 만 지수방정식의 경우 방정식이 성립하도록 하는 해를 찾는 것 이므로 지수방정식의 경우 구한 해가 밑을 1로 만들어도 참인 식을 만들면 해가 된다. ⑶ 9≈ =2¥3≈ -1에서 3¤ ≈ -2¥3≈ +1=0 3≈ =t(t>0)로 놓으면 t¤ -2t+1=0 (t-1)¤ =0 ∴ t=1 따라서 3≈ =1이므로 3≈ =3‚ ∴ x=0

06

⑴ 4≈ >128에서 2¤ ≈ >2‡ ⑴이때 밑이 1보다 크므로 ⑴ 2x>7 ∴ x>;2&; ⑵ {;9!;}¤ ≈ æ{;24!3;} x+1 에서 {;3!;}› ≈ æ{;3!;}fi ≈ ±fi ⑵이때 밑이 1보다 작으므로 ⑴ 4x…5x+5 ∴ xæ-5 ⑶ (5≈ )¤ -4¥5≈ -5<0에서 5≈ =t(t>0)로 놓으면 t¤ -4t-5<0, (t+1)(t-5)<0 ∴ -1<t<5 그런데 t>0이므로 0<t<5 따라서 0<5≈ <5⁄ 이고 밑이 1보다 크므로 x<1

핵심유형

1

y=3x+a+b의 그래프의 점근선의 방정식은 y=b이므로 b=-3 y=3x+a_{-3의 그래프가 점 (0, 0)을 지나므로} 0=30+a -3, 3å =3 ∴ a=1 ∴ ab=1_(-3)=-3

1

-1 ㄱ. 함수 f(x)=2≈ 은 일대일대응이므로 임의의 실수 x¡, x™ 에 대하여 x¡+x™이면 f(x¡)+f(x™)이다. (참) ㄴ. 8f(2)=8_2¤ =2‹ _2¤ =2fi =f(5) (거짓) ㄷ. 함수 f(x)=2≈ 의 그래프를 그려 보면 점근선은 y=0, 즉 x축이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

1

-2 주어진 그래프가 두 점 (a, 2), (b, 5)를 지나므로 10å =2, 10∫ =5 10a+b =10å _10∫ =2_5=10이므로 a+b=1

1

-3 a=Æ;3@;={;3@;};2!; b=‹Æ;4(;=‹Æ…{;2#;}¤ ={;2#;};3@;={;3@;}-;3@; c=›Æ¬;2•7;=›Æ…{;3@;}‹ ={;3@;};4#; 함수 y={;3@;}≈ 은 밑이 1보다 작으므로 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다. 따라서 지수를 비교하면 -;3@;<;2!;<;4#;이므로 {;3@;} -;3@; >{;3@;};2!;>{;3@;};4#; ∴ c<a<b 핵심유형

2

함수 f(x)=4≈ 은 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가하므로 x=3일 때 최대이고, 최댓값은 4‹ =64이다. 함수g(x)={;2!;}≈ 은 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소하므 로 x=3일 때 최소이고, 최솟값은 {;2!;}‹ =;8!;이다. 따라서 M=64, m=;8!;이므로 Mm=64_;8!;=8 [참고]

지수함수 y=af(x)(a>0, a+1)에서

⑴ a>1일 때, 함수 y=af(x) 은 f(x)의 값이 증가하면 y의 값도 증가하므로 f(x)가 최대일 때 y는 최대, f(x)가 최소일 때 y는 최소이다. ⑵ 0<a<1일 때, 함수 y=af(x) 은 f(x)의 값이 증가하면 y의 값은 감소하므로 f(x)가 최대일 때 y는 최소, f(x)가 최소일 때 y는 최대이다.

2

-1 y=4≈ -2x+1+3=(2≈ )¤ -2¥2≈ +3에서 2≈ =t(t>0)로 놓으면 y=t¤ -2t+3=(t-1)¤ +2 따라서 t=1일 때 y는 최소이고, 최솟값은 2이다.

2

-2 함수 y=ax¤ -3x+3에서 a>1이므로 x¤ -3x+3이 최소일 때 y는 최솟값을 갖는다. x¤ -3x+3={x-;2#;}¤ +;4#; 이므로 x¤ -3x+3의 최솟값은 ;4#;이다. ∴ a;4#;₌₈ ∴ a=(2‹ );3$;_{=2› =16}

2

-3 y=9≈ +9—≈ -4(3≈ +3—≈ ) =(3≈ +3—≈ )¤ -2¥3≈ ¥3—≈ -4(3≈ +3—≈ ) =(3≈ +3—≈ )¤ -4(3≈ +3—≈ )-2 3≈ +3—≈ =t로 놓으면 3≈ >0, 3—≈ >0이므로 산술평균과 기 하평균의 관계에 의하여 3≈ +3—≈ æ2"√3≈ ¥3—≈ =2 (단, 등호는 x=0일 때 성립) 이고 주어진 함수는 t¤ -4t-2=(t-2)¤ -6 따라서 tæ2에서 y=(t-2)¤ -6은 t=2일 때 최소이고, 최솟값은 -6 이다. 핵심유형

3

_{;2!;} 2x -3{;2!;}x-1+4=0에서 {;2!;} 2x -3¥2¥{;2!;}x+4=0 이때 {;2!;}x=t(t>0)로 놓으면 t¤ -6t+4=0 yy㉠ 주어진 방정식의 두 근이 a, b이므로 t에 대한 방정식 ㉠의 두 근은 {;2!;} a , {;2!;} b 이다. 방정식 ㉠의 두 근의 곱이 4이므로 O -6 2 t y y=(t-2)¤ -6 26`~`27`쪽 ● ● ●_{핵심유형으로개념정복하기}● ● ● 핵심유형 1 -3 1-1ㄱ, ㄷ 1-21 1-3④ 핵심유형 2 ① 2-1② 2-2④ 2-3① 핵심유형 3 ⑤ 3-1① 3-2④ 3-369 핵심유형 4 ⑤ 4-1③ 4-2④ 4-325

15

03.지수함수 {;2!;} a ¥{;2!;}b=4, {;2!;}a+b={;2!;}-2 ∴ a+b=-2

3

-1 2x+21-x=3의 양변에 2x을 곱하면 (2x_{)¤ +2=3¥2}x ∴ (2x_{)¤ -3¥2}x₊₂₌₀ 2x =t(t>0)로 놓으면 주어진 방정식은 t¤ -3t+2=0, (t-1)(t-2)=0 ∴ t=1 또는 t=2 즉, 2x_{=1 또는 2}x_{=2이므로 x=0 또는 x=1} 따라서 a=0, b=1이므로 b-a=1

3

-2 밑이 x-1로 같으므로 지수가 같거나 밑이 1이어야 한다. ⁄x-3=x¤ -9이면 x¤ -x-6=0 (x+2)(x-3)=0 ∴ x=-2 또는 x=3 그런데 주어진 조건에서 x>1이므로 x=3 ¤x-1=1이면 x=2 따라서 모든 근의 곱은 3_2=6

3

-3 9≈ -3x+2+6=0에서 3x=t(t>0)로 놓으면 주어진 방정 식은 t¤ -9t+6=0 t¤ -9t+6=0의 두 근이 3a , 3b이므로 근과 계수의 관계에 의하여 3a +3b =9, 3a ¥3b =6 ∴ 32a+32b =(3a +3b )¤ -2¥3a ¥3b ∴ 32a+32b =9¤ -2¥6=81-12=69 핵심유형

4

_{;4!;} 2x-1 æ{;8!;}x+3에서 {;2!;} 4x-2 æ{;2!;}3x+9 이때 밑이 1보다 작으므로 4x-2…3x+9 ∴ x…11 따라서 자연수 x는 1, 2, 3, y, 11이므로 그 합은 1+2+3+y+11=66

4

-1 - -27…0에서 [{;3!;} x ] 2 -6{;3!;}x-27…0 {;3!;} x =t(t>0)로 놓으면 t¤ -6t-27…0, (t+3)(t-9)…0 ∴ -3…t…9 그런데 t>0이므로 0<t…9 ∴ 0<{;3!;} x …{;3!;}-2 이때 밑이 1보다 작으므로 xæ-2

4

-2 xx+2>x3x-4에서 ⁄0<x<1일 때 2 123_{3≈ —⁄} 1 13_9≈ x+2<3x-4, -2x<-6 ∴ x>3 그런데 0<x<1이므로 조건을 만족하는 x의 값은 존재 하지 않는다. ¤x=1일 때 ¤1>1이므로 부등식이 성립하지 않는다. ‹x>1일 때 x+2>3x-4, -2x>-6 ∴ x<3 그런데 x>1이므로 1<x<3 ⁄~‹에서 주어진 부등식의 해는 1<x<3이므로 a=1, b=3 ∴ a+b=4

4

-3 25x-2¥5x+1+kæ0에서 (5x)¤ -10¥5x+kæ0 5x_{=t(t>0)로 놓으면 t¤ -10t+kæ0} ∴ (t-5)¤ +k-25æ0 위의 부등식이 t>0인 모든 실수 t에 대하여 성립하려면 k-25æ0 ∴ kæ25 따라서 구하는 실수 k의 최솟값은 25이다. 28`~`29`쪽 ● ● ●_{기출문제로내신대비하기}● ● ● 01 ④ 02 ③ 03 ⑤ 04 4 05 10 06 ④ 07 2 08 ② 09 ② 10 ② 11 5일 12 ⑤ 13 '1å3 14 4

01

ㄱ. f(0)=3‚ =1 (참)

ㄴ. f(a+b)=3a+b₌₃a_{_3}b_{=f(a) f(b) (참)} ㄷ. f(-a)=3-a_{= =} (참) ㄹ. f(x)=3≈ 에서 밑이 1보다 크므로 x가 증가하면 f(x)의 값 도 증가한다. 즉, a>b이면 f(a)>f(b)이다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

02

ㄱ. y=2≈ 의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동하면 ㄱ. -y=2≈ ∴ y=-2≈ (거짓) ㄴ. y=2≈ 의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼 평행이동한 그래 프의 식은 y=2x-1 이고, 그 그래프는 다음 그림과 같이 y=2≈ 의 그래프보다 아래에 놓이게 된다. (참) ㄱ. O 1 x y ;2!; 1 114_f(a) 1 14_3å

ㄷ. y='2¥2≈ =2;2!;_¥2x₌₂x+;2!; ㄱ. 즉, y='2¥2≈ 의 그래프를 x축의 방향으로 ;2!;만큼 평행이동 ㄱ. 하면 y=2≈ 의 그래프가 된다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

03

f(b)=ab =2, f(c)=ac =10이므로 ab+c_=ab_{_a}c_{=2_10=20} ∴ f{ }=a =(ab+c);2!; ∴ f{ }=20;2!;='ß20=2'5

04

y=3¥33x+2 -2=33x+3 -2의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 그래프의 식은 y=33(x-m)+3 -2+n 이 그래프의 식이 y=27x-1=33x-3 이므로 3-3m=-3, -2+n=0 ∴ m=2, n=2 ∴ m+n=2+2=4

05

주어진 지수함수 y={;5!;}x+m-n의 그래프에서 점근선이 직선 y=-5이므로 n=5 또한 이 그래프가 점 (-3, 0)을 지나므로 0={;5!;}-3+m-5, 5-m+3₌₅ -m+3=1 ∴ m=2 ∴ mn=2_5=10

06

함수 y=3-x¤ +6x+a 은 밑이 1보다 크므로 지수 -x¤ +6x+a가 최소일 때 y는 최솟값을 갖는다. f(x)=-x¤ +6x+a로 놓으면 f(x)=-(x-3)¤ +a+9 0…x…4에서

f(0)=a, f(3)=a+9, f(4)=a+8

이므로 y의 최솟값은 3f(0)_{=3å 이다.} 이때 y의 최솟값이 9이므로 3å =9 ∴ a=2 따라서 y의 최댓값은 3f(3)₌₃a+9₌₃2+9_{=3⁄ ⁄}

07

y=3x-1 의 그래프는 y=3≈ 의 그래프 를 x축의 방향으로 1만큼 평행이동 한 것이다. 그림에서 S¡=S™이므로 S™를 S¡에 붙이면 S는 평행사변형 ABDC의 넓이와 같다. AB”=1, BC”=3-1=2이므로 S=1_2=2 O 1 A B(1, 1) C D(2, 3) 1 3 x S¡ S™ y y=3≈ y=3≈≈ —⁄ b+c 112₂ b+c 114₂

08

2x+1 -2 +aæ0에서 2¥{2 }¤ -4¥2 +aæ0 2 =t (t>0)로 놓으면 2t¤ -4t+aæ0 ∴ 2(t-1)¤ +a-2æ0 yy ㉠ t>0일 때 이차부등식 ㉠이 항상 성립하기 위해서는 a-2æ0이어야 하므로 aæ2 따라서 구하는 실수 a의 최솟값은 2이다.

09

{3f(x)-;3!;}(3f(x)-243)<0에서 ;3!;<3f(x)<243 HjK 3-1<3f(x)<3fi 밑이 1보다 크므로 -1<f(x)<5 ∴ -1<x¤ -x-1<5 ⁄ x¤ -x-1>-1에서 x¤ -x>0, x(x-1)>0 ∴ x<0 또는 x>1 ¤ x¤ -x-1<5에서 x¤ -x-6<0, (x+2)(x-3)<0 ∴ -2<x<3 ⁄, ¤에 의해 -2<x<0 또는 1<x<3 따라서 만족시키는 정수 x는 -1, 2로 2개이다.

10

y=4x 에 x=k를 대입하면 y=4k ∴ A(k, 4k) 또 y=2x+2에 x=k를 대입하면 y=2k+2 ∴ B(k, 2k+2) 이때 AB”=32이므로 4k -2k+2 =32 ∴ (2k)2 -4¥2k =32 2k =t(t>0)로 놓으면 t2 -4t-32=0, (t+4)(t-8)=0 ∴ t=8 (∵ t>0) 따라서 2k=8=23 이므로 k=3 [참고] 4x =2x+2 에서 22x =2x+2 , 2x=x+2 ∴ x=2 교점의 좌표가 (2, 16)이므로 위의 그림과 같이 AB”=32가 되 려면 k>2임을 알 수 있다.

11

세균 A는 처음 1마리가 하루에 4배씩 늘어나므로 (n일 후의 세균 A의 수)=1_4n 세균 B는 처음 2마리가 하루에 2배씩 늘어나므로 (n일 후의 세균 B의 수)=2_2n k일 후에 세균 A, B의 수의 차가 360마리 이상 된다고 하면 4k_{-2_2}k_{æ360 ∴ (2}k_{)¤ -2_2}k_-360æ0 2k =t(t>0)라 하면 t¤ -2t-360æ0, (t+18)(t-20)æ0 O 2 A B 16 x k y _y=4≈ y=2≈±¤ x 2 x 2 x 2 x+4 2

17

04.로그함수 ∴ tæ20 (∵ t>0) t=2k 이므로 2k_æ 20 이때 2› =16, 2fi =32이므로 자연수 k의 최솟값은 5이다. 따라서 두 세균 A, B의 수의 차가 처음으로 360마리 이상 되는 것은 번식을 시작한 지 5일 후이다.

12

ㄱ. 함수 f(x)=3-x 의 그래프 가 y축과 만나는 점의 y좌 표는 1이고 점 P의 y좌표 가 a이므로 0<a<1이 다. ㄴ. ∴ a<1 (참) ㄴ. 위 그래프에서 Q(0, 1)이라 하고, 두 함수 f(x)=3-x , g(x)=x의 그래프와 y축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 S라 하면 ㄴ. S<△PQO HjK S<;2!;_1_a=;2!;a ㄴ. 이때 a<1이므로 ;2!;a<;2!; ㄴ. ∴ S<;2!;a<;2!; (참) ㄷ. |f(-t)-g(-t)|의 값은 x=-t에서의 f(x)와 g(x)의 함숫값의 차를 나타내고, |f(t)-g(t)|의 값은 x=t에서의 f(x)와 g(x)의 함숫값의 차를 나타낸다. ㄴ. 그래프에서 절댓값이 같고 부호가 다른 x=t, x=-t에서 의 함숫값의 차를 비교하면 t>0일 때, ㄴ. |f(-t)-g(-t)|>|f(t)-g(t)| ㄴ. 가 항상 성립한다는 것을 알 수 있다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

13

3¥2x-1₊₄x-1_{=1 HjK ;2#;¥2}x +;4!;(2x_{)¤ =1에서} 2x_{=t(t>0)로 놓으면} ;2#;t+;4!;t¤ =1, t¤ +6t-4=0 yy ❶ ∴ t=2a =-3+'∂13 (∵ t>0) yy ❷ ∴ 2a-1 +21-a = + = + ∴ 2a-1+21-a =1112'∂13-3₂ +1112'∂13+3_{2 ='∂13} yy ❸ 2 1112 '∂13-3 '∂13-3 1112₂ 2 14₂a 2a 14₂ O x y t -t y=g(x) |f(t)-g(t)| |f(-t)-g(-t)| y=f(x) P 1 O P 1 x y a a g(x)=x f(x)=3 —≈

14

9≈ -k¥3≈ +4æ0 HjK (3≈ )¤ -k¥3≈ +4æ0에서 3x =t(t>0)로 놓으면 t2 -kt+4æ0 ∴ {t-;2K;}¤ +4- æ0 yy ❶ f(t)={t-;2K;}¤ +4- 으로 놓으면 f(0)=4>0이고 그래 프의 대칭축은 t=;2K;이므로 k의 값의 부호에 따라 다음과 같이 나누어 생각할 수 있다. ⁄k…0인 경우 !t>0인 범위에서 항상 f(t)>0이다. yy ❷ ¤k>0인 경우 !f(t)æ0이려면 4- æ0 ! k¤ -16…0 ∴ -4…k…4 ¤ ∴ 0<k…4 yy ❸ ⁄, ¤에서 k…4 따라서 구하는 상수 k의 최댓값은 4이다. yy ❹ O k 2 4 t y y=f(t) k¤ 14₄ k¤ 14₄ k¤ 14₄ 채점 기준 배점 ❶ 치환하여 이차방정식으로 나타내기 ❷ 이차방정식의 해 구하기 ❸ 2a-1₊₂1-a_{의 값 구하기} 40 % 30 % 30 % 채점 기준 배점 ❶ 치환하여 이차부등식으로 나타내기 ❷ k…0인 경우 k의 값의 범위 구하기 ❸ k>0인 경우 k의 값의 범위 구하기 ❹ k의 최댓값 구하기 20 % 30 % 30 % 20 %

04. 로그함수

30`~`31`쪽

01

⑴ f(1)=log¢`1=0 ⑵ f(2)=log¢`2=log¢`4;2!;<sub>=;2!;</sub> ⑶ f{;1¡6;}=log¢`;1¡6;=log¢`4-2_=-2

02

⑴ y={;3!;}≈ 은 정의역이 실수 전체의 집합이고, 치역이 {y|y>0}인 일대일대응이다. ● ● ●_개념확인● ● ● 01 ⑴ 0 ⑵ ;2!; ⑶ -2 02 ⑴ y=log;3!;`x(x>0) ⑵ y=log£`(x-1)-1(x>1) 06⑶ y=2 -1 03 풀이 참조 04 ⑴ log∞`15<4`log∞``2 ⑵ log£`;4!;>`logª``;2¡5; 06⑶ ;2!;`log;2!;`80>4log;4!;`3 05 ⑴ 최댓값 : 4, 최솟값 : 2 ⑵ 최댓값 : 2, 최솟값 : 1 06 ⑴ x=5 ⑵ x=3 ⑶ x=4 또는 x=64 07 ⑴ ;2!;<x<;2%; ⑵ x>2 ⑶ ;2¡7;<x<3 x 2

⑴y={;3!;}≈ 에서 로그의 정의에 의해 x=log_;3!;`y ⑴x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는 ⑴ y=log<sub>;3!;</sub>`x (x>0) ⑵ y=3x+1_{+1은 정의역이 실수 전체의 집합이고, 치역이} ⑴{y|y>1}인 일대일대응이다. ⑴y=3x+1_{+1에서 3}x+1_{=y-1이므로 로그의 정의에 의해} ⑴ x+1=log£(y-1) ⑴ ∴ x=log£(y-1)-1 ⑴x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는 ⑴ y=log£`(x-1)-1 (x>1) ⑶ y=2 log™`(x+1)은 정의역이 {x|x>-1}이고, 치역이 실수 전체의 집합인 일대일대응이다.

⑴y=2 log™`(x+1)에서 =log™`(x+1)

⑴로그의 정의에 의해 x+1=2 ⑴ ∴ x=2 -1 ⑴x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는 ⑴ y=2 -1

03

⑴ y=log;2!;`(x-1)의 그래프는 ⑴y=log<sub>;2!;</sub>x의 그래프를 x축의 방향으 ⑴로 1만큼 평행이동한 것이므로 오른 쪽 그림과 같다. ⑴이때 점근선의 방정식은 x=1이다. ⑵ y=log™`x-2의 그래프는 y=log™ x의 그래프를 y축의 방향으 로 2만큼 평행이동한 것이므로 오른 쪽 그림과 같다. ⑵이때 점근선의 방정식은 x=0이다. ⑶ y=log;2!;`(x+1)+2의 그래프는 ⑶y=log_;2!;x의 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향 으로 2만큼 평행이동한 것이므 로 오른쪽 그림과 같다. ⑶이때 점근선의 방정식은 x=-1이다. ⑶[참고]

⑶로그함수 y=`logå`x(a>0, a+1)의 그래프를 x축의 방향

으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동하면

y=`logå`(x-m)+n

04

⑴ 4`log∞`2=log∞`2› =log∞`16이고 함수 y=log∞`x의 밑 5가 1보 다 크므로 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다. 즉, ⑵ log∞`15<log∞`16 ∴ log∞`15<4`log∞`2 ⑵ logª`;2¡5;=log3¤{;5!;} 2 =log£ ;5!;이고 함수 `log£`x의 밑 3이 1보 ⑵다 크므로 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다. 즉,

⑵ log£ ;4!;>log£ ;5!; ∴ log£`;4!;>logª`;2¡5;

y=log (x+1)+2¡_™ O -1 3 2 x y y=log x¡_™ 1 4 y=log™ x-2 y=log™ x O x y O 1 2 x y y=log (x-1)¡_™ y=log x¡_™ x 2 y 2 y 2 y 2 ⑶ ;2!;`log`;2!;`80=log;2!;`80` ;2!;<sub>=log</sub> ;2!;`'∂80

⑵4`log;4!;`3=log;4!;`3› =log;2!;`3¤ =log;2!;`9=log;2!;`'∂81

⑵함수 y=log;2!;``x의 밑 ;2!;이 1보다 작으므로 x의 값이 증가하 ⑵면 y의 값은 감소한다. 즉,

⑵ log_{;2!;`'ß80>`log;2!;`'ß81 ∴ ;2!;`log;2!;}`80>4`log;4!;`3

05

⑴ 함수 y=log(x+3)+2의 밑 10이 1보다 크므로 ⑵-2…x…97에서 함수 y=log(x+3)+2는 ⑵x=97일 때 최대이고, 최댓값은 log(97+3)+2=log`10¤ +2=2+2=4 ⑵x=-2일 때 최소이고, 최솟값은 log(-2+3)+2=log`1+2=2 ⑵ 함수 y=log0.2`(x-6)+3의 밑 0.2가 1보다 작으므로 ⑵11…x…31에서 함수 y=log0.2`(x-6)+3은 ⑵x=11일 때 최대이고, 최댓값은 log0.2`(11-6)+3=log;5!;`5+3=-1+3=2 ⑵x=31일 때 최소이고, 최솟값은 log0.2`(31-6)+3=log;5!;`25+3=-2+3=1

06

⑴ 진수의 조건에서 3x+1>0 ⑵ ∴ x>-;3!; …… ㉠ ⑵log™`(3x+1)=4에서 3x+1=2› =16 ⑵ 3x=15 ∴ x=5 ⑵x=5는 ㉠을 만족하므로 구하는 해이다. ⑵ 진수의 조건에서 2x+3>0, 3x>0 ⑵ ∴ x>0 …… ㉠ ⑵log£`(2x+3)=2 logª`3x에서 ⑵ log£`(2x+3)=log£`3x ⑵ 2x+3=3x ∴ x=3 ⑵x=3은 ㉠을 만족하므로 구하는 해이다. ⑶ 진수의 조건에서 x>0 …… ㉠ ⑵(log¢x)¤ -4 log¢x+3=0에서 ⑵log¢x=t로 놓으면 t¤ -4t+3=0 ⑵ (t-1)(t-3)=0 ∴ t=1 또는 t=3 ⑵따라서 log¢x=1 또는 log¢x=3이므로 ⑵ x=4 또는 x=4‹ =64 ⑵x=4, x=64는 ㉠을 만족하므로 구하는 해이다.

07

⑴ 진수의 조건에서 2x-1>0 ⑴ ∴ x>;2!; …… ㉠

⑴log_;2!;`(2x-1)>-2에서 -2=log;2!;`{;2!;}—¤ =log;2!;`4이므로 ⑴ log<sub>;2!;</sub>`(2x-1)>log;2!;`4

⑴밑 ;2!;이 1보다 작으므로 2x-1<4