cos A= = sin¤ A=1-cos¤ A이므로
08. 등차수열
68`~`69`쪽
02 ⑴ 첫째항이 1, 공차가 3이므로 a«=1+(n-1)¥3=3n-2
⑵ 첫째항이 11, 공차가 -2이므로
a«=11+(n-1)¥(-2)=-2n+13
03 x= =-1
y= =7
∴ x+y=(-1)+7=6
04 ⑴ =72
⑵ =610
05 첫째항이 -4, 공차가 3이므로 53을 제`n`항이라 하면 -4+(n-1)¥3=53, 3n=60
∴ n=20 구하는 수열의 합은
=490
06 S«=n¤ 에서
a«=S«-S«–¡=n¤ -(n-1)¤
=2n-1 (næ2) yy ㉠ 첫째항은
a¡=S¡=1¤ =1
이고, 이것은 ㉠에 n=1을 대입하여 얻은 값과 같으므로 a«=2n-1
20(-4+53) 1111444444442 20{2¥2+(20-1)¥3}
1111111112 8(1+17)
1111442 1144443+112
(-5)+3 11114442
Ⅲ
● ● ●개념확인● ● ●
01 ⑴ a¡=3, a™=5, a£=7 ⑵a¡=1, a™=3, a£=7 02 ⑴a«=3n-2 ⑵ a«=-2n+13
03 6 04 ⑴ 72 ⑵ 610 05 490
06 a«=2n-1
01 원기둥을 수평으로 뉘였을 때 물이 옆 면에 닿는 부분(활꼴)의 넓이는 부채꼴 OAB의 넓이에서 삼각형 OAB의 넓 이를 뺀 것이다.
삼각형 OAB의 넓이는
;2!;_r _r _sin h 이므로 색칠한 부분의 넓이는
;2!; r¤ h-;2!; r¤ sin h= (h-sinh)
따라서 원기둥의 높이가 1이므로 수평으로 뉘였을 때 물의 부피는 (h-sinh)
원기둥을 세웠을 때 물의 높이가 h이므로 pr¤ h= (h-sinh)
∴ h=;2¡ç;(h-sinh)
02 a+b+c=p에서 a+b=p-c
∴ 9sin¤ (p+a+b)+9cosc
∴
=9sin¤ (p+p-c)+9cosc=9sin¤ c+9cosc
=9(1-cos¤ c)+9cosc
=-9(cos¤ c-cosc-1)
∴
=-9[{cosc-;2!;}¤ -;4%;] …… ㉠ 한편 a¤ +b¤ =3abcosc에서cosc= =;3!;{;bA;+;aB;}
이때 a, b는 양수이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
;3!; {;bA;+;aB;}æ;3!;_2æ≠;bA;_;aB;=;3@;
{단, 등호는 ;bA;=;aB;, 즉 a=b일 때 성립}
즉, ;3@;…cosc…1이므로 cosc=;3@;일 때 ㉠의 값이 최대이고 그 값은
-9_[{;3@;-;2!;}¤
-;4%;]=11 a¤ +b¤
115523ab 15r¤2 15r¤2
15r¤2
O
A h r B
66`쪽
01 ⑤ 02 11
● ● ● 1등급 만들기● ● ●
49
08.등차수열
핵심유형
1
등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a¡º=35에서 a+9d=35 yy ㉠ a™º=75에서 a+19d=75 yy ㉡㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, d=4
∴ a£∞=(-1)+(35-1)¥4=135
1-1 등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a¢=14에서 a+3d=14 yy ㉠ a§ : a¡º=5 : 8에서
5a¡º=8a§, 5(a+9d)=8(a+5d) 5a+45d=8a+40d
3a-5d=0 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=5, d=3
∴a«=5+(n-1)¥3=3n+2
1-2 등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a¡º=3a£에서 a+9d=3(a+2d)
2a-3d=0 yy ㉠
a§+a•=30에서 (a+5d)+(a+7d)=30 2a+12d=30 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, d=2
∴ a¡∞=3+14_2=31
1-3 등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a¢=15에서 a+3d=15 yy ㉠ a•=27에서 a+7d=27 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=6, d=3 141을 제`n`항이라 하면
6+(n-1)¥3=141 3n+3=141 ∴ n=46 따라서 141은 제`46`항이다.
1-4 등차수열을 이루는 세 수를 a-d, a, a+d (d>0)로 놓으면 세 수의 합이 21이므로
(a-d)+a+(a+d)=21 3a=21 ∴ a=7
a=7이고, 세 수의 곱이 231이므로 (7-d)¥7¥(7+d)=231 (7-d)(7+d)=33 ∴ d=4 따라서 세 수 중 가장 작은 수는
a-d=7-4=3
핵심유형
2
등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a∞=50에서 a+4d=50 yy ㉠ a¡™=36에서 a+11d=36 yy ㉡㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=58, d=-2
∴a«=58+(n-1)¥(-2)=-2n+60 -2n+60<0에서 n>30
따라서 처음으로 음수가 나오는 항은 제`31`항이다.
2-1 등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a£=-26에서 a+2d=-26 yy ㉠ a§=-17에서 a+5d=-17 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-32, d=3
∴a«=-32+(n-1)¥3=3n-35 3n-35>0에서 n>:£3∞:=11.6y
따라서 처음으로 양수가 나오는 항은 제`12`항이다.
핵심유형
3
f(1), f(2), f(3)이 순서대로 등차수열을 이루므로 2f(2)=f(1)+f(3)2(4a+2b+c)=(a+b+c)+(9a+3b+c) 2a=0 ∴ a=0
3-1 세 자연수 a, b, 4가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 2b=a+4에서
a=2b-4 yy ㉠
세 자연수 a¤ , 50, b¤ 이 이 순서대로 등차수열을 이루므로 100=a¤ +b¤ yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
(2b-4)¤ +b¤ =100, 5b¤ -16b-84=0 (5b+14)(b-6)=0 ∴ b=6 b=6을 ㉠에 대입하면 a=8
∴ a+b=8+6=14
핵심유형
4
등차수열 {a«}의 공차를 d라 하면=-310
-80+9d=-62, 9d=18 ∴ d=2 10{2¥(-40)+9d}
1111111142
70`~`71`쪽
● ● ●핵심유형으로개념정복하기● ● ●
핵심유형 1 135
1-1a«=3n+2 1-231 1-3제`46`항 1-43
핵심유형 2 제`31`항 2-1제`12`항
핵심유형 3 0
3-114
핵심유형 4 -420
4-1첫째항：5, 공차：8
4-2145 4-38217 4-4-121
핵심유형 5 a«=6n-4 5-1-26
5-2a¡=3, a«=6n-2 (næ2) 5-3첫째항：23, k=21
따라서 제`20`항까지의 합은
=10(-80+38)=-420
4-1 등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a§=45에서 a+5d=45 yy ㉠ 첫째항부터 제`5`항까지의 합이 105이므로
=105, 2a+4d=42
a+2d=21 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=5, d=8
따라서 등차수열 {a«}의 첫째항은 5, 공차는 8이다.
4-2 등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 첫째항부터 제`4`항까지의 합이 22이므로
=22, 2a+3d=11 yy ㉠ 제`5`항부터 제`8`항까지의 합이 70이므로
-22=70, 2a+7d=23 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, d=3 따라서 제`10`항까지의 합은
=145
4-3 3의 배수를 3k`(k는 자연수)라 하면
200<3k<300 ∴ 66.6y<k<100
이때 k는 자연수이므로 구하는 합은 k가 67일 때부터 99일 때까지이다.
즉, 3¥67, 3¥68, y, 3¥99의 합이고, 이 수열의 첫째항은 3¥67=201, 끝항은 3¥99=297, 항수는 99-66=33(개) 이므로
=8217
4-4 등차수열 {a«}에서
a«=-21+(n-1)¥2=2n-23 제`n`항에서 처음으로 양수가 나온다고 하면
2n-23>0 ∴ n>11.5
수열 {a«}은 제`12`항에서 처음으로 양수가 나온다. 따라서 첫째항부터 제`11`항까지의 합 S¡¡이 S«의 최솟값이 된다.
∴ S¡¡= =-121
핵심유형
5
S«=3n¤ -n에서 a«=S«-S«–¡=(3n¤ -n)-{3(n-1)¤ -(n-1)}
=6n-4(næ2) yy ㉠ 첫째항은
a¡=S¡=3¥1¤ -1=2
11{2¥(-21)+10¥2}
1444444444441111142 33(201+297)
11111142 10(2¥1+9¥3) 11111142
8(2a+7d) 114444444444442
4(2a+3d) 114444444444442
5(2a+4d) 114444444444442
20{2¥(-40)+19¥2}
11111111444442
이고, 이것은 ㉠에 n=1을 대입하여 얻은 값과 같으므로 a«=6n-4
5-1 S«=-3n¤ +2n에서 a«=S«-S«–¡
=(-3n¤ +2n)-{-3(n-1)¤ +2(n-1)}
=-6n+5 (næ2) yy ㉠ 첫째항은
a¡=S¡=-3¥1¤ +2¥1=-1
이고, 이것은 ㉠에 n=1을 대입하여 얻은 값과 같으므로 a«=-6n+5
∴ a¡+a∞=-1+(-6¥5+5)=-26
[다른 해설]
a¡+a∞=S¡+(S∞-S¢)
=-3¥1¤ +2¥1+(-3¥5¤ +2¥5)-(-3¥4¤ +2¥4)
=-26
5-2 S«=3n¤ +n-1에서 a«=S«-S«–¡
=(3n¤ +n-1)-{3(n-1)¤ +(n-1)-1}
=6n-2 (næ2) yy ㉠ 첫째항은
a¡=S¡=3¥1¤ +1-1=3
이고, 이것은 ㉠에 n=1을 대입하여 얻은 값과 다르므로 a¡=3, a«=6n-2 (næ2)
5-3 S«=n¤ +kn+1에서 a«=S«-S«–¡
=(n¤ +kn+1)-{(n-1)¤ +k(n-1)+1}
=2n+k-1 (næ2)
a¡º=40에서 20+k-1=40 ∴ k=21
∴ a¡=S¡=1¤ +21¥1+1=23
[다른 해설]
a¡º=S¡º-Sª
=10¤ +10k+1-(9¤ +9k+1)
=k+19=40
∴ k=21
∴ a¡=1¤ +21¥1+1=23
51
08.등차수열 72`~`73`쪽
● ● ● 기출문제로내신대비하기● ● ●
01a«=3n+12 02 9 03 3 04 9
05 21 06 ④ 07 ④ 08 ⑤
09 ② 10 -600 11 435 12 ②
13 a¡=2, a«=2n-3 (næ2) 14 -5 15 344
01 등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a£=21에서 a+2d=21 yy ㉠ a¡º=42에서 a+9d=42 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=15, d=3
∴ a«=15+(n-1)¥3=3n+12
02 등차수열 {a«}의 첫째항을 a라 하면 a«=a+(n-1)¥2=2n+a-2 등차수열 {b«}의 첫째항을 b라 하면
b«=b+(n-1)¥(-5)=-5n+b+5
∴2a«-b«=2(2n+a-2)-(-5n+b+5)
=4n+2a-4+5n-b-5
=9n+2a-b-9 따라서 수열 {2a«-b«}의 공차는 9이다.
03 등차수열의 항수는 (n+2)개이고, 합은 105이므로
=105 n+2=10 ∴ n=8
즉, 등차수열의 첫째항이 -3이고 제`10`항이 24이므로 공차를 d 라 하면
-3+9d=24 ∴ d=3
04 등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면
a£=19에서 a+2d=19 yy ㉠
a§ : a•=5 : 2에서 5a•=2a§
5(a+7d)=2(a+5d), 3a+25d=0 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=25, d=-3
∴ a«=25+(n-1)¥(-3)=-3n+28 제`k`항에서 처음으로 음수가 나온다고 하면
-3k+28<0 ∴ k>:™3•:=9.3y
수열 {a«}은 제`10`항에서 처음으로 음수가 나온다. 따라서 제`9`항 까지의 합이 최대가 되므로 구하는 n의 값은 9이다.
05 15, x, y, 6이 이 순서대로 등차수열을 이루므로 2x=15+y yy ㉠
2y=x+6 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
x=12, y=9 ∴ x+y=12+9=21
[다른 해설]
15, x, y, 6이 이 순서대로 등차수열을 이룬다. 이 등차수열의 (n+2)(-3+24)
1111114444444442
공차를 d라 하면 첫째항이 15, 제`4`항이 6이므로 15+3d=6 ∴ d=-3
따라서 x=12, y=9이므로 x+y=12+9=21
06 3k+1, k¤ +2, 2k+7이 이 순서대로 등차수열을 이루므로 2(k¤ +2)=(3k+1)+(2k+7)
2k¤ +4=5k+8, 2k¤ -5k-4=0 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D=25-4¥2¥(-4)=57>0
이므로 이차방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다.
따라서 모든 실수k의 값의 합은 근과 계수의 관계에 의하여
;2%;이다.
07 세 수 a, 5, b가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 2_5=a+b ∴ a+b=10 yy ㉠ 세 수 , 1, 도 이 순서대로 등차수열을 이루므로
2_1= + , + =2
=2, =2(∵ ㉠) ∴ ab=5
|a-b|¤ =(a+b)¤ -4ab=100-20=80이므로
|a-b|='∂80=4'5
08 a¡=1 a™=1+3 a£=1+3+5 a¢=1+3+5+7
⋮
∴ a™-a¡=3, a£-a™=5, a¢-a£=7, y
따라서 a™º-a¡ª는 첫째항이 3, 공차가 2인 등차수열의 제`19`항 이므로
a™º-a¡ª=3+(19-1)¥2=3+36=39
09 오른쪽 그림과 같이 직각삼각형의 세 변의 길이 a, b, 10(a<b<10)이 이 순서대로 등차수열 을 이룬다고 하면
2b=a+10 ∴ a=2b-10 yy ㉠ 피타고라스 정리에 의하여
a¤ +b¤ =100 yy ㉡
㉠을 ㉡에 대입하여 풀면 (2b-10)¤ +b¤ =100
5b¤ -40b=0 ∴ b=8 (∵ b>0) b=8을 ㉡에 대입하면 a=6
따라서 삼각형의 넓이는
;2!;_8_6=24
10 b
a
10 ab a+b
ab
1 b 1 a 1 b 1 a 1 b 1 a
10 등차수열의 첫째항을 a, 공차를 d라 하고 첫째항부터 제`n`항까지의 합을S«이라 하면
S¡º=200에서 =200
2a+9d=40 yy ㉠
S™º=0에서 =0
2a+19d=0 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=38, d=-4
∴ S£º= =-600
11 등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a£=49에서 a+2d=49 yy ㉠ a¡º=21에서 a+9d=21 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=57, d=-4
∴ a«=57+(n-1)¥(-4)=-4n+61 제`n`항에서 처음으로 음수가 나온다고 하면
-4n+61<0 ∴ n>15.25
수열 {a«}은 제`16`항에서 처음으로 음수가 나오므로 제`15`항까지 의 합이 S«의 최댓값이 된다.
∴ S¡∞= =435
12 등차수열 {a«}의 첫째항부터 제`n`항까지의 합을 S«이라 하면 S«=n¤ +2n이므로
a«=S«-S«–¡
=n¤ +2n-{(n-1)¤ +2(n-1)}
=2n+1 (næ2)
∴ a™+a¢+a§+a•+a¡º=5+9+13+17+21=65
13 S«=n¤ -2n+3에서 a«=S«-S«–¡
=n¤ -2n+3-{(n-1)¤ -2(n-1)+3}
=2n-3 (næ2) yy ㉠ 첫째항은
a¡=S¡=1¤ -2¥1+3=2
이고, 이것은 ㉠에 n=1을 대입하여 얻은 값과 다르므로 a¡=2, a«=2n-3 (næ2)
14 등차수열의 항수를 n이라 하면
=325 ∴ n=13 yy ❶
이때 등차수열의 공차를 d라 하면 a¡£=-5이므로
55+12d=-5 ∴ d=-5 yy ❷
n{55+(-5)}
2
15{2¥57+14¥(-4)}
2
30{2¥38+29¥(-4)}
1111444444444114442 20(2a+19d) 11114444444442
10(2a+9d) 111144444442
15 등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a£=11에서 a+2d=11 yy ㉠ a•=-4에서 a+7d=-4 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=17, d=-3
∴ a«=17+(n-1)¥(-3)=-3n+20 yy ❶ 제`n`항에서 처음으로 음수가 나온다고 하면
-3n+20<0 ∴ n>:™3º:=6.6y
이때 n은 자연수이므로 제`7`항에서 처음으로 음수가 나온다.
yy ❷ a¡=17, a§=2, a¶=-1, a™º=-40이므로
|a¡|+|a™|+y+|a™º|
=(a¡+a™+y+a§)-(a¶+a•+y+a™º)
=
-=57-(-287)=344 yy ❸
14{(-1)+(-40)}
2 6(17+2)
2
채점 기준 배점
❶ 일반항a« 구하기
❷ 몇 번째 항부터 음수가 나오는지 구하기
❸ 합 구하기
30 % 30 % 40 %
채점 기준 배점
❶ 항수 구하기
❷ 공차 구하기
50 % 50 %