수학의 특성

수학은 수량이나 공간이 함유하고 있는 기본적인 개념들 속에 다양한 형

5) 교육부, 중학교 교육 과정 해설(Ⅲ), 1997

태로 잠재되어 있는 명제적 결론들을 연역적으로 탐색하여 체계화 해내는 추상적인 과학으로 받아들일 수 있다. 한편 인간은 자연이나 사회에서 일어 나는 현상들을 관찰함으로써 공리나 공준 이라고 할 수 있는 직관적인 원리 나 개념들을 형성하게 되고, 이와 같은 자명한 명제들로부터 출발하여 엄밀 한 추론의 과정을 거쳐 더욱 발전된 추상적인 형태의 수학적 결론에 도달하 게 된다. 이와 같이 생성, 발전된 수학적 내용들은 그 구조를 형성하면서 일 관성 있게 구성된 결과가 수학이라고 할 수 있다.

일반적으로, 수학의 특성으로서 실용성, 추상성, 형식성, 계통성, 직관성과 논리성, 일반화와 특수화 등이 거론된다. 이것을 좀더 구체적으로 살펴보면 다음과 같다.

가. 실용성

수학은 그 발생에서부터 인간 생활의 필요에 의하여 생겨 났고, 발전하여 왔으며, 우리들의 일상생활에서 여러 가지로 유용하게 사용되고 있다. 수학 의 실용성은 단순한 일상생활에서 끝나는 것이 아니고 그 자체의 과학성에 의하여 다른 학문 특히, 자연과학의 발달에 크게 기여하고 있기에 그 실용 성은 더욱 높이 평가하여야 할 것이다. 수학 교과는 여타의 학교 교과의 학 습을 돕는 기초적인 도구 교과로서의 역할을 수행할 뿐만 아니라, 실제 생 활에서도 가시적으로 유용하게 사용되고 있는 것은 두 말할 나위 없다. 특 히 현대와 같이 고도로 발전된 정보 사회 속에서 학습된 수학적 능력이 갖 는 역할은 그 어느 때보다 크다고 할 수 있다.

나. 추상성

추상성이란, 어떤 구체물의 집합이 있을 때, 각 구체물이 가지는 속성 중 에서 이질적인 속성을 제거하여 나가면 결국 동질적인 속성만 남게 되는데 이러한 속성만을 취해서 만든 이상화된 개념이다. 각 구체물이 지니는 동질 적인 속성을 끄집어내는 것을 추상화라고 한다. 수학의 추상성은 우리가 느 끼고, 맛보고, 냄새맡고, 듣고, 볼 수 있는 물리적 세계나 그 세계에 대한 우

리의 경험을 직접 다루는 것이 아니라 우리 마음속에 있는 아이디어를 다루 는 것이며, 사물의 형상을 기호화, 단순화하여 간결하고 명확하게 표현하고 활용함으로써 우리의 사고활동을 돕는다.

다. 형식성

수학은 형식 언어로 쓰여진 공리 또는 공준과 형식적인 추론 규칙에 의해 전개되어 진다. 수학은 형식성이 강한 학문이다. 수학의 개념이나 원리가 추 상화의 사고 과정을 통하여 발견, 추출 된 다음 보다 발전된 일반성을 갖는 활용 방법을 얻는 과정에 형식성을 갖출 필요가 있게 된다. 이는 기호화의 과정을 거쳐 사실을 객관적으로 간결히 표현하여 정확한 전달을 가능하게 하며 사고를 촉진시켜 준다. 즉 수학적 언어가 기호의 표현으로 형식적인 논리 전개가 용이해 지고, 수학은 이 형식성 때문에 그 힘이 증대되어서 체 계화가 용이하게 되는 것이다. 수학의 학습 과정에서 학생들은 형식화의 능 력을 갖게 되고, 논리적 사고력과 함께 수학적인 힘이 증대되는 것이다.

라. 계통성

어느 교과나 계통성이 있겠지만, 그 중에서 특히 수학은 계통성이 매우 강한 교과이다. 수학적 개념은 어떤 기초적인 학습 내용을 토대로 하여 그 위에 새로운 학습 내용을 덧붙여 발전되고 통합된 새로운 내용을 형성하는 것이다. 즉, 학습 내용을 연역적으로 차례로 연결하여 새로운 것을 만들거나 새로 만들어진 것을 통합시킴으로써 만들어지는 것이다. 수학은 이러한 발 전 과정을 거친다는 의미에서 계통적이라 할 수 있다. 계통성은 학습 내용 의 순서를 정할 때 논리적 연결성을 가지고 학습이 단계적으로 이루어지도 록 해준다.

마. 논리성

논리성은 이론의 근거를 분명히 하여 대상을 파악하는데 필요한 것으로 주어진 가정으로부터 결론을 이끌어내는 증명 과정은 분석적이고 단계적이

다. 논리성은 추론의 과정으로서 필요한 것으로 추론의 과정에서 논리성이 결여되어 있을 때에는 그 정당성을 보장받을 수 없게 된다. 수학적 추론에 서는 귀납적 추론과 연역적 추론의 두 가지를 생각할 수 있다. 귀납적 추론 은 어떤 현상의 부분에 관한 지식이나 감각의 특수한 사례로부터 출발하여 전체에 대한 지식이나 공통적이고 보편적인 성질을 이끌어 내는 사고이다.

연역적 추론은 분석적, 단계적이고 논리적인 과정을 통하여 정당한 논리적 근거에 의하여 주어진 과정으로부터 결론을 이끌어 가는 사고이다. 직관적 사고란 수학의 발명 또는 발견에 중요한 역할을 하며, 수학적 사실에 정당 성을 부여하는 데 필수적이다. 수학에서는 구체적인 사실에서 귀납적 추론 에 의하여 어떤 새로운 사실을 발견하고, 그 발견된 사실은 연역적 추론에 의하여 수학적 진리로 확정된다.

바. 일반화와 특수화

일반화는 하나의 대상에 대한 고찰로부터 그 대상을 포함한 집합에 대한 고찰로 넓혀 가는 것을 말한다. 일반화를 통하여 수학이나 과학에서 많은 법칙이 발견되었으며, 때로는 관찰한 단 한 가지 사실이 일반화를 통하여 놀라운 일반적인 법칙으로 발견되기도 한다.

특수화는 일반화와는 반대되는 개념으로, 주어진 대상의 집합에 대한 고찰 로부터 그 집합에 포함되는 더 작은 집합 또는 하나의 대상에 대한 고찰로 옮아가는 것이다. 이러한 특수화는 일반화된 명제를 검증하거나 그 증명 또 는 풀이의 힌트를 제공하기도 한다.