수열의 합

개

념

편

1.  ⑴ 120 ⑵ 316 ⑶ 2870 ⑷ 1296

⑴ _k=1?¹⁵k=15\16 2 =120

⑵ _k=1?⁶ k@+_k=1?⁵ k#=6\7\13

6 +[ 5\62 ]

@=316

⑶ 1@+2@+3@+y+20@= 20\21\416 =2870

⑷ 1#+2#+3#+y+8#=[ 8\92 ]

@=1296

p.180

2

p.181~184

유제 & 문제

2

유제 03  ⑴ -264 ⑵ 1015 ⑶ 855

⑴ _k=1?⁸ {4k-2k@}=4 _k=1?⁸ k-2 _k=1?⁸ k@

{4k-2k@}=4\

8\9

2 -2\8\9\17 6

{4k-2k@}=-264

⑵ _k=1?¹⁰{2k-1}{k+3}

=_k=1?¹⁰{2k@+5k-3}=2_k=1?¹⁰k@+5_k=1?¹⁰k-_k=1?¹⁰3

=2\10\11\21

6 +5\10\11

2 -30=1015

⑶ _k=1?¹⁵{k+3}@-_k=1?¹⁵k@=_k=1?¹⁵{k@+6k+9-k@}

=_k=1?¹⁵{6k+9}=6_k=1?¹⁵k+_k=1?¹⁵9

=6\15\16

2 +135=855

문제 03-1  ⑴ 7665 ⑵ 3097

⑴ ?⁹

k=5k{2k-1}{2k+1}

=_k=5?⁹ {4k#-k}

=_k=1?⁹ {4k#-k}-_k=1?⁴ {4k#-k}

=4?⁹

k=1k#-?⁹

k=1k-4 ?⁴

k=1k#+?⁴

k=1k =4\[ 9\102 ]@-9\10

2 -4\[4\52 ]@+4\5 2

=7665

⑵ /k=2@)~` k#k-1-/k=2@)~` 1k-1 =/k=2@)~` k#-1

k-1 =/k=2@)~` {k-1}{k@+k+1}

k-1 =/k=2@)~`{k@+k+1}

=/k=1@)~`{k@+k+1}-{1@+1+1}

=/k=1@)~`k@+/k=1@)~`k+/k=1@)~`1-3 =20\21\41

6 +20\21 2 +20-3 =3097

문제 03-2 ^{ ⑴ 23 ⑵ 315}₂

⑴ /k=1@)~~` 2+4+6+y+2k10k

=/k=1@)~~`2{1+2+3+y+k}

10k

=/k=1@)~~`2\ k{k+1}

2

10k =/k=1@)~~` k+110

=1

10`/k=1@)``{k+1}= 110`[/k=1@)``k+/k=1@)``1]

=1

10[20\21

2 +20]=23

⑵ /k=1!)`` 1+4+9+y+k@k =/k=1!)``1@+2@+3@+y+k@

k

=/k=1!)``

k{k+1}{2k+1}

6

k =/k=1!)``{k+1}{2k+1}

6 =/k=1!)`` 2k@+3k+16

=3! /k=1!)``k@+2! /k=1!)``k+/k=1!)``6!

=3!\ 10\11\216 +2!\10\112 +3%

=315 2

유제 04 ^{ ⑴} n{n+1}{2n+7}

6

⑵ n{n+1}{n+2}{3n+1}

12

⑴ 주어진 수열의 일반항을 an이라 하면 an=n{n+2}=n@+2n

수열 9an0의 첫째항부터 제n항까지의 합은 /k=1N``ak=/k=1N``{k@+2k}=/k=1N``k@+2/k=1N``k

=n{n+1}{2n+1}

6 +2\n{n+1}

2

=n{n+1}{2n+7}

6

⑵ 주어진 수열의 일반항을 an이라 하면 an=n@{n+1}=n#+n@

수열 9an0의 첫째항부터 제n항까지의 합은

개 념 편

/k=1N``ak=/k=1N``{k#+k@}

=/k=1N``k#+/k=1N``k@

=- n{n+1}

2 =@

+n{n+1}{2n+1}

6

=n{n+1}{n+2}{3n+1}

12 문제 04-1 ^{ 7820}

주어진 수열의 일반항을 an이라 하면 a1=1=1\1

a2=2+4=2{1+2}

a3=3+6+9=3{1+2+3}

a4=4+8+12+16=4{1+2+3+4}

⋮

/ an=n{1+2+3+y+n}

=n\n{n+1}

2 =n#+n@

2

수열 9an0의 첫째항부터 제15항까지의 합은 /k=1!%~`ak=/k=1!%`` k#+k@2

=2![ /k=1!%``k#+/k=1!%``k@]

=2!-[ 15\162 ]@

+15\16\31

6 =

=7820

문제 04-2 ^ n{n+1}{n+2}

6 주어진 식에서 a1=1\n a2=2\{n-1}

a3=3\{n-2}

⋮

an-1={n-1}\2 an=n\1 이라 하면

ak=k9n-{k-1}0=-k@+{n+1}k 따라서 주어진 식은

1\n+2\{n-1}+3\{n-2}+y+n\1

=a1+a2+a3+y+an

=/k=1N``ak=/k=1N` 9-k@+{n+1}k0

=-/k=1N``k@+{n+1}/k=1N``k

=-n{n+1}{2n+1}

6 +{n+1}\n{n+1}

2

=n{n+1}{n+2}

6

유제 05 ^{ 5n@+60n} /L=1N`-/k=1!)`{k+L}==/

L=1N` [/k=1!)~`k+l /k=1!)~ 1]

=/_L=1N` [10\112 +10L]

=/_L=1N` {10L+55}

=10/

L=1N` l+/

L=1N` 55

=10\n{n+1}

2 +55n

=5n@+60n

문제 05-1  ⑴ 605 ⑵ 2200

⑴ /j=1!)`~-/k=1J{2k+3}=

=/j=1!)``[2/k=1Jk+/k=1J3]

=/j=1!)``-2\j{j+1}

2 +3j =

=/j=1!)``{j @+4j}=/j=1!)``j @+4/j=1!)``j

=10\11\21

6 +4\10\11 2

=605

⑵ /k=1%` [/j=1!)``jk@]-/k=1!)`[/j=1%```jk]

=/k=1%` [k@ /j=1!)``j]-/k=1!)`[k/j=1%```j]

=/k=1%~`[k@\10\112 ]-/k=1!)`[k\5\62 ] =55 /k=1%~` k@-15/k=1!)~`k

=55\5\6\11

6 -15\10\11 2 =2200

문제 05-2 ^{ 4}

/m=1N``-/<sub>L</sub>=1M`[/k=1`~<sup>L</sup>~~``6]==/m=1N``[/<sub>L</sub>=1M``6L]

=/m=1N``-6\m{m+1}

2 =

=/m=1N``{3m@+3m}=3/m=1N``m@+3/m=1N``m

=3\n{n+1}{2n+1}

6 +3\n{n+1}

2

=n#+3n@+2n n#+3n@+2n=120에서 n#+3n@+2n-120=0 {n-4}{n@+7n+30}=0 이때 n은 자연수이므로 n=4

유제 06 ^{ 1400}

수열 9an0의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라 하면 Sn=/k=1N``ak=n@+n

!

n>2일 때 an =Sn-Sn-1

=n@+n-9{n-1}@+n-10

=2n yy ㉠

@

n=1일 때

a1=S1=1@+1=2 yy ㉡

이때 ㉡은 ㉠에 n=1을 대입한 값과 같으므로 일반항 an 은 an=2n

따라서 a2k=2\2k=4k이므로

/k=1@)~`{k-12}a2k=/k=1@)~`{k-12}4k=/k=1@)~ {4k@-48k}

=4 /k=1@)~`k@-48 /k=1@)~`k

=4\ 20\21\416 -48\ 20\212

=1400 문제 06-1 ^{ 2728}

수열 9an0의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라 하면 Sn=/k=1N``ak=2N"!+1

!

n>2일 때 an =Sn-Sn-1

=2N"!+1-{2N+1}

=2N{2-1}=2N yy ㉠

@

n=1일 때

a1=S1=2@+1=5 yy ㉡

이때 ㉡ 은 ㉠에 n=1을 대입한 값과 같지 않으므로 일반 항 an은 a1=5, an=2N {n>2}

따라서 a2k'1=2@K"!=2\4K이므로 /k=1%`~`a2k'1=/k=1%`~`{2\4K}

=2\4{4%-1}

4-1

=2728 문제 06-2 ^{ 1524}

수열 9an0의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라 하면 Sn=_k=1?ⁿ ak=n@-11n

!

n>2일 때 an =Sn-Sn-1

=n@-11n-9{n-1}@-11{n-1}0

=2n-12 yy ㉠

@

n=1일 때

a1=S1=1@-11=-10 yy ㉡

이때 ㉡은 ㉠에 n=1을 대입한 값과 같으므로 일반항 an 은 an=2n-12

따라서 a2k=2\2k-12=4k-12이므로 a2k>0을 만족하는 k의 값의 범위는 4k-12>0 / k>3

/ /k=1#)~`|a2k|=-/k=1@``a2k+/k=3#)~`a2k

=-/k=1@``a2k+/k=1#)~`a2k-/k=1@``a2k

=/k=1#)~`a2k-2/k=1@``a2k

=/k=1#)~`{4k-12}-2/k=1@``{4k-12}

=4/k=1#)~`k-/k=1#)~`12-29-8+{-4}0

=4\30\31

2 -360+24=1524

k=1 k=2

p.186~190

유제 & 문제

3

유제 07 ^ _4{n+1}ⁿ

주어진 수열의 일반항을 an이라 하면

an= 1

{2n+1}@-1= 1 4n@+4n //k=1N``ak=/k=1N`` 1

4k@+4k=4!/k=1N` 1 k{k+1}

=4!//k=1N``[ 1k- 1 k+1 ]

=4!-[1-2!]+[2!-3!] +y+[ 1n`- 1 n+1 ]=

=4![1- 1n+1 ]= n 4{n+1}

1.  ⑴ 5

11 ⑵ j13k-j3

⑴ _k=1?²⁰ [ 1k+1- 1 k+2 ] =[ 12-1

3 ]+[ 13-1

4 ]+y+[ 121- 1 22 ] = 12-1

22= 5 11

⑵ _k=1?¹⁰{jk+3l-jk+2l}

={j4-j3}+{j5-j4}+y+{j13k-j12k}

=j13k-j3

p.185

3

1

개 념 편

문제 07-1 ^{ 36}₅₅

주어진 수열의 일반항을 an이라 하면

an= 1

3+5+7+y+{2n+1}

= 1

n{3+2n+1}

2

= 1

n{n+2}

/ /k=1(``ak=/k=1(`` 1

k{k+2}=2!/k=1(``[k!- 1k+2 ]

=2!-[1-3!]+[2!-4!]+[3!-5!]

+y+[8!- 110 ]+[9!- 111 ]=

=2![1+2!- 110-1 11 ]=36

55

문제 07-2 ^{ 72}₅₅

x@+2x-n@+1=0의 두 근이 an, bn이므로 근과 계수의 관계에 의해

an+bn=-2, anbn=-n@+1 / _k=2?¹⁰[ 1ak+1

bk ]=

?10 k=2 ak+bkakbk

=_k=2?¹⁰ 2k@-1=_k=2?¹⁰ 2 {k-1}{k+1}

=?¹⁰

k=2 [ 1k-1- 1k+1 ]

=[1- 13 ]+[ 12-1

4 ]+[ 13-1 5 ] +y+[ 18-1

10 ]+[ 19-1 11 ]

=1+1 2-1

10-1 11=72

55

유제 08  5

주어진 수열의 일반항을 an이라 하면

an= 1

j2n-l1l+j2n+l1l / /k=1^)~~`ak=/k=1^)~~ 1

j2k-l1l+j2k+l1l

=/k=1^)~~ j2k-l1l-j2k+l1l

{j2k-l1l+j2k+l1l}{j2k-l1l-j2k+l1l}

=/k=1^)~~ j2k-1l-j2k+1l-2

=-2!9{j1-j3}+{j3-j5}

+y+{j119k-j121k}0

=-2!{1-11}=5

◀ 등차수열의 합

문제 08-1 ^{ 2}j3 수열 9an0의 일반항은

an=3+{n-1}\2=2n+1이므로 /k=1#^~~` 1

jakk+jak'1k

=/k=1#^~~` 1 j2k+1l+j2k+3l

=/k=1#^~~` j2k+1l-j2k+3l

{j2k+1l+j2k+3l}{j2k+1l-j2k+3l}

=/k=1#^~~` j2k+1l-j2k+3l-2

=-2!`/k=1#^~~`{j2k+1l-j2k+3l}

=-2!9{j3-j5}+{j5-j7}+{j7-j9}

+y+{j73l`-j75l}0

=-2!{j3-5j3}=2j3

문제 08-2 ^{ 30} /k=1M`~ ak=/k=1M`~` 1

jk+1l+jk+2l

=/k=1M`` jk+1l-jk+2l

{jk+1l+jk+2l}{jk+1l-jk+2l}

=-/k=1M`~{jk+1l-jk+2l}

=-9{j2-j3}+{j3-j4}+{j4-j5}

+y+{jm+1l``` -jm+2l}0`

=jm+2l-j2 즉, jm+2l-j2=3j2이므로 jm+2l=4j2, m+2=32 / m=30

유제 09  19\2@)+1

구하는 합을 S라 하고 S-2S를 하면 S=1\1+2\2+3\2@+y+20\2!(

-R 2S= T`` 1\2+2\2@+yT+19\2!(+20\2@) T -S= 1+ 2+ 2@+y+ 2!(-20\2@)

=1\{2@)-1}

2-1 -20\2@)

=-19\2@)-1 / S=19\2@)+1

문제 09-1 ^{ 7} Sn에서 n=10일 때

S10=1+2\2!+3\ 12@+y+10\ 1 2(

등비수열의 공비가 2!이므로 S10-2!S10을 하면

S10=1+2\ 12+3\1

2@+y+10\ 1 2(

-]1

2 S10= 1\ 12 +2\1

2@+y+ 9\ 12(+10\1 2!) 12S10=1+ 12+ 12@+y+ 12(-10\1

2!)

= 1- 1

2!)

1-2!-10\ 1 2!)

=2-3\1 2*

/ S10=4- 3 2&

S10=4- 3 2&=a- b

2&에서 a=4, b=3 / a+b=7

유제 10  ⑴ 671 ⑵ 62

⑴ 주어진 수열을 다음과 같이 1이 각각 첫째항과 마지막 항이 되도록 묶으면

{1}, {1, 2, 1}, {1, 2, 3, 2, 1},

제 1 군 제 2 군 제 3 군

{1, 2, 3, 4, 3, 2, 1}, y

제 4 군

제n군의 항의 개수는 2n-1이므로 제1군부터 제n군 까지의 항의 개수는

/k=1N``{2k-1}=2/k=1N` k-/k=1N` 1=2\n{n+1}

2 -n=n@

12@=144, 13@=169에서 제1군부터 제12군까지의 항 의 개수가 144이므로 제150항은 제13군의 6번째 항 이다.

제n군의 항의 합은

1+2+y+{n-1}+n+{n-1}+y+2+1 =/k=1N``k+/k=1~N_!~k

=n{n+1}

2 +{n-1}n 2 =n@

따라서 첫째항부터 제150항까지의 합은 (제1군부터 제12군까지의 항의 합)

+(제13군의 첫째항부터 제6항까지의 합) =/k=1!@~`k@+{1+2+3+4+5+6}

=12\13\25

6 +21=671

⑵ 주어진 수열을 다음과 같이 분모가 같은 것끼리 묶으면 [ 12 ,

3 2 ], [

1 2@, 3

2@, 5 2@, 7

2@ ],

제1군 제2군

[ 12#, 3 2#, 5

2#, 7 2#, 9

2#, 11 2#, 13

2#, 15 2# ], y

제3군

제n군의 항의 개수는 2N이므로 제1군부터 제n군까지의 항의 개수는

/k=1N``2K=2{2N-1}

2-1 =2N"!-2

2%"!-2=62이므로 제62항은 제5군의 마지막 항이다.

제n군의 항의 분자의 합은

/k=1^2N`{2k-1}=2 /k=1<sup>2N</sup>`k-/k=1^2N`1=2\2N{2N+1}

2 -2N=2²ⁿ 이므로 제n군의 항의 합은

2@N 2N =2N

따라서 첫째항부터 제62항까지의 합은 (제1군부터 제5군까지의 항의 합) =/k=1%``2K=2{2%-1}

2-1 =2^-2=62

문제 10-1 ^{ 54}

주어진 수열을 다음과 같이 두 수의 합이 같은 순서쌍끼 리 묶으면

9{1, 1}0, 9{1, 2}, {2, 1}0, 9{1, 3}, {2, 2}, {3, 1}0,

제1군 제2군 제3군

y

제n군의 항의 개수는 n이므로 제1군부터 제n군까지의 항 의 개수는

1+2+3+y+n=n{n+1}

2 13\14

2 =91, 14\15

2 =105이므로 제100항은 제14군 의 9번째 항이다.

제n군의 순서쌍을 이루는 두 수의 합이 n+1이므로 제 n 군의 k번째 항은 {k, n+1-k}이다.

따라서 제14군의 9번째 항은 {9, 6}이므로 a=9, b=6 / ab=54

문제 10-2 ^{ 181}

주어진 수열을 다음과 같이 1을 기준으로 1이 마지막 항 이 되도록 묶으면

{1}, {2, 1}, {2, 2, 1}, {2, 2, 2, 1}, y

제1군 제2군 제3군 제4군

제n군의 항의 개수는 n이므로 제1군부터 제n군까지의 항 의 개수는

1+2+3+y+n=n{n+1}

2 19\20

2 =190, 20\21

2 =210이므로 제200항은 제20군 의 10번째 항이다.

제n군의 숫자 2의 개수는 n-1이므로 첫째항부터 제200 항까지에 있는 숫자 2의 개수는

개 념 편

(제1군부터 제19군까지의 숫자 2의 개수)

+(제20군의 첫째항부터 제10항까지 숫자 2의 개수)

=_k=1?¹⁹ {k-1}+10=_k=1?¹⁹ k-_k=1?¹⁹1+10

=19\20

2 -19+10=181 문제 10-3 ^{ 1729}

위에서 k번째 줄에 나열된 수의 개수는 2k-1이므로 첫 번째 줄부터 9번째 줄까지 나열된 수의 개수는

/k=1(``{2k-1}=2/k=1(``k-/k=1(``1

=2\9\10 2 -9=81

즉, 위에서 10번째 줄의 첫번째 수는 82이고 10번째 줄의 항의 개수는 2\10-1=19이므로 10번째 줄에 나열된 모든 수의 합은 첫째항이 82, 공차가 1인 등차수열의 첫 째항부터 제19항까지의 합이다.

/ 19\92\82+{19-1} \10

2 =1729

1

^{ㄱ, ㄷ}

2

¹¹⁰

3

^③

4

¹³⁰

5

²ⁿ⁺ 2!

6

²⁰⁰

7

^②

8

³⁰

9

¹⁸

기본 연습문제

p.191~192

1 ㄱ. /k=1N~``k@=1@+2@+3@+y+n@

/k=0~N_!~{k+1}@=1@+2@+3@+y+n@

/`/k=1N~``k@=/k=0~N_!~{k+1}@

ㄴ. /k=1N~``3K=3+3@+3#+y+3N /k=2~N"!`3K=3‚@+3#+3$+y+3N"!

/`/k=1N~``3K=/k=2~N"!`3K ㄷ. M_!`ai+/j=m/i=1~ N~``aj

={a1+a2+y+am-1}+{am+am'1+y+an}

=/k=1N~``ak

ㄹ. /k=0N~`{a3k+a3k'1+a3k'2}

=a0+a1+a2+a3+a4+a5+y+a3n+a3n'1+a3n'2 /k=0#N~`ak=a0+a1+a2+a3+y+a3n

/ /k=0N~``{a3k+a3k'1+a3k'2}=/k=0#N~`ak 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

2 _/k=1@)~`{3ak+2}=70에서

3 /k=1@)~`ak+/k=1@)~`2=70, 3 /k=1@)~`ak+40=70 /`/k=1@)~`ak=10

/k=1@)~`{ak-1}{ak@+ak+1}=130에서 /k=1@)~`{ak#-1}=130, /k=1@)~`ak#-/k=1@)~`1=130 /k=1@)~`ak#-20=130

/`/k=1@)~`ak#=150 /`/k=1@)~`ak{ak@-4}

`=/k=1@)~`{ak#-4ak}

`=/k=1@)~`ak#-4/k=1@)~`ak˚

`=150-4\10

`=110

3 주어진 수열 9an0을 홀수 번째 항과 짝수 번째 항으로 나 누어 규칙을 찾아보면

!

n이 홀수일 때 a1=9=10-1

a3=99=100-1=10@-1 a5=999=1000-1=10#-1

⋮

/ a2k-1=10K-1

@

n이 짝수일 때 a2=11=10+1

a4=101=100+1=10@+1 a6=1001=1000+1=10#+1

⋮

/ a2k=10K+1

!

,

@

에 의해

/k=1@)~`ak=/k=1!)~`a2k-1+/k=1!)~`a2k

=/k=1!)~`{a2k-1+a2k}

=/k=1!)~`{10K-1+10K+1}

=2/k=1!)~`10K

=2\10{10!)-1}

10-1

= 209{10!)-1}

4 /k=1!!`{k-a}{2k-a}

=/k=1!!`{2k@-3ak+a@}

=2/k=1!!`k@-3a/k=1!!`k+a@ /k=1!!`1

=2\11\12\23

6 -3a\11\12 2 +11a@

=11a@-198a+1012

=11{a-9}@+121

따라서 a=9일 때 최솟값은 121이므로 a=9, m=121

/ a+m=130

5 수열 9ak0를 n+1

2n , n+2

2n , n+3

2n , y 이라 하면 일반항은 ak=n+k

2n 이때 n+k

2n =3n

2n 에서 k=2n이므로 주어진 식은 수열 9ak0의 첫째항부터 제 2n 항까지의 합이다.

/ n+12n +n+2 2n + n+3

2n +y+ 3n2n =/k=1@N~` n+k2n

=1

2n `/k=1@N~`{n+k}

=1

2n [n /k=1@N~`1+/k=1@N~`k]

=1

2n - n\2n+2n{2n+1}

2 =

=2n+1 2

6 _{/k=1!)``- ?}ⁿ

m=12M{2k-1}= =/k=1!)``-{2k-1}_m=1?ⁿ 2M=

=/k=1!)``-{2k-1}\2{2N-1}

2-1 =

=2{2N-1}/k=1!)``{2k-1}

=2{2N-1}[2 /k=1!)`` k-/k=1!)`` 1]

=2{2N-1}[2\10\112 -10]

=200{2N-1}

/ a=200

7 수열 9an0의 첫째항부터 제 n 항까지의 합을 Sn이라 하면 Sn=/k=1N``ak=n@+3n

!

n>2일 때 an =Sn-Sn-1

=n@+3n-9{n-1}@+3{n-1}0

=2n+2 yy ㉠

@

n=1일 때

a1=S1=1@+3\1=4 yy ㉡

이때 ㉡은 ㉠에 n=1을 대입한 값과 같으므로 일반항 an 은 an=2n+2

/ /k=1!)~~` 4ak ak'1=/k=1!)~~` 4 {2k+2}{2k+4}

=/k=1!)~~` 1 {k+1}{k+2}

=/k=1!)~~`[ 1k+1- 1 k+2 ]

=[2!-3!]+[3!-4!] +y+[ 111` `- 1 12]

=2!- 112

=5 12

8 수열 9an0을 1

1 , 1 1+2 ,

1 1+2+3 , y 이라 하면 일반항은

an= 1

1+2+3+y+n = 1 n{n+1}

2

= 2

n{n+1}

/ 1+ 11+2+ 1

1+2+3+y+ 1

1+2+3+y+n =/k=1N``ak

=/k=1N`` 2 k{k+1}

=2/k=1N``[ 1k- 1 k+1 ]

=2-[1-2!]+[2!-3!]+y+[ 1n`- 1 n+1 ]=

=2[1- 1n+1 ] = 2n

n+1 즉, 2n

n+1=60 31 이므로 62n=60n+60, 2n=60 / n=30

개 념 편

1

⁵⁸

2

^⑤

3

^20\3@!

4

³⁴³³

p.193

실전 연습문제

1 /k=1!)~~`ak=a1+a2+a3+y+a10에서 a1, a2, a3, y, a10의 각 항의 값은 0, 1, 3 중의 하나이므로 항의 값이 1인 항 의 개수를 a, 항의 값이 3인 항의 개수를 b라 하면 /k=1!)~~`ak=1\a+3\b=10

∴ a+3b=10 yy ㉠

/k=1!)~~`ak@=1@\a+3@\b=22

∴ a+9b=22 yy ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, b=2

∴ /k=1!)~~`ak#=1#\4+3#\2=58

2 다음 그림과 같이 원 x@+y@=n이 직선 y=x+1과 만나 는 두 점을 각각 A, B라 하고 원점에서 직선 y=x+1에 내린 수선의 발을 H라 하자.

원점과 직선 y=x+1, 즉 x-y+1=0 사이의 거리 OHZ는

OHZ= |0-0+1|

11@+{-1}@3=1 j2

또 원의 반지름의 길이는 jn k이므로 OAZ=jn k 현의 성질에 의해 AHZ=2!Ln

따라서 직각삼각형 AOH에서 OAZ@=OHZ@+AHZ@이므로 n=2!+[1

2 Ln]@ / Ln@=4n-2

/ /n=1@)~~`Ln@=/n=1@)~`{4n-2}=4 /n=1@)~` n-/n=1@)~`2

=4\20\21

2 -40=800

3 n번째 시행에서의 사각형의 넓이를 an이라 하면 a1=3\3

a2=5\3@

a3=7\3#

a4=9\3$

⋮ a20=41\3@)

각 시행에서 만들어지는 모든 직사각형의 넓이의 합을 S 라 하면

S=3\3+5\3@+7\3#+y+41\3@) S-3S를 하면

S=3\3+5\3@+7\3#+y+41\3@)

-R 3S= 3T\3@+5\3#+y+3T9\3@)+41\3@! T -2S=3\3+2\3@+2\3#+y+ 2\3@)-41\3@!

=9+2{3@+y+3@)}-41\3@!

=9+2\3@{3!(-1}

3-1 -41\3@!

=-40\3@!

/ S=20\3@!

9 다음 그림과 같이 네 점 {k, 0}, {k+1, 0}, {k, jkk}, {k+1, jk+1l}을 꼭짓점으로 하는 사각형은 윗변의 길 이가 jk, 아랫변의 길이가 jk+1l, 높이가 1인 사다리꼴 이다.

따라서 사각형의 넓이 Sk는 Sk=1

2\{jk+jk+1l}\1= jk+jk+1l2

/

/k=1((~~` 1Sk=/k=1((~~` 2

jk+jk+1l

=/k=1((~~` 2{jk-jk+1l}

{jk+jk+1l}{jk-jk+1l}

=-2/k=1((~~`{jk-jk+1l}

=-29{j1-j2}+{j2-j3}

+y+{j99k-j100l}0

=-2{1-10}=18

02

수학적 귀납법

문서에서 I 수학 (페이지 75-84)