ㄱ. ? 0

k=1ak+?¹⁰

k=1ak+10

={a1+a2+y+a10}+{a11+a12+y+a20} =_k=1?²⁰ak

ㄴ. _k=1?⁹ ak+1-_k=2?¹⁰ ak-1

={a2+a3+y+a10}-{a1+a2+y+a9} =a10-a1

ㄷ. _k=1?¹⁰ a2k-1+_k=1?¹⁰ a2k

={a1+a3+y+a19}+{a2+a4+y+a20} =a1+a2+a3+a4+y+a19+a20=_k=1?²⁰ak

p.75~80 핵심 유형

Training

1

③

2

①

3

②

4

4

5

130

6

40

7

100

8

③

9

①

10

③

11

⑤

12

10

13

②

14

429

15

115

16

②

17

7

18

③

19

④

20

②

21

④

22

④

23

①

24

①

25

⑤

26

74

27

②

28

18

29

①

30

①

31

②

32

⑤

33

⑤

34

①

35

48

36

340

37

73

38

{78, 12}

유 형 편

7 _k=1?¹⁰ ak

ak+bk=10{1-10}=-90이므로

?10 k=1

bk

ak+bk=_k=1?¹⁰ ak+bk-ak

ak+bk =_k=1?¹⁰[1- ak

ak+bk]

=_k=1?¹⁰1-_k=1?¹⁰ ak

ak+bk

=10-{-90}=100 8 an=3^n-1이므로

?n

k=1ak=_k=1?ⁿ 3^k-1=1+3¹+y+3^n-1

=1\{3ⁿ-1}

3-1 =3ⁿ-1 2 3ⁿ-1

2 =364에서 3ⁿ=729

∴ n=6

9 f{10, 2}=?¹

k=12^k+?²

k=12^k+?³

k=12^k+y+?¹⁰

k=12^k이므로

?n

k=12^k=an이라 하면

an=2+2²+2³+y+2ⁿ=2{2ⁿ-1}

2-1 =2ⁿ⁺¹-2

∴ f{10, 2}=a1+a2+a3+y+a10=_k=1?¹⁰ak

=_k=1?¹⁰{2^k+1-2}

=4{2¹⁰-1}

2-1 -20=4072 10 an=P[ 12 ]=3\[ 14 ]

n

-2\[ 12 ]

n

+1이므로 ak-1=-3\[1

4 ]

k

-2\[1 2 ]

k

+1=-1

=3\[1 4 ]

k

-2\[1 2 ]

k

∴ _k=1?ⁿ {ak-1}

=_k=1?ⁿ-3\[ 14 ]

k

-2\[ 12 ]

k=

=3\4!-1-[4!]ⁿ=

1-4! -2\2!-1-[2!]ⁿ= 1-2!

=1-[ 14 ]

n

-2+2\[ 12 ]

n

=-[ 14 ]

n

+2\[ 12 ]

n

-1

따라서 p=-1, q=2, r=-1이므로 p+q+r=0

11 ?¹⁰

k=1k²{k+1}-?¹⁰

k=1k{k-1}

=_k=1?¹⁰ 9{k³+k²}-{k²-k}0=_k=1?¹⁰ {k³+k}

=[ 10\112 ]²+10\11 2 =3080

12 _k=n?²ⁿ{2k-1}

=_k=1?²ⁿ{2k-1}-^n-1_k=1?{2k-1}

=2\2n{2n+1}

2 -2n-2\{n-1}n

2 +{n-1}

=3n²+2n-1 3n²+2n-1=319에서

3n²+2n-320=0, {3n+32}{n-10}=0 이때 n은 자연수이므로

n=10

13 an=2+{n-1}\3=3n-1이므로 a2k-1=3{2k-1}-1=6k-4

∴ ?²⁰

k=1a2k-1=?²⁰

k=1{6k-4}

=6\ 20\212 -80

=1180

14 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 a+b=1, ab=-1

∴ _k=1?¹¹{a-k}{b-k}

=?¹¹

k=19ab-{a+b}k+k²0

=_k=1?¹¹{k²-k-1}

=11\12\23

6 - 11\12 2 -11

=429

15 주어진 수열의 일반항을 an이라 하면

an=1+2+3+y+n

n =

n{n+1}

2

n =n+1 2 수열 9an0의 첫째항부터 제20항까지의 합은

?20

k=1ak=_k=1?²⁰ k+1 2

= 12 [ 20\21

2 +20]=115 16 주어진 수열의 일반항을 an이라 하면

an=n²{2n-1}=2n³-n²

수열 9an0의 첫째항부터 제n항까지의 합은

?n k=1ak=?ⁿ

k=1{2k³-k²}

=2- n{n+1}

2 =²-n{n+1}{2n+1}

6

=n{n+1}{3n²+n-1}

6

17 Sn=91²+3²+5²+y+{2n-1}²0

-92²+4²+6²+y+{2n}²0+{2n+1}²

=

?n

k=1{2k-1}²

-?n

k=1{2k}²+{2n+1}²

=

?n

k=19{2k-1}²-{2k}²0+{2n+1}²

=_k=1?ⁿ {-4k+1}+{2n+1}²

=-4\n{n+1}

2 +n+{2n+1}²

=2n²+3n+1

Sk=120에서 2k²+3k+1=120 2k²+3k-119=0, {2k+17}{k-7}=0 이때 k는 자연수이므로 k=7

18 _k=1?¹⁰- ?_l=1⁵ {k+2l}==_k=1?¹⁰[k?_l=1⁵ 1+2?_l=1⁵ l]

=?¹⁰

k=1[5k+2\ 5\62 ]

=_k=1?¹⁰{5k+30}

=5\10\11 2 +300

=575

19 _k=1?ⁿ [_m=1?^k km]=_k=1?ⁿ[k_m=1?^k m]

=?ⁿ

k=1-k\k{k+1}

2 =

=?ⁿ

k=1

k³+k² 2

=1

2 - n{n+1}

2 =²+1

2\n{n+1}{2n+1}

6

=1

24 n{n+1}{n+2}{3n+1}

따라서 a=24, b=2, c=1이므로 a+b+c=27

20 ?ⁿ

k=1- ?^k

l=1[ ?^l

m=112]=

=_k=1?ⁿ [ _l=1?^k 12l]

=?ⁿ

k=1-12\k{k+1}

2 =

=

?n

k=1{6k²+6k}

=6\n{n+1}{2n+1}

6 +6\n{n+1}

2

=2n³+6n²+4n 2n³+6n²+4n=420에서

n³+3n²+2n-210=0, {n-5}{n²+8n+42}=0 이때 n은 자연수이므로 n=5

21 수열 9an0의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라 하면 Sn=_k=1?ⁿ ak=n²+n+1

!

n>2일 때 an=Sn-Sn-1

=n²+n+1-9{n-1}²+{n-1}+10

=2n yy ㉠

@

n=1일 때

a1=S1=1²+1+1=3 yy ㉡ 이때 ㉡은 ㉠에 n=1을 대입한 값과 같지 않으므로 일반 항 an은 a1=3, an=2n {n>2}

∴ ?¹⁰

k=1ak-?⁹

k=2ak

={a1+a2+y+a10}-{a2+a3+y+a9} =a1+a10=3+2\10=23

22 수열 9an0의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라 하면 Sn=?ⁿ

k=1ak=n{n+2}=n²+2n

!

n>2일 때 an=Sn-Sn-1

=n²+2n-9{n-1}²+2{n-1}0

=2n+1 yy ㉠

@

n=1일 때

a1=S1=1²+2\1=3 yy ㉡ 이때 ㉡은 ㉠에 n=1을 대입한 값과 같으므로 일반항 an

은 an=2n+1

따라서 a2k=4k+1, ak+1=2k+3이므로

?5

k=1k²ak-_k=1?⁵ ka2k+_k=1?⁵ ak+1

=?⁵

k=1k²{2k+1}-?⁵

k=1k{4k+1}+?⁵

k=1{2k+3}

=

?5

k=19{2k³+k²}-{4k²+k}+{2k+3}0

=

?5

k=1{2k³-3k²+k+3}

=2[5\6 2 ]

2-3\5\6\11 6 +5\6

2 +15

=315

23 수열 9an0의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라 하면 Sn=

?n

k=1ak=3{3ⁿ-1}

!

n>2일 때 an=Sn-Sn-1

=3{3ⁿ-1}-3{3^n-1-1}

=3ⁿ⁺¹-3ⁿ

=2\3ⁿ yy ㉠

유 형 편

@

n=1일 때

a1=S1=3{3-1}=6 yy ㉡ 이때 ㉡은 ㉠에 n=1을 대입한 값과 같으므로 일반항 an

은 an=2\3ⁿ

따라서 a2k-1=2\3^2k-1=2

3\9^k이므로

?10

k=1a2k-1=_k=1?¹⁰[2 3\9^k]

=2

3\9{9¹⁰-1}

9-1 =3{9¹⁰-1}

4 =3²¹-3 4 따라서 p=21, q=4이므로 p+q=25

24 주어진 수열의 일반항을 an이라 하면 an= 1 {2n}²-1

∴ _k=1?¹⁰ ak=_k=1?¹⁰ 1 {2k}²-1

=_k=1?¹⁰ 1 {2k-1}{2k+1}

=1 2

?10

k=1[ 12k-1- 1 2k+1 ]

= 1

2 -[1- 13 ]+[ 13-1

5 ]+y+[ 119-1 21 ]=

=1

2 [1- 121 ]=10 21

25 an=1²+2²+3²+y+n² 2n+1

=

n{n+1}{2n+1}

6 2n+1

=n{n+1}

6

∴ _k=1?¹⁰⁰ 1

ak=_k=1¹⁰⁰? 6 k{k+1}

=6_k=1¹⁰⁰?[ 1k- 1 k+1 ]

=6-[1- 12 ]+[ 12-1

3 ]+y+[ 1100- 1 101 ]=

=6[1- 1101 ]=600 101

26 Sn=n92\3+{n-1}\20

2 =n{n+2}

∴ _k=1?⁸ 1

Sk=_k=1?⁸ 1 k{k+2}

=1 2

?8

k=1[ 1k- 1 k+2 ]

=1 2 -[1-1

3 ]+[ 12-1

4 ]+[ 13-1 5 ] +y+[ 17-1

9 ]+[1 8 -1

10 ]=

=1 2 [1+1

2-1 9-1

10 ]=29 45 따라서 p=45, q=29이므로 p+q=74

27 주어진 수열의 일반항을 an이라 하면 an= 1 jnk+jn+2l

∴ S=?⁴⁸

k=1ak

=_k=1?⁴⁸ 1 jkk+jk+2l

=?⁴⁸

k=1

jkk-jk+2l {jkk+jk+2l}{jkk-jk+2l}

=_k=1?⁴⁸ jkk-jk+2l -2

=-1

2 9{j1-j3}+{j2-j4}+{j3-j5}

+y+{j47k-j49k}+{j48k-j50k}0

=-1

2{1+j2-7-5j2}

=3+2j2

따라서 a=3, b=2이므로 a+b=5

28 수열 9an0의 일반항은 an=2+{n-1}\2=2n이므로

?99 k=1

ja^k+11l+ja^kk

=

?99 k=1

j2k+2l+j2kk1

=_k=1?⁹⁹ j2k+2l-j2kk

{j2k+2l+j2kk}{j2k+2l-j2kk}

=_k=1?⁹⁹ j2k+2l-j2kk 2

=1

2 9{j4-j2}+{j6-j4}+{j8-j6}

+y+{j200k-j198k}0

=1

2{10j2-j2}

=9 2 j2

따라서 p=2, q=9이므로 pq=18

29 _k=1?^m ak=_k=1?^m 1 j2k-1l+j2k+1l

=?^m

k=1

j2k-1l-j2k+1l

{j2k-1l+j2k+1l}{j2k-1l-j2k+1l}

=_k=1?^m j2k-1l-j2k+1l -2

=-1

2 9{j1-j3}+{j3-j5}+{j5-j7}

+y+{j2m-1l-j2m+1l}0

=1

2{j2m+1l-1}

즉, 1

2{j2m+1l-1}=3에서 j2m+1l=7, 2m+1=49

∴ m=24

30 Sn에서 n=10일 때 S10=1

2+3 2²+5

2³+y+ 19 2¹⁰ 등비수열의 공비가 1

2이므로 S10- 1

2S10을 하면 S10=1

2+3 2²+5

2³+y+ 19 2¹⁰ -] ¹_{2 S}¹⁰⁼ ₂¹²⁺₂³³⁺

Z

y+ 17 2¹⁰+19

2¹¹ Z 1

2S10=1 2+2

2²+2

2³+y+ 2 2¹⁰-19

2¹¹

=1

2+2!-1-[2!]⁹= 1-2! -19

2¹¹

=-23[ 12 ]

11

+ 32

∴ S10=3-23[ 12 ]

10

따라서 a=3, b=-23이므로 a-b=26

31 S-{-3S}를 하면

S=1-2\3+3\3²-y-20\3¹⁹

-R -3S= -3+2\3²-Yy-19\3¹⁹+20\3²⁰ Y 4S=1-3+3²-3³+y-3¹⁹-20\3²⁰

=1-{-3}²⁰

1-{-3} -20\3²⁰

=1

4-3²⁴ 4

∴ 16S=1-3²⁴

32 f{2}=2¹⁰+4\2⁹+7\2⁸+y+28\2+31이므로 f{2}-1

2 f{2}를 하면

f{2}=2¹⁰+4\2⁹+7\2⁸+y+31 -] ¹_{2 f{2}=} ^29+4\

Z

2⁸+y+28+31\1 2

Z

1

2 f{2}=2¹⁰+3\2⁹+3\2⁸+y+3- 312

=2¹⁰+3{1+2+2²+y+2⁹}-31 2

=2¹⁰+3\2¹⁰-1 2-1 -31

2

=2¹²-37 2

∴ f{2}=2¹³-37

33 주어진 수열을 다음과 같이 수가 같은 것끼리 묶으면 {1}, {2, 2}, {3, 3, 3}, {4, 4, 4, 4}, y

제1군 제2군 제3군 제4군

제n군의 항의 개수는 n이므로 제1군부터 제n군까지의 항 의 개수는

1+2+3+y+n=n{n+1}

2 13\14

2 =91, 14\15

2 =105이므로 제100항은 제14군의 9번째 항이다.

제n군의 항의 합은 n\n=n²

따라서 첫째항부터 제100항까지의 합은 {제1군부터 제13군까지의 항의 합}

+{제14군의 첫째항부터 제9항까지의 합}

=

?13 k=1k²+

?9 k=114

=13\14\27

6 +9\14

=945

34 주어진 수열을 다음과 같이 분모가 같은 것끼리 묶으면 [ 12 ], [ 23, 1

3 ], [ 34, 2 4, 1

4 ], [ 45, 3 5, 2

5, 1 5 ], y 제n군의 항의 개수는 n이므로 제1군부터 제n군까지의 항 의 개수는

1+2+3+y+n=n{n+1}

2 제n군의 k번째 항은 n-k+1

n+1 이다.

따라서 7

15은 제14군의 8번째 항이므로 13\14

2 +8=99

∴ 제99항

35 주어진 수열을 다음과 같이 두 수의 곱이 같은 순서쌍끼 리 묶으면

9{1, 2}, {2, 1}0, 9{1, 4}, {2, 2}, {4, 1}0 9{1, 8}, {2, 4}, {4, 2}, {8, 1}0, y

제n군의 항의 개수는 n+1이므로 제1군부터 제n군까지 의 항의 개수는

2+3+y+{n+1}=n{n+3}

2 8\11

2 =44, 9\12

2 =54이므로 제50항은 제9군의 6번 째 항이다.

제n군의 k번째 항은 {2^k-1, 2^n-k+1}이다.

따라서 제9군의 6번째항은 {32, 16}이므로 a=32, b=16

∴ a+b=48

제1군 제2군 제3군 제4군

제1군 제2군

제3군 1

유 형 편

36 위에서 k번째 줄에 나열된 마지막 수는 k²이고 가장 아랫 줄의 마지막 수가 100이므로 가장 아랫줄은 10번째 줄이 다.

n번째 줄의 첫 번째 수는 {n-1}번째 줄의 마지막 수보 다 1 크므로 n번째 줄의 색칠한 부분의 수를 an이라 하면 an=9{n-1}²+10+n²

2

=n²-n+1

∴ _k=1?¹⁰ ak=_k=1?¹⁰{k²-k+1}

=10\11\21

6 -10\11 2 +10

=340

37 주어진 표에서 다음과 같이 자연수 순서대로 대각선끼리 묶으면

{1}, {2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9, 10}, y

제n항의 일반항은 n이고 제n군의 항의 개수는 n이다.

제n군의 첫째항의 위치는 n번째 줄의 왼쪽에서 첫 번째 칸이고, 제n군의 k번째 항의 위치는 n-k+1번째 줄의 왼쪽에서 k번째 칸이다.

따라서 6번째 줄의 왼쪽에서 7번째 칸에 있는 수는 제12 군의 7번째 항이다.

∴ {1+2+y+11}+7=73

38 주어진 점을 다음과 같이 y좌표가 같은 것끼리 묶으면 A1{0, 0}, A2{1, 0}, A3{1, 1}, A4{2, 1}, A5{3, 1}, A6{3, 2}, A7{4, 2}, A8{5, 2}, A9{6, 2}, y

제n군의 점의 개수는 n+1이므로 제1군부터 제n군까지 의 점의 개수는

2+3+y+{n+1}=n{n+3}

2 12\15

2 =90, 13\16

2 =104이므로 제100항은 제13군 의 10번째 점이다.

제n군의 첫 번째 점의 x좌표는 제{n-2}군까지의 점의 개수에 1을 더한 것과 같고, y좌표는 n-1이다.

제11군까지의 점의 개수는 11\14

2 =77이므로 제13군의 첫 번째 점의 x좌표는 78이다.

따라서 점 A100의 좌표는 {78, 12}이다.

제1군 제2군 제3군 제4군

제1군 제2군

제3군

02

수학적 귀납법

1 ⑴ 8 ⑵ 9

2 ⑶ 30 ⑷ 22 2 ⑴ an+1=an+3 {n=1, 2, 3, y}

⑵ an+1=an+2 {n=1, 2, 3, y}

⑶ an+1=2an {n=1, 2, 3, y}

⑷ an+1=- 13 aⁿ {n=1, 2, 3, y}

3 ⑴ an+1=an+3n {n=1, 2, 3, y}

⑵ an+1=an\3ⁿ {n=1, 2, 3, y}

4 ㈎ 1 ㈏ k+1 5 ㈎ k+1 ㈏ k+2

기초 문제

Training

p.81

1 2an+1=an+an+2에서 수열 9an0은 등차수열이므로 공차 를 d라 하면

a3=2+2d=5 ∴ d=3 2

∴ an=2+{n-1}\3 2=3

2n+1 2

∴ a99=149

2 an+1+4=an, 즉 an+1-an=-4에서 수열 9an0은 첫째 항이 102, 공차가 -4인 등차수열이므로

an=102+{n-1}\{-4}=-4n+106 ak<0에서

-4k+106<0 ∴ k>106 4 =26.5

따라서 ak<0을 만족하는 자연수 k의 최솟값은 27이다.

p.82~88 핵심 유형

Training

1

②

2

27

3

1

4

19

5

③

6

④

7

22

8

②

9

④

10

④

11

8

12

④

13

①

14

③

15

②

16

③

17

③

18

17

19

1

20

④

21

②

22

33

23

②

24

①

25

59

26

^a

n+1

=2a

n

-10 {n=1, 2, 3, y}

27

34

28

③

29

③

30

⑤

31

②

32

㈎ {k+1}{k+2} ㈏ k+3

33

㈎ 9 ㈏ 9

^k

-1

34

④

35

④

1

3 수열 9an0, 9bn0은 공차가 각각 2, d인 등차수열이므로 수열 9an0의 첫째항을 a라 하면

bn=a1+a2+a3+y+an

n

=1

n\n92a+{n-1}\20 2

=a+{n-1}\1

따라서 수열 9bn0은 첫째항이 a이고 공차가 1인 등차수열 이므로 d=1

4 1

an=bn이라 하면 b1=1

a1=1, bn+1=bn+1 2

즉, 수열 9bn0은 첫째항이 1, 공차가 12 인 등차수열이므로 bn=1+{n-1}\1

2=n+1 2 an=1

bn이므로 an= 2 n+1 ak=1

10 에서 2 k+1 =1

10 ∴ k=19

5 an=1

3an+1, 즉 an+1=3an에서 수열 9an0은 공비가 3인 등비수열이므로 첫째항을 a1이라 하면

a2=3a1=1 ∴ a1=1 3

∴ an=1

3\3^n-1=3^n-2 ∴ a15=3¹³

6 수열 9an0은 첫째항이 14 , 공비가 2인 등비수열이므로 an=1

4\2^n-1=2^n-3

이때 제k항에서 처음으로 1000보다 커진다고 하면 2^k-3>1000

이때 2⁹=512, 2¹⁰=1024이므로 처음으로 1000보다 커지 는 항은 제13항이다.

7 an+12=anan+2에서 수열 9an0은 등비수열이므로 공비를 r라 하면

a2=3r=3

4 ∴ r=1 4

∴ an=3\[ 14 ]

n-1

∴ _k=1?¹⁰ ak=_k=1?¹⁰- 3\[ 14 ]

k-1==

3-1-[4!]¹⁰= 1-4!

=4-[ 12 ]

18

따라서 a=4, b=18이므로 a+b=22

8 an+1=an+2n-1의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대 입하여 변끼리 모두 더하면

a2=a1+2\1-1 a3=a2+2\2-1 a4=a3+2\3-1

⋮

+R aⁿ=an-1+2{n-1}-1 Y

an=a1+291+2+3y+{n-1}0-{n-1}

∴ an=a1+2^n-1?

k=1k-{n-1}

=1+2\{n-1}n

2 -{n-1}

=n²-2n+2

∴ a20-a10={400-40+2}-{100-20+2}=280

9 an+1=an+ 1

n{n+1}의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차 례로 대입하여 변끼리 모두 더하면

a2=a1+ 1 1\2 a3=a2+ 1

2\3 a4=a3+ 1

3\4 ⋮

+] ^an=an-1+_{n-1}n¹ Z an=a1+ 1

1\2+ 1 2\3+ 1

3\4+y+ 1 {n-1}n

∴ an=a1+[ 11-1

2 ]+[ 12-1

3 ]+[ 13-1 4 ]

+y+[ 1n-1-1 n ]

=3-1 n

|ak-3|< 1 100 에서 |- 1k |< 1

100, 1 k< 1

100

∴ k>100

따라서 자연수 k의 최솟값은 101이다.

10 an+1=an+2ⁿ의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하 여 변끼리 모두 더하면

a2=a1+2 a3=a2+2² a4=a3+2³

⋮

+R aⁿ=an-1+2^n-1 Y

an=a1+{2+2²+2³+y+2^n-1}

1

유 형 편

∴ an=a1+^n-1_k=1?2^k=2+2{2^n-1-1}

2-1 =2ⁿ

∴ ?¹⁰

k=1{a2k-1+a2k}=?²⁰

k=1ak=?²⁰

k=12^k

=2{2²⁰-1}

2-1 =2²¹-2

11 an+1=2n-1

2n+1an의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 모두 곱하면

a2= 1 3 a1

a3= 3 5 a2

a4= 5 7 a3

⋮

\] ^an=2n-3_2n-1 ^an-1 Z an=[ 13\ 3

5\ 5

7\y\ 2n-32n-1 ]\a1

∴ an= 3 2n-1

∴ a5+ 1 a12=1

3+23 3=8

12 an+1=n{n+2}

{n+1}²an, 즉 an+1= n{n+2}

{n+1}{n+1}an의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 곱하면 a2= 1\32\2 a1

a3=2\4 3\3 a2

a4=3\5 4\4 a3

⋮

\] ^{an={n-1}{n+1}}_n\n ^an-1 Z an=1\3

2\2\2\4

3\3\y\{n-1}{n+1}

n\n \a1

∴ an=n+1 n =1+1

n

∴ _k=1?¹⁰{ak-1}{ak+1-1}

=_k=1?¹⁰ 1

k{k+1}=_k=1?¹⁰[ 1k- 1 k+1 ] =[ 11-1

2 ]+[ 12-1

3 ]+[ 13-1

4 ]+y+[ 110- 1 11 ] =1- 1

11=10 11

13 an+1

an =[ 12 ]

n

, 즉 an+1=[ 12 ]

n

an의 n에 1, 2, 3, y, n-1 을 차례로 대입하여 모두 곱하면

a2= 1 2a1

a3=[ 12 ]

2

a2

a4=[ 12 ]

3

a3

⋮

\] ^{an=[ 1}_{2 ]}^n-1an-1 Z an=[ 12 ]

1+2+3+y+{n-1}

\a1

∴ an=[ 12 ]

{n-1}n 2

ak< 1

1024에서 [1 2 ]

{k-1}k 2 <[1

2 ]

10

이므로 {k-1}k

2 >10, k²-k-20>0

{k+4}{k-5}>0 ∴ k<-4 또는 k>5 따라서 자연수 k의 최솟값은 6이다.

14 an+1=2an-3에서 an+1-3=2{an-3}

이때 수열 9an-30은 첫째항이 a1-3=1이고, 공비가 2 인 등비수열이므로

an-3=2^n-1 ∴ an=2^n-1+3

∴ a10=515

15 2an+1-an=3에서 an+1=1 2an+3

2

∴ an+1-3=1 2{an-3}

이때 수열 9an-30은 첫째항이 a1-3=3이고, 공비가 1 2 인 등비수열이므로

an-3=3\[ 12 ]

n-1

∴ an=3\[ 12 ]

n-1

+3

∴ a8-a10=[ 32⁷+3]-[ 32⁹+3]= 12-32⁹ = 9 512 16 an+1=3an+4에서 an+1+2=3{an+2}

이때 수열 9an+20는 첫째항이 a1+2=3이고, 공비가 3 인 등비수열이므로

an+2=3\3^n-1=3ⁿ ∴ an=3ⁿ-2

∴ ?¹⁰

k=1log3{ak+2}=?¹⁰

k=1log3 3^k=?¹⁰

k=1k=10\11 2 =55 17 an+2-4an+1+3an=0에서

an+2-an+1=3{an+1-an}

이때 수열 9an+1-an0은 첫째항이 a2-a1=3이고, 공비 가 3인 등비수열이므로

an+1-an=3\3^n-1=3ⁿ

∴ an+1=an+3ⁿ

위의 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변 끼리 모두 더하면

a2=a1+3 a3=a2+3² a4=a3+3³ ⋮

+R aⁿ=an-1+3^n-1 Y

an=a1+{3+3²+3³+y+3^n-1}

∴ an=a1+^n-1_k=1?3^k=2+3{3^n-1-1}

3-1

=3ⁿ+1 2

∴ a20=3²⁰+1 2

18 2an+2=an+1+an에서 2an+2-an+1-an=0

∴ an+2-an+1=-1

2{an+1-an}

이때 수열 9an+1-an0은 첫째항이 a2-a1=2이고, 공비가 -1

2 인 등비수열이므로 an+1-an=2\[- 12 ]

n-1

∴ an+1=an+2\[- 12 ]

n-1

위의 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변 끼리 모두 더하면

a2=a1+2\1 a3=a2+2\[- 12 ] a4=a3+2\[- 12 ]

2

⋮

+] ^{an=an-1+2\[- 1}_{2 ]}^n-2 Z an=a1+2- 1+[- 12 ]+[- 12 ]

2+y+[- 12 ]

n-2

=

∴ an=a1+2^n-1_k=1?[- 12 ]

k-1

=1+2\

1-[-2!]^n-1 1-[-2!]

=7 3-4

3\[- 12 ]

n-1

∴ 3a20=7-4\[- 12 ]

19

=7+[ 12 ]

17

∴ log_2!{3a20-7}= log_2![ 12 ]

17

=17 19 ㈎에서 an+2-3an+1+2an=0

∴ an+2-an+1=2{an+1-an}

이때 수열 9an+1-an0은 첫째항이 a2-a1=a1{∵ ㈏}이 고, 공비가 2인 등비수열이므로

an+1-an=a1\2^n-1

∴ an+1=an+a1\2^n-1

위의 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변 끼리 모두 더하면

a2=a1+a1\1 a3=a2+a1\2 a4=a3+a1\2² ⋮

+R aⁿ=an-1+a1\2^n-2 Y

an=a1+a1{1+2+2²+y+2^n-2}

∴ an=a1+a1 ^n-1?

k=12^k-1=a1+a1\ 2^n-1-1

2-1 =a1\2^n-1 이때 ㈐에서 a10=512이므로

a1\2⁹=512 ∴ a1=1

20 an+1= 2an

2+an의 양변에 역수를 취하면 1

an+1=2+an

2an ∴ 1 an+1=1

an+1 2 1

an=bn이라 하면 bn+1=bn+1 2 이때 수열 9bn0은 첫째항이 b1=1

a1=1

2이고, 공차가 1 2 인 등차수열이므로

bn=1

2 +{n-1}\1 2 =n

2 bn=1

an이므로 1 an=n

2 ∴ aⁿ=2 n

∴ a5+a10=2 5+2

10=3 5

21 an+1= an

1+nan의 양변에 역수를 취하면 1

an+1=1+nan

an ∴ 1 an+1=1

an+n 1

an=bn이라 하면 bn+1=bn+n

위의 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변 끼리 모두 더하면

b2=b1+1 b3=b2+2 b4=b3+3 ⋮

+R bⁿ=bn-1+n-1 Y

bn=b1+9{1+2+3+y+{n-1}0

∴ bn=b1+^n-1_k=1?k=b1+{n-1}n 2 이때 b1=1

a1=2이므로 bn=n²-n+4

2 1 나

나 ◀ 나

문서에서 I 수학 (페이지 140-148)