p.125~127
유제 & 문제
1
유제 01 ⑴ b=3j6, R=3j3 ⑵ B=30!, C=30!
⑴ A+B+C=180!이므로 A=180!-{45!+105!}=30!
사인법칙에 의해 a
sin A= b
sin B이므로 3j3
sin 30!= b sin 45!
b sin 30!=3j3 sin 45! / b=3j6 또 사인법칙에 의해 a
sin A=2R이므로 3j3
sin 30!=2R, 2R sin 30!=3j3 / R=3j3
⑵ 사인법칙에 의해 a
sin A= b
sin B이므로 sin 120!j3 = 1
sin B, j3 sin B=sin 120!
/ sin B= j32 \1 j3=1
2
이때 0!<B<180!이므로 B=30! 또는 B=150!
그런데 B=150!이면 A+B>180!이므로 B=30!
/ C=180!-{120!+30!}=30!
문제 01-1 2j10k
sABD는 B=90!인 직각삼각형이고 BD3=4이므로 AD3 @=AB3 @+BD3 @=8@+4@=80
/ AD3=4j5 {? AD3>0}
또 AB3=BC3이면 sABC는 B=90!인 직각이등변삼각 형이므로 A=C=45!
sADC에서 사인법칙에 의해 4j5
sin 45!=2R, 2R sin 45!=4j5 / R=2j5\ 2j2=2j10k
유제 02 ⑴ 4 : 10 : 5 ⑵ A=90!인 직각삼각형
⑴ sin A : sin B : sin C=2 : 4 : 5이고, 사인법칙에 의해 a : b : c=sin A : sin B : sin C이므로
a : b : c=2 : 4 : 5
a=2k, b=4k, c=5k {k>0}라 하면 ab=8k@, bc=20k@, ca=10k@
/ ab : bc : ca=8k@ : 20k@ : 10k@
=4 : 10 : 5
1
개 념 편
⑵ sABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인 법칙에 의해
sin A= a
2R, sin B= b
2R, sin C= c 2R 이를 sin@ A=sin@ B+sin@ C에 대입하면 [ a2R ]
@=[ b2R ]
@+[ c2R ]
@, a@
4R@= b@
4R@+ c@
4R@
/ a@=b@+c@
따라서 sABC는 A=90!인 직각삼각형이다.
문제 02-1 3
A+B+C=180!이고 A : B : C=1 : 1 : 4이므로 A=180!\1
6=30!, B=180!\1 6=30!
C=180!\ 46=120!
/ sin A : sin B : sin C=sin 30! : sin 30! : sin 120!
=1 2 : 1
2 : j3
2 =1 : 1 : j3 사인법칙에 의해 a : b : c=sin A : sin B : sin C이므로 a : b : c=1 : 1 : j3
따라서 a=k, b=k, c=j3k {k>0}라 하면 c@
ab={j3k}@
k\k =3
문제 02-2 a=c인 이등변삼각형
sABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙 에 의해
sin A= a
2R , sin B= b
2R , sin C= c 2R
이를 {a-c} sin B=a sin A-c sin C에 대입하면 {a-c}\ b
2R=a\ a
2R-c\ c 2R
{a-c}b=a@-c@, {a-c}b-{a+c}{a-c}=0 {a-c}9b-{a+c}0=0
이때 두 변의 길이의 합은 나머지 한 변의 길이보다 크므로 b-{a+c}=0 / a=c
따라서 sABC는 a=c인 이등변삼각형이다.
문제 03-1 49p m@
연못의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙에 의해 7
sin 150!=2R, 2R sin 150!=7 / R= 72\2=7{m}
따라서 이 연못의 넓이는 p\7@=49p{m@}
문제 03-2 35.6 m CACB=43!-14!
=29!
sCAB에서 사인법칙 에 의해
BC3
sin 14!= 100
sin 29!, BC3 sin 29!=100 sin 14!
/ BC3=100\0.24\ 10.48=50{m}
sCBD에서 CD3=50 sin 43!
/ CD3=50\0.68=34{m}
이때 서연이의 눈의 높이가 지면으로부터 1.6 m이므로 기 구의 높이는 34+1.6=35.6{m}
p.129~132
유제 & 문제
2
유제 04 ⑴ 2 ⑵ 90!
⑴ 코사인법칙에 의해 c@=a@+b@-2ab cos C이므로 c@={j2}@+{1+j3}@-2\j2\{1+j3}\cos 45!
=2+1+2j3+3-2{1+j3}
=4
/ c=2 {? c>0}
⑵ 사인법칙에 의해 c
sin C= 2j3
sin 60! yy ㉠
코사인법칙에 의해 b@=c@+a@-2ca cos B이므로 {2j3}@=c@+2@-2\c\2\cos 60!
12=c@+4-2c
c@-2c-8=0, {c+2}{c-4}=0 / c=4 {? c>0}
이를 ㉠에 대입하면 4
sin C= 2j3 sin 60!
2j3 sin C=4 sin 60!
/ sin C=4\ j32 \ 1 2j3=1 이때 0!<C<180!이므로 C=90!
문제 04-1 j2, 2j2
sABC에서 사인법칙에 의해 j6
sin 45!= j3
sin C, j6 sin C=j3 sin 45!
/ sin C=j3\ j22 \ 1 j6=1
2
이때 0!<C<180!이므로 C=30! 또는 C=150!
그런데 C=150!이면 B+C>180!이므로 C=30!
sACD에서 코사인법칙에 의해
{j2}@={j6}@+CD3 @-2\j6\CD3\cos 30!
2=6+CD3 @-3j2`CD3 CD3 @-3j2`CD3+4=0 {CD3-j2}{CD3-2j2}=0 / CD3=j2 또는 CD3=2j2
유제 05 A=45!, B=60!, C=75!
코사인법칙에 의해 cos B=c@+a@-b@
2ca 이므로 cos B={j2+j6}@+{2j2}@-{2j3}@
2\{j2+j6}\2j2 =1 2 이때 0!<B<180!이므로 B=60!
사인법칙에 의해 2j3
sin 60!= 2j2 sin A 2j3 sin A=2j2 sin 60!
/ sin A=2j2\ j32\ 1 2j3= j2
2
이때 0!<A<180!이므로 A=45! 또는 A=135!
그런데 A=135!이면 A+B>180!이므로 A=45!
/ C=180!-{45!+60!}=75!
문제 05-1 - 14
a=2k, b=3k, c=4k {k>0}라 하면 코사인법칙에 의해 cos C=a@+b@-c@
2ab 이므로 cos C={2k}@+{3k}@-{4k}@
2\2k\3k =-1 4
문제 05-2 120!
sin A 7 =sin B
5 =sin C 3 에서 sin A : sin B : sin C=7 : 5 : 3 사인법칙에 의해
a : b : c=sin A : sin B : sin C=7 : 5 : 3
따라서 삼각형의 가장 긴 변의 대각인 A의 크기가 가장 크다.
a=7k, b=5k, c=3k {k>0}라 하면 코사인법칙에 의해 cos A=b@+c@-a@
2bc 이므로 cos A={5k}@+{3k}@-{7k}@
2\5k\3k =-1 2 이때 0!<A<180!이므로 A=120!
유제 06 A=90!인 직각삼각형 코사인법칙에 의해
cos A=b@+c@-a@
2bc , cos B=c@+a@-b@
2ca 이를 a cos B-b cos A=c에 대입하면 a\c@+a@-b@
2ca -b\b@+c@-a@
2bc =c {c@+a@-b@}-{b@+c@-a@}=2c@
2a@-2b@=2c@
/ a@=b@+c@
따라서 삼각형 ABC는 A=90!인 직각삼각형이다.
문제 06-1 a=c인 이등변삼각형 tan A cos C=sin C에서
sin A
cos A\cos C=sin C
/ sin A cos C=sin C cos A yy ㉠ sABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법 칙과 코사인법칙에 의해
sin A= a
2R , sin C= c 2R , cos A=b@+c@-a@
2bc , cos C=a@+b@-c@
2ab 이를 ㉠에 대입하면
a
2R\a@+b@-c@
2ab = c
2R\b@+c@-a@
2bc a@+b@-c@=b@+c@-a@
a@=c@
/ a=c {? a>0, c>0}
따라서 삼각형 ABC는 a=c인 이등변삼각형이다.
다른 풀이
tan A cos C=sin C yy ㉠
!
C=90!이면 cos C=0이므로 ㉠의 양변을 cos C로 나누면tan A=sin C cos C / tan A=tan C
이때 0!<A<180!, 0!<C<180!이므로 A=C
@
C=90!이면 ㉠에서 tan A\0=1 SG 모순!
,@
에서 삼각형 ABC는 a=c인 이등변삼각형이다.문제 06-2 a=b인 이등변삼각형 또는 C=90!인 직각삼 각형
tan A : tan B=a@ : b@에서 a@ tan B=b@ tan A a@\sin B
cos B=b@\sin A cos A
개 념 편
/ a@ sin B cos A=b@ sin A cos B yy ㉠ sABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법 칙과 코사인법칙에 의해
sin A= a
2R, sin B= b 2R, cos A=b@+c@-a@
2bc , cos B=c@+a@-b@
2ca 이를 ㉠에 대입하면
a@\ b
2R\b@+c@-a@
2bc =b@\ a
2R\c@+a@-b@
2ca a@{b@+c@-a@}=b@{c@+a@-b@}
a@b@+a@c@-a$=b@c@+a@b@-b$
a$-b$-a@c@+b@c@=0
{a@+b@}{a@-b@}-c@{a@-b@}=0 {a@-b@}{a@+b@-c@}=0 / a@=b@ 또는 a@+b@=c@
따라서 삼각형 ABC는 a=b인 이등변삼각형 또는 C=90!인 직각삼각형이다.
유제 07 20j91k m
sABC에서 코사인법칙에 의해
AB3 @=120@+100@-2\120\100\cos 120!
=14400+10000+12000=36400 / AB3=20j91k {? AB3>0}
따라서 두 나무 A, B 사이의 거리는 20j91k m이다.
문제 07-1 4j7 km
sABC에서 코사인법칙에 의해 cos B={6j7}@+6@-12@
2\6j7\6 =2j7 7 sABD에서 코사인법칙에 의해
AD3 @={6j7}@+14@-2\6j7\14\cos B
=252+196-336=112 / AD3=4j7 {? AD3>0}
따라서 두 집 A, D 사이의 거리는 4j7 km이다.
p.134~136
유제 & 문제
3
유제 08 102
sABC에서 A+B+C=180!이므로 B=180!-{43!+30!}=107!
사인법칙에 의해 sin 43! =a 24
sin 107! , a sin 107!=24 sin 43!
/ a= 24 sin 43!sin 73! =24\0.68 0.96 =17 따라서 sABC의 넓이를 S라 하면 S=1
2\17\24\sin 30!=102
문제 08-1 125
sABC=sABD+sADC이므로 AD3=x라 하면 1
2\6\4\sin 120!
=1
2\6\x\sin 60!+ 12\4\x\sin 60!
6j3 k= 3j3 k2 x+j3 kx, 6j3 k= 5j3 k2 x / AD3=x=125
문제 08-2 2{j3-1}
코사인법칙에 의해
a@=8@+4@-2\8\4\cos 60!=48 / a=4j3 {? a>0}
오른쪽 그림과 같이 sABC의 내접원의 중심을 I, 반지름의 길이를 r라 하면
sABC
=sIAB+sIBC+sICA이므로 12\4\8\sin 60!=12\4\r+1
2\4j3\r+12\8\r 8j3=2{3+j3}r / r=2{j3-1}
유제 09 84 코사인법칙에 의해
cos C= 13@+14@-15@2\13\14 =5 13 sin@ C=1-cos@ C이므로
sin C=11-cos@ C3 {? 0!<C<180!}
=r1-[ 513 ]@y=1213
따라서 sABC의 넓이를 S라 하면 S= 12\13\14\sin C=84 1. ⑴ 33j3 ⑵ 3j2
⑴ 2!\12\11\sin 60!=33j3
⑵ 2!\3\4\sin 135!=3j2
p.133
3
등변사다리꼴에서 AC3=BD3이므로 9j2= 12\AC3 @\ j2
2
AC3 @=36 / AC3=6 {? AC3>0}
문제 10-1 18j2 sin@ h=1-cos@ h이므로
sin h=11-cos@ h3 {? 0!<h<180!}
=r1-[ 13 ]@y= 2j23
따라서 fABCD의 넓이를 S라 하면 S=1
2\6\9\sin h=18j2 문제 10-2 30j7
평행사변형의 성질에 의해 CD3=AB3=8
sBCD에서 코사인법칙에 의해 cos C=10@+8@-12@
2\10\8 =1 8 sin@ C=1-cos@ C이므로
sin C=11-cos@ C3 {? 0!<C<180!}
=r1-[ 18 ]@y= 3j7 k8
따라서 평행사변형 ABCD의 넓이를 S라 하면 S=10\8\sin C=30j7
1
2
23-j3
325 3 j2 m
4120!
5
30!
610 j21k m
727 8 j2 cm
8①
914 j3
기본 연습문제
p.138~1391 sABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙 에 의해
sin A+sin B+sin C= a 2R+ b
2R+ c 2R
=a+b+c 2R
이때 외접원의 반지름의 길이가 3이고 sABC의 둘레의 길이가 12이므로
sin A+sin B+sin C= 12 2\3=2 문제 09-1 40
주어진 삼각형을 sABC라 할 때, 세 변의 길이의 비가 5 : 7 : 8이므로 a=5k, b=7k, c=8k {k>0}라 하면 코 사인법칙에 의해
cos C={5k}@+{7k}@-{8k}@
2\5k\7k =1 7 sin@ C=1-cos@ C이므로
sin C=11-cos@ C3 {? 0!<C<180!}
=r1-[ 17 ]@y= 4j3 k7
주어진 삼각형의 넓이가 40j3 k이므로 1
2\5k\7k\4j3 k 7 =40j3 k 10j3 kk@=40j3 k
k@=4 / k=2 {? k>0}
따라서 a=10, b=14, c=16이므로 이 삼각형의 둘레의 길이는 10+14+16=40
문제 09-2 7+6j3 코사인법칙에 의해 cos C=8@+3@-7@
2\8\3 =1 2 sin@ C=1-cos@ C이므로
sin C=11-cos@ C3 {? 0!<C<180!}
=r1-[12 ]@y=j32
fABCD=sABD+sBCD이므로 구하는 사각형의 넓이를 S라 하면
S=1
2\4\7\sin 30!+ 12\8\3\sin C
=7+6j3
유제 10 ⑴ 60! 또는 120! ⑵ 6
⑴ 평행사변형의 성질에 의해 AD3=BC3=2j3이므로 평 행사변형의 넓이를 S라 하면
S=AD3\AB3\sin A
SG 6=2j3\2\sin A / sin A= j3 2 이때 0!<A<180!이므로
A=60! 또는 A=120!
⑵ 등변사다리꼴의 넓이를 S라 하면 S=1
2\AC3\BD3\sin 3 4 p SG 9j2=1
2\AC3\BD3\ j2 2
개 념 편
2 A+B+C=180!이고 A : B : C=1 : 2 : 3이므로 A=180!\ 16=30!, B=180!\ 26=60!
C=180!\ 3 6=90!
sABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙 에 의해
a=2R sin A=2R sin 30!=R b=2R sin B=2R sin 60!=j3R c=2R sin C=2R sin 90!=2R 이를 a+b+c=6에 대입하면 R+j3R+2R=6, {3+j3}R=6 / R= 6
3+j3=3-j3
3 sABQ에서 A+B+Q=180!이므로 Q=180!-{75!+45!}=60!
sABQ에서 사인법칙에 의해 25
sin 60!= AQ3
sin 45!, 25 sin 45!=AQ3 sin 60!
/ AQ3=25\ j2 2 \ 2
j3=25j6 3 {m}
sPQA에서 CPQA=90!이므로 PQ3=AQ3 tan 30!=25j6
3 \ j3 3 =25j2
3 {m}
4 코사인법칙에 의해 cos A=b@+c@-a@
2bc yy ㉠
a@=b@+bc+c@에서 b@+c@-a@=-bc 이를 ㉠의 우변에 대입하면
cos A=- bc 2bc=-1
2
이때 0!<A<180!이므로 A=120!
5 a : b : c=2 : {1+j3} : j2이므로
a=2k, b={1+j3}k, c=j2k {k>0}라 하면 삼각형의 가장 짧은 변의 대각인 C의 크기가 가장 작다.
코사인법칙에 의해
cos C={2k}@+9{1+j3}k0@-{j2k}@
2\2k\{1+j3}k = j3 2 이때 0!<C<180!이므로 C=30!
6 sABC에서 CBAC=90!이므로 BC3= AB3cos 30!=60\2
j3=40j3{m}
sDAB에서 CADB=180!-{30!+60!}=90!이므로 BD3=AB3 sin 30!=60\ 12=30{m}
CD3를 그으면 sBCD에서 코사 인법칙에 의해
CD3 @
={40j3}@+30@
-2\40j3\30\cos 30!
=4800+900-3600=2100 / CD3=10j21k {? CD3>0}
따라서 두 지점 C, D 사이의 거리는 10j21k m이다.
7 오른쪽 그림과 같이 삼각형의 세 꼭짓점을 A, B, C라 하면 코사 인법칙에 의해
cos C=5@+6@-9@
2\5\6 =-1 3 이때 sin@ C=1-cos@ C이므로 sin C=11-cos@ C3 {? 0!<C<180!}
=r1-[- 13 ]@y= 2j23
그릇의 반지름의 길이를 R cm라 하면 사인법칙에 의해 c
sin C=2R이므로 R=9
2\ 3
2j2=27j2 8
따라서 그릇의 반지름의 길이는 27j2
8 `cm이다.
8 점 P는 AB3 를 2 : 1로 내분하는 점이므로
AP3`:`BP3=2 : 1 / AP3= 23 AB3 yy ㉠ 점 Q는 AC3 를 2 : 3으로 내분하는 점이므로
AQ3`:`CQ3=2 : 3 / AQ3= 25 AC3 yy ㉡ sABC의 넓이를 S라 하면
S=1
2\AB3\AC3\sin A yy ㉢ sAPQ의 넓이를 S'이라 하면
S'=1
2\AP3\AQ3\sin A
=1 2\2
3 AB3\ 25 AC3\sin A {? ㉠, ㉡}
= 4
15\[ 12\AB3\AC3\sin A]
= 4
15S {? ㉢}
/ S : S'=S : 415S=15 : 4
1
4 j3
23 j3
34 5
42 j6
p.140
실전 연습문제
1 sABC에서 A+B+C=180!이므로 B+C=180!-A
/ cos{B+C}=cos{180!-A}=-cos A yy ㉠
㉠을 4 cos{B+C} cos A=-1에 대입하면 -4 cos@ A=-1, cos@ A=1
4 sin@ A=1-cos@ A이므로
sin A=11-cos@ A3 {? 0!<A<180!}
=q1- 14e= j32
sABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙 에 의해 a=2R sin A이므로
BC3=2\4\ j32=4j3
2 주어진 원뿔의 전개도를 그리 면 오른쪽 그림과 같다.
AA' i의 길이는 원뿔의 밑면인 원의 둘레의 길이와 같으므로 AA' i=2p\2=4p
이때 두 점 A, B는 밑면인 원의 지름의 양 끝점이므로 ABi= 12 AA' i= 12\4p=2p
부채꼴 OAB의 중심각의 크기를 h라 하면 ABi=6h이므로
2p=6h / h= p3
따라서 sOAP에서 코사인법칙에 의해 AP3 @=6@+3@-2\6\3\cos p3
=36+9-18=27 / AP3=3j3 {? AP3>0}
3 원주각의 성질에 의해 CAPB=90!
sABP에서 피타고라스 정리에 의해 BP3 @=AB3 @-AP3 @={j10k}@-3@=1 / BP3=1 {? BP3>0}
오른쪽 그림과 같이 OP3를 그으 면 sAOP는 이등변삼각형이고, CPAB=h이므로 CAPO=h / CPOB=2h
따라서 OB3=OP3= j10k2 , BP3=1이므로
sOBP에서 코사인법칙에 의해 cos 2h=[ j10k
2 ]
@+[ j10k 2 ]
@-1@
2\ j10k 2 \ j10k
2
=4 5
4 오른쪽 그림과 같이 선분 BD를 그 으면 sABD에서 코사인법칙에 의해
BD3 @=1@+4@-2\1\4\cos A
=17-8 cos A yy ㉠ sBCD에서 코사인법칙에 의해 BD3 @=2@+3@-2\2\3\cos C
=13-12 cos{180!-A}
=13+12 cos A yy ㉡
㉠=㉡이므로
17-8 cos A=13+12 cos A / cos A= 15
sin@ A=1-cos@ A이므로
sin A=11-cos@ A3 {? 0!<A<180!}
=r1-[ 15 ]@y= 2j65
fABCD=sABD+sBCD이므로 fABCD의 넓이를 S라 하면 S=1
2\1\4\sin A+1
2\2\3\sin{180!-A}
=2 sin A+3 sin A=5 sin A =5\ 2j65 =2j6
9 sABD에서 코사인법칙에 의해 BD3 @=4@+8@-2\4\8\cos 60!
=16+64-32=48 / BD3=4j3 {? BD3>0}
fABCD=sABD+sBCD이므로 fABCD의 넓이를 S라 하면
S=12\4\8\sin 60!+12\4j3\6\sin 30!
=8j3+6j3=14j3
개 념 편
1. ⑴ 2 ⑵ -4
2. ⑴ 1 ⑵ 6!
3. ⑴ an=-2n+9 ⑵ an=4n-5
⑴ an=7+{n-1}\{-2}=-2n+9
⑵ 첫째항이 -1, 공차가 4인 등차수열의 일반항 an은 an=-1+{n-1}\4=4n-5
4. ⑴ x=1, y=-5 ⑵ x= 73, y= 173
⑴ x는 4와 -2의 등차중항이므로 x=4-2 2 =1 y는 -2와 -8의 등차중항이므로 y=-2-8
2 =-5
⑵ x는 2
3 와 4의 등차중항이므로 x=
2 3+4
2 =3&
y는 4와 22
3 의 등차중항이므로 y=
4+22 3 2 =17
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