ㄱ. ? 6

∴ an+1=an+3ⁿ

위의 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변 끼리 모두 더하면

a2=a1+3 a3=a2+3² a4=a3+3³ ⋮

+R aⁿ=an-1+3^n-1 Y

an=a1+{3+3²+3³+y+3^n-1}

∴ an=a1+^n-1_k=1?3^k=2+3{3^n-1-1}

3-1

=3ⁿ+1 2

∴ a20=3²⁰+1 2

18 2an+2=an+1+an에서 2an+2-an+1-an=0

∴ an+2-an+1=-1

2{an+1-an}

이때 수열 9an+1-an0은 첫째항이 a2-a1=2이고, 공비가 -1

2 인 등비수열이므로 an+1-an=2\[- 12 ]

n-1

∴ an+1=an+2\[- 12 ]

n-1

위의 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변 끼리 모두 더하면

a2=a1+2\1 a3=a2+2\[- 12 ] a4=a3+2\[- 12 ]

2

⋮

+] ^{an=an-1+2\[- 1}_{2 ]}^n-2 Z an=a1+2- 1+[- 12 ]+[- 12 ]

2+y+[- 12 ]

n-2

=

∴ an=a1+2^n-1_k=1?[- 12 ]

k-1

=1+2\

1-[-2!]^n-1 1-[-2!]

=7 3-4

3\[- 12 ]

n-1

∴ 3a20=7-4\[- 12 ]

19

=7+[ 12 ]

17

∴ log_2!{3a20-7}= log_2![ 12 ]

17

=17 19 ㈎에서 an+2-3an+1+2an=0

∴ an+2-an+1=2{an+1-an}

이때 수열 9an+1-an0은 첫째항이 a2-a1=a1{∵ ㈏}이 고, 공비가 2인 등비수열이므로

an+1-an=a1\2^n-1

∴ an+1=an+a1\2^n-1

위의 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변 끼리 모두 더하면

a2=a1+a1\1 a3=a2+a1\2 a4=a3+a1\2² ⋮

+R aⁿ=an-1+a1\2^n-2 Y

an=a1+a1{1+2+2²+y+2^n-2}

∴ an=a1+a1 ^n-1?

k=12^k-1=a1+a1\ 2^n-1-1

2-1 =a1\2^n-1 이때 ㈐에서 a10=512이므로

a1\2⁹=512 ∴ a1=1

20 an+1= 2an

2+an의 양변에 역수를 취하면 1

an+1=2+an

2an ∴ 1 an+1=1

an+1 2 1

an=bn이라 하면 bn+1=bn+1 2 이때 수열 9bn0은 첫째항이 b1=1

a1=1

2이고, 공차가 1 2 인 등차수열이므로

bn=1

2 +{n-1}\1 2 =n

2 bn=1

an이므로 1 an=n

2 ∴ aⁿ=2 n

∴ a5+a10=2 5+2

10=3 5

21 an+1= an

1+nan의 양변에 역수를 취하면 1

an+1=1+nan

an ∴ 1 an+1=1

an+n 1

an=bn이라 하면 bn+1=bn+n

위의 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변 끼리 모두 더하면

b2=b1+1 b3=b2+2 b4=b3+3 ⋮

+R bⁿ=bn-1+n-1 Y

bn=b1+9{1+2+3+y+{n-1}0

∴ bn=b1+^n-1_k=1?k=b1+{n-1}n 2 이때 b1=1

a1=2이므로 bn=n²-n+4

2 1 나

나 ◀ 나

유 형 편

bn=1

an이므로 1

an=n²-n+4 2

∴ an= 2 n²-n+4

수열 9an0의 제k항이 147이라 하면 2

k²-k+4= 147, k²-k-90=0 {k+9}{k-10}=0

∴ k=10 (∵ k는 자연수) 따라서 1

47은 제10항이다.

22 3an an+1=an-an+1의 양변을 an an+1로 나누면 3= 1

an+1-1

an ∴ 1 an+1=1

an+3 1

an=bn이라 하면 bn+1=bn+3 이때 수열 9bn0은 첫째항이 b1=1

a1=1이고, 공차가 3인 등차수열이므로

bn=1+{n-1}\3=3n-2 bn=1

an이므로 1

an=3n-2

∴ an= 1 3n-2 ak> 1

100 에서 1 3k-2 > 1

100 , 3k-2<100

∴ k<34

따라서 자연수 k의 최댓값은 33이다.

23 Sn=-1 4an+5

4 에서 n에 n+1을 대입하면 Sn+1=-1

4 aⁿ⁺¹+5 4 Sn+1-Sn을 하면 Sn+1-Sn=-1

4an+1+1 4an

이때 Sn+1-Sn=an+1이므로 an+1=-1

4an+1+1

4an ∴ an+1=1 5an

따라서 수열 9an0은 첫째항이 1, 공비가 1

5인 등비수열이 므로

an=[ 15 ]

n-1

∴ a15= 1 5¹⁴ 24 Sn=n² an에서 n에 n+1을 대입하면

Sn+1={n+1}² an+1

Sn+1-Sn을 하면 Sn+1-Sn={n+1}² an+1-n² an

이때 Sn+1-Sn=an+1이므로

an+1={n+1}² an+1-n² an, 9{n+1}²-10an+1=n² an

∴ an+1= n n+2an

위의 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변 끼리 모두 곱하면

a2=1 3a1

a3=2 4a2

a4=3 5a3

⋮

\] ^an=n-1_{n+1 a}^n-1 Z an=[13\2

4\3

5\y\ n-2n \n-1 n+1 ]a1

∴ an= 1\2

n{n+1} a1= 2 n{n+1}

∴ 1a2+ 1

a20=3+210=213

25 2Sn+2-3Sn+1+Sn=an에서 2{Sn+2-Sn+1}=Sn+1-Sn+an

이때 Sn+2-Sn+1=an+2, Sn+1-Sn=an+1이므로 2an+2=an+1+an, 2an+2-an+1-an=0

∴ an+2-an+1=-1

2{an+1-an}

이때 수열 9an+1-an0은 첫째항이 a2-a1=1이고, 공비 가 -1

2 인 등비수열이므로 an+1-an=[- 12 ]

n-1

∴ an+1=an+[- 12 ]

n-1

위의 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변 끼리 모두 더하면

a2=a1+1 a3=a2+[- 12 ] a4=a3+[- 12 ]

2

⋮

+] ^{an=an-1+[- 1}_{2 ]}^n-2 Z an=a1+-1+[-12 ]+[-12 ]

2

+y+[-12 ]

n-2

=

∴ an=a1+^n-1?

k=1[- 12 ]

k-1

=2+

1-[-2!]^n-1 1-[-2!]

=8 3-2

3\[- 12 ]

n-1

∴ a6=8 3+ 1

3\16=43 16

따라서 p=16, q=43이므로 p+q=59

26 첫 번째 실험 후 살아 있는 세균의 수 a1은 a1={50-5}\2=90

같은 방법으로 a2, a3, y, an+1을 구하면 a2={a1-5}\2

a3={a2-5}\2 ⋮

∴ an+1={an-5}\2=2an-10 {n=1, 2, 3, y}

27 1개의 돌로 이루어진 징검다리를 건너는 방법은 {1} SG 1가지

∴ a1=1

2개의 돌로 이루어진 징검다리를 건너는 방법은 {1 → 1}, {2} SG 2가지

∴ a2=2

3개의 돌로 이루어진 징검다리를 건너는 방법은 {1 → 2}, {1 → 1 → 1}, {2 → 1} SG 3가지

∴ a3=3

4개의 돌로 이루어진 징검다리를 건너는 방법은 {1 → 1 → 2}, {2 → 2},

{1 → 2 → 1}, {1 → 1 → 1 → 1}, {2 → 1 → 1}

SG 5가지

∴ a4=5

따라서 n개의 돌로 이루어진 징검다리를 건너는 방법은 {n-2개의 돌을 건넌 후 2개를 한 번에 건너는 경우}, {n-1개의 돌을 건넌 후 1개를 건너는 경우}

이므로 an=an-2+an-1 {n>3}

이때 a5, y, a8을 차례로 구하면 a5=a3+a4=3+5=8 a6=a4+a5=5+8=13 a7=a5+a6=8+13=21 a8=a6+a7=13+21=34

28 n일 후 물탱크의 물의 양을 an이라 하면 a1=1

2\100+10=60 a2=1

2\a1+10 a3=1

2\a2+10 ⋮

∴ an+1= 1 2an+10

위의 식을 변형하면 an+1-20=1

2{an-20}

1개의 돌 2개의 돌

2개의 돌

3개의 돌

이때 수열 9an-200은 첫째항이 a1-20=40이고, 공비 가 1

2 인 등비수열이므로 an-20=40\[ 12 ]

n-1

∴ an=40\[ 12 ]

n-1

+20 an<1

4 \100=25에서 40\[1

2 ]

n-1

+20<25, [1 2 ]

n-1

<1 8 , [

1 2 ]

n-1

<[1 2 ]

3

n-1>3 ∴ n>4

따라서 물탱크의 물의 양이 처음 양의 1

4 미만이 되는 것은 5일 후부터이다.

29 p{1}이 참이면 p{3}, p{5}도 참이다.

p{3}이 참이면 p{3\3}=p{9}, p{3\5}=p{15}도 참 이다.

p{5}가 참이면 p{5\5}=p{25}도 참이다.

⋮

따라서 p{1}이 참이면 자연수 a, b에 대하여 p{3^a\5^b}이 참이다.

① p{30}=p{2\3\5}

② p{90}=p{2\3²\5}

③ p{135}=p{3³\5}

④ p{175}=p{5²\7}

⑤ p{210}=p{2\3\5\7}

따라서 반드시 참인 것은 ③이다.

30 ㄱ. p{1}이 참이면 p{1+3}=p{4}도 참이다.

p{4}가 참이면 p{4+3}=p{7}도 참이다.

p{7}이 참이면 p{7+3}=p{10}도 참이다.

즉, p{1}이 참이면 p{4}, p{7}, p{10}, y도 참이므 로 모든 자연수 k에 대하여 p{3k+1}도 참이다.

ㄴ. p{3}이 참이면 p{3+3}=p{6}도 참이다.

p{6}이 참이면 p{6+3}=p{9}도 참이다.

p{9}가 참이면 p{9+3}=p{12}도 참이다.

즉, p{3}이 참이면 p{6}, p{9}, p{12}, y도 참이므 로 모든 자연수 k에 대하여 p{3k}도 참이다.

ㄷ. p{1}이 참이면 p{4}, p{7}, p{10}, y도 참이다.

p{2}가 참이면 p{5}, p{8}, p{11}, y도 참이다.

p{3}이 참이면 p{6}, p{9}, p{12}, y도 참이다.

즉, p{1}, p{2}, p{3}이 참이면 p{4}, p{5}, p{6}, p{7}, y도 참이므로 모든 자연수 k에 대하여 p{k}

도 참이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

유 형 편

31 1\3\5\y\{2n-1}\2ⁿ

=2n{2n-1}{2n-2}\y\92n-{n-1}0 yy ㉠

!

n=1일 때

(좌변)=1\2¹=2, (우변)=2이므로 등식 ㉠이 성립 한다.

@

n=k일 때, 등식 ㉠이 성립한다고 가정하면 1\3\5\y\{2k-1}\2^k

=2k{2k-1}{2k-2}\y\{k+1}

위의 식의 양변에 ^㈎ 2{2k+1} 을 곱하면 1\3\5\y\{2k-1}\^㈏ {2k+1}2^k+1 =2k{2k-1}{2k-2}

\y\{k+2}{k+1}\^㈎ 2{2k+1}

=2k{2k-1}\y\{k+2}{2k+2}{2k+1}

={2k+2}{2k+1}\2k\y\{k+2}

따라서 n=k+1일 때도 등식 ㉠이 성립한다.

!

,

_@

에 의해 모든 자연수 n에 대하여 등식 ㉠이 성립 한다.

∴ ㈏_㈎={2k+1}2^k+1_2{2k+1}=2^k

32 1\2+2\3+y+n{n+1}

= 1

3 n{n+1}{n+2} yy ㉠

!

n=1일 때

(좌변)=1\2=2, (우변)= 1

3\1\2\3=2이므로 등 식 ㉠이 성립한다.

@

n=k일 때, 등식 ㉠이 성립한다고 가정하면 1\2+2\3+y+k{k+1}= 13 k{k+1}{k+2}

위의 식의 양변에 ^㈎ {k+1}{k+2} 를 더하면 1\2+2\3+y+k{k+1}+^㈎ {k+1}{k+2}

=1

3 k{k+1}{k+2}+^㈎ {k+1}{k+2}

={k+1}{k+2}[ 13 k+1] =1

3{k+1}{k+2}{^㈏ k+3 }

따라서 n=k+1일 때도 등식 ㉠이 성립한다.

!

,

@

에 의해 모든 자연수 n에 대하여 등식 ㉠이 성립 한다.

33

!

n=1일 때, 9¹-1=8은 8의 배수이다.

@

n=k일 때, 9^k-1이 8의 배수

즉 9^k-1=8m (m은 자연수)이라 가정하면

9^k+1-1=^㈎ 9 \9^k-1={8+1}9^k-1 =8\9^k+^㈏ 9^k-1 =8\9^k+8m =8{9^k+m}

따라서 n=k+1일 때도 8의 배수이다.

!

,

@

에 의해 모든 자연수 n에 대하여 9ⁿ-1은 8의 배 수이다.

34 1\2\3\y\n>2ⁿ yy ㉠

!

n=4일 때

(좌변)=1\2\3\4=^㈎ 24 , (우변)=2⁴=16이므로 부등식 ㉠이 성립한다.

@

n=k {k>4}일 때, 부등식 ㉠이 성립한다고 가정하면 1\2\3\y\k>2^k

위의 식의 양변에 ^㈏ k+1 을 곱하면

1\2\3\y\k\{^㈏ k+1 }>2^k\{^㈏ k+1 } 이때 ^㈏ k+1 >2이므로

1\2\3\y\k\{^㈏ k+1 }>2^k+1 따라서 n=k+1일 때도 부등식 ㉠이 성립한다.

!

,

_@

에 의해 n>4인 모든 자연수 n에 대하여 부등식

㉠이 성립한다.

35 2ⁿ>2n+1 yy ㉠

!

n=3일 때

(좌변)=2³=8, (우변)=2\3+1=7이므로 부등식

㉠이 성립한다.

@

n=k`{k>3}일 때, 부등식 ㉠이 성립한다고 가정하면 2^k>2k+1

위의 식의 양변에 ^㈎ 2 를 곱하면 2^k\^㈎ 2 >{2k+1}\^㈎ 2 2^k+1>^㈏ 4k+2

이때 {^㈏ 4k+2 }-{ ^㈐ 2{k+1}+1 }=2k-1>0이 므로

^㈏ 4k+2 > ^㈐ 2{k+1}+1 ∴ 2^k+1> ^㈐ 2{k+1}+1

따라서 n=k+1일 때도 부등식 ㉠이 성립한다.

!

,

@

에 의해 n>3인 모든 자연수 n에 대하여 부등식

㉠이 성립한다.

따라서 a=2, f{k}=4k+2, g{k}=2k+3이므로

?10

k=19a+f{k}+g{k}0=?¹⁰

k=1{2+4k+2+2k+3}

=_k=1?¹⁰{6k+7}

=6\10\11

2 +70=400

문서에서 I 수학 (페이지 148-152)