2-1. 관수로의 특성 분석
학습 목표 •유체의 점성으로 인한 마찰력과 에너지 손실계수 등을 산정할 수 있다.
•관수로 내 유속분포, 마찰손실계수, 단면변화 손실계수 등을 산정할 수 있다.
필요 지식 /
Reynolds 수의 정의
실제유체가 가지는 점성은 유체층 간 혹은 유체입자와 경계면 사이에 마찰력을 일으킴으 로써 흐름에 저항력을 유발시키게 되며, 흐름은 층류(Laminar flow)와 난류(Turbulent flow) 의 서로 다른 흐름형태를 만든다. 층류에서는 유체입자가 서로 층을 이루면서 직선적으로 미끄러지게 되며 이들 층과 층 사이에는 유체의 분자에 의한 운동량의 변화만이 있을 뿐 이다. 반면에 난류는 유체입자가 심한 불규칙 운동을 하면서 상호 간에 격렬한 운동량의 교환을 하면서 흐르는 상태를 말한다. Reynolds는 Reynolds 수라는 무차원량을 다음과 같 이 정의하였다.
(2.1)
여기서 는 유체밀도, 는 관내의 평균유속, 는 관경, 는 점성계수이고 는 동점성계 수이다. Reynolds 수에 의하여 흐름을 층류와 난류로 구분할 수 있다.
수 < 2,100이면 층류
2,100 < 수 < 4,000이면 불완전 층류
수 > 4,000이면 난류
유체의 점성으로 인한 마찰력과 에너지 손실
[그림 2-1]과 같이 실제유체가 단면 1에서 단면 2로 흐를 때에는 유체의 점성으로 인한 마 찰력 때문에 유체가 가지는 에너지 일부가 손실되는데, 이를 손실수두(head loss)라 한다.
따라서 실제유체의 흐름에 대한 완전한 Bernoulli 방정식은 다음과 같다.
출처: 윤용남(2014), 『수리학』. 청문각. p.156.
[그림 2-1] 실제유체 흐름
(2.2)
여기서 은 손실수두로서 단위무게의 유체가 단면 1로부터 단면 2로 흐르는 동안 마찰로 손실되는 에너지이다. 즉
(2.3)
출처: 이종형 외(2012), 『수리학』. 구미서관. p.192.
[그림 2-2] 미소유체의 단면
[그림 2-2]와 같은 미소유체의 단면 1, 2 사이에 통제용적 유관의 흐름방향으로 역적-운동 량의 원리를 적용하면
= (2.4)
여기서 는 유관의 윤변(Wetted perimeter)이다. 식 (2.4)를 로 나누면 다음과 같이 표 시할 수 있다.
(2.5)
여기서 는 동수반경이라 하며 유수단면적 를 윤변 로 나눈 것으로 정의한다. 식 (2.5) 의 좌변을 단면 1과 2에서의 에너지항으로 각각 표시하여 정리하면
(2.6) 식 (2.6)을 에너지방정식(식 2.3)과 같이 비교하면
(2.7)
식 (2.7)은 유체가 흐를 때 점성에 의한 마찰효과 때문에 생기는 손실수두와 마찰응력 사 이의 관계를 이론적으로 표시한 것이다. 반경 r인 원주에는 유속이 다른 두 유체층 때문에 마찰응력 가 발생되며 와 손실수두 간의 관계를 유도할 수 있으므로 대신 를
대신 를 그리고 동수반경 를 대입하면
∴
(2.8)
식 (2.8)에서 마찰응력 는 유관의 중립축으로부터의 거리 에 비례하는 직선형 분포를 보 인다. 관로상의 두 단면 간에 생기는 손실수두는 Darcy-Weisbach에 의해 다음과 같이 표 시된다.
(2.9)
여기서 는 마찰손실계수로서 주로 관의 조도에 관계된다. 마찰손실계수는 흐름과 경계면 사이에 일어나는 마찰전단응력의 크기를 간접적으로 표시하는 계수이므로 식에서 일 때 로 놓고 식의 관계를 이에 대입하면
(2.10)
여기서 관경 이므로 식을 간단히 하면
(2.11)
관수로 내 유속분포와 마찰손실계수
출처: 이종형(2012), 『수리학』. 구미서관. p.194.
[그림 2-3] 관로의 유속분포
[그림 2-3]과 같은 관로에 층류가 흐를 경우 유체의 마찰응력(식 2.8)과 Newton의 마찰법
칙(식 1.5)을 같게 놓으면
(2.12)
관벽으로부터 중립축 방향으로 거리 이므로 이다. 따라서
(2.13)
식 (2.13)을 에 관해 적분하고 경계조건 일 때 를 사용하면 적분상수 이다. 따라서
(2.14)
식 (2.14)은 관수로 내 층류의 유속분포가 포물선형임을 의미한다. 그런데 관벽, 즉 에서의 유속 이므로 이로부터
(2.15) 식 (2.15)을 식 (2.14)에 대입하여 정리하면
(2.16)
원관 내 흐름이 포물선형 유속분포를 가질 경우에 관계와 경계조건 일 때
을 식 (2.14)에 대입하면 손실수두를 평균유속과 관의 특성변수의 항으로 표시할 수 있다.
(2.17)
식 (2.17)으로부터 층류의 경우 손실수두는 평균유속에 직접 비례함을 알 수 있다. 식 (2.17)을 식 (2.9)와 같게 놓고 정리하면
(2.18)
식 (2.17)의 대신 을 대입하고 에 관하여 정리하면
(2.19) 식 (2.19)은 Hagen-Poiseuille 법칙이라 한다.
수행 내용 / 에너지손실계수 계산하기
재료·자료
해당 사항 없음 기기(장비·공구)
Reynolds의 실험장치
메스실린더, 비커, 색소 안전·유의 사항
유리 기구 사용 시 파손에 의한 부상을 주의한다.
색소 등 배출에 의한 수질오염에 주의한다.
수행 순서
Reynolds의 실험을 시행한다.
[그림 2-4]는 Reynolds의 실험 장치를 도식적으로 표시한 것이고 이를 이용하여 점성에 의 한 흐름 상태를 구별하기 위한 실험을 행한다.
출처: 윤용남(2014), 『수리학』. 청문각. p.146.
[그림 2-4] Reynolds의 실험장치
실험방법과 결과분석은 다음과 같다.
1. 수조 내에 물을 주입하고 수온을 측정하고 물의 온도로부터 동점성계수()를 구한다.
2. 유량 조절밸브를 열어 유량을 조정하고 유량을 측정한다.(Q)
3. 색소액을 관 내부에 주입하고 유량조절밸브를 조작하여 유량을 변화시켜 층류인지 난류 인지 관찰한다.
4. 유량을 단계적으로 증가시켜 층류에서 난류로 변화하는 것을 관찰하고 더욱 유량을 증 가시킨다.
5. 난류상태에서 유량을 단계적으로 감소시켜 층류로 변하는 것을 관찰한 후에 더욱 유량 을 감소시킨다.
6. 관측관의 내경을 이용하여 유속을 계산한다.
7. 관찰의 각 단계에서 레이놀즈수를 측정하여 흐름의 상태를 기록하고 비교 검토한다.
출처: 윤용남(2014), 『수리학』. 청문각. p.146.
[그림 2-5] 층류와 난류
단면변화 수두손실을 계산한다.
관수로 내 흐름의 수두손실에는 유체와 관벽의 마찰로 인한 관마찰손실 이외에 흐름의 단 면에 갑작스러운 변화가 생기므로 인해서 발생하는 미소손실(minor losses)이 있다. 이 미 소손실은 단면의 확대 혹은 축소, 만곡부, 밸브 및 기타 각종 부속물에 의하여 흐름이 가 속되거나 감속될 때 발생하는 와류현상 때문에 생기는 것으로 흐름이 감속될 경우에 더 큰 에너지 손실이 생기게 된다. 관로가 비교적 긴 경우에는 미소손실이 마찰손실에 비하 여 상대적으로 작으므로 거의 무시할 수 있으나 짧은 관로에서는 중요한 부분을 차지한다.
지금까지의 실험결과에 의하면 미소손실은 속도수두에 비례하는 것으로 알려져 있다. 즉
(2.20)
여기서 은 미소손실계수로서 주로 흐름의 단면변화 양상에 따라 결정된다.
1. 단면 급확대에 따른 손실 계산하기
관의 단면적이 갑자기 확대되면 그 단면을 지날 때에 많은 에너지 손실을 수반한다. 이는 점성소산에 의하여 일어난 유체 내부에너지의 상승으로 인한 에너지손실이다.
출처: 이종형(2012), 『수리학』. 구미서관. p.208.
[그림 2-6] 축대칭 급확대관
검사체적 에 운동량 방정식을 적용하면
(2.21) Bernoulli 방정식을 적용하면
(2.22)
식 (2.21)과 식 (2.22)로부터 를 소거하고 를 고려하면
(2.23)
에 관해서 풀면 급확대관에서의 손실수두는
(2.24) 따라서 식 (2.24)에서의 계수는
(2.25) 로서 에 비해 가 아주 큰 경우 ≈ 이 되어 이 된다.
따라서 손실수두는 로서 운동에너지가 완전히 열에너지로 흡수된다.
2-2. 개수로의 특성 분석
학습 목표 •개수로 내 유속분포, 복합단면의 등가조도계수 등을 산정할 수 있다.
•개수로 내 흐름의 유량, 수심, 평균유속 등을 산정할 수 있다.
필요 지식 /
개수로 내 유속분포
개수로 단면은 측벽과 수로바닥을 이루는 고체경계와 대기와 접하는 자유표면경계의 두 가지 형태의 경계가 존재한다. 고체경계면에서는 물의 입자는 비활조건에 의해 속도가 0 이고, 자유표면 경계에서는 임의의 속도를 갖는다. [그림 2-7]과 같은 개수로 흐름에 있어 서 균일 단면 수로를 가정하고 유속분포의 예를 도시하였다. 그림에서 실선은 속도가 동 일한 값을 연결한 선으로서 등유속을 나타내고 단면의 우측에는 연직속도 분포를 도시하 였다. 수로는 직선이고 유수단면적과 수로경사가 일정하여 수로 단면마다 균일한 흐름이 라 가정한다. 수로의 단면 평균유속은 통상 수면에서 총 수심의 약 60%의 점을 기준으로 한다. 평균유속을 측정하여 구할 때는 수면에서부터 20%, 60%, 80% 깊이에서 점유속을 측 정하여 이를 평균하여 단면의 평균유속으로 취한다.
(2.26)
출처: 이종형 외 1인(2012), 『수리학』. 구미서관. p.296.
[그림 2-7] 개수로의 유속분포
1. 복합단면수로의 등가조도
단순한 형태의 수로일지라도 윤변 전체에 걸쳐 조도계수 이 일정하지는 않으나 경계면 의 재료가 동일한 경우에는 Manning의 조도계수 값을 사용하여 평균유속을 계산할 수 있 다. 그러나 통수단면의 윤변이 상이한 재료로 되어 있거나 혹은 윤변 각 부분의 조도가 판이하게 다를 경우에는 평균치로서 등가조도를 계산하여 사용하게 된다.
등가조도의 계산은 Horton-Einstein에 의하면 [그림 2-8]과 같은 통수단면을 윤변의 국부 적 조도크기에 따라 의 소구간으로 나누고 이들 소구간의 윤변을 ⋯ 그리 고 조도계수를 ⋯이라 할 때 등가조도(equivalent roughness) 는
(2.27)
여기서 는 윤변의 총 길이이다. 식 (2.27)은 개 소구간에서의 유속은 각각 전단면의 평 박균유속 와 같다는 가정으로부터 유도되었다.
출처: 윤용남(2014), 『수리학』. 청문각. p.294.
[그림 2-8] 복합 통수단면
개수로 내 유량, 평균유속 산정
등류의 유량계산은 등류 공식과 흐름의 연속방정식을 사용하여 해결한다. 등류 공식으로 Manning 공식을 택하면
(2.28)
여기서
(2.29)
는 통수단면의 기하학적 형상과 조도계수에만 관계되는 것으로서 개수로의 통수능 (conveyance)이라 부르며, 은 통수단면의 형태에만 관계되는 변량임을 알 수 있다.
등류 공식은 여러 가지 경험 공식이 사용되어 왔으며, 이 중 많이 사용되는 공식을 소개 하면
Chezy 공식:
(2.30) C를 Chezy 계수라 한다.Manning 공식:
(2.31) 여기서 은 Manning 조도계수이며 수로의 종류 및 상태에 따른 값이다.
Chezy 계수 C와 조도계수 간의 관계는 다음과 같다.
(2.32)
수행 내용 / 개수로 내 유속측정 및 유량 계산하기
재료·자료
방안지, 자 기기(장비·공구)
개수로 장치, 유속계 안전·유의 사항
유속계를 흐름방향에 수직하게 위치시킨다.
유속계를 측정하고자 하는 수심에 정확하게 위치시킨다.
수행 순서
유속계를 이용하여 유속을 측정한다.
1. 방안지에 축척을 적용하여 유속 측정할 단면을 작성한다.
2. 단면의 전 폭을 일정 간격으로 나눈다.
3. 유속계를 이용하여 각 분할 단면의 수심을 고려하여 적합한 수심의 위치에서 유속을 측 정한다.
4. 측정된 유속을 방안지의 각 단면위치에 기입한다.
5. 유속이 동일한 지점을 연결하여 분포도를 그린다.
출처: 이종형 외(2015), 『수문학』. 구미서관. p.104.
[그림 2-9] 유속측선의 배치