(LM1402010702_14v2.4)
4-1. 비에너지 해석
학습 목표 •수심에 따른 유량, 에너지의 변화, 한계수심 등을 산정할 수 있다.
•흐름상태의 변환에 따른 도수작용을 이해하고 해석할 수 있다.
필요 지식 /
비에너지와 한계수심
비에너지(specific energy)란 수로바닥을 기준으로 하여 측정한 단위무게의 물이 가지는 흐 름에너지이다. [그림 4-1]과 같이 수로의 바닥경사가 매우 작을 경우 비에너지는 다음과 같이 표시된다.
(4.1)
출처: 이종형 외(2012), 『수리학』. 구미서관. p.311.
[그림 4-1] 비에너지
직사각형 수로에서 수로의 폭을 라고 하면 단위폭당의 유량 는 이므로
(4.2)
의 최솟값에 대한 값은 식 (4.2)에서 를 일정하다고 보아 미분하여 0으로 놓았을 때 얻어진다.
(4.3) 즉,
∴
(4.4)
이 최소에너지에 대한 깊이를 한계수심(critical depth)이라 한다. 식 (4.4)을 식 (4.2)에 대입 하여 을 소거하면
m in
(4.5)
식 (4.5)은 한계수심이 비에너지의 2/3임을 나타낸다. [그림 4-2]의 형상은 주어진 비에너지 에 대하여 두 깊이를 가지며 이 두 깊이를 대응수심이라 하고, 따라서 두 가지 유동상태 를 가능하게 한다. 실제의 깊이가 보다 크면 상류가 되고 보다 작으면 사류가 된다.
그러므로 한계수심에서의 흐름은 유량이 최대이고 비에너지가 최소임을 알 수 있다. 한계 수심에서의 한계유속은 식 (4.1)와 식 (4.5)에서 를 소거하여 얻는다.
∴
(4.6) 이는
의 경우이다. 따라서 상류에서는 ＜이고, 사류에서는 ＞이 될 것 이다.
도수의 특성
개수로 유동에서 액체가 높은 속도에서 낮은 속도의 영역으로 유동할 때에 액체표면에서 급격한 상승현상이 발생하면서 심한 난류와 와류 또는 공기의 규입을 동반하게 되어 표면 에 기복이 발생하는데 이를 도수(hydrulic jump)라 한다. 이 현상은 속도가 큰 수문의 하류 에서 일어나며 수로저면의 손상 방지를 위한 효과적인 운동에너지 감세장치로 이용될 수 있다.
출처: 이종형 외(2012), 『수리학』. 구미서관. p.317.
[그림 4-2] 도수
[그림 4-2]와 같은 수평직사각형 수로에 대하여 수로를 단위폭으로 취하고 단면 1과 2 사 이에 연속방정식을 적용하면
(4.7) 운동량의 원리로부터
(4.8) 식 (4.7)을 식 (4.8)에 대입하면
(4.9)
식 (4.9)를
에 대하여 풀면
(4.10)
여기서 를 대응수심이라 하고, 도수의 조건인 ＞이 되려면 ＞이어야 함를 알 수 있다. 도수 전후의 수심관계 이외 도수로 인한 에너지손실이 관심사다. 두 단면에 Bernoulli 방정식을 적용하면
(4.11)
(4.12)
여기서 은 도수로 인한 기계적 에너지손실이다. 식 (4.12)와 식 (4.9)를 연립하여 를 소 거하면
∴∆
(4.13)
즉, 도수로 인한 에너지손실은 도수 전후의 수심만 알면 구할 수 있다.
수행 내용 / 비에너지 곡선 작성하기
재료·자료
해당 사항 없음 기기(장비·공구)
방안지, 자 안전·유의 사항
해당 사항 없음 수행 순서
수심에 따른 비에너지변화를 수립한다.
식 (4.2)는 세 개의 변수를 가지고 있으며 첫째 가 일정하고 와 가 변하는 경우, [그림 4-3]은 의 값이 작을 때 곡선은 에 무한히 접근하고, 의 값이 클 때 속도수두의 항은 무시되고 인 45도의 선에 접근한다.
출처: 이종형 외(2012), 『수리학』. 구미서관. p.312.
[그림 4-3] 비에너지 곡선
수심에 따른 유량 변화를 산정한다.
흐름의 비에너지가 일정하게 유지될 때 수심의 변화에 따른 유량의 변화를 알기 위해 (4.1)식을 다시 쓰면
여기서 는 일정한 비에너지이며 수심 에 따른 의 변화를 표시해보면 →이면
→, →m ax이면 →이므로 [그림 4-4]와 같이 작성할 수 있다.
출처: 윤용남(2014), 『수리학』. 구미서관. p.309.
[그림 4-4] 유량 곡선
4-2. 점변류의 수면 곡선 분석
학습 목표
•점변류의 수면 곡선 분류에 따른 흐름특성, 지배단면을 이해하고 수면 곡선을 산정 할 수 있다.
•교각 등의 구조물에 의한 배수영향을 산정할 수 있다.
필요 지식 /
점변류의 기본방정식
출처: 윤용남(2014), 『수리학』. 청문각. p.321.
[그림 4-5] 점변류의 수면 곡선
[그림 4-5]와 같이 수로경사 인 임의 단면을 가진 개수로 내에서 발생 가능한 점변류의 수면 곡선형을 판별하기 위한 기본식은 다음과 같다.
(4.14)
여기서 및 는 각각 수로단면 내에 등류 및 부등류가 흐를 경우의 통수능이고, 및
는 각각 한계류 단면계수 및 단면계수이다. 단면형이 가장 간단한 광폭구형 단면의 경우 는 Manning 공식의 동수반경 는 수심와 같다고 볼 수 있으므로 식 (4.14)의
따라서 식 (4.14)는 다음과 같이 된다.
(4.15)
여기서 및 는 등류수심, 한계수심 및 점변류의 수심이다.
점변류 수면 곡선형의 특성
이면 흐름방향으로 수심변화가 없음을 의미하므로 수면 곡선은 수로바닥과 평행 하여 등류가 형성될 것이고, ＞이면 흐름방향으로 수심이 증가함을 뜻하며 이 유형 의 곡선을 배수 곡선(Backwater curve)이라 한다. 한편 ＜이면 수심이 흐름방향으로 감소함을 뜻하며 이를 저하 곡선(Drawdown curve)이라 한다. 수로의 경사는 완경사, 급경 사, 한계경사, 역경사 및 수평수로가 존재할 수 있으므로 여러 가지 수면형이 발생 가능할 것이다. 수면 곡선형은 수로의 경사와 흐름의 영역에 따라 명칭을 붙여 분류하고 있다. 즉, 완경사(Mild slope)의 경우는 M1, M2, M3 곡선, 급경사(Steep slope)의 경우는 S1, S2, S3곡 선이라 한다.
구분 제1영역
제2영역
≥ ≥ ≥ ≥
제3영역
<표 4-1> 영역별 수면 분류
흐름의 지배단면
점변류의 수면 곡선 계산 시 주어진 유량과 수심 사이에 독특한 관계를 가진 단면을 흐름 의 지배단면(Control section)이라 한다. 수면 곡선의 계산은 지배단면에서 시작하여 흐름상 태가 상류이면 ＜인 경우이므로 흐름의 평균유속이 표면파의 전파속도()보다 작 아서 표면파는 상류로 전파되므로 하류통제를 받는다. 따라서 수면 곡선 계산의 방향은 지배단면으로부터 상류방향으로 올라가게 된다. 반면에 흐름상태가 사류이면 ＞이므로 평균유속이 전파속도보다 커서 표면파는 하류로 내려가므로 흐름은 상류통제를 받게 된다.
따라서 사류에서의 수면 곡선 계산은 지배단면으로부터 하류방향으로 계산해 내려간다.
흐름의 지배단면으로 흔한 예는 댐, 위어 혹은 수문 등을 들 수 있으며 이들 지배단면에 서의 수심은 유량에 의해 확실히 결정되므로 수면 곡선 계산의 시점으로 사용될 수 있다.
교각에 의한 배수영향
하천수로상에 설치되는 교량의 교각은 수로 내 흐름의 단면을 축소시켜 상하류의 흐름 상 태에 영향을 미치게 된다.
출처: 윤용남(2014), 『수리학』. 청문각. p.342.
[그림 4-6] 교각에 의한 수면상승
[그림 4-6]에서 수로의 경사는 수평이라 가정하고 Bernoulli 방정식을 적용하면
(4.16)
여기서 및 은 각각 단면 1~2 및 2~3에서의 단면축소, 확대 및 와류로 인한
손실수두이다. 식 (4.16)에서 로 가정할 수 있으므로 ≃ 라 할 수 있어 수면상승고는
(4.17) 식 (4.17)에 를 대입하고 에 관해 풀면
(4.18)여기서 는 교각 단면에서 순 수로폭이고 를 정확하게 고려할 수 없으므로 유량계 수를 도입하여 다시 쓰면
(4.19)식 (4.19)은 D.Aubuisson 공식이라 하며 는 교각의 단면형상계수이다. 유량 가 주어지 면 교각 하류부의 등류수심을 계산할 수 있고
(4.20)
이므로 식 (4.20)을 식 (4.19)에 대입한 후 시행착오법에 의해 수면상승고 를 계산할 수 있다.
수행 내용 / 수면 곡선 계산하기
재료·자료
방안지, 하천의 종단면도 기기(장비·공구)
컴퓨터, 수리모형 프로그램 안전·유의 사항
해당 사항 없음 수행 순서
직접축차계산법을 응용한다.
직접축차계산법은 단면형이 일정한 단면수로에 적용할 수 있고 수면선이 직선에 접근할 수 있는 충분히 짧은 거리 떨어진 두 개의 이웃 단면 1과 2 사이의 에너지 균형으로부터 얻는다.
출처: 이종형 외(2012), 『수리학』. 구미서관. p.335.
[그림 4-7] 수면형상의 계산
[그림 4-7]로부터 두 단면의 에너지관계를 쓰면
∆
∆ (4.21) 또는
∆ ∆ (4.22) 여기서 는 비에너지이고 ∆에 관해 풀면
∆
(4.23)
는 에너지 경사이며 Manning 공식을 사용하면 다음과 같이 표시할 수 있다.
(4.24)
위의 식에 의한 축차계산은 지배단면에서의 기지수심으로부터 가정수심까지의 거리를 구 하고 다음 구간에 대해 축차적으로 계산하게 된다.
표준축차계산법을 응용한다.
표준축차계산법은 임의 단면형에도 적용할 수 있는 일반적인 축차계산법으로 수면 곡선계 산을 위해서는 구간별 횡단 및 종단면의 측량이 필요하다. 본 방법에서는 지배단면에서의 수면표고를 알고 거리 ∆만큼 떨어진 단면에서의 수면표고를 에너지 관계를 고려하여 시행착오적으로 계산함으로써 수면 곡선을 축차적으로 연결해 나가는 방법이다.
출처: 윤용남(2014), 『수리학』. 청문각. p.336.
[그림 4-8] 임의 수로단면
[그림 4-8]에서 임의의 기준면으로부터 측정한 단면 1, 2에서의 수면표고가 라면
∆
(4.25) 두 단면 사이의 마찰손실수두는
∆ (4.26) 따라서 단면 1, 2 사이의 에너지 식은
(4.27)
한편 단면 1, 2에서 단위무게의 물이 가지는 에너지인 전수두 는
(4.28)
식 (4.26), 식 (4.28)을 식 (4.27)에 대입하고 정리하면
∆ (4.29) 식 (4.29)이 표준축차계산법의 기본방정식이다.
수면 곡선 계산의 절차(배수 곡선인 경우)는
- 지배단면에서의 수면표고 를 알므로서 식 (4.29)의 를 계산할 수 있다.
- ∆만큼 떨어져 있는 단면에서의 수면표고 을 적절하게 가정하여 을 계산한다.
- 구간에서 생기는 마찰손실수두 ∆를 계산하여 식의 관계가 성립하는지를 검사한다.
- 만약 식이 성립하면 가정한 은 옳은 수면표고이나 성립하지 않으면 을 다시 가정 해서 성립할 때까지 계산을 반복한다.
이와 같은 시행착오적 과정 때문에 배수 곡선 계산은 실무에서 컴퓨터를 이용하여 시행한 다.(HEC-RAS, RMA-2 모형)
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) 거리
(L) ∆
× × ∆
<표 4-2> 표준축차법에 의한 배수 곡선의 계산과정
- (1), (2)란은 하천의 평면도로부터 구한다.
- (3)란의 첫 줄 값은 지배단면에서의 수면표고 - (4)란의 조도계수는 단면상태에 따라 결정
- (5)란의 단면적은 횡단면에 수면표고를 넣으면 결정 - (6)란의 유속은 로 계산
- (7)란은 유속을 이용하여 계산 - (8)란은 식 (4.28)로 구한다.
- (9), (10)란은 횡단면으로부터 구한다.
- (11)란은 Manning 공식으로부터 구한다.
- (12), (13)란은 식 (4.26)의 관계로부터 구한다.
- (14)란은 식 (4.29)의 관계로부터 구한다.
학습4 교수·학습 방법
교수 방법
• 단면에 따라 한계수심을 산정할 수 있도록 설명한다.
• 도수작용의 특성을 이해시키고 도수발생 현상을 가지고 도수 후의 에너지 감소를 산정할 수 있도록 설명한다.
• 수로경사에 따라 발생되는 수면 곡선을 분류하고 표준축차법에 의한 수면 곡선 산정 절차를 설명한다.
• 하천 단면에 설치된 교각에 의한 수면상승 산정방법을 설명한다.
학습 방법
• 단면에 따라 한계수심을 산정하는 방법을 숙지한다.
• 도수작용의 특성을 이해시키고 도수발생 현상을 가지고 도수 후의 에너지 감소 산정방법을 숙지한다.
• 수로경사에 따라 발생되는 수면 곡선을 분류하고 표준축차법에 의한 수면 곡선 산정 절차를 숙지한다.
• 하천 단면에 설치된 교각에 의한 수면상승 산정방법을 숙지한다.