지금까지 우리는 배분방법별로 배분량을 계산하여「기대편익」만을 생각해왔 지 그 기대편익을 얻기 위해서 각 지역이 얼마나 위험을 부담해야 하는가 하는
‘불확실성’에 관한 논의는 하지 않았다.
이러한 불확실성을 다루기 위해서는 각 배분방식에 따라 상류와 하류지역의 물 소비량이 얼마나 변동하느냐, 즉 물배분량의 분산이 얼마나 될 것이냐를 알아 야 한다. 예를 들면, 기대유량이 100톤이고 편차가 50인 경우에 하류지역이 비율 배분으로 50%를 배분받는다고 하자. 그러나 실제 강우량이 부족하여 유량이 50 톤이 된다면 하류지역은 비율배분규칙에 따라서 25톤밖에 공급받지 못하게 된 다. 그러므로 하류지역은 50톤을 기대하고 있었으나 25톤밖에 받지 못하는데 따 른 위험이 항상 존재한다는 것이다. 반대로 고정배분에 의하여 50톤을 배분받는 다고 할 경우에는 실제유량이 50톤으로 줄어도 전량을 확보할 수 있으므로 하류 지역은 위험이 적은 반면, 상류는 물을 모두 하류로 보내야 하는 위험에 직면하 게된다. 이와 같은 위험도의 크기를 배분방법로 유량의 기대값과 편차를 이용하 여 분석하는 것이 정책결정자나 실제 용수를 공급받는 수요자에게 매우 중요한 정보이다.
이를 위해서는 상류와 하류지역의 물 배분에 따른 분산 (Var( CU)와 Var( CL))을 구하는 것이 배분방식에 따라 상류와 하류가 위험을 얼마씩 부담 하게 되는가 하는 문제에 해답을 줄 수 있다. 여기서는 위험도분석을 실제 현실 에 적용가능한 비율배분과 고정배분에 국한하여 상․하류간을 대상으로 분산을 구하여 위험도 분석을 시도하고자 한다.
(1) 고정배분에서의 분산추정 방법
먼저 본 연구에서 추정과정을 누구나 이해하기 쉽게하기 위하여 불연속적 (discrete)인 경우를 먼저 검토한 후에, 연속적인 경우로 일반화하고자 하였다. 고 정배분은 전체가용 수자원중에서 일정한 양을 고정적으로 배분을 받는 경우이므 로 다음과 같은 일반적인 상황을 상정하였다.
하류가 받고자 하는 고정배분량이 115일 경우에 실제유량이 100에서 140까지 변화하는 확률변수를 가정하고 각각의 유량에 대한 확률을 다음의 표와 같다고 하자. 이 경우에 실제유량이 고정배분량보다 적을 경우에는 하류가 받을 수 있는 량은 실제 유량의 전부를 독점하고, 기대유량이 고정배분량보다 많을 경우에는 고정배분량 만큼만 배분받게 된다.
확률 실제유량W 고정배분량 W*
하류지역 소비량CL
상류지역소비 량CU
1/6 100 115 100 0
1/6 110 115 110 0
2/6 120 115 115 5
1/6 130 115 115 15
1/6 140 115 115 25
분산을 구하기 위하여 먼저 상․하류의 기대값을 구하였다. 즉, 확률변수와 그 때의 확률값의 곱의 합으로 구한 하류지역의 기대값은 111.7이고, 상류지역은 8.3 이 된다.
상류의 물 소비량의 기대값
μU= 0(1/6)+0 ( 1/6) + 5( 2/6) + 1 5( 1/6) + 25( 1/6)= 8.3
하류의 물 소비량의 기대값
μL= 100( 1/6) +110( 1/6) +115( 2/6 + 1/6 + 1/6) = 111.7
물 소비량의 기대값을 이용한 분산은 유량의 소비량에서 기대값을 뺀 값의 제 곱에 발생할 확률을 곱한 값의 합으로 산정할 수 있다. 위의 사례에서의 상류지 역에서의 분산은 86.2이고 하류지역은 30.6으로 나타난다.
상류의 물 소비량의 분산값
Var( CU)= (0-8.3)2(1/6) + ( 0 - 8.3)2(1/6) + ( 5 - 8.3)2(2/6)+
( 15 - 8.3)2(1/6)+(25 - 8.3)2(1/6) = 86.2 하류의 물 소비량의 분산값
Var( CL)= (100-111.7)2(1/6) + ( 110 - 111 .7)2(1/6) + ( 115 - 111. 7)2(2/6+1/6+ 1/6) = 30.6
위의 불연속적인 경우를 원용하여 연속적인 경우로 일반화한 분산은 다음과 같다. 즉, 하류지역의 분산은 기대유량이 고정배분량보다 적을 때까지는 기대유 량에서 유량의 평균을 뺀 값의 제곱과 그때의 확률밀도함수(여기서는 정규분포 가정)를 곱한 값까지의 적분값이, 그리고 유량이 고정배분량보다 많은 경우에는 고정배분량에서 평균을 뺀 값의 제곱에 확률밀도함수의 곱의 적분의 합이 된다.
한편, 상류지역의 분산은 기대유량이 고정배분량보다 적을 경우에는 “0”에서 평 균유량을 뺀 값의 제곱에 확률밀도함수의 곱의 적분과 유량의 기대값에서 하류 지역으로의 고정배분량을 공제한 값에 평균을 뺀값의 제곱에 확률밀도함수를 곱 한 값의 적분의 합으로 구성된다.36)
36) 위의 분산추정방법을 이용한 분산의 계산도 Maple을 이용하여 수행하였다.
○ 하류지역의 분산: