2
100 정답과 해설 | 유형편 |
jxk+1 =jxk+1-{jxk-1}
{jxk-1}{jxk+1}= 2
=x-2jxk+1+x+2jxk+1 x-1
jn+1l+jn k= jn+1l-jnk
{jn+1l+jn k}{jn+1l-jn k}
={j2-j1}+{j3-j2}+y+{j49k-j48k}
=-j1+j49k=6
◀ x=1+j3 대입
◀ x=3+2j2 대입
12
y=-j3x-9l-2=-13{x-3}3-2따라서 y=-j3x-9l-2의 그래프는 y=-j3xk의 그래 5=j2b-4l+3, j2b-4l=2
2b-4=4 / b=4
20 수학(하)_유형편_해설Ⅴ~Ⅵ(086~112)OK.indd 100 2019-06-27 오전 10:55:10
18
y=1a{x+1}3+5의 그래프를 x축의 방향으로 b만큼, y 축의 방향으로 c만큼 평행이동하면y=1a{x-b+1}3+5+c
이 함수의 그래프가 y=j6-3xl=1-3{x-2}3의 그래프 와 겹쳐지므로
a=-3, b=3, c=-5 / a+b+c=-5
19
y=j-x+2l의 그래프를 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이동하면y=1-{x-3}3+23-2=j-x+5l-2
이 함수의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동하면 y=jx+5l-2
따라서 a=1, b=5, c=-2이므로 a+b+c=4
20
ㄱ. y=-j2xk의 그래프를 원점에 대하여 대칭이동하면 y=1-2x3ㄴ. y=j3-4xl=r-4[x-3 4 ]y ㄷ. y=2j1-xl+2=1-4{x-1}3+2 ㄹ. y=j2x-1l-1=r 2[x-1
2 ]y-1의 그래프를 x축의 방향으로 -1
2 만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동 한 후 y축에 대하여 대칭이동하면 y=1-2x3 따라서 보기의 함수 중 그 그래프가 평행이동 또는 대칭 이동에 의하여 무리함수 y=j-2xl의 그래프와 겹쳐지는 것은 ㄱ, ㄹ이다.
21
y=1a{x+2}3-1이라 하면 주어진 함수의 그래프가 점 {-1, 0}을 지나므로0=ja-1 / a=1 따라서 y=1x+23-1이므로 a=1, b=2, c=-1 / a+b+c=2
22
y=-1a{x+4}3+3 {a>0}이라 하면 주어진 함수의 그 래프가 점 {0, -1}을 지나므로-1=-j4ak+3, j4ak=4 / a=4
따라서 y=-14{x+4}3+3의 그래프가 점 {5, k}를 지 나므로
k=-14{5+4}3+3=-3
23
주어진 함수의 정의역은 9x|x<50, 치역은 9y|y<a0이 므로a=2, b=5 / a+b=7
24
y=-jax+bl-c=-ra[x+ ba ]y-c의 그래프는 y=-jaxk의 그래프를 x축의 방향으로 -ba 만큼, y축의 방향으로 -c만큼 평행이동한 것이므로 주어진 그래프에서 a>0, -b
a<0, -c<0 / a>0, b>0, c>0 y= a
x+b+c의 그래프는 y
O x -b y=a c
x {a>0}의 그래프를 x축의 방향으로 -b만큼, y축의 방향으 로 c만큼 평행이동한 것이고, -b<0, c>0이므로 오른쪽 그림 과 같다.
따라서 유리함수 y= a
x+b+c의 그래프의 개형은 ②이 다.
25
y=1a{x+b}3+c의 그래프는 y=jaxk의 그래프를 x축의 방향으로 -b만큼, y축의 방향으로 c만큼 평행이동한 것 이므로 주어진 그래프에서a<0, -b>0, c>0 / a<0, b<0, c>0 y=1b{x+c}3+a의 그래프는 y
x a -c
O y=jbxk {b<0}의 그래프를 x축
의 방향으로 -c만큼, y축의 방 향으로 a만큼 평행이동한 것이
고, -c<0, a<0이므로 위의 그림과 같다.
따라서 y=1b{x+c}3+a의 그래프는 제1, 4사분면을 지나 지 않는다.
26
y =j4-2xl+1 y 31 O 2 x
y=j4-l2xll+1
=1-2{x-2}3+1 이 함수의 그래프는 오른쪽 그림과 같이 제1, 2사분면 을 지난다.
따라서 옳지 않은 것은 ④이다.
27
y=ajbx+cl=arb[x+ cb ]y ㄴ. a>0, b<0, c>0이면-bC y
O x -c
b>0
따라서 주어진 함수의 그래프 는 오른쪽 그림과 같이 제1, 2 사분면을 지난다.
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
102 정답과 해설 | 유형편 |
28
직선 y=ax가 y=jx-4l의 그 y 4 xy=ax y=jx-4l O
래프에 접해야 하므로 ax=jx-4l에서 a@x@=x-4 / a@x@-x+4=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D=1-16a@=0
16a@=1 / a=1
4 {? a>0}
29
! 직선 y=x+k와 y=jx-1l y1 x
y=x+k
y=jx-1l O
!@ 의 그래프가 접할 때,
x+k=jx-1l에서 x@+2kx+k@=x-1
/ x@+{2k-1}x+k@+1=0 이 이차방정식의 판별식을 D 라 하면
D={2k-1}@-4{k@+1}=0, 4k=-3 / k=-3
4
@ 직선 y=x+k가 점 {1, 0}을 지날 때, 0=1+k / k=-1
!, @에 의하여 -1<k<-3 4
30
n{A5B}=Z이므로3$
y
x O y=j-3xl+4l
y=-x+k y=j-3x+4l의 그래프와 직
선 y=-x+k는 만나지 않아 야 한다.
직선 y=-x+k와
y=1-3x+43의 그래프가 접할 때,
-x+k=j-3x+4l에서 x@-2kx+k@=-3x+4 / x@-{2k-3}x+k@-4=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D={2k-3}@-4{k@-4}=0 12k=25 / k=25
12 따라서 k>25
12 이므로 정수 k의 최솟값은 3이다.
31
무리함수 y=jx+2l+4의 치역은 9y|y>40이므로 역함 수의 정의역은 9x|x>40이다.y=jx+2l+4에서 y-4=jx+2l, x+2={y-4}@
/ x={y-4}@-2 따라서 역함수는
y={x-4}@-2=x@-8x+14 {x>4}
따라서 a=-8, b=14, c=4이므로 a+b+c=10
32
{ f`J`g}_!{3}={g_!`J`f _!}{3}=g_!{ f _!{3}}f _!{3}=a ( a는 상수)라 하면 f{a}=3 j2a-4l+1=3 / a=4 / f _!{3}=4
g_!{4}=b ( b는 상수)라 하면 g{b}=4 jb+2l+2=4 / b=2 / g_!{4}=2
/ { f`J`g}_!{3}=g_!{ f _!{3}}=g_!{4}=2
33
y=f{x}의 그래프가 점 {1, 3}을 지나므로 f{1}=3에서 ja+bl+1=3/ a+b=4 yy ㉠
또 역함수 y=f _!{x}의 그래프가 점 {1, 3}을 지나므로 함수 y=f{x}의 그래프는 점 {3, 1}을 지난다.
f{3}=1에서 j3a+bl+1=1 / 3a+b=0 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, b=6 / a-b=-8
34
함수의 그래프와 직선 y=x의 교점은 함수의 그래프와 그 역함수의 그래프의 교점과 같다.j2x+8l=x에서
2x+8=x@, x@-2x-8=0
{x+2}{x-4}=0 / x=4 {? x>0}
따라서 교점의 좌표는 {4, 4}이므로 a=4, b=4 / ab=16
35
함수의 그래프와 직선 y=x의 교점은 함수의 그래프와 그 역함수의 그래프의 교점과 같다.jx-2l+2=x에서
jx-2l=x-2, x-2=x@-4x+4 x@-5x+6=0, {x-2}{x-3}=0 / x=2 또는 x=3
따라서 두 점 A, B의 좌표는 {2, 2}, {3, 3}이므로 ABZ=1{3-2}@+3{3-2}@3=j2
36
f{x}=jax+bl의 그래프가 두 점 {-6, 0}, {0, j6}을 지나므로j-6a+bl=0, jb=j6 / a=1, b=6 / f{x}=jx+6l
함수 y=f{x}의 그래프와 직선 y=x의 교점은 두 함수 y=f{x}, y=f _!{x}의 그래프의 교점과 같다.
jx+6l=x에서 x+6=x@, x@-x-6=0 {x+2}{x-3}=0 / x=3 {? x>0}
따라서 교점의 좌표는 {3, 3}이므로 c=3, d=3 / c+d=6
20 수학(하)_유형편_해설Ⅴ~Ⅵ(086~112)OK.indd 102 2019-06-27 오전 10:55:11
67~70쪽
1 6 2 ③ 3 9 4 ③ 5 ④
6 ① 7 11 8 ② 9 18 10 ② 11 ④ 12 ③ 13 ① 14 ⑤ 15 3 16 ③ 17 9 18 ② 19 24 20 18 21 4 22 540 23 84 24 36 25 ⑤ 26 35 27 66
1
! 두 눈의 수의 합이 6인 경우{1, 5}, {2, 4}, {3, 3}, {4, 2}, {5, 1}의 5가지
@ 두 눈의 수의 합이 12인 경우 {6, 6}의 1가지
!, @에 의하여 구하는 경우의 수는 5+1=6
2
! 두 눈의 수의 차가 0인 경우{1, 1}, {2, 2}, {3, 3}, {4, 4}, {5, 5}, {6, 6}의 6가지
@ 두 눈의 수의 차가 1인 경우
{1, 2}, {2, 1}, {2, 3}, {3, 2}, {3, 4}, {4, 3}, {4, 5}, {5, 4}, {5, 6}, {6, 5}의 10가지
!, @에 의하여 구하는 경우의 수는 6+10=16
3
! 세 수의 곱이 4인 경우{1, 1, 4}, {1, 4, 1}, {4, 1, 1}, {1, 2, 2}, {2, 1, 2}, {2, 2, 1}의 6가지
@ 세 수의 곱이 5인 경우
{1, 1, 5}, {1, 5, 1}, {5, 1, 1}의 3가지
!, @에 의하여 구하는 경우의 수는 6+3=9
4
1부터 100까지의 자연수 중에서! 3으로 나누어떨어지는 수, 즉 3의 배수는 3, 6, 9, y, 99의 33개
@ 5로 나누어떨어지는 수, 즉 5의 배수는 5, 10, 15, y, 100의 20개
# 3과 5의 최소공배수인 15의 배수는 15, 30, 45, 60, 75, 90의 6개
!, @, #에 의하여 3 또는 5로 나누어떨어지는 수의 개 수는
33+20-6=47
따라서 구하는 자연수의 개수는 100-47=53
5
x, y, z가 자연수이므로 x>1, y>1, z>1 2x+y+z=7에서 2x<7/ x=1 또는 x=2 또는 x=3
! x=1일 때, y+z=5이므로 순서쌍 {y, z}는 {1, 4}, {2, 3}, {3, 2}, {4, 1}의 4개
@ x=2일 때, y+z=3이므로 순서쌍 {y, z}는 {1, 2}, {2, 1}의 2개
# x=3일 때, y+z=1이므로 순서쌍 {y, z}는 없다.
!, @, #에 의하여 구하는 순서쌍 {x, y, z}의 개수는 4+2=6
6
x, y가 자연수이므로 x>1, y>1 2x+5y<15에서 5y<15 / y=1 또는 y=2! y=1일 때, 2x+5<15에서 x<5이므로 x는 1, 2, 3, 4, 5의 5개
@ y=2일 때, 2x+10<15에서 x<5
2 이므로 x는 1, 2의 2개
!, @에 의하여 구하는 순서쌍 {x, y}의 개수는 5+2=7
66쪽
1 ⑴ 7 ⑵ 59 2 ⑴ 6 ⑵ 7 3 ⑴ 9 ⑵ 10 4 ⑴ 12 ⑵ 36 5 ⑴ 9 ⑵ 8 6 ⑴ 4 ⑵ 16 ⑶ 8