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104 정답과 해설 | 유형편 |
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한 개의 가격이 200원, 300원, 500원인 볼펜을 각각 x개, y개, z개 산다고 하면200x+300y+500z=3000 / 2x+3y+5z=30 yy ㉠
이때 3종류의 볼펜을 적어도 하나씩 사야하므로 x, y, z 는 자연수이어야 한다.
즉, 구하는 방법의 수는 방정식 ㉠을 만족시키는 자연수 x, y, z의 순서쌍 {x, y, z}의 개수와 같다.
㉠에서 5z<30
/ z=1 또는 z=2 또는 z=3 또는 z=4 또는 z=5
! z=1일 때, 2x+3y=25이므로 순서쌍 {x, y}는 {11, 1}, {8, 3}, {5, 5}, {2, 7}의 4개
@ z=2일 때, 2x+3y=20이므로 순서쌍 {x, y}는 {7, 2}, {4, 4}, {1, 6}의 3개
# z=3일 때, 2x+3y=15이므로 순서쌍 {x, y}는 {6, 1}, {3, 3}의 2개
$ z=4일 때, 2x+3y=10이므로 순서쌍 {x, y}는 {2, 2}의 1개
% z=5일 때, 2x+3y=5이므로 순서쌍 {x, y}는 {1, 1}의 1개
!~%에 의하여 구하는 방법의 수는 4+3+2+1+1=11
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2\2\2=89
a, b에 x, y, z를 각각 곱하여 항이 만들어지고, 그것에 다시 p, q, r를 각각 곱하여 항이 만들어지므로 구하는 항 의 개수는2\3\3=18
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백의 자리에 올 수 있는 숫자는 2, 4, 6, 8의 4가지 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 1, 3, 5, 7, 9의 5가지 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 2, 3, 5, 7의 4가지 따라서 구하는 자연수의 개수는4\5\4=80
11
! 모든 경우의 수는 6\6\6=216@ 서로 다른 세 개의 주사위에서 모두 짝수의 눈이 나오 는 경우의 수는 3\3\3=27
!, @에 의하여 구하는 경우의 수는 216-27=189
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360=2#\3@\5이므로 360의 양의 약수의 개수는 {3+1}{2+1}{1+1}=2413
120=2#\3\5, 320=2^\5이므로 120과 320의 최대공 약수는 40=2#\5따라서 구하는 양의 공약수의 개수는 2#\5의 양의 약수 의 개수와 같으므로
{3+1}{1+1}=8
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180=2@\3@\5이때 짝수는 2를 소인수로 가지므로 180의 양의 약수 중 에서 짝수의 개수는 2\3@\5의 양의 약수의 개수와 같다.
/ a={1+1}{2+1}{1+1}=12
또 3의 배수는 3을 소인수로 가지므로 180의 양의 약수 중에서 3의 배수의 개수는 2@\3\5의 양의 약수의 개수 와 같다.
/ b={2+1}{1+1}{1+1}=12 / a+b=12+12=24
15
2$\3#\7N의 양의 약수의 개수가 80이므로 {4+1}{3+1}{n+1}=80, n+1=4 / n=316
4명의 학생을 각각 A, B, C, D라 하고, 4명의 학생이 쓴 보고서를 각각 a, b, c, d라 할 때, 4명의 학생이 보고서 를 바꿔 보는 방법을 수형도로 나타내면 다음과 같다.
A B C D
a d c b c d a d a c c a d b
d a b
b a d
a b c
c a b
b a
따라서 구하는 방법의 수는 3+3+3=9
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a2=2, ak=k {k=1, 3, 4, 5}를 만족시키는 경우를 수형 도로 나타내면 다음과 같다.
a1 a2 a3 a4 a5 1 5 4 3 2 4 5 1 5 1 4 4 2 1 5 3 5 1 3 3 1 5 2 1 3 4 4 1 3 3 1
따라서 구하는 자연수의 개수는 3+3+3=9
20 수학(하)_유형편_해설Ⅴ~Ⅵ(086~112)OK.indd 104 2019-06-27 오전 10:55:11
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5명의 학생 A, B, C, D, E의 가방을 각각 a, b, c, d, e 라 할 때, A만 자신의 가방을 드는 방법을 수형도로 나타 내면 다음과 같다.
A B C `D E b e d c d e b e b d b e c a d
e b c c b b c d e d b c c b
이때 B만 자신의 가방을 드는 방법, y, E만 자신의 가방 을 드는 방법도 각각 9가지이므로 구하는 방법의 수는 9\5=45
19
집 → 도서관 → 편의점 → 집으로 가는 방법의 수는 4\2\3=2420
! B → A → D를 이용하는 방법의 수는 2\2=4@ B → C → D를 이용하는 방법의 수는 2\1=2
# B → A → C → D를 이용하는 방법의 수는 2\2\1=4
$ B → C → A → D를 이용하는 방법의 수는 2\2\2=8
!~$에 의하여 구하는 방법의 수는 4+2+4+8=18
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B 지점과 D 지점 사이에 x개의 도로를 추가한다고 하면! A → B → C를 이용하는 방법의 수는 3\3=9
@ A → D → C를 이용하는 방법의 수는 2\2=4
# A → B → D → C를 이용하는 방법의 수는 3\x\2=6x
$ A → D → B → C를 이용하는 방법의 수는 2\x\3=6x
!~$에 의하여 A 지점에서 D 지점으로 가는 방법의 수는 9+4+6x+6x=61
12x=48 / x=4
따라서 추가해야 하는 도로의 개수는 4이다.
22
B에 칠할 수 있는 색은 5가지, A에 칠할 수 있는 색은 B 에 칠한 색을 제외한 4가지, C에 칠할 수 있는 색은 A와 B에 칠한 색을 제외한 3가지, D에 칠할 수 있는 색은 B 와 C에 칠한 색을 제외한 3가지, E에 칠할 수 있는 색은 B와 D에 칠한 색을 제외한 3가지이다.따라서 구하는 방법의 수는 5\4\3\3\3=540
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! B와 D에 서로 같은 색을 칠하는 경우A에 칠할 수 있는 색은 4가지, B에 칠할 수 있는 색 은 A에 칠한 색을 제외한 3가지, D에 칠할 수 있는 색은 B와 같은 색이므로 1가지, C에 칠할 수 있는 색 은 B, D에 칠한 색을 제외한 3가지이다.
따라서 B와 D에 서로 같은 색을 칠하는 방법의 수는 4\3\1\3=36
@ B와 D에 서로 다른 색을 칠하는 경우
A에 칠할 수 있는 색은 4가지, B에 칠할 수 있는 색 은 A에 칠한 색을 제외한 3가지, D에 칠할 수 있는 색은 A와 B에 칠한 색을 제외한 2가지, C에 칠할 수 있는 색은 B와 D에 칠한 색을 제외한 2가지이다.
따라서 B와 D에 서로 다른 색을 칠하는 방법의 수는 4\3\2\2=48
!, @에 의하여 구하는 방법의 수는 36+48=84
24
오른쪽 그림과 같이 5개의 영역을 A, B,A B
E D C C, D, E라 하자.
! C와 D에 서로 같은 색을 칠하는 경우 B에 칠할 수 있는 색은 3가지, A에 칠할 수 있는 색은 B에 칠한 색을 제 외한 2가지, C에 칠할 수 있는 색은
B에 칠한 색을 제외한 2가지, D에 칠할 수 있는 색은 C와 같은 색이므로 1가지, E에 칠할 수 있는 색은 C, D에 칠한 색을 제외한 2가지이다.
따라서 C와 D에 서로 같은 색을 칠하는 방법의 수는 3\2\2\1\2=24
@ C와 D에 서로 다른 색을 칠하는 경우
B에 칠할 수 있는 색은 3가지, A에 칠할 수 있는 색 은 B에 칠한 색을 제외한 2가지, C에 칠할 수 있는 색 은 B에 칠한 색을 제외한 2가지, D에 칠할 수 있는 색 은 B와 C에 칠한 색을 제외한 1가지, E에 칠할 수 있 는 색은 C와 D에 칠한 색을 제외한 1가지이다.
따라서 C와 D에 서로 다른 색을 칠하는 방법의 수는 3\2\2\1\1=12
!, @에 의하여 구하는 방법의 수는 24+12=36
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10원짜리 동전 3개로 지불할 수 있는 방법은 0개, 1개, 2개, 3개의 4가지100원짜리 동전 3개로 지불할 수 있는 방법은 0개, 1개, 2개, 3개의 4가지
106 정답과 해설 | 유형편 |
500원짜리 동전 2개로 지불할 수 있는 방법은 0개, 1개, 2개의 3가지
이때 0원을 지불하는 1가지 경우를 빼주어야 하므로 구하 는 방법의 수는
4\4\3-1=47
26
5000원짜리 지폐 2장으로 지불할 수 있는 금액과 10000 원 짜리 지폐 1장으로 지불할 수 있는 금액이 중복되므로 10000원짜리 지폐 3장을 5000원짜리 지폐 6장으로 바꾸 어 생각하면 지불할 수 있는 금액의 수는 1000원짜리 지 폐 3장과 5000원짜리 지폐 8장으로 지불할 수 있는 금액 의 수와 같다.1000원짜리 지폐 3장으로 지불할 수 있는 금액은 0원, 1000원, 2000원, 3000원의 4가지
5000원짜리 지폐 8장으로 지불할 수 있는 금액은 0원, 5000원, 10000원, …, 40000원의 9가지
이때 0원을 지불하는 1가지 경우를 빼주어야 하므로 구하 는 금액의 수는
4\9-1=35
27
! 지불할 수 있는 방법의 수1000원짜리 지폐 1장으로 지불할 수 있는 방법은 0장, 1장의 2가지
500원짜리 동전 4개로 지불할 수 있는 방법은 0개, 1개, 2개, 3개, 4개의 5가지
100원짜리 동전 3개로 지불할 수 있는 방법은 0개, 1개, 2개, 3개의 4가지
이때 0원을 지불하는 1가지 경우를 빼주어야 하므로 구하는 방법의 수는
a=2\5\4-1=39
@ 지불할 수 있는 금액의 수
500원짜리 동전 2개로 지불할 수 있는 금액과 1000원 짜리 지폐 1장으로 지불할 수 있는 금액이 중복되므로 1000원짜리 지폐 1장을 500원짜리 동전 2개로 바꾸어 생각하면 지불할 수 있는 금액의 수는 500원짜리 동전 6개, 100원짜리 동전 3개로 지불할 수 있는 금액의 수 와 같다.
500원짜리 동전 6개로 지불할 수 있는 금액은 0원, 500원, 1000원, y, 3000원의 7가지 100원짜리 동전 3개로 지불할 수 있는 금액은 0원, 100원, 200원, 300원의 4가지
이때 0원을 지불하는 1가지 경우를 빼주어야 하므로 구하는 금액의 수는
b=7\4-1=27
!, @에 의하여 a+b=39+27=66
72~75쪽
1 3 2 ③ 3 5 4 ③ 5 564 6 720 7 ② 8 7 9 240 10 720 11 576 12 ① 13 ⑤ 14 ③ 15 ③ 16 2400 17 ④ 18 12 19 288 20 150 21 ⑤ 22 108 23 3 24 600 25 24 26 60 27 ③ 28 40번째 29 ⑤ 30 ①
1
5Pr\4?=1440에서 5Pr=60=5\4\3 / r=32
2nP3=52\nP2에서2n{2n-1}{2n-2}=52n{n-1}
2n-1=13 {? n>2}
/ n=7
3
n'1P3-4\nP2-10\n-1P1=0에서{n+1}n{n-1}-4n{n-1}-10{n-1}=0 n{n+1}-4n-10=0 {? n>2}
n@-3n-10=0 {n+2}{n-5}=0 / n=5 {? n>2}
71쪽
1 ⑴ 24 ⑵ 30 ⑶ 1 ⑷ 6 2 ⑴ 2 ⑵ 24 ⑶ 720 ⑷ 1 3 ⑴ 7 ⑵ 3 ⑶ 3 ⑷ 6 4 ⑴ 12 ⑵ 210
5 ⑴ 120 ⑵ 60 ⑶ 20 6 ⑴ 24 ⑵ 6 ⑶ 12 7 ⑴ 24 ⑵ 12 ⑶ 12