도함수의 활용

1 ^{접선의 방정식}

접선의 기울기와 미분계수

유형 1

443.^443.곡선    ^     위의 점     에서 접하는 직선의 기울기는?

[2점][2005(가) 7월/교육청 2]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

444.^444.곡선    

^  위의 두 점   ,    에서의 접선이 서로 수직일 때, 상수  의 값은?

[4점][2012(나) 10월/교육청 15]

①   ②   ③ 

④  ⑤ 

445.^445.미분가능한 함수       의 그래프 위의 한 점 P   에서의 접선의 방정식이      이다.

이 때, lim

→ ∞ 





^



^{  }





^{   }



^{의 값은?}

[3점][2005(가) 10월/교육청 6]

①  ② 

 ③ 



④ 

 ⑤ 



446.^446.다항함수  에 대하여 곡선    위의 점  에서의 접 선의 기울기가 이다.    ^  일 때,  ′의 값을 구하시오.

[4점][2013(A) 6월/평가원 26]

447.^447.곡선   ^    위의 점  에서의 접선과 수직인 직선의 기울기가  

이다. 두 상수 , 에 대하여   의 값을 구하시오.

[4점][2017(나) 수능 26]

448.^448.서로 다른 두 점에서 만나는 두 곡선

_   ^    , _    ^   

의 한 교점을 P 라 하고, 점 P 에서 두 곡선 _, _에 접하는 직선을 각각  ,  이라 하자.

두 접선  ,  이 서로 수직일 때, 곡선 _는 두 실수  ,  의 값에 관 계없이 일정한 점 Q 를 지난다. 다음은 점 Q 의 좌표를 구하는 과정이 다.

 ^    ,   ^    라 하고, 두 곡선 _, _의 한 교점 P 의  좌표를  라 하자.

두 접선  ,  이 서로 수직이므로

 ′ ′   에서

 ^     가    ⋯⋯ ㉠

 에서

 ^         ⋯⋯ ㉡

㉠, ㉡에서   나   를    ^    에 대입하고

 에 관하여 정리하면,

   ^   나    ⋯⋯ ㉢

㉢에서      ,  ^   나    을 만족시키는

 와  의 값을 구하면 점 Q 의 좌표는 ^{ 다 } ^이다.

위의 (가)에 알맞은 식을 라 하고, (나)와 (다)에 알맞은 수를 각각

 ,  라 할 때,    ×  의 값은?

[4점][2016(나) 10월/교육청 18]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

접점이 주어질 때, 접선의 방정식

유형 2

449.^449.곡선    ^  위의 점   에서의 접선의 방정식이

     이다.    의 값을 구하시오. (단, ,  는 상수이다.) [4점][2012(나) /수능 26]

450.^450.곡선   ^ ^    위의 점    에서의 접선의 방정 식을      이라 할 때, 상수   에 대하여    의 값은?

[3점][2013(A) 7월/교육청 7]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

451.^451.곡선    ^  위의 점  에서의 접선이 점   

를 지날 때,  의 값을 구하시오.

[4점][2014(A) 6월/평가원 27]

452.^452.곡선   ^ ^  위의 점   에서의 접선이 점  

를 지날 때, 상수  의 값을 구하시오.

[4점][2011(나) 6월/평가원 27]

453.^453.곡선   ^  위의 점 P   에서의 접선의 방정식을

     이라 할 때, 세 수    의 합을 구하시오.

[3점][2009(가) 9월/평가원 18]

454.^454.삼차함수    ^ ^   의 그래프 위의 점  

에서의 접선의 방정식이     이다.   의 값은? (단,  는 상 수이다.)

[4점][2013(나) /수능 15]

①  ②  ③ 

455.^455.곡선   ^    위의 점      에서의 접선과 수직인 직 선의 기울기가  

이다. 상수  ,  에 대하여 ^ ^의 값은?

[3점][2014(A) 7월/교육청 10]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

456.^456.곡선   ^   위의 점    에서의 접선과  축,  축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를  라 할 때,   의 값을 구하시오.

[3점][2011(나) 10월/교육청 24]

457.^457.삼차함수 에 대하여 곡선    위의 점  에서의 접선과 직선    

  가 서로 수직일 때,

lim

 → ∞





^



^{  }





^{ }



^{  }





^{의 값은?}

[3점][2014(B) 4월/교육청 8]

① 

 ②  ③ 



④ 

 ⑤ 



458.^458.곡선   ^    위의 점 P    에서의 접선이 점 P 가 아닌 점   에서 곡선과 만난다.    의 값을 구하시오.

[4점][2013(A) 9월/평가원 27]

459.^459.곡선   ^  위의 점 A    에서의 접선이 점 A 가 아 닌 점 B 에서 곡선과 만난다. 선분 AB 의 길이는?

[4점][2012(나) 6월/평가원 17]

①



^ ②



^ ③ 



^

④ 



^ ⑤ 



^

460.^460.삼차함수    ^ 가 있다. 곡선    위의 점 A      에서의 접선이 이 곡선과 만나는 다른 한 점을 B 라 하자. 또, 곡선    위의 점 B 에서의 접선이 이 곡선과 만나는 다른 한 점을 C 라 하자. 두 점 B , C 의  좌표를 각각  ,  라 할 때,

      을 만족시킨다. 상수  의 값은?

[4점][2013(A) 10월/교육청 20]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

461.^461.곡선   ^ 위의 점 P ^ 에서의 접선과 원점 사이의 거리를

   라 하자. lim

 → ∞



  

  일 때,  의 값을 구하시오.

[3점][2006(가) 9월/평가원 20]

462.^462.함수 가   ^이라 하자. 함수 의 도함수가

이고, 곡선    위의 점  에서의 접선의  절편이

 일 때, 이 접선의  절편은?

[3점][2015(A) 6월/평가원 13]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

기울기가 주어질 때, 접선의 방정식

유형 3

463.^463.사차함수    ^ ^ ^ 의 그래프 위의 점  에 서의 접선의 기울기가 일 때, ^ ^의 값을 구하시오.

[3점][2007(가) 수능(홀) 18]

464.^464.함수       에 대하여 직선       와 함수    의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만날 때, 양수 의 값 은?

[4점][2015(A) /수능 14]

①  ② 

 ③ 

④ 

 ⑤ 

465.^465.곡선   ^ ^    위의 서로 다른 두 점 A , B에서의 접 선이 서로 평행하다. 점 A 의 좌표가 일 때, 점 B에서의 접선의 절 편의 값은?

[4점][2013(A) 6월/평가원 17]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

466.^466.곡선   ^ ^ 가 직선     에 접하도록 하는 상수

의 값은?

[4점][2015(가) 11월/교육청(고2) 15]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

467.^467.직선       에 수직이고 곡선   ^   에 접하 는 직선의 방정식을     이라 할 때, 두 상수 ,  의 합

  의 값은?

[3점][2015(가) 9월/교육청(고2) 10]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

468.^468.곡선   

^ 

    위를 움직이는 점 P 와 직선

       사이의 거리를 최소가 되게 하는 고선 위의 점 P 의 좌 표를  라 할 때,   의 값을 구하시오.

[4점][2014(A) 9월/평가원 27]

469.^469.곡선   

^

위의 점 P



^{ }

^



에서 접하는 직선을  이라 하 자. 직선  과 수직인 직선 중 곡선   

^

에 접하는 직선을  이라

하고, 직선  과 곡선   

^

의 접점을 Q 라 하자.

 축과 직선 PQ 가 점 R 에서 만날 때, 점 R 의  좌표는? (단,  ≠  ) [4점][2014(A) 10월/교육청 21]

① 

 ② 

 ③ 



④ 

 ⑤ 



기울기가 주어질 때, 접선의 활용

유형 4

470.^470.곡선   ^ ^    위에 세 점 A      , B    , C     가 있다. 곡선 위에서 두 점 A , B 사이를 움직이는 점 P와 곡선 위에서 두 점 B, C 사이를 움직이는 점 Q 에 대하여 사각형 AQCP의 넓이가 최대가 되도록 하는 두 점 P , Q의 좌표의 곱은?

[3점][2014(B) 7월/교육청 7]

O 



A

Q C P

B

① 

 ② 

 ③ 



④ 

 ⑤ 



곡선 밖의 점이 주어진 경우의 접선

유형 5

471.^471.점    에서 곡선   ^  에 그은 접선이  축과 만나는 점의 좌표를    이라 할 때,  의 값은?

[4점][2011(나) 9월/평가원 15]

① 

 ② 

 ③ 



④ 

 ⑤ 



곡선과 직선이 접할 때, 미정계수 결정

유형 6

472.^472.곡선   ^ 위의 점   에서의 접선이 곡선

  ^   에 접할 때, 상수 의 값은?

[3점][2009(가) 6월/평가원 4]

①   ②   ③  

④   ⑤  

473.^473.곡선   ^  위의 점      에서의 접선이 곡선   ^    에 접할 때, 상수  의 값을 구하시오.

[3점][2011(가) 4월/교육청 23]

2 ^{함수의 극대와 극소}

다항함수의 증가와 감소

유형 1

474.^474.함수    

^ ^  의 역함수가 존재하도록 하는 상 수  의 최댓값은?

[4점][2011(나) 9월/평가원 18]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

475.^475.함수  

^   이 열린구간   에서 감소할 때, 양수  의 최댓값을 구하시오.

[4점][2015(A) 6월/평가원 27]

476.^476.함수      ^ ^         이 실수 전체의 집합에 서 증가하도록 하는 실수  의 최댓값은?

[3점][2010(가) 10월/교육청 6]

①  

 ②   ③  



④   ⑤  



477.^477.함수  ^  ^ 에 대하여 곡선    위의 점  에서의 접선의 절편을 라 하자. 함수 가 열린구간

 에서 증가할 때, 의 최솟값을 구하시오.

[3점][2010(가) 9월/평가원 21]

다항함수의 극대와 극소

유형 2

478.^478.함수     ^ ^    의 극댓값  , 극솟값을  이 라 할 때,  의 값을 구하시오.

[3점][2006(가) 9월/평가원 19]

479.^479.함수    ^  가    에서 극댓값  를 가질 때,    의 값을 구하시오.

[3점][2008(가) 수능(홀) 18]

480.^480.삼차함수   ^    이    ,    에서 극값을 가 질 때, 두 점   ,     를 지나는 직선의 기울기는?

[3점][2009(가) 10월/교육청 4]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

481.^481.다항함수    는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) lim

 → ∞^

   

 

(나)     과    에서 극값을 갖는다.

lim

 → 

          

의 값은?

[3점][2012(가) 3월/교육청 7]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

482.^482.함수    

^ ^ 는    에서 극솟값  를 가진다.

함수    의 그래프 위의 점   에서 접하는 직선을  이라 할 때, 점   에서 직선  까지의 거리가  이다. ^의 값을 구하 시오.

[4점][2008(가) 6월/평가원 20]

극대․극소를 이용한 미정계수 결정

유형 3

483.^483.함수      ^     의 극솟값이  일 때, 상수  의 값을 구하시오.

[3점][2011(가) /수능 18]

484.^484.함수   ^ ^    의 극댓값이  일 때, 상수  의 값은?

[3점][2013(A) 10월/교육청 11]

①  ②  ③ 

④ 　 ⑤ 

485.^485.함수    ^ ^    의 극댓값이  일 때, 상수  의 값은?

[4점][2014(A) 6월/평가원 16]

①   ②   ③  

④   ⑤  

486.^486.함수    ^  ^   가   에서 극댓값  을 가 질 때,    의 값을 구하시오. (단, 는 상수이다.)

[3점][2014(A) /수능 25]

487.^487.두 상수   에 대하여 함수     ^ ^    가    에서 극댓값 을 가질 때,  의 값을 구하시오.

[3점][2006(가) 6월/평가원 18]

488.^488.함수    ^ ^ 의 모든 극값의 곱이  일 때, 상수  의 값은?

[4점][2014(A) 9월/평가원 17]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

489.^489.두 다항함수  와  가 모든 실수 에 대하여

    ^  

를 만족시킨다.  가   에서 극솟값 를 가질 때,

   ′의 값을 구하시오.

[4점][2015(A) /수능 29]

축에 접하는 다항함수의 그래프

유형 4

삼차함수가 극값을 가질 조건

유형 5

3 ^{함수의 그래프}

도함수의 그래프와 극값

유형 1

490.^490.함수   의 도함수  ′가  ′  ^ 이고 함수

   가    에서 극값을 가질 때, 상수  의 값은?

[3점][2015(A) 9월/평가원 13]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

491.^491.그림은 삼차함수 의 도함수  ′의 그래프이다.

함수 에 대한 설명 중 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것 은?

[3점][2011(나) 7월/교육청 10]

ㄱ. 함수 는   에서 감소상태에 있다.

ㄴ. 함수 는   에서 극댓값을 갖는다.

ㄷ. 함수   의 그래프는 축과 오직 한 점에서 만난다.

< 보 기 >

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

도함수 그래프의 활용

유형 2

492.^492.최고차항의 계수가 양수인 사차함수  가 다음 조건을 만족시 킨다.

 ′     이 서로 다른 세 실근        를 갖고,

       ＜이다.

<보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

[3점][2008(가) 수능(홀) 6]

ㄱ. 함수  는   에서 극댓값을 갖는다.

ㄴ. 방정식    은 서로 다른 두 실근을 갖는다.

ㄷ.   ＞이면 방정식    은  보다 작은 실근을 갖는 다.

< 보 기 >

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

493.^493.최고차항의 계수가 인 사차함수 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가)  ′ ,  ′ 

(나) 어떤 양수 에 대하여 두 열린구간  ∞ ,  에서

 ′ 이다.

<보기>에서 옳은 것만을 있는 것을 고른 것은?

[4점][2018학년(나) 수능 20]

ㄱ. 방정식  ′ 은 열린구간  에서 한 개의 실근을 갖는 다.

ㄴ. 함수 는 극댓값을 갖는다.

ㄷ.  이면, 모든 실수 에 대하여 _{≥ }



이다.

< 보 기 >

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

두 다항함수의 도함수의 극대․극소

유형 3

대칭성을 갖는 함수의 극대․극소

유형 4

494.^494.최고차항의 계수가  인 삼차함수     가 다음 조건을 만족시킬 때,     의 극댓값을 구하시오.

[4점][2012(나) 10월/교육청 29]

(가) 모든 실수  에 대하여  ′      ′     이다.

(나) 함수     는    에서 극솟값  을 갖는다.

495.^495.그림은 원점 O 에 대하여 대칭인 삼차함수 의 그래프이다.

곡선     와  축이 만나는 점 중 원점이 아닌 점을 각각 A , B 라 하고, 함수    의 극대, 극소인 점을 각각 C, D 라 하자.

점 D 의  좌표가 

이고 사각형 ADBC 의 넓이가



^ 일 때, 함수

   의 극댓값은?

[3점][2008(가) 10월/교육청 7]

①  ② 

 ③ 



④ 



^

⑤



^

496.^496.그림과 같이 함수    의 도함수  ′ 의 그래프가  축에 대하 여 대칭이고    일 때 위로 볼록하다.





   ′

함수   에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

(단,  ′    ′    ′   )

[4점][2012(가) 10월/교육청 19]

ㄱ. 함수   는    에서 극값을 갖는다.

ㄴ.     이면 함수  의 극댓값과 극솟값의 합은  이 다.

ㄷ.    이면 방정식    은 오직 하나의 실근을 갖는 다.

< 보 기 >

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ

문서에서  의 값을 구하시오.    [3점][2004(나) 4월/교육청 24] 5. 두 수열 (페이지 73-83)