C D
B A 뿔을만들면두원뿔은닮은도형이고,원
뿔대의두밑면의넓이가각각4x,x이므 로두원뿔의밑넓이의비는4 : 1이다.
이때 큰 원뿔과 작은 원뿔의 닮음비는
2 : 1이므로높이의비는
^-PC^ : ^-PA^-=2 : 1 .t3^-PA^-=^-AC^ =x+5
(원뿔의부피)=1/3\(밑넓이)\(높이)이고원뿔대의부피는
큰원뿔의부피에서작은원뿔의부피를빼면되므로 1
/
3\4x\(2x+10)-1/3\x\(x+5)=700
4x(2x+10)-x(x+5)=2100 7x^2+35x-2100=0,x^2+5x-300=0 (x+20)(x-15)=0
.t3x=-20또는x=15
그런데x>0이므로x=15 답15
1 ③ 2 ⑤ 3 12 4 -30 5 ④
6 ⑤ 7 ① 8 7 9 -2 10 1
11 1 12 2 13 -4 14 ① 15 ④
16 4,6,8 17 -3+rt15 18 ② 19 15&-rt37
2 20 ⑤ 21 ② 22 ⑤
23 169
본문 80~82쪽
대단원 평가 문제
1
3x^2+2=x(ax-7)에서3x^2+2=ax^2-7x (3-a)x^2+7x+2=0이차방정식이되려면3-a≠0이어야하므로a≠3
따라서a의값이될수없는것은③이다. 답③
2
각방정식에x=2를대입하면①2^2-2\2=0
②2\(2-2)=0
③2^2-2-2=0
④2\2^2-2-6=0
⑤3\2^2+5\2-2=20≠0
따라서x=2를해로갖지않는것은⑤이다. 답⑤
3
(x+2)(5x-1)=0에서 x=-2또는x=1/5그런데a>b이므로a=1/5,b=-2
.t310a-5b=10\1/5-5\(-2)=12 답12
4
2x^2-10x+11=0에서x^2-5x=-11/2 x^2-5x+( -52 )^^2=-11/2+( -52 )^^2 (x-5/2)^^2=3/4따라서a=-5/2,b=3/4이므로
16ab=16\(-5/2)\3/4=-30 답-30
5
3x-8=(x-3)(2x+1)에서 3x-8=2x^2-5x-3,2x^2-8x+5=0 .t3x= -(-4)±rt(-4)^2-2\5x2= 4±rt62 답④
6
2x^2-3x+k+1=0이해를가지므로 (-3)^2-4\2\(k+1)≥0 9-8k-8≥0,-8k≥-1 .t3k≤1/8따라서k의값이될수없는것은⑤이다. 답⑤
7
x^2-mx+n^2=0의한근이m-2n이므로방정식에대입하면 (m-2n)^2-m(m-2n)+n^2=08
4x^2-5x-21=0에서(4x+7)(x-3)=0 .t3x=-7/4또는x=3따라서x^2-7x+2(k-1)=0의한근이x=3이므로 대입하면
.t3a=-2또는a=1/2 .c3.c3㉠
이때ax+y=-1에서
즉,(기울기)>0이므로-a>0
.t3a<0
따라서㉠에서조건을만족시키는a의값은
a=-2 답-2
10
x^2-4(x+a)=2x-1에서 x^2-6x-4a+1=0 중근을가지므로-4a+1=( -6
2
&
)^^2=9 .t3a=-2x^2-6x-4a+1=0에a=-2를대입하면
.t3x= -(-9)±rt(-9)^2-4\4\x4w2\4
= 9±rt178 r1
par4<rt17<5이므로13<9+rt17<14 .t313/8< 9+rt178 <14/8
r2
par-5<-rt17<-4이므로4<9-rt17<5 .t34/8< 9-rt178 <5/8
r1
par,r2par에의하여두해9-rt178 과 9+rt17
8 사이에있는정수
는1이다. 답1
12
x^2-3x+k^2-k=0의두근을alpha,alpha+1이라하면 두근의합에서alpha+(alpha+1)=3이므로2alpha+1=3 .t3alpha=1
두근의곱에서alpha(alpha+1)=k^2-k이므로 k^2-k=2,k^2-k-2=0
즉,2x^2-8x+5=x^2+4x+m이므로 x^2-12x+5-m=0
해가x=6±3rt3이므로근과계수의관계에의하여 (두근의곱)=(6+3rt3&~)(6-3rt3&~)=5-m
5-m=9 .t3m=-4 답-4
Ⅲ. 이차방정식
49
책1.indb 49 19. 8. 30. 오후 4:54
14
2x^2-10x-1=0에서근과계수의관계에의하여 (두근의합)=alpha+beta=- -102 =5 (두근의곱)=alphabeta=-1/2
따라서5,-1/2을두근으로하고x^2의계수가2인이차방정 식은
2(x-5)(x+1/2)=0 .t32x^2-9x-5=0 답①
15
율미는상수항을제대로보았으므로 (두근의곱)=(-3)\7=-21에서처음이차방정식의상수항은-21이다.
준호는x의계수를제대로보았으므로 (두근의합)=(-2+rt3&~)+(-2-rt3&~)=-4 에서처음이차방정식의x의계수는4이다.
따라서처음이차방정식은x^2+4x-21=0
(x+7)(x-3)=0 .t3x=-7또는x=3 답④
다른 풀이
율미는상수항을제대로보았으므로
(x+3)(x-7)=0,x^2-4x-21=0 에서처음이차방정식의상수항은-21이다.
준호는x의계수를제대로보았으므로 (x+2+rt3&~)(x+2-rt3&~)=0
x+2=A라하면
(A+rt3&~)(A-rt3&~)=0,A^2-3&&~=0
A=x+2를대입하면
(x+2)^2-3=0,x^2+4x+1=0
즉,처음이차방정식의x의계수는4이다.
따라서처음이차방정식은x^2+4x-21=0 (x+7)(x-3)=0 .t3x=-7또는x=3
16
연속하는세짝수를x-2,x,x+2라하면 (x-2)^2\3=x(x+2)3x^2-12x+12=x^2+2x
2x^2-14x+12=0,x^2-7x+6=0 (x-1)(x-6)=0 .t3x=1또는x=6 그런데x>2이므로x=6
따라서연속하는세짝수는4,6,8이다. 답4,6,8
17
새로운원의반지름의길이는(3+x)cm이므로 π\3^2 : π\(3+x)^2=3 : 545π=3π(x^2+6x+9) x^2+6x-6=0
.t3x=-3±rt3^2-1\(-6x)w=-3±rt15
그런데x>0이므로x=-3+rt15 답-3+rt15
다른 풀이
두원은닮은도형이고넓이의비가3 : 5이므로닮음비는 rt3 : rt5
닮은두원에서반지름의길이의비는닮음비와같으므로 3 : (3+x)=rt3 : rt5,rt3&(3+x)=3rt5
3+x=rt15 .t3x=-3+rt15
18
점A가y=-2x+8의그래프위의점이므로점A의x좌표 를a라하면y좌표는-2a+8이다..t3semoAOB=1/2\^-OB^-\^-AB^
=1/2\a\(-2a+8)
=-a^2+4a
semoAOB의넓이가4이므로
-a^2+4a=4
a^2-4a+4=0,(a-2)^2=0 .t3a=2
이때-2a+8=-2\2+8=4이므로점A의좌표는
(2,4) 답②
19
x^2-5x-3=0에서x= -(-5)±rt(-5)^2-4\1\(-3x)w2
= 5±rt372
이때6<rt37<7이므로양수인해는5+rt372 이고, 11<5+rt37<12,11/2< 5+rt372 <6이므로 정수부분은a=5
소수부분은b= 5+rt372 -5=rt37&-5 2 .t3a-b=5- rt37&-52 =15-rt37
2 답 15-rt372
20
x^2-2007x-2008=0에서2008=A로치환하면 x^2-(A-1)x-A=0,(x+1)(x-A)=0 .t3x=-1또는x=A즉,x=-1또는x=2008이므로
a=2008
2008^2x^2+2007\2009x-1=0에서2008=A로치환하면 A^2x^2+(A-1)(A+1)x-1=0
A^2x^2+(A^2-1)x-1=0,(x+1)(A^2x-1)=0 .t3x=-1또는x= 1
A^2 즉,x=-1또는x= 1
2008^2이므로
b=-1
.t3a-b=2008-(-1)=2009 답⑤
21
2x^2-30x+k=0에서근과계수의관계에의하여이를만족시키는순서쌍(m,n)은(3,2),(4,1) 그런데a>b>3이므로(m,n)=(3,2)
.t3a=9,b=6
.t3k=2ab=2\9\6=108 답②
22
^-PQ^-/-^-BE^ 이므로semoAPQZsemoABE 오른쪽그림에서^ AH^ 와^ PQ^ 가만나 .t3^-AR^-=3/8&x따라서사다리꼴PCDQ의높이는 (&3-3/8&x)+4=7-3/8&x
사다리꼴PCDQ의넓이는직사각형BCDE의넓이와같으 므로
1 /
2(x+8)(&7-3/8&x)=8\4,(x+8)(56-3x)=512 3x^2-32x+64=0,(x-8)(3x-8)=0
.t3x=8또는x=8/3
그런데x<8이므로x=8/3
.t3^-PQ^-=8/3 답⑤
23
정사각형ABCD의한변의길이를xm (x>0)라하면^-ED^-=(x-5) m,^-DF^-=(x-3) m
semoEFD의넓이는 1
/
2(x-5)(x-3)=1/2(x^2-8x+15) 오각형ABCFE의넓이는
x^2-1/2(x^2-8x+15)=129 1
/
2&x^2+4x-15/2=129,x^2+8x-15=258 x^2+8x-273=0,(x+21)(x-13)=0 .t3x=-21또는x=13
그런데x>0이므로x=13
따라서정사각형ABCD의넓이는13\13=169(m^2)
.t3a=169 답169
정사각형ABCD의한변의길이를x m(x>0)라하면 사다리꼴AHFE의넓이는
1 /
2(x+5)(x-3)=1/2(x^2+2x-15) 직사각형HBCF의넓이는3x m^2이므로 1
/
2(x^2+2x-15)+3x=129,1/2&x^2+4x-15/2=129 x^2+8x-15=258,x^2+8x-273=0
(x+21)(x-13)=0 .t3x=-21또는x=13 그런데x>0이므로x=13
따라서정사각형ABCD의넓이는13\13=169(m^2) .t3a=169
1
⑴ax^2+(2a-7)x-9=0에x=3을대입하면a\3^2+(2a-7)\3-9=0
15a-30=0,15a=30
.t3a=2 .c3.c3❶
⑵ax^2+(2a-7)x-9=0에a=2를대입하면
2x^2-3x-9=0,(x-3)(2x+3)=0
.t3x=3또는x=-3/2 .c3.c3❷
2
⑴x^2+4x-12=0의좌변을인수분해하면(x-2)(x+6)=0
.t3x=2또는x=-6 .c3.c3❶
⑵x^2-2(a-3)x+(a-3)^2=0의좌변을인수분해하면
{x-(a-3)}^2=0
.t3x=a-3 .c3.c3❷
⑶r1par공통인근이x=2일때,
a-3=2 .t3a=5
r2par공통인근이x=-6일때,
a-3=-6 .t3a=-3
따라서r1par,r2par에의하여모든상수a의값의합은
5+(-3)=2 .c3.c3❸
답⑴x=2 또는 x=-6 ⑵x=a-3 ⑶2
채점 기준 배점
❶
x^2+4x-12=0 풀기
30%❷
x^2-2(a-3)x+(a-3)^2=0의 해를 a를 사용하여
나타내기 30%
❸ 모든
a의 값의 합 구하기
40%
3
⑴일차함수의그래프가두점(3,0),(0,6)을지나므로(기울기)= -63 =-2
(y절편)=6
.t3a=-2,b=6 .c3.c3❶
⑵x^2-ax+b=0에a=-2,b=6을대입하면
x^2+2x+6=0
근과계수의관계에의하여
(두근의합)=alpha+beta=-2 (두근의곱)=alphabeta=6 .c3.c3❷
.t3alpha^2-alphabeta+beta^2=(alpha+beta)^2-3alphabeta
=(-2)^2-3\6
=-14 .c3.c3❸
답⑴ a=-2,b=6 ⑵ -14
채점 기준 배점
❶
a, b의 값 구하기
30%❷
alpha+beta, alphabeta의 값 구하기
40%❸
alpha^2-alphabeta+beta^2의 값 구하기
30%
4
⑴타일의짧은변의길이가xcm이므로직사각형모양의벽 의가로의길이에서2\(긴변의길이)+1=4x
.t3(긴변의길이)= 4x-12 (cm) .c3.c3❶
⑵직사각형모양의벽의넓이가290cm^2이므로
6\(x\ 4x-12 )+1\x=290
3x(4x-1)+x=290,12x^2-2x-290=0
6x^2-x-145=0,(6x+29)(x-5)=0
.t3x=-29/6또는x=5 .c3.c3❷
그런데x>0이므로x=5
이때타일의이웃하는두변의길이는각각5cm, 4\5-12 =19/2(cm)
따라서타일의둘레의길이는
2(5+19/2)=29(cm) .c3.c3❸
답⑴
4x-1
2 cm ⑵29cm
채점 기준 배점
❶ 긴 변의 길이를
x를 사용하여 나타내기
20%❷
x에 대한 이차방정식을 세우고, 이차방정식 풀기
50%❸ 타일의 둘레의 길이 구하기 30%
5
x^2-4x+a+5=0이중근을가지므로 a+5=( -42 )^^2=4
.t3a=-1 .c3.c3❶
x^2-2(b-a)x-9a+4b=0에a=-1을대입하면 x^2-2(b+1)x+9+4b=0
이이차방정식이중근을가지므로
9+4b=^{ -2(b+1)2 }^^2 .c3.c3❷ 9+4b=b^2+2b+1
b^2-2b-8=0 (b+2)(b-4)=0
.t3b=-2또는b=4 .c3.c3❸
답-2, 4
채점 기준 배점
❶
a의 값 구하기
30%❷ 중근을 가질 조건을 이용하여
b에 대한 이차방정식
세우기 50%
❸
b의 값 구하기
20%
6
x^2-3ax+(a-3)=0의x의계수와상수항을바꾸면 x^2+(a-3)x-3a=0이이차방정식의해가x=-2이므로대입하면 (-2)^2+(a-3)\(-2)-3a=0
4-2a+6-3a=0
-5a=-10 .t3a=2 .c3.c3❶
7
x^2-(2k^2+k-6)x-4k+1=0에서(두근의합)=2k^2+k-6.c3.c3㉠
(두근의곱)=-4k+1 .c3.c3㉡ .c3.c3❶ 한근을a(a>0)라하면다른한근은-a이므로
㉠에서2k^2+k-6=a+(-a) 2k^2+k-6=0,(k+2)(2k-3)=0
.t3k=-2또는k=3/2 .c3.c3❷
㉡에서-4k+1=a\(-a) .t3a^2=4k-1
r1
park=-2일때,
a^2=4\(-2)-1=-9<0
이때이를만족시키는a의값은없다.
r2
park=3/2일때,
a^2=4\3/2-1=5
.t3a=rt5(.T3a>0)
따라서r1par,r2par에의하여k=3/2 .c3.c3❸
답3/2
채점 기준 배점
❶ 두 근의 합과 곱을
k를 사용하여 나타내기
30%❷
k의 값 모두 구하기
30%❸ 조건을 만족시키는
k의 값 구하기
40%
8
길을제외한부분의넓이가2400m^2이므로(70-x)(60-2x)=2400 .c3.c3❶
2x^2-200x+4200=2400,x^2-100x+900=0
(x-10)(x-90)=0 .t3x=10또는x=90 .c3.c3❷ 그런데x<30이므로x=10 .c3.c3❸
답10
채점 기준 배점
❶ 이차방정식 세우기 40%
❷ 이차방정식의 해 구하기 30%
❸
x의 값 구하기
30%
따라서처음이차방정식은
x^2-6x-1=0 .c3.c3❷
.t3x=-(-3)±rt(-3)^2-1\(-x1)x
=3±rt10 .c3.c3❸
답a=2,x=3±rt10
채점 기준 배점
❶
a의 값 구하기
40%❷ 처음 이차방정식 구하기 20%
❸ 처음 이차방정식의 해 구하기 40%
Ⅳ. 이차함수