대표문제 -3<x<3이므로
x+3>0,x-3<0
.t3rtx^2+6x+9&-rtx^2-6x+9
=rt(x+3)^2&w-rt(x-3)^2w
=x+3-{-(x-3)}
=x+3+x-3
=2x 답2x
Ⅱ. 다항식의 곱셈과 인수분해
25
책1.indb 25 19. 8. 30. 오후 4:54
다른 풀이
답(x^2&+5x+1)(x^2&+5x+9) 4
대표문제 A=62.5^2-5\62.5+2.5^2
=62.5^2-2\62.5\2.5+2.5^2
=(62.5-2.5)^2=60^2=3600
B=57^2\0.2-43^2\0.2
=0.2\(57+43)(57-43)
=0.2\100\14=280
.t3A+B=3600+280=3880 답3880
유제
8
225\101^2-x25\202+2x5w=225(101^2-2x\101\1x+1^2)x
=5rt(101-1)^2w=5rt100^2q
=5\100=500 답500
유제
9
1^2-2^2+3^2-4^2+5^2-6^2+7^2-8^2+9^2-10^2=(1+2)(1-2)+(3+4)(3-4)+(5+6)(5-6)
+(7+8)(7-8)+(9+10)(9-10)
=-3+(-7)+(-11)+(-15)+(-19)
=-55 답-55
x^2&+5x=A로 치환
A=x^2&+5x 대입 유제
3
16x^2+Ax+1=(4x)^2+Ax+(±1)^2=(4x±1)^2이므로Ax=±2\4x\1=±8x
.t3A=8(.T3A>0) 1
/
16&x^2-x+B=(&1/4&x)^^2-2\1/4&x\2+B=(&1/4&x-2)^^2 이므로B=2^2=4
.t3A-B=8-4=4 답4
유제
4
a<0<b이므로a<0,b>0,a-b<0
.t3rta^2-2ab+b^2w-rta^2&+rtb^2
=rt(a-b)^2w&-rta^2&+rtb^2
=-(a-b)-(-a)+b
=-a+b+a+b
=2b 답2b
3
대표문제 3x+1=A로치환하면
2(3x+1)^2-3(3x+1)-5
=2A^2-3A-5
=(A+1)(2A-5)
={(3x+1)+1}{2(3x+1)-5}
=(3x+2)(6x-3)
=3(2x-1)(3x+2)
따라서a=3,b=-1,c=3,d=2이므로
ab+cd=3\(-1)+3\2=3 답3
유제
5
a^2-b^2-a-b=(a^2-b^2)-(a+b)=(a+b)(a-b)-(a+b)
=(a+b)(a-b-1)
a^2-b^2-2a+1=(a^2-2a+1)-b^2
=(a-1)^2-b^2
={(a-1)+b}{(a-1)-b}
=(a+b-1)(a-b-1)
5
대표문제 x^2-y^2+2x+1=x^2+2x+1-y^2
=(x+1)^2-y^2
=(x+y+1)(x-y+1) x+y=(2+rt3&~)+(2-rt3&~)=4,
x-y=(2+rt3&~)-(2-rt3&~)=2rt3이므로
(x+y+1)(x-y+1)=(4+1)\(2rt3&+1)
=5(2rt3&+1)
=5+10rt3 답5+10rt3
유제
11
a^2-b^2-4a-4b=(a+b)(a-b)-4(a+b)=(a+b)(a-b-4)
=7\(3-4)
=-7 답-7
유제
12
x^3y-xy^3=xy(x^2-y^2)=xy(x+y)(x-y) x= 1rt2&+1 = rt2&-1
(rt2&+1)(rt2&-1) =rt2&-1,
y= 1rt2&-1 = rt2&+1
(rt2&-1)(rt2&+1) =rt2&+1이므로 x+y=(rt2&-1)+(rt2&+1)=2rt2,
x-y=(rt2&-1)-(rt2&+1)=-2, xy=(rt2&-1)(rt2&+1)=1
.t3xy(x+y)(x-y)=1\2rt2\(-2)=-4rt2 답-4rt2
유제
13
2<rt6<3에서3<rt6&+1<4이므로 rt6&+1의정수부분은3,소수부분은 x=(rt6&+1)-3=rt6&-2따라서x+8=A라하면
(x+8)^2-12(x+8)+36
=A^2-12A+36=(A-6)^2
=(x+8-6)^2=(x+2)^2
={(rt6&-2)+2}^2=(rt6&~)^2=6 답6
1 ㄱ,ㄷ,ㅁ 2 -2 3 1 4 ③
5 16 6 -26 7 ⑤ 8 -48 9 (x-2)(x-6) 10 6x+811 2x^2+4x+10 12 3 13 ③,④ 14 2x-y+3
15 (x+y-1)(x-y+1) 16 ② 17 4/7 18 630π 19 7 20 16 21 6
22 ⑴71,89 ⑵97,103
고득점 실전 문제
Step
2
본문 50 ~ 52쪽1
전략 인수는 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타낼 때, 곱해진 각각의 다항식을 나타낸다.2ab(c+3)=ab\(2c+6)=2a\(bc+3b)=b\2a(c+3)
따라서보기중2ab(c+3)의인수는ㄱ,ㄷ,ㅁ이다.
답ㄱ, ㄷ, ㅁ
2
전략 ax^2+nemo x+b^2이 완전제곱식이 되려면 nemo=±2ab이어 야 한다.16x^2+(k+1)x+25=(4x)^2+(k+1)x+(±5)^2이므로 k+1=2\4\(±5)=±40
k+1=40일때,k=39 k+1=-40일때,k=-41 따라서모든k의값의합은
39+(-41)=-2 답-2
3
전략 근호 안의 제곱인 인수를 부호에 주의하여 근호 밖으로 꺼낸다.2<a<3에서 a-2>0,a-3<0
.t3rta^2-4a+4&+rta^2-6a+9=rt(a-2)^2&+rt(a-3)^2
=a-2-(a-3)
=a-2-a+3=1 답1
4
전략 두 도형의 넓이를 a, b를 사용하여 각각 나타낸다.정사각형을잘라낸후의도형의넓이는a^2-b^2
새로만든직사각형의가로의길이는a+b,세로의길이는
a-b이므로넓이는(a+b)(a-b) 두도형의넓이가서로같으므로
a^2-b^2=(a+b)(a-b)
즉,두도형의넓이가서로같음을이용하여설명할수있는
인수분해공식은③이다.
답③
6
전략 다항식의 곱을 전개하여 각 항의 계수를 비교한다.3x^2+ax+24=3x^2+(b-18)x-6b이므로 상수항을비교하면
24=-6b .t3b=-4 x의계수를비교하면 a=b-18=-4-18=-22
.t3a+b=-22+(-4)=-26 답-26
5
전략 합이 8이 되는 두 자연수의 곱을 구한다.x^2+8x+k=(x+a)(x+b)
=x^2+(a+b)x+ab .t38=a+b,k=ab
이때합이8인두자연수a,b는1과7,2와6,3과5,4와4 이므로k의값이될수있는수는
1\7=7,2\6=12,3\5=15,4\4=16
따라서이중에서가장큰수는16이다. 답16
Ⅱ. 다항식의 곱셈과 인수분해
27
책1.indb 27 19. 8. 30. 오후 4:54
11
전략 공통부분을 치환하여 전개한 후 인수분해한다.(x^2&+2x-2)(x^2&+2x-4)+1
=(A-2)(A-4)+1
=(A^2&-6A+8)+1
=A^2&-6A+9
=(A-3)^2
=(x^2&+2x-3)^2
={(x+3)(x-1)}^2
=(x+3)^2(x-1)^2
따라서두완전제곱식은(x+3)^2,`(x-1)^2이므로그합은 (x+3)^2&+(x-1)^2=(x^2&+6x+9)+(x^2&-2x+1)
=2x^2&+4x+10
답2x^2+4x+10
x^2&+2x=A로 치환
A=x^2&+2x 대입
12
전략 주어진 등식의 좌변을 공통부분이 생기도록 2개씩 묶 어 인수분해한다.2xy-4x-y+2=2x(y-2)-(y-2)
=(2x-1)(y-2) 따라서r1par~r3par에의해순서쌍(x,y)는
(1,11),(2,5),(5,3)의3개이다. 답3
x^2&+5x=A로 치환
A=x^2&+5x 대입
14
전략 한 문자에 대하여 내림차순으로 정리한다.2x^2&+nx+#m/2$=(x-1)(2x+b)(단,b는상수)로놓으면
2x^2&+nx+#m/2$=2x^2&+(b-2)x-b이므로 b=-#m/2$=-8/2=-4,``n=b-2=-4-2=-6
따라서처음이차식은x^2-8x+12이므로이식을바르게인 수분해하면
x^2-8x+12=(x-2)(x-6) 답(x-2)(x-6)
10
전략 새로 만든 직사각형의 넓이는 주어진 직사각형들의 넓 이의 합과 같음을 이용한다.넓이가x^2인정사각형이2개,넓이가x인직사각형이5개,넓 이가1인정사각형이3개있으므로모든사각형의넓이의합 은2x^2+5x+3이다.
큰직사각형의넓이와같으므로 2x^2+5x+3=(x+1)(2x+3)
따라서큰직사각형의이웃하는두변의길이는x+1,2x+3 이므로둘레의길이는
2{(x+1)+(2x+3)}=2(3x+4)
=6x+8 답6x+8
7
전략 인수분해 공식을 이용하여 다항식을 인수분해한다.①2x^2y-16xy^2=2xy(x- 8 y)
②9x^2-30x+25=(3x^2)-2\3x\5+5^2
=(3x- 5 )^2
③x^2-49y^2=(x+7y)(x- 7 y)
④x^2+2x-24=(x-4)(x+ 6 )
⑤8x^2+2xy-21y^2=(2x-3y)( 4 x+7y)
따라서 안에알맞은수가가장작은것은⑤이다. 답⑤
.t3A=2x-y+3 답2x-y+3
=(2x-y+3)(x+y+3)
=A(x+y+3)
4\4\.c3\6\8 7\7
=1/2\8/7=4/7 답4/7
18
전략 인수분해 공식 A^2-B^2=(A+B)(A-B)를 이용한다.직사각형을1회전시킨회전체는오
10`cm 8.25`cm 2.25`cm 른쪽그림과같으므로구하는회전체
의부피는
V=(큰원기둥의부피)
-(작은원기둥의부피)
=π\8.25^2\10-π\2.25^2\10
=10π(8.25^2-2.25^2)
=10π(8.25+2.25)(8.25-2.25)
=10π\10.5\6=630π 답630π
19
전략 분모를 유리화한 값을 인수분해한 식에 대입하여 계산 한다.분모를유리화하면
x= 13+2rt2 = 3-2rt&2 (3+2rt2&~)(3-2rt&2~)
= 3-2rt23^2-(2rt2&~)^2=3-2rt2
.t3x^2-6x+8=(x-2)(x-4)
={(3-2rt2&~)-2}{(3-2rt2&~)-4}
=(-2rt2&+1)(-2rt2&-1)
=(-2rt2&~)^2-1^2
=8-1=7 답7
xy=(rt5&+rt7&~)(rt5&-rt7&~)
=(rt5&~)^2-(rt7&~)^2
=5-7=-2 .t34a^2b+4ab^2-2a-2b
a^2+2ab+b^2 = 4ab(a+b)-2(a+b)(a+b)^2
= (a+b)(4ab-2)(a+b)^2
= 4ab-2a+b
= 4\8-25 =6 답6
Ⅱ. 다항식의 곱셈과 인수분해
29
책1.indb 29 19. 8. 30. 오후 4:54
5
(x^7^n&+y^7^n)^2&-(x^7^n&-y^7^n)^2={(x^7^n&+y^7^n)+(x^7^n&-y^7^n)}{(x^7^n&+y^7^n)-(x^7^n&-y^7^n)}
=2x^7^n&\2y^7^n=4(xy)^7^n
이때xy=(rt3&+2)(rt3&-2)=-1이므로
4(xy)^7^n=4\(-1)^n r1
parn이홀수일때,(-1)^n=-1이므로 4\(-1)^n=4\(-1)=-4
r2
parn이짝수일때,(-1)^n=1이므로 4\(-1)^n=4\1=4
답n이 홀수일 때, -4, n이 짝수일 때, 4
3
a^2&+2ab+b^2&-4a-4b-21=(a+b)^2&-4(a+b)-21
=A^2&-4A-21
=(A+3)(A-7)
=(a+b+3)(a+b-7)
이식이소수이므로a+b+3=1또는a+b-7=1 이때a+b+3=1이면a+b=-2
그런데a,b는자연수이므로a+b는음수가될수없다.
즉,a+b-7=1이므로a+b=8 따라서구하는소수는
(a+b+3)(a+b-7)=(8+3)(8-7)=11 답11
a+b=A로 치환 A=a+b 대입
4
8일후다람쥐의위치를(a,b)라하면a=2^2-4^2+6^2-8^2
=(2+4)(2-4)+(6+8)(6-8)
=(-2)\(2+4+6+8)
=-40
b=1^2-3^2+5^2-7^2
=(1+3)(1-3)+(5+7)(5-7)
=(-2)\(1+3+5+7)
=-32
따라서8일후다람쥐의위치는(-40,-32)이다.
답(-40,-32)
1 0 2 ③ 3 (2x-y)(3x+z) 4 ㄴ,ㄹ 5 ①,⑤ 6 28 7 ④ 8 -6 9 ③ 10 16 11 ⑤ 12 2 13 ⑤ 14 2al
15 9x-12 16 ④,⑤ 17 ④ 18 12 19 ② 20 4 21 5,8 22 ③ 23 991
본문 54~56쪽