Step
2
본문 65 ~ 66쪽1
전략 이차방정식은 (이차식)=0의 꼴로 나타내어진다.ㄱ.등식이아니므로이차방정식이아니다.
ㄴ.x^2+4x-1=0⇨이차방정식이다.
ㄷ.x^2-2/x-3=0⇨분모에미지수가있으므로이차방정식 이아니다.
ㄹ.x^3-x=0⇨이차방정식이아니다.
ㅁ.x^2=x^2+6x+9,-6x-9=0⇨일차방정식이다.
ㅂ.x^2-x-6=0⇨이차방정식이다.
따라서이차방정식인것은ㄴ,ㅂ의2개이다. 답2
2
전략 이차방정식이 되려면 이차항의 계수가 0이 아니어야 한다.(x+3)(2x+k)=kx^2-5에서 2x^2+(k+6)x+3k=kx^2-5 (2-k)x^2+(k+6)x+3k+5=0
이차방정식이되려면2-k≠0이어야하므로k≠2
답⑤
4
대표문제 3x^2-12x-a=0의양변을3으로나누면 x^2-4x-a/3=0,x^2-4x=a/3
x^2-4x+4=a/3+4,(x-2)^2= a+123
x-2=±4 a+123 f .t3x=2±4 a+123 f 이이차방정식의해가x=2±rt6이므로
a+123 =6,a+12=18
.t3a=6 답6
다른 풀이x=2±rt6에서x-2=±rt6 양변을제곱하면(x-2)^2=6 x^2-4x+4=6
x^2-4x-2=0 양변에3을곱하면
3x^2-12x-6=0 .t3a=6
유제
8
이차방정식x^2&+ax+b=0에서x^2&+ax=-b
x^2&+ax+ a^24=-b+a^2 4 (x+a/2&)^^2= a^2&-4b
4 x+a/2=± 2a^2&-s4bs
2 .t3x= -az2a^2&-s4bs
2
이이차방정식의해가x=2±rt2이고 2±rt2= 4z2rt22 =4zrt8
2 이므로
-a=4,a^2&-4b=8 .t3a=-4,b=2
.t3b-a=2-(-4)=6 답6
다른 풀이x=2±rt2에서x-2=±rt2 양변을제곱하면(x-2)^2&=2 x^2&-4x+4=2,x^2&-4x+2=0 .t3a=-4,b=2
.t3b-a=2-(-4)=6
유제
9
x^2+3x+14=3x^2+7x에서2x^2+4x=14 x^2+2x=7,x^2+2x+1=7+1(x+1)^2=8,x+1=±rt8 .t3x=-1±2rt2
.t3a=-1,b=2 답a=-1,b=2
유제
10
1/3&x^2+2x+b=0에서x^2+6x+3b=0 x^2+6x=-3b,x^2+6x+9=-3b+9 (x+3)^2=-3b+9양변을3으로나누면 1
/
3(x+3)^2=-b+3 따라서a=3,-b+3=5에서 a=3,b=-2
.t3a+b=3+(-2)=1 답1
다른 풀이1/3(x+a)^2=5에서1/3(x^2+2ax+a^2)=5 1
/
3&x^2+2a/3&x+ a^23-5=0 따라서2a/3=2,a^23-5=b이므로
a=3,b=-2
.t3a+b=3+(-2)=1
3
전략 주어진 근을 이차방정식에 대입하여 a의 값을 구한다.x^2+(2a-5)x+a-8=0에x=3을대입하면 3^2+(2a-5)\3+a-8=0
9+6a-15+a-8=0
7a=14 .t3a=2 답2
Ⅲ. 이차방정식
37
책1.indb 37 19. 8. 30. 오후 4:54
4
전략 주어진 근을 각 방정식에 대입하여 a, b에 대한 식을 각각 구한다.x^2-3x-6=0에x=a를대입하면 a^2-3a-6=0 .t3a^2-3a=6 x^2+2x-4=0에x=b를대입하면 b^2+2b-4=0 .t3b^2+2b=4
.t3(a^2-3a-5)(3b^2+6b+5)
={(a^2-3a)-5}{3(b^2+2b)+5}
=(6-5)(3\4+5)
=17 답17
5
전략 주어진 근을 대입하여 a-3/a의 값을 구한 후 인수분해 공식의 변형을 이용한다.x^2-4x-3=0에x=a를대입하면 a^2-4a-3=0
a≠0이므로양변을a로나누면 a-4-3/a=0 .t3a-3/a=4 양변을제곱하면
(a-3/a)^^2=4^2,a^2-6+ 9a^2=16
.t3a^2+ 9a^2=22 답22
6
전략 AB=0이면 A=0 또는 B=0임을 이용하여 이차방 정식의 해를 구한다.(x+2)(5x-1)=0에서 x=-2또는x=1/5 (4x+3)(x-1/5)=0에서 x=-3/4또는x=1/5
따라서a=1/5,b=-2이므로
5a-b=5\1/5-(-2)=3 답3
7
전략 주어진 근을 이차방정식에 대입하여 a의 값을 구한다.x^2+ax-a^2-1=0에x=2를대입하면
2^2+a\2-a^2-1=0,a^2-2a-3=0 (a+1)(a-3)=0 .t3a=-1또는a=3 그런데a>0이므로a=3
따라서x^2+3x-10=0이므로
(x+5)(x-2)=0 .t3x=-5또는x=2 즉,다른한근은x=-5이므로b=-5
.t3ab=3\(-5)=-15 답-15
8
전략 주어진 근을 두 이차방정식에 각각 대입하여 m, n의 값을 각각 구한다.ax^2-2x+b=0에x=-1을대입하면 a+2+b=0
.t3a+b=-2 .c3.c3㉠
bx^2-2x+a=0에x=1/3을대입하면 b
/
9-2/3+a=0
.t39a+b=6 .c3.c3㉡
㉠,㉡을연립하여풀면
a=1,b=-3
따라서ax^2-2x+b=0,즉x^2-2x-3=0에서
(x+1)(x-3)=0 .t3x=-1또는x=3 즉,m=3이다.
또,bx^2-2x+a=0,즉-3x^2-2x+1=0에서 3x^2+2x-1=0,(3x-1)(x+1)=0
.t3x=1/3또는x=-1 즉,n=-1이다.
.t3mn=3\(-1)=-3 답①
9
전략 이차방정식이 중근을 가질 조건인 (상수항)=(일차항의 계수2 )^^2을 이용하여 a의 값을 구한다.
x^2-12x+9a=0이중근을가지므로 9a=( -122
&
)^^2=36 .t3a=4따라서x^2-x-5a=0,즉x^2-x-20=0에서 (x+4)(x-5)=0
.t3x=-4또는x=5
또,2x^2+(a+3)x-a=0,즉2x^2+7x-4=0에서 (x+4)(2x-1)=0
.t3x=-4또는x=1/2
따라서두이차방정식의공통인근은
x=-4 답x=-4
10
전략 제곱근을 이용하여 이차방정식의 해를 구한다.5(x-1)^2=a에서(x-1)^2=a/5 x-1=±rta/5 .t3x=1±rta/5
따라서1=b,a/5=2이므로
a=10,b=1
.t3a+b=10+1=11 답11
11
전략 이차방정식 (x+p)^2=q (q>0)의 해는 x=-p±rtq 의 2개이다.2(x+5)^2=k에서(x+5)^2=k/2
x+5=±rtk/2 .t3x=-5±rtk/2 따라서이차방정식의두근의차가4이므로
(-5+rtk/2)-(-5-rtk/2)=2rtk/2=4 rtk/2=2,k/2=4
.t3k=8 답③
13
전략 이차방정식을 (완전제곱식)=(상수)의 꼴로 변형한다.3x^2-4x-2=0에서x^2-4/3&x=2/3 x^2-4/3&x+(-2/3)^^2=2/3+(-2/3)^^2
(x-2/3)^^2=10/9,x-2/3=± rt103 .t3x= 2±rt10 3 따라서A=2,B=2/3,C=-2/3,D=10,E=2이므로 A+B+C+D+E=2+2/3+(-2/3)+10+2=14
답14
14
전략 이차방정식 (x+p)^2=q가 해를 가지려면 q≥0이어야 한다.2x^2-12x+7-2k=0에서x^2-6x= 2k-72 x^2-6x+( -6
2 )^^2=2k-7 2 +(-6
2 )^^2 .t3(x-3)^2= 2k+112
15
전략 꿀벌의 무리를 x마리라 하고 문장에 맞게 식을 세운다.꿀벌의무리를x마리라하면그반의양의제곱근은rt12&x~r마리/ 이고,날아간꿀벌은x-7/8&x=18&x(마리)이므로/
rt1/2&xr=x/8&
양변을제곱하면1/2&x=1/64&x^2 x^2-32x=0,x(x-32)=0 .t3x=32(.T3x>0)
따라서꿀벌은모두32+2=34(마리)이다. 답34마리
12
전략 이차방정식의 해 x=(정수)±rtmq 이 정수가 되려면 rtmq 이 정수이어야 한다.(x-3)^2= k+25 에서x-3=±5 k+25 g .t3x=3±5 k+25 g
해가정수가되려면5 k+25 g가정수이어야하므로 k+25 는0또는제곱수이어야한다.
즉, k+2
5 =0,1,4,9,.c3이므로 k=-2,3,18,43,.c3
따라서가장작은자연수k의값은3이다. 답3
1 (3,1),(6,4),(9,9) 2 0 3 19 4 16/070 5 x=-2+rt2또는x=0
만점 굳히기 문제
Step
3
본문 67쪽1
x^2&-ax+2b=0에x=a-2rtb&~를대입하면(a-2rtb&~)^2&-a(a-2rtb&~)+2b=0 a^2&-4artb&+4b-a^2&+2artb&+2b=0 -2artb&+6b=0,artb=3b .t3`a=3rtb
이때a,b가모두10보다작은자연수이므로b는10보다작은
제곱수이어야한다.즉,
b=1일때,a=3 b=4일때,a=6 b=9일때,a=9
따라서순서쌍(a,`b)는(3,`1),(6,`4),(9,`9)
답(3,`1),(6,`4),(9,`9)
2
(x-1)★(x+4)=(x-1)^2&-(x+4)+(x-1)(x+4)=x^2&-2x+1-x-4+x^2&+3x-4
=2x^2&-7
2x^2&-7=x-1이므로2x^2&-x-6=0
(2x+3)(x-2)=0 .t3x=-3/2또는x=2
따라서m<n이므로m=-3/2,n=2 .t3`2m+n=2\(-3/2&)+2=-1 해를가지려면 2k+11
2 ≥0이어야하므로 2k+11≥0 .t3k≥-11/2
따라서k의값으로옳지않은것은①이다. 답①
Ⅲ. 이차방정식
39
책1.indb 39 19. 8. 30. 오후 4:54
.t3`(2m+n)+(2m+n)^2&+.c3+(2m+n)^2^0^0^0
=-1+(-1)^2&+(-1)^3&+.c3+(-1)^2^0^0^0
=-1+1-1+.c3+1=0 답0
3
~f(x)= 1rtx+1&+rtx
= rtx+1&-rtx&
(rtx+1&+rtx&)(rtx+1&-rtx&)
=rtx+1&-rtx 이므로
f(1)+f(2)+f(3)+.c3+f(99)
=(rt2&-1)+(rt3&-rt2&~)+(rt4&-rt3&~)+.c3+(rt100&-rt99~)
=-1+rt100
=-1+10=9 .t3a=9
이때a=9가이차방정식(b-1)x^2&-(b^2&-1)x+9(b-1)=0 의한근이므로x=9를대입하면
(b-1)\9^2&-(b^2&-1)\9+9(b-1)=0 -9b^2&+90b-81=0,b^2&-10b+9=0 (b-1)(b-9)=0 .t3b=1또는b=9
그런데b=1이면x^2의계수b-1이0이되어이차방정식이
될수없으므로b=9
주어진이차방정식에b=9를대입하면
(9-1)x^2&-(9^2&-1)x+9\(9-1)=0 8x^2&-80x+72`=0,x^2&-10x+9=0 (x-1)(x-9)=0 .t3`x=1또는x=9 이때다른한근은1이므로c=1
.t3`a+b+c=9+9+1=19 답19
4
6x^2-5ax+a^2=0에서(2x-a)(3x-a)=0 .t3x=a/2또는x=a/3적어도한개의정수해를가지려면a/2또는a/3가정수이어야
하므로a는2의배수또는3의배수이어야한다.
100이하의자연수중2의배수또는3의배수인경우의수는 (2의배수의개수)+(3의배수의개수)
-(2와3의공배수의개수)
=50+33-16=67
따라서구하는확률은16/070 답16/070
5
r1par-2<x<-1일때,[x]=-2이므로x^2&+4x=-4
x^2&+4x+4=0,(x+2)^2=0 .t3`x=-2
그런데-2<x<-1이므로x=-2는조건을만족시키 지않는다.
r2
par-1-<x<0일때,
[x]=-1이므로x^2&+4x=-2
x^2&+4x+4=-2+4
(x+2)^2=2,x+2=±rt2
.t3`x=-2±rt2
그런데-1-<x<0이므로x=-2+rt2 r3
par0-<x<1일때,
[x]=0이므로x^2&+4x=0
x(x+4)=0
.t3`x=0또는x=-4
그런데0-<x<1이므로x=0
따라서r1par~r3par에서x=-2+rt2또는x=0
답x=-2+rt2 또는 x=0