<Review: Electric and Magnetic Materials>
A dielectric sphere under uniform E-field
Electric flux density (D) Electric field intensity (E)
Electric shielding
Conductor condition: infinite ε
Spherical magnetic materials under uniform B-field
Boundary Conditions:
m
Solutions:
Super conductor Repulsive Magnetic shielding
Ferromagnetic or
= 0
이∇×E= 0에서유도된것 과마찬가지로외부전류가없는조건에서∇×H= 0이므로자기장에 대해서는
H=−∇Vm (8.38)
의식을 이용한다.전기회로에서전위를electromotive force (mmf)라고칭하듯이 자기회로에서는 Vm을magnetomotive force (mmf)라고부른다.이때Vm의단위는전류의단위인A (암페어)이다.
그러나 많은 경우에는 여러차례 감긴 코일을 다루는 경우가 많기 때문에 mmf의 단위를 ampere-
turns (A·t)를 쓴다.위 식은 current density가0인조건으로부터유도되었으므로, Ferromagnetic 물질(자석)에의한자기장을계산하거나전류코일을포함하지않은구간에서만사용한다.두지점 사이의Electric potential의전위차가
VAB = Z B
A
E·dl 로표현되듯이magnetic field intensity에의한mmf의차이는
VmAB = Z B
A
H·dl (8.39)
이다.이때AB사이의path는전류가흐르는영역을가로지르지않는경우만을고려해야한다. Ohm 의법칙에의해서전류와전기장사이에는 다음관계식이성립한다.
J=σcE
이때σc는물질의conductivity이다.이와마찬가지의식을 자기회로에서나타내면
B=µH (8.40)
이며이경우에는전기회로에서
I = Z
S
J·dS
인것과마찬가지로magnetic circuit의cross section을통과하는total magnetic flux는 다음과 같이 표현된다.
Φ = Z
S
B·dS (8.41)
이 때magnetic flux의단위는독일의 물리학자Weber의 이름을따서Wb를사용하며(정확한독 일식 발음으로는 베버에 가깝지만 통상적으로 웨버로 읽음) 이 단위는 Tm2 또는 Nm/A와 같다. 저항이 있는전기회로에서
V =IR
식을만족하듯이 이식을 이용하면
Vm = ΦRm (8.42)
8.8 The Magnetic Circuit
전기회로에서와마찬가지로자기장에관련된문제를자기회로를이용하여계산할수있다.전기장을 계산하기위한electrostatic potential
E=−∇V
제8 장. MAGNETIC FORCES, MATERIALS, AND INDUCTANCE 114
을 만족한다.이때Rm을 reluctance라 하며 그단위는(A·t/Wb)이다. 전기회로에서길이가l이고 단면적이S이며conductivity가σc로균일한물질의저항값이
R= l σcS
이듯이 자기회로에서는 길이가 l이고 단면적이 S이며 등방성을 지닌 균일한 permeability가 µ인 물질에대해서reluctance는
Rm= l
µS (8.43)
이다. 이식은 공기(air)에대해서항상 적용시킬수 있다.많은강자성물질에 대해서는등방성과
균일성이만족되지않는경우가많으므로이러한관계식이늘성립하는것은아니지만,학부수준의 문제에서 다루는 강자성체에서는 이 표현을 유용하게 쓸 수 있다. Electrostatic 경우의 전기장이 임의의closed path에대한적분이
I
E·dl= 0
이므로 전기 회로에서 Kirchhoff의 법칙이 성립되었던 것과는 달리 자기 회로에서는 식 (8.39)를
확장한closed path가전류를포함하고있는경우에는
I
H·dl=Itotal
로우변의값이0이아니라적분경로가둘러싼총전류값이된다.그러나전기회로에서전압이Vs 인voltage source가있을 때(+)전극에서(-)전극까지의적분값에대해서는
Z − +
E·dl=Vs
이므로voltage source가차지하는공간을무시할때전기장의선적분과H의선적분은결국같은형 태를갖게된다.일반적으로전류I가흐르는코일을N회감아서전자석을만드는경우가많으므로 총전류를N I로표현하면다음식이성립한다.
I
H·dl=N I (8.44)
이때,N I를magnetic field를발생시키는물리량이라는의미로mmf (magnetic motive force)라고 한다. 이식을식 (8.42), (8.43)과 함께연립해서풀면magnetic circuit의 식을계산할 수있다.가 령,여러개의permeability를지니는물질이포함된전자석문제의경우적분path를지나는영역의 물질의종류가달라짐에따라permeability가달라지지만Magnetic flux의양은보존되므로
I Φ
µSdl= Φ I 1
µSdl=N I
식을풀면 각영역에서의mmf의크기를 구할수 있다. 각영역에서의 예로서 교재의 그림 8.13을 이용한예제D 8.9를풀어보도록하자.
8.9 Potential Energy and Forces on Magnetic Materials
앞서교재의 4.8절에서electrostatic field에서전하를움직이는데필요한일을 계산함으로써전기 장의 에너지를다음과 같이계산하였다.
WE = 1 2 Z
V
D·Edv
이와 마찬가지로 공간에 분포된 자기장에 의한 에너지를 계산할 수 있다. 그러나 이 때에는 elec- trostatic 경우와는 달리 식의 유도를위해서는 static개념을넘어서시간에대해서 변화하는값을
고려해야 한다. 이에 대해서는 9장에서 다루게 되므로 유도 과정은 11장에서 언급될 Poynting’s
theorem을 배우기전까지는미루도록하고 그결과만적어보면공간중에존재하는 자기장에의한
에너지는 다음과 같이표현된다.
WH = 1 2 Z
V
B·Hdv (8.45)
B=µH인표현을 이용하면,이식은다음과 같이표현될수있다.
WH = 1 2
Z
V
µH2dv
= 1 2
Z
V
B2 µ dv
이때,식(8.45)의적분구간내부의값을magnetic energy density (J/m3)이라한다.
uM = 1 2B·H
물론이값은다음과 같이표현되는electric energy density와대응되는값이다.
uE = 1 2D·E
