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• 수리 영역 •
정 답
1 ④ 2 ① 3 ② 4 ① 5 ① 6 ④ 7 ⑤ 8 ② 9 ③ 10 ⑤ 11 ④ 12 ⑤ 13 ③ 14 ⑤ 15 ③ 16 ③ 17 ② 18 ④ 19 ② 20 ③ 21 ① 22 23 24
25 26 27 28 29 30
해 설
1. [출제의도] 이중근호가 있는 식을 이중근호가 없는 식으로 변형할 수 있는가를 묻는 문제이다.
× ∴
2. [출제의도] 분수식을 계산하여 주어진 식을 간단히 할 수 있는가를 묻는 문제이다.
3. [출제의도] 복소수의 계산을 이용하여 복소수의 곱셈에 대한 역원을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
의 곱셈에 대한 역원은
이다.
4. [출제의도] 벤 다이어그램으로 나타낸 부분을 집합의 연산기호를 이용하여 표현할 수 있는가를 묻는 문제이다.
벤 다이어그램의 어두운 부분의 임의의 원소 는
∈∩ 이고 ∉ 이다.
따라서 어두운 부분을 나타내는 집합은
∩ 이다.
5. [출제의도] 좌표평면에서 선분의 내분점을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
선분 를 로 내분하는 점의 좌표는
× ×
× ×
이다.점 가
직선 위의 점이므로
∴
6. [출제의도] 집합의 포함 관계를 파악하여 명제의 참, 거짓을 판단할 수 있는가를 묻는 문제이다.
∩ ∅이고 ∪≠에서 두 집합 사이의 관계를 나타내면 벤 다이어그램과 같다.
∴ ⊂, ⊂
∴ ⇒ ∼ , ⇒ ∼ 따라서 옳은 것은 ④이다.
7. [출제의도] 해집합이 주어진 이차부등식을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
≧ 의 해가 뿐이므로
이고
∴ 이고,
ㄱ. 이다.
ㄴ. 이 중근을 가지므로 판별식 이다.
ㄷ. 이다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ 이다.
8. [출제의도] 두 집합이 서로 같을 조건을 만족시키는 미지수가 세 개인 일차연립방정식을 풀 수 있는가를 묻는 문제이다.
집합 에 대하여 라 하자.
이때, 주어진 집합을 원소나열법으로 나타내면
이다.
이므로
… ㉠
… ㉡
… ㉢
㉠㉡㉢을 하면
∴ … ㉣
㉣㉠을 하면
따라서 집합 의 원소 중 가장 큰 수는 이다.
9. [출제의도] 산술평균과 기하평균의 관계를 이용하여 주어진 식의 값의 범위를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
ㄱ.
≧ 에서 ≦
ㄴ. 에서 ≦ 이므로 ≧
ㄷ.
≧
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
10. [출제의도] 선분의 내분점과 수직선 위의 무리수를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.
O P O B
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O D O A , D A , D B
이므로O Q O D D B
∴ O P O Q
11. [출제의도] 최대공약수와 최소공배수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
의 최대공약수가 이므로
(단, 는 서로소인 일차식)이라 놓을 수 있다.
에서
∴
ㄱ. 이다.
ㄴ. 의 최소공배수는 이다.
ㄷ. 이므로 이다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
12. [출제의도] 실수의 성질을 이용하여 식의 대소 관계를 파악할 수 있는가를 묻는 문제이다.
의 경우
은 만족시키지만
,
이므로 ①, ②는 성립하지 않는다.
의 경우
은 만족시키지만
, 이므로 ③, ④는 성립하지 않는다.
한편
에서 또는 이다.
즉, 일 때 이고 일 때 이다.
∴ 따라서 옳은 것은 ⑤이다.
13. [출제의도] 복소수를 계산하여 복소수의 거듭제곱이 갖는 값을 추측할 수 있는가를 묻는 문제이다.
∴ ,
따라서 이 의 배수일 때 이다.
구하는 자연수 은 ⋯ 이므로 개이다.
14. [출제의도] 실수의 대소 관계를 이용하여 주어진 영역의 넓이의 대소를 추측할 수 있는가를 묻는 문제이다.
[그림 ]
[그림 ]
[그림 ]
세 그림에 있는 평행사변형의 넓이는 모두 같으므로 두 평행사변형 이 교차하는 부분의 넓이가 작으면 어두운 부분의 넓이는 크다.
[그림 ]과 [그림 ]의 경우 두 평행사변형이 교차하는 부분의 넓이는 같다.
∴
[그림 ]과 [그림 ]의 경우 두 평행사변형이 교차하는 부분은 정사각형이다. 그런데 교차하는 부분의 정사각형의 한 변의 길이는 [그림 ]이 더 크다.
따라서 교차하는 부분의 넓이는 [그림 ]이 [그림 ]보다 크다.
∴
∴
15. [출제의도] 좌표평면에서 세 선분의 길이의 합의 최소값을 구하는 방법을 이해하고 있는지를 묻는 문제이다.
∠AO B °이므로
∠AO C ° ° °
그런데 ∠AO P ∠CO Q 이므로
∠Q O P °
∆AO P≡∆CO Q 이므로 AP CQ
∆Q O P 가 정삼각형이므로 O P Q P
∴ AP O P BP CQ Q P BP ≧ CB
따라서 점 P 에서 세 꼭지점에 이르는 거리의 합의 최소값은
CB
이다.16. [출제의도] 연립이차부등식을 풀고, 조건을 만족시키는 상수 의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
⋯ ㉠ ≦ ⋯ ㉡
㉠에서
∴
㉡에서 ≦
∴ ≦ ≦
주어진 연립부등식의 정수해가 세 개가 되려면
≦ 이고 ≦
∴ ≦
따라서 구하는 의 최대값은 이다.
17. [출제의도] 도형으로 주어진 조건을 만족시키는 삼차방정식을 풀 수 있는가를 묻는 문제이다.
한 모서리의 길이가 cm인 정육면체의 부피는 cm이므로 그림에 주어진 입체의 부피는 cm이고, 정육면체 개의
개의 면 중에서 6개의 면이 붙어 있으므로 겉넓이는 cm이다.
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∴ ,
에서
,
∴
±
따라서 이다. (∵ 는 양의 실수)
18. [출제의도] 주어진 조건을 만족시키는 절대값이 있는 일차부등식을 풀 수 있는가를 묻는 문제이다.
점 P 의 좌표를 라 하면
AP , BP
AP BP
≦ 을 풀면 (ⅰ) 일 때,
≦ 에서 ≧
∴ ≦
(ⅱ) ≦ 일 때,
≦ 에서 ≦ 이므로 해는 모든 실수이다.
∴ ≦ (ⅲ) ≧ 일 때,
≦ 에서 ≦
∴ ≦ ≦
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 ≦ ≦
∴ ≦ O P ≦
따라서 선분 O P 의 길이의 최대값과 최소값의 합은 이다.
19. [출제의도] 근의 개념과 인수정리를 이용하여 조건을 만족시키는 삼차 방정식을 풀 수 있는가를 묻는 문제이다.
(가)에서
∴ … ㉠ (나)에서 가 근이므로
∴ … ㉡
㉡에서 이것을 ㉠에 대입하면
∴
삼차방정식 을 풀면
∴ ,
의 세 근은 이다.
따라서 구하는 세 근의 곱은 × ×
20. [출제의도] 주어진 조건을 만족시키는 방정식을 풀 수 있는가를 묻는 문제이다.
처음 수에서 십만 자리의 숫자를 , 를 제외한 다섯 자리 수를 라 하면,
처음 수는 , 새로운 수는 이다.
조건에서 이므로
∴
는 다섯 자리 수이므로 또는 이다.
∴ 또는
처음 수는 또는 이므로 장의 카드에 적혀 있는 수들은
이다.
∴
21. [출제의도] 누적도수를 나타내는 그래프를 해석하여 표준편차의 대소 관계를 추측할 수 있는가를 묻는 문제이다.
주어진 누적도수를 나타내는 그래프를 이용하여 １, ２, ３반 학생 들이 읽은 책 수의 도수분포를 나타내는 그래프를 그리면 다음과 같다.
도수를 나타내는 그래프에서 반 학생들이 읽은 책 수의 평균은 모두 권이다.
평균에서부터 흩어진 정도를 나타내는 표준편차가 제일 작은 반은 １반이고, 제일 큰 반은 ３반이다.
따라서 작은 반부터 차례로 나열하면 １반, ２반, ３반이다.
22. [출제의도] 근이 주어진 이차방정식의 미정계수의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
를 대입하면,
∴ ,
∴
따라서 이다.
23. [출제의도] 항등식의 미정계수의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
∴ , ,
연립하여 풀면 이다.
∴
24. [출제의도] 주어진 조건을 만족하는 집합의 개수를 구할 수 있는 가를 묻는 문제이다.
세 조건을 만족하는 집합 는 집합 의 부분집합 중에서 공집합을 제외한 것이다.
따라서 집합 의 개수는
(개) 이다.
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25. [출제의도] 나머지정리를 이해하고 식의 변형을 이용하여 다항 식을 일차다항식으로 나눈 나머지를 구할 수 있는가를 묻는 문제 이다.
를 로 나눈 나머지가 에서
를 로 나눈 나머지가 에서
이므로
∴
26. [출제의도] 주어진 조건을 만족하는 자료의 평균을 구할 수 있는 가를 묻는 문제이다.
변량 의 평균을 , 분산을 이라 하면
×
에서
∴
27. [출제의도] 도형으로 주어진 조건을 만족시키는 식을 변형하여 식의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
세 선분 O A , O B , O C 의 길이를 각각 라 하면
O A O B O C 에서
세 삼각형 ∆O AB , ∆O BC , ∆O CA 의 넓이의 합은 에서
∴
∴ O A O B O C
28. [출제의도] 해가 주어진 이차부등식의 미정계수의 값을 연립방정 식으로 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
문제의 조건으로부터
≦ ⇔ ≦ ⇔ ≦
∴ ⋯ ㉠
≧ ⇔ ≧
⇔ ≥
∴ ⋯ ㉡
㉠, ㉡에서
∴
29. [출제의도] 주어진 조건을 만족시키는 유리식을 구하여 연산할 수 있는가를 묻는 문제이다.
병렬연결된 부분의 전체 저항의 크기를 ′ Ω이라 하면
′
∴ ′
Ω 구하는 전체 저항의 크기는
′
Ω
∴ 따라서
30. [출제의도] 주어진 조건을 만족시키는 연립방정식을 구하여 풀 수 있는가를 묻는 문제이다.
상업용 지구와 주거용 지구의 한 변의 길이를 각각 km , km (단, )라 하면
넓이의 합은 (km)이므로
… ㉠
도로의 총길이는 (km )
∴ … ㉡
㉡에서 를 ㉠에 대입하면
,
∴ 또는
∴ 일 때 ,
일 때
그런데 상업용 지구의 넓이는 주거용 지구의 넓이보다 작으므로
, 이다.
따라서 주거용 지구의 넓이 은 (km)이다.
∴
