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• 수리 영역 •
정 답
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해 설
1. [출제의도] 제곱근의 계산을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.
2. [출제의도] 제곱근의 근삿값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
≒
3. [출제의도] 다항식의 덧셈과 뺄셈을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.
4. [출제의도] 집합의 연산을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.
, , 에 대하여 ∪을 벤 다이 어그램으로 나타내면 다음과 같다.
∪ 이므로 구하는 원소의 개수는 이다.
5. [출제의도] 연립부등식의 해를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.
≦ ⋯㉠ ≦ ⋯㉡
부등식 ㉠을 풀면 ≧ ⋯㉢ 부등식 ㉡을 풀면 ≦
∴ ≦ ⋯㉣
주어진 연립부등식이 해를 가지려면 ㉢과 ㉣의 공통 범위가 존재하
여야 한다.
따라서 그림으로부터 ≦ 이어야 한다.
∴ ≦
그러므로 의 최댓값은 이다.
6. [출제의도] 경우의 수를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.
먼저 회장을 명 뽑는 방법은 가지이고, 나머지 명의 회원 중에 서 명의 부회장을 뽑는 방법의 수는 다음과 같다.
×
따라서 구하는 방법의 수는 × 이다.
7. [출제의도] 상관표를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.
차(점)
차(점) 이상～미만 ～ ～ ～ ～ 합계
이상～미만
～
～
～
～
합계
위의 상관표에서 차 수행평가와 차 수행평가 성적이 모두 점 미 만인 학생의 수는 다음과 같다.
따라서 구하는 비율은 다음과 같다.
×
8. [출제의도] 이차방정식의 해를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
에서
, 또는
∴ ⋯㉠
× 에서
, 또는
∴ ⋯㉡
㉠, ㉡에서
9. [출제의도] 삼각형의 닮음과 피타고라스의 정리를 이해할 수 있는 가를 묻는 문제이다.
직각삼각형 ABD에서 BD
두 삼각형 ABD와 HBE에서∠ABD는 공통, ∠BAD ∠BHE °
∴ ∆ABD∆HBE
따라서 BD BE AB HB가 성립하므로
BE 라 하면
,
∴
(cm)
2
10. [출제의도] 이차방정식의 근을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.
이차방정식 의 한 근이 이므로 주어진 방정식 에 대입하면 다음과 같다.
≠ 이므로
∴ ⋯㉠
, 이 모두 이하의 자연수이고 ㉠을 만족하는 순서쌍은 ,
의 개다.
11. [출제의도] 무리수의 뜻을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.
정사각형의 넓이가 이므로 한 변의 길이는 이고
AE AH, EF FG GH HE 이다.
따라서 주어진 각 도형의 둘레의 길이는 다음과 같다.
(둘레의 길이) × (무리수)
(둘레의 길이) × × (무리수)
(둘레의 길이) × (유리수)
(둘레의 길이) × × (무리수)
(둘레의 길이) × × (무리수)
12. [출제의도] 삼각형의 합동과 직사각형의 성질을 이해할 수 있는가 를 묻는 문제이다.
그림에서 점 I에 대한 점 H의 대칭점을 점 H′이라 하면
두 삼각형 IEH′과 삼각형 IHD는 합동이므로 사각형 FGHH′과 사각 형 SUVR는 합동이다.
따라서
RS PQ BF FH′이므로
RS BH′
BE EH′
BE DH
13. [출제의도] 주어진 조건을 이용하여 일차함수의 그래프의 모양을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.
일차함수 의 그래프가 점 A 를 지날 때
, ⋯㉠
일차함수 의 그래프가 점 B 을 지날 때
,
⋯㉡
㉠, ㉡에서
≦ ≦
따라서 ,
∴
14. [출제의도] 이차함수의 그래프의 모양을 보고 에서
, , 의 부호를 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.
ㄱ. 그래프가 위로 볼록하므로 ＜이고, 축이 축의 왼쪽에 있으므 로
＜이다. 따라서 ＜ (거짓)
ㄴ. 절편이 양이므로 ＞이다. 따라서 ＞ (참) ㄷ. 일 때 이므로 ＞ (참)
이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
15. [출제의도] 평행선에서의 각의 성질을 이해하고, 피타고라스의 정 리를 이용하여 정삼각형의 넓이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
3
∠ADB °이므로 ∠DAB °이다.
∴ ∠BAC ∠CAE °
또 DEBC이므로 ∠DAB ∠ABC °, ∠ACB ∠CAE °이다.
따라서 삼각형 ABC는 높이가 인 정삼각형이다.
AC ×
이므로
∆ABC
×
(cm)
16. [출제의도] 주어진 조건의 두 수를 구하기 위하여, 원의 성질을 이용하는 증명을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.
CD CE 이고, CD ․CE BC 이므로 구하는 두 수는 두 선분 CD, CE의 길이와 같다.
점 D에서 선분 AB에 내린 수선의 발을 F라 하면
OF
OD DF
따라서
CD BF OB OF
CE AB BF
[참고]
두 수
,
는 방정식 의 두 근이다.17. [출제의도] 다항식의 곱셈을 이용하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.
색칠한 큰 정사각형의 한 변의 길이는
색칠한 작은 정사각형의 한 변의 길이는
따라서 두 정사각형의 넓이의 합은
18. [출제의도] 피타고라스의 정리와 원의 성질을 이해하고, 삼각비를 이용하여 삼각형의 넓이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
AB
QA QB AB
QA QB
사각형 AQBP의 넓이는 두 삼각형 PAB, QBA의 합과 같으므로
× ×
× ×
또 ∠APQ ∠BPQ °이고, 사각형의 넓이는 두 삼각형 PAQ, PBQ의 넓이의 합과 같으므로 PQ 라 하면 다음이 성립한다.
sin° sin°
×
×
이것을 풀면 cm
19. [출제의도] 삼각형의 닮음을 이용하여 여러 가지 선분의 관계와 각 의 관계를 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.
ㄱ. ∆QAP∆QXY이므로 AP XY PQ YQ (참) ㄴ. ∆APY와 ∆BQY 에서
AP XY PQ YQ 이므로 AP YQ
XY⋅PQ
BQ XY PQ PY 이므로 BQ PY
XY⋅PQ
∴ AP BQ YQ
PY
PY YQ (참) ㄷ. ㄴ에서 ∆APY∆BQY 이므로
∠AYP ∠BYQ
XY는 직선 에 수직이므로 ∠AYX ∠BYX (참) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
20. [출제의도] 확률을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.
남은 수는 이므로 색칠한 첫 번째 칸에 짝수 중 의 하나가 적힐 확률은
이고, 또 색칠한 두 번째 칸에 남은 짝수 가 적힐 확률은
이다.
따라서 구하는 확률은
×
이다.
[다른 풀이]
남은 수는 이므로 이 개의 수를 개의 빈 칸에 임의로 써 넣을 수 있는 방법의 수는 × × × × 이다.
한편 색칠한 개의 빈 칸에 짝수를 넣고, 나머지 빈 칸에 남은 개 의 수를 넣는 방법의 수는 × × × × 이다.
따라서 구하는 확률은
이다.
21. [출제의도] 삼각형의 여러 가지 성질을 이용하여 실생활의 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.
4
BA와 CD의 연장선이 만나는 점을 O라 하면 삼각형 OBC는 정삼 각형이다. 따라서 OE의 연장선이 BC와 만나는 점을 R라 하면
BR RC이다.
또, 점 E에서 OC에 내린 수선의 발을 P, 점 R에서 OC에 내린 수 선의 발을 Q라 하자. 또 점 R에서 점 B를 지나고 DC에 평행한 직 선에 내린 수선의 발을 S라 하자. 그러면 삼각형의 중점연결정리에 의해 다음이 성립한다.
EP , QR EP
두 삼각형 RCQ와 RBS는 합동이므로
SR RQ
따라서 구하는 거리는
cm
22. [출제의도] 식의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
,
이므로
× ×
23. [출제의도] 제곱근의 계산을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.
× ×
따라서 위의 식을 만족하는 의 배수 은
× × ⋯ × 이고, 그 개수는 이다.
24. [출제의도] 유한소수의 성질을 이용하여 문제를 해결할 수 있는가 를 묻는 문제이다.
유한소수가 되기 위해서는 분모의 소인수가 나 뿐이어야 한다.
주어진 분모 × , × , × , ⋯, × 중에서 소인수가 나 뿐인 경우는 × , × 의 두 경우이다.
따라서 , 이므로
25. [출제의도] 이차함수의 그래프를 이해하여 문제를 해결할 수 있는 가를 묻는 문제이다.
점 B의 좌표가 이므로
에서 ± ∴ B
따라서 정사각형 ABCD의 한 변의 길이는 이다.
점 D의 좌표는 또한 점 E의 좌표도 이므로
에서 ± ∴ E
따라서 정사각형 DEFG의 한 변의 길이는 이다.
정사각형 ABCD의 넓이는 이고, 정사각형 DEFG의 넓이는
이다.
그러므로 두 정사각형의 넓이의 합은
26. [출제의도] 연립방정식의 해를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
연립방정식
에서
와 의 값의 비가 이므로 라 하고 주어진 연립방정식을 다시 정리하면 다음과 같다.
이 연립방정식을 풀면
∴
27. [출제의도] 이차방정식을 이용하여 주어진 문제를 해결할 수 있는 가를 묻는 문제이다.
초 후에 가로와 세로의 길이는 각각
, 이므로 직사각형의 넓이는 다음과 같다.
×
,
따라서 초 후에 처음 직사각형의 넓이와 같아진다.
28. [출제의도] 주어진 조건을 만족하는 이차함수의 식을 구할 수 있는 가를 묻는 문제이다.
축과 두 점 , 에서 만나므로 축의 방정식은
이고 최댓값은 이므로 이 이차함수의 식은 다음과 같다.
…㉠
이 포물선이 을 지나므로 ㉠에 대입하면
∴
이것을 다시 ㉠에 대입하여 정리하면
따라서 구하는 절편은 이다.
29. [출제의도] 주어진 조건을 만족하는 두 수의 관계를 이용하여 식 의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
각 변끼리 더하면
그런데 , 이므로
∴
30. [출제의도] 일차부등식을 이용하여 실생활의 문제를 해결할 수 있 는가를 묻는 문제이다.
빌릴 책의 수를 이라 하면
회원으로 가입하여 빌릴 경우의 비용은 이고, 비회원으로 빌릴 경우의 비용은 이다.
따라서 비회원의 경우보다 회원으로 가입하여 빌릴 때 돈이 덜 들 려면
∴
따라서 권 이상 빌리면 비회원으로 빌릴 때보다 돈이 덜 들게 된다.
